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1、 31 參數(shù)估計與測量平差 一、數(shù)理統(tǒng)計問題數(shù)理統(tǒng)計問題 總體(母體X:研究的隨機(jī)變量可能取值的全體。 個體:組成總體的每一個基本單位。 樣本x:從母體中隨機(jī)取出的幾個個體構(gòu)成一個樣本。 子樣容量(大?。簶?gòu)成子樣的個體數(shù)目。 抽樣:獲得子樣的過程。 統(tǒng)計量:由子樣構(gòu)成的函數(shù),不含未知數(shù)。第三章第三章 最小二乘準(zhǔn)則最小二乘準(zhǔn)則 1、常用統(tǒng)計量: 2、常用數(shù)理統(tǒng)計方法 (1)參數(shù)估計 (2)統(tǒng)計假設(shè)檢驗 (3)回歸分析 (4)方差分析2122121)(11)(11xxnSxxnSxnxniiniinii子樣無偏方差:子樣方差:子樣均值:無限推斷母體構(gòu)成統(tǒng)計量有限獲得子樣限個抽樣數(shù)理統(tǒng)計問題:通過
2、有nnxxxn,21 3、對抽樣的要求 a、代表性:要求子樣的各個分量xi與母體同分布。即 b、獨立性:要求xi互獨立。 二、參數(shù)估計問題二、參數(shù)估計問題 參數(shù)估計包括: a、點估計(定值估計) b、區(qū)間估計 XDxDXExEii3-2 估計值的最優(yōu)性質(zhì)估計值的最優(yōu)性質(zhì) 點估計的幾種方法: 矩法、最大似然法、最小二乘法、中位數(shù)法、截尾法 用不同的方法對同樣的母體參數(shù)進(jìn)行估計,就會產(chǎn)生不同的估值。 最優(yōu)估值標(biāo)準(zhǔn): (1)無偏 性 (2)一致性 (3)有效性 最優(yōu)估計應(yīng)具有性質(zhì)最優(yōu)估計應(yīng)具有性質(zhì): 估計量 能在參數(shù)真值 附近擺動,隨著子樣容量的增大,擺幅越來越小,n為 時, 依概率收斂于 。 一、
3、無偏性一、無偏性 的無偏估計。是則稱的估值,若滿足:是參數(shù)真值設(shè)E 的無偏估計?否是母體方差是估計?子樣方差是否是母體均值的無偏問:22xDsx 結(jié)論結(jié)論 數(shù)理統(tǒng)計中 平差中 性質(zhì)2122121)(11)(11xxnsxxnsxnxniiniinii 122nVVsnVVsnLx 2222sEsEaxE無偏有偏無偏二、一致性二、一致性 n無限增大時估計量依概率收斂于 。為子樣容量。為概率,或或,有即對任意小的正數(shù)nPPPPnnn1lim0lim1lim 補(bǔ)充:嚴(yán)格一致性嚴(yán)格一致性 滿足嚴(yán)格一致性的估值一定滿足一致性。 例:證明子樣均值是母體期望的一致性估值。 的嚴(yán)格一致性估計。為則稱滿足:若估
4、值0limlim2EEDEnn 三、有效性三、有效性 有效。較則認(rèn)為估值若的無偏估計均為及定義:設(shè)212121DD 均無偏,不唯一如:中axEaxEaxEi 的方差最小,最有效。可見或而:中xxDnxDxDi22222 最小方差性:最小方差性: 插入:6-2 測量平差參數(shù)的統(tǒng)計性質(zhì)測量平差參數(shù)的統(tǒng)計性質(zhì) 一、 致性。是最優(yōu)估值。即滿足有效性又滿足一小方差),則該估計量(最,使若有一無偏估計量2minD具有無偏性參數(shù)估值x xxE 求證:最優(yōu)估值。性,又滿足有效性,是即滿足一致,則估值具有最小方差若能證具有有效性二、參數(shù)估值xDxxxx 三、 矩陣跡的性質(zhì):矩陣跡的性質(zhì):20202020)()(
5、即證:的無偏估計是單位權(quán)方差tnPVVEET 均為方陣及為常數(shù)均為方陣及TTTTTABBAABtrBAtrkAtrkkAtrBAABBAtrABtrBtrAtrBAtrAtrAtr543213-3最小二乘準(zhǔn)則最小二乘準(zhǔn)則 一、最小二乘法 設(shè)有誤差方程: 在滿足約束: 下, 對參數(shù)進(jìn)行估計。 二、最大似然法lxAVmin2222112nniivvvv2,iiiLENL設(shè)觀測值: 有 似然函數(shù):設(shè)為子樣聯(lián)合分布的密度函數(shù) 221222121122111nnnnnLLnnDLELELELLL PVVDLELDLELDGTLLnLLTLLn2exp2121exp21202121212 最大似然法基本思想:最大似然法基本思想: 最大似然法最大似然法:必須知道母體的分布 最小二乘法最小二乘法:可不知母體的分布 當(dāng)觀測值服從正態(tài)分布時,二者等價。為最或然值。,即此時最接近其真值達(dá)到最大時,參數(shù)估值數(shù)最大,所以,當(dāng)似然函誤差聯(lián)合出現(xiàn)的概率由偶然誤差特性知,小xxxG minminminmax11PVVVDVLELDLELGTLLTLLT或即要求 例:不一定是無偏的。并。所以,最大似然估值可近似看成很大時,當(dāng)不是無偏的,只有估值,而期
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