伴隨矩陣法求逆矩陣

1、伴隨矩陣法求逆矩陣伴隨矩陣法求逆矩陣1 定理定理 設(shè)設(shè) 為為 階方陣，那么階方陣，那么 .nBA、BAAB BAABBAAB 很明顯很明顯 推論推論 設(shè)設(shè) 都為都為 階方陣，那么階方陣，那么nnAAA,21.2121nnAAAAAA 2定義定義 行列式行列式 的各個(gè)元素的代數(shù)余子式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式 所所構(gòu)成的如下矩陣構(gòu)成的如下矩陣AijA nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111稱為矩陣稱為矩陣 的的伴隨矩陣伴隨矩陣.A3, AAAAOO nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211AAaAaAann 1

2、112121111AAaAaAannnnnnnn 2211性質(zhì)性質(zhì).EAAAAA 證明證明02122121211 nnAaAaAa故故EAAA 同理可得同理可得EAAA 4定理定理1 1 矩陣矩陣 可逆的充要條件是可逆的充要條件是 ，且，且 ,11 AAAA0 A.的伴隨矩陣的伴隨矩陣為矩陣為矩陣其中其中AA 5EAAAAA ,EAAAAAA .1AAA 按逆矩陣的定義得按逆矩陣的定義得證畢證畢證明證明若若 可逆，可逆，A.EAAA 11使使即即有有, 11 EAA故故. 0 A所所以以,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) A6.,0,0稱稱為為非非奇奇異異矩矩陣陣時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)稱稱為為奇奇異異矩矩陣陣時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)AAAA 奇

3、異矩陣與非奇異矩陣的定義奇異矩陣與非奇異矩陣的定義.非非奇奇異異矩矩陣陣為為是是可可逆逆陣陣的的充充要要條條件件是是由由此此可可得得AA7, 1 EBA, 0 A故故,1存存在在因因而而 A于于是是EBB BAA1 ABA1 證證畢畢 .1 ABEBAEABBnnA，則則或或使使，階階方方陣陣階階方方陣陣，如如果果存存在在是是設(shè)設(shè)推論推論1證明證明EA1 1 A8推論推論2.,11 AAA則則有有可可逆逆若若證證明明EAA 111 AA.AA11 因此因此推論推論3設(shè)設(shè) 為為 階方陣，若階方陣，若 不可逆，不可逆，那么那么 都不可逆都不可逆.BA、BAAB、An證證明明不可逆，不可逆，因?yàn)橐驗(yàn)?/p>

4、A, 0 A故故BAAB . 0 因此因此.也也不不可可逆逆所所以以AB9,331212321 A.1151531132 B解解331212321 A.?,法法求求逆逆矩矩陣陣若若可可逆逆，用用伴伴隨隨矩矩陣陣是是否否可可逆逆下下列列矩矩陣陣BA例例4 , 0 .A可可逆逆所所以以1011,331212321 A, 3332111 A, 4312212 A, 5311213 A, 3333221 A, 0313122 A, 1312123 A, 1213231 A, 4223132 A, 3122133 A, 4 A.315404133411*1 AAA1151531132 B由由于于.B不不

5、可可逆逆故故, 0 12.1151531132 B.1541det,31det,1 AAAAnA求求為為其其伴伴隨隨矩矩陣陣階階方方陣陣為為設(shè)設(shè)例例:解解:,31 A由于由于故故 可逆，可逆，A,EAAA 又由又由1 AAA可知可知,311 A AA1541det1故故 1131154detAA 1det A1)1( AnAn1)1( 3)1( n13,0都都是是可可逆逆方方陣陣和和其其中中設(shè)設(shè)CBCDBA .,1 AA并求并求可逆可逆證明證明例例證證, 可可逆逆由由CB, 0 CBA有有.可逆可逆得得A,1 YWZXA設(shè)設(shè).000 EEYWZXCDB則則 .,ECYOCWODYBZEDWBX

6、 .,1111OWDCBZCYBX13 .,ECYOCWODYBZEDWBX .,1111OWDCBZCYBX.11111 CODCBBA因因此此14Crame法則法則1如果線性方程組如果線性方程組)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系數(shù)行列式不等于零，即的系數(shù)行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 2.DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211其中其中 是把系數(shù)行列式是把系數(shù)行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得

7、到的 階行列式，即階行列式，即jDDjnnnj ,nnj ,nnnj ,j ,jaabaaaabaaD11111111111 那么線性方程組那么線性方程組 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表為可以表為 13證明證明 njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa221122222221211111212111 得得個(gè)個(gè)方方程程的的依依次次乘乘方方程程組組列列元元素素的的代代數(shù)數(shù)余余子子式式中中第第用用,1,21nAAAjDnjjj在把在把 個(gè)方程依次相加，得個(gè)方程依次相加，得n4,111111 nkkjknnkkjknjnkkjk

8、jnkkjkAbxAaxAaxAa由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知, ., 2 , 1njDDxjj .DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211,Dxj的系數(shù)等于的系數(shù)等于上式中上式中 ; 0的的系系數(shù)數(shù)均均為為而而其其余余jixi .jD又又等等式式右右端端為為于是于是 2當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),方程組方程組 有唯一的一個(gè)解有唯一的一個(gè)解0 D 25由于方程組由于方程組 與方程組與方程組 等價(jià)等價(jià), 2 1故故.DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211也是方程組的也是方程組的 解解. 16例例1 用克拉默則解方程組用克拉默則解方程組 . 0674, 522, 963, 852

9、43214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 712772121357 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81 67012150609115822 D,108 860412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27 , 3278111 DDx, 42710822 DDx, 1272733 DDx. 1272744 DDx9定理定理1 1 如果線性方程組如果線性方程組 的系數(shù)行列式的

10、系數(shù)行列式 則則 一定有解一定有解, ,且解是唯一的且解是唯一的 . . 1 1, 0 D定理定理2 2 如果線性方程組如果線性方程組 無解或有兩個(gè)不同的無解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零解，則它的系數(shù)行列式必為零. . 110)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa齊次線性方程組的相關(guān)定理齊次線性方程組的相關(guān)定理 2000221122221211212111 nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa定理定理 如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組 的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式 則齊次線性方程組則齊次線性方程組 只有零解只有零解. . 2 20 D11定理定理 如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組 2有非零解有非零解, ,則它則它的系數(shù)行列式必為零的系數(shù)行列式必為零. .120 D以上兩個(gè)定理說明系數(shù)行列式以上兩個(gè)定理說明系數(shù)行列式是齊次線性方程組有非零解的必要條件，事是齊次線性方程組有非零解的必要條件，事實(shí)上，這一條件也是充分的實(shí)上，這一條件也是充分的 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解有非零解. .即系數(shù)行列式即系數(shù)行列式0 D這一結(jié)論已在這一結(jié)論已在Ch2中證明過中證明過.例例2 問問 取何