第三章_最小二乘準則.

1、 31 參數(shù)估計與測量平差 一、數(shù)理統(tǒng)計問題數(shù)理統(tǒng)計問題 總體（母體X：研究的隨機變量可能取值的全體。 個體：組成總體的每一個基本單位。 樣本x：從母體中隨機取出的幾個個體構(gòu)成一個樣本。 子樣容量（大小）：構(gòu)成子樣的個體數(shù)目。 抽樣：獲得子樣的過程。 統(tǒng)計量：由子樣構(gòu)成的函數(shù)，不含未知數(shù)。第三章第三章 最小二乘準則最小二乘準則 1、常用統(tǒng)計量： 2、常用數(shù)理統(tǒng)計方法 （1）參數(shù)估計 （2）統(tǒng)計假設檢驗 （3）回歸分析 （4）方差分析2122121)(11)(11xxnSxxnSxnxniiniinii子樣無偏方差：子樣方差：子樣均值：無限推斷母體構(gòu)成統(tǒng)計量有限獲得子樣限個抽樣數(shù)理統(tǒng)計問題：通過

2、有nnxxxn,21 3、對抽樣的要求 a、代表性：要求子樣的各個分量xi與母體同分布。即 b、獨立性：要求xi互獨立。 二、參數(shù)估計問題二、參數(shù)估計問題 參數(shù)估計包括： a、點估計（定值估計） b、區(qū)間估計 XDxDXExEii3-2 估計值的最優(yōu)性質(zhì)估計值的最優(yōu)性質(zhì) 點估計的幾種方法： 矩法、最大似然法、最小二乘法、中位數(shù)法、截尾法 用不同的方法對同樣的母體參數(shù)進行估計，就會產(chǎn)生不同的估值。 最優(yōu)估值標準： （1）無偏 性 （2）一致性 （3）有效性 最優(yōu)估計應具有性質(zhì)最優(yōu)估計應具有性質(zhì)： 估計量 能在參數(shù)真值 附近擺動，隨著子樣容量的增大，擺幅越來越小，n為 時， 依概率收斂于 。 一、

3、無偏性一、無偏性 的無偏估計。是則稱的估值，若滿足：是參數(shù)真值設E 的無偏估計？否是母體方差是估計？子樣方差是否是母體均值的無偏問：22xDsx 結(jié)論結(jié)論 數(shù)理統(tǒng)計中 平差中 性質(zhì)2122121)(11)(11xxnsxxnsxnxniiniinii 122nVVsnVVsnLx 2222sEsEaxE無偏有偏無偏二、一致性二、一致性 n無限增大時估計量依概率收斂于 。為子樣容量。為概率，或或，有即對任意小的正數(shù)nPPPPnnn1lim0lim1lim 補充：嚴格一致性嚴格一致性 滿足嚴格一致性的估值一定滿足一致性。 例：證明子樣均值是母體期望的一致性估值。 的嚴格一致性估計。為則稱滿足：若估

4、值0limlim2EEDEnn 三、有效性三、有效性 有效。較則認為估值若的無偏估計均為及定義：設212121DD 均無偏，不唯一如：中axEaxEaxEi 的方差最小，最有效?？梢娀蚨褐衳xDnxDxDi22222 最小方差性：最小方差性： 插入：6-2 測量平差參數(shù)的統(tǒng)計性質(zhì)測量平差參數(shù)的統(tǒng)計性質(zhì) 一、 致性。是最優(yōu)估值。即滿足有效性又滿足一小方差），則該估計量（最，使若有一無偏估計量2minD具有無偏性參數(shù)估值x xxE 求證：最優(yōu)估值。性，又滿足有效性，是即滿足一致，則估值具有最小方差若能證具有有效性二、參數(shù)估值xDxxxx 三、 矩陣跡的性質(zhì)：矩陣跡的性質(zhì)：20202020）（）（

5、即證：的無偏估計是單位權(quán)方差tnPVVEET 均為方陣及為常數(shù)均為方陣及TTTTTABBAABtrBAtrkAtrkkAtrBAABBAtrABtrBtrAtrBAtrAtrAtr543213-3最小二乘準則最小二乘準則 一、最小二乘法 設有誤差方程： 在滿足約束： 下， 對參數(shù)進行估計。 二、最大似然法lxAVmin2222112nniivvvv2,iiiLENL設觀測值： 有 似然函數(shù)：設為子樣聯(lián)合分布的密度函數(shù) 221222121122111nnnnnLLnnDLELELELLL PVVDLELDLELDGTLLnLLTLLn2exp2121exp21202121212 最大似然法基本思想：最大似然法基本思想： 最大似然法最大似然法：必須知道母體的分布 最小二乘法最小二乘法：可不知母體的分布 當觀測值服從正態(tài)分布時，二者等價。為最或然值。，即此時最接近其真值達到最大時，參數(shù)估值數(shù)最大，所以，當似然函誤差聯(lián)合出現(xiàn)的概率由偶然誤差特性知，小xxxG minminminmax11PVVVDVLELDLELGTLLTLLT或即要求 例：不一定是無偏的。并。所以，最大似然估值可近似看成很大時，當不是無偏的，只有估值，而期