中考攻略專(zhuān)題3一元二次方程根的判別式應(yīng)用探討(含答案)

1、【 2013 年中考攻略】專(zhuān)題3：一元二次方程根的判別式應(yīng)用探討一元二次方程，就是只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2 的整式方程，其一般形式為ax2+bx+c=0 （aw。在系數(shù)a禮的情況下，&b2 4ac>0時(shí)，方程有 2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；&b24ac =0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；A=b24ac <0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。反之，若方程有 2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則A=b24ac>0;若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，貝U &b24ac =0 ;若無(wú)實(shí)數(shù)根，貝U&b24ac <0。因此，A=b2 4ac稱(chēng)為一元二次方程根的判別式。根的判別式b2 4a

2、c 的使用條件，是在一元二次方程中，而非別的方程中，因此，解題過(guò)程中要注意隱含條件 aw1使用判別式之前一定要先把方程變化為一般形式，以便正確找出a、b、c的值。一元二次方程根的判別式在初中數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，也是中考必考內(nèi)容，并占有一定的份量。錦元數(shù)學(xué)工作室將其應(yīng)用歸納為直接應(yīng)用和綜合應(yīng)用兩方面，直接應(yīng)用包括不解一元二次方程，判斷 （證明）根的情況、根據(jù)方程根的情況，確定待定系數(shù)的取值范圍、限制一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用；綜合應(yīng)用包括判斷二次三項(xiàng)式是完全平方式時(shí)的待定系數(shù)、判斷雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)、判斷拋物線(xiàn)與直線(xiàn)（含 x軸）的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)。下面通過(guò)近年全國(guó)各地中考的實(shí)例探討其應(yīng)用

3、。一 .不解一元二次方程，判斷（證明）根的情況：典型例題：例 1： （ 2012廣西河池3分） 一元二次方程x2 + 2x + 2 = 0的根的情況是【】A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D 無(wú)實(shí)數(shù)根【答案】D。【考點(diǎn)】一元二次方程根的判別式。【分析】x2 + 2x + 2 = 0 中，a=1, b=2 , c=2 ,.b2 4ac=22 4 1 2= 4< 0。2x + 2x + 2=0無(wú)實(shí)數(shù)根。故選Do例2： （2011江蘇蘇州3分）下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是【、-1A.萬(wàn)程x+ -= 2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 x1B.方程x+- =1有兩個(gè)不相等的頭數(shù)根

4、x1C.方程x+1=2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 xD.方程x+-=a （其中a為常數(shù)，且a >2）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 x【答案】Do【考點(diǎn)】一元二次方程根的判別式?！痉治觥堪阉o方程整理為一元二次方程的一般形式，根據(jù)根的判別式判斷解的個(gè)數(shù)即可:A、整理得：x2+2x+1=0 , = 0, .原方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、整理得：x2 x+1=0 , < 0, .原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、整理得：x2 2x+1=0, = 0, .原方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、整理得：x2 ax+1=0 ,當(dāng)a > 2時(shí)，=a2 4>0, 原方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

5、，選項(xiàng)正確故選D。練習(xí)題：1. （2012廣東珠海6分）已知關(guān)于x的一元二次方程 x2+2x+m=0.（1）當(dāng)m=3時(shí)，判斷方程的根的情況；（2）當(dāng)m=-3時(shí)，求方程的根。2. （2011福建福州4分）一元二次方程x （x-2） =0根的情況是 【】A、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C、只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D、沒(méi)有實(shí)數(shù)根3. （2011福建福州4分）一元二次方程 x （x-2） =0根的情況是A、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C、只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D、沒(méi)有實(shí)數(shù)根4. （2011內(nèi)蒙古包頭3分）一元二次方程x2+x+1=0的根的情況是【 二.根據(jù)方程根的情況，確定待定系數(shù)的取值范圍

6、： 典型例題：A、有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根 B、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C、無(wú)實(shí)數(shù)根D、無(wú)法確定例1: （2012湖北襄陽(yáng)3分）如果關(guān)于x的一元二次方程kx2 ，2k 1x 1 0有兩個(gè)不相 等的實(shí)數(shù)根，那么 k的取值范圍是1】A k< 1B kv1 且 kw0C. - 1 << 1 d - 1 <k< 且 kwo2'222'22【答案】Do【考點(diǎn)】一元二次方程定義和根的判別式，二次根式有意義的條件?！痉治觥坑深}意，根據(jù)一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為0定義知：kwQ根據(jù)二次根式被開(kāi)方數(shù)非負(fù)數(shù)的條件得：2k+1>0;根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得 =2k+1

7、 - 4k> 0。三者 聯(lián)立，解得-1侏v1且kwQ22故選D。例3: （2012湖南常德3分）若一元二次方程x2 2x m 0有實(shí)數(shù)解，則 m的取值范圍是【】1A. m 1 B. m 1 C. m 4 D.m2【答案】Bo【考點(diǎn)】一元二次方程根的判別式。【分析】由一元二次方程有實(shí)數(shù)根，得到根的判別式大于等于0,列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即可得到 m的取值范圍：一元二次方程x2 2x m 0有實(shí)數(shù)解，.=b24ac=22 4m>Q 解彳導(dǎo):m< L，m的取值范圍是m<i故選Bo例4: （2012江西南昌3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x-a=0有兩個(gè)相等

8、的實(shí)數(shù)根，則a的值是【】A. 1B. - 1C.D.一【答案】Bo【考點(diǎn)】一元二次方程根的判別式。【分析】:關(guān)于x的一元二次方程x2+2x-a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根， =22+4a=0,解得 a= - 1。故選 B。例5: (2012上海市4分)如果關(guān)于x的一元二次方程 x2-6x+c=0 (c是常數(shù))沒(méi)有實(shí)根，那么c的取值范圍是?！敬鸢浮縞> 9?！究键c(diǎn)】一元二次方程根的判別式?！痉治觥慷?關(guān)于x的一元二次方程 x2-6x+c=0 (c是常數(shù))沒(méi)有實(shí)根， = (-6) 2- 4c<0,即 36 - 4c< 0, c>9o例6: (2012湖北孝感12分)已知關(guān)于x的一

9、元二次方程 x2+(m+3)x+m+1=0.(1)求證：無(wú)論 m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若x1、x2是原方程的兩根，且|x1 x2|= 2 V2 ,求m的值和此時(shí)方程的兩根。【答案】 解：(1)證明：由關(guān)于 x的一元二次方程 x2 + (m+3)x+m+1 = 0得 = (m+3) 24 (m+1) = (m+1) 2+4,:無(wú)論m取何值，(m+1) 2+4恒大于0, 原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。(2)x1, x2是原方程的兩根，x1+x2= (m+3), x1?x2=m+1。: |x1 一 x2|= 2 , 2 , .1. (x1 x2)2=8 ,即(x1+x2)2 4

10、x1x2=80. (m+3) 2 4 (m+1) =8,即 m2+2m 3=0。解得：m1= 3, m2=1。當(dāng) m=3 時(shí)，原方程化為：x22=0,解得：x1=、；2 , x2= J2。當(dāng) m=1 時(shí)，原方程化為：x2+4x+ 2=0 ,解得：x = 2+2 , x2= 242。【考點(diǎn)】一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系。【分析】(1)根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程 x2+(m+3)x+m+ 1 = 0的根的判別式 =b24ac 的符號(hào)來(lái)判定該方程的根的情況。(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得x + x2和x1?x2,由已知條件 網(wǎng)x2|=2 42平方后可以得到關(guān)于x1 + x2和x1?x2的等式，

11、從而列出關(guān)于 m的方程，通過(guò)解該方程即可求得 m的值， 最后將m值代入原方程并解方程。例7: （2011山東濰坊3分）關(guān)于x的方程x2 2kx k 1 0的根的情況描述正確的是 【.A. k為任何實(shí)數(shù)，方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根B. k為任何實(shí)數(shù)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C. k為任何實(shí)數(shù)，方程都有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D .根據(jù)k的取值不同，方程根的情況分為沒(méi)有實(shí)數(shù)根、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根和有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根三種【答案】Bo【考點(diǎn)】一元二次方程根的判別式?！痉治觥?求出一元二次方程根的判別式的值，然后據(jù)此判別，從而得出答案：一元二次方程根的判別式為4 = （2k） 2-4X （k1） =4k2 4k+4=

12、 （2k- 1） 2+3>0,不論k為任何實(shí)數(shù)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。故選 Bo例8: （2012四川成都4分）有七張正面分別標(biāo)有數(shù)字一 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3的卡片， 它們除數(shù)字不同外其余全部相同. 現(xiàn)將它們背面朝上， 洗勻后從中隨機(jī)抽取一張， 記卡片上 的數(shù)字為a,則使關(guān)于x的一元二次方程x2 2 a 1 x a a 3 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， 且以22x為自變重的二次函數(shù) y x a 1 x a 2的圖象不經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,0）的概率是?！敬鸢浮?o7【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一元二次方程根的判別式，解一元二次方程和一元一次不等式，概率公式。2【分析】x

13、 2 a 1 x a a 3 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，.> 0。.-2 （a - 1） 2 - 4a （a - 3） >0,，a> - 1。將（1,0）代入 yx2a21 x a2得，a2+a- 2=0,解得a1=1,a2= 2?？梢?jiàn)，符合要求的點(diǎn)為 0, 2, 3。 ,“一，3.P （符合要求）=-o 7練習(xí)題：1 （2012四川廣安3分）已知關(guān)于x的一元二次方程（a-1） x2- 2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是1】A. a> 2B. a<2C. av2 且 a4D. a< - 22. (2012山東日照4分)已知關(guān)于x的一元二次方程(

14、k 2)2x2+(2k+ 1)x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則 k的取值范圍是1】(A) k>4且 kw2(B)k>4 且 kw2(C) k >曰且 kw2(D)k/且 k233443. (2012四川瀘州2分)若關(guān)于x的一元二次方程 x2 -4x + 2k = 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 k的 取值范圍是1】A、k>2B、k<2C、k>- 2D、k< - 22 14. (2012山東東營(yíng)3分)萬(wàn)程k 1 x/Tx+ =0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 k的取值范圍是4【 A. k> 1B, k< 1C, k>1D. k<15. (2012北京市4

15、分)若關(guān)于x的方程x2 2x m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則 m的值是 。26. (2012四川資陽(yáng)3分)關(guān)于x的一兀二次方程kx2 x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是。7. (2012湖北鄂州8分)關(guān)于x的一元二次方程x2 (m 3)x m2 0。(1)證明：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為xi, x2,且| xi | = | x2 | 2,求m的值及方程的根。8. (2011湖南郴州6分)當(dāng)t取什么值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程 2x 2+tx +2=0有兩個(gè)相 等的實(shí)數(shù)根？9. (2009黑龍江佳木斯 3分)若關(guān)于x的一元二次方程 nx2-2x- 1=0

16、無(wú)實(shí)數(shù)根，則一次函數(shù)y= (n+1) xn的圖象不經(jīng)過(guò)【】A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限三.限制一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用：典型例題：例1: (2011四川瀘州2分)已知關(guān)于x的方程x2+ (2k+1) x+k2- 2=0的兩實(shí)根的平方和 等于11,則k的值為 。vm i.【考點(diǎn)】一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程.【分析】設(shè)方程方程煌斗(2麻1) A層-23設(shè)其兩根為弱，卻得g Qk+1) 2'4x (k?- 2) 7k+0>Q, . .k> -4'/耳l+xl - (2k+1), «i'xj-k？ -

17、2i又幻。靖Tl,.=(£1+您)22幻©=11.,'.(2k+l) a- 2 (k2- 2) -11,解得日 或-工9 k> -k-l.4例2： (2012湖南婁底10分)已知二次函數(shù)y=x2 - (m2-2) x-2m的圖象與x軸交于點(diǎn)A111(xi, 0)和點(diǎn)B (x2, 0), x1x2,與y軸交于點(diǎn) C,且滿(mǎn)足 一+二。X1 x22(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)探究：在直線(xiàn) y=x+3上是否存在一點(diǎn) P,使四邊形PACB為平行四邊形？如果有，求 出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由。Ox【答案】 解：(1) ,.二次函數(shù)y=x2- (m2-2)

18、x- 2m的圖象與x軸交于點(diǎn)A (x1, 0)和點(diǎn)B (x2, 0) , x1 < x2 ,，令 y=0,即 x2- (m22) x- 2m=0 ，則有：x1+x2=m2 - 2, x1x2= 2m。/2AA11x1+x2 m 1 12一 一+ = 一，化間得到： m +m- 2=0,解得 m1= - 2, m2=1。x1 x2x1x2 2m 2當(dāng)m=-2時(shí)，方程為：x2- 2x+4=0 ,其判別式 =b2-4ac= - 12v 0,此時(shí)拋物線(xiàn)與 x軸沒(méi)有交點(diǎn)，不符合題意，舍去；當(dāng)m=1時(shí)，方程為：x2+x-2=0,其判別式 =b2-4ac=9>0,此時(shí)拋物線(xiàn)與x軸有 兩個(gè)不同的交

19、點(diǎn)，符合題意。，m=1。，拋物線(xiàn)的解析式為 y=x2+x-2。(2)存在。理由如下：假設(shè)在直線(xiàn)y=x+3上是否存在一點(diǎn) P,使四邊形PACB為平行四邊形。如圖所示，連接 PA. PB. AC. BC,過(guò)點(diǎn)P作PDx軸于D點(diǎn)。 拋物線(xiàn)y=x2+x- 2與x軸交于A. B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，.A (-2, 0), B (1, 0), C (0, 2)。 h y .OB=1, OC=2。/PACB 為平行四邊形， PA/BC, PA=BCo4/ ./FAD=/CBO, ./ APD = /OCB。在 RtA PAD 與 RtA CBO 中，/ & * -Z 月 C . /FAD=/CBO

20、, FA=BC, /APD = /OCB ,/RtA FAD RtA CBO (AAS)。下.PD=OC=2,即 yP=2。;直線(xiàn)解析式為 y=x+3,，xp=-1。p (- 1, 2)。，在直線(xiàn)y=x+3上存在一點(diǎn)P,使四邊形PACB為平行四邊形，P點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 2)?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)與 x點(diǎn)問(wèn)題，曲線(xiàn)圖上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，一元二 次方程根與系數(shù)的關(guān)系，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥?1)欲求拋物線(xiàn)的解析式，關(guān)鍵是求得m的值.根據(jù)題中所給關(guān)系式，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可以求得m的值，從而問(wèn)題得到解決。注意：解答中求得兩個(gè)m的值，需要進(jìn)行檢驗(yàn)

21、，把不符合題意的m值舍去。(2)利用平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等關(guān)系求得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而得到P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求得 P點(diǎn)坐標(biāo)。練習(xí)題：21. (2012湖南懷化10分)已知x1,x2是一兀二次方程(a 6)x 2ax a 。的兩個(gè)頭數(shù)根。(1)是否存在實(shí)數(shù) a,使 x1 x1x2 4 x2成立？若存在，求出 a的值；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由；（2）求使（Xi 1）（X2 1）為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù) a的整數(shù)值。2. （2007湖北襄陽(yáng)7分）已知關(guān)于x的方程x2-2 （m 2） x+m2=0.問(wèn)是否存在實(shí)數(shù) m, 使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于56,若存在，求出 m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

22、。四.判斷二次三項(xiàng)式是完全平方式時(shí)的待定系數(shù)：典型例題：例1: （2012江蘇南通3分）已知x2 + 16x+k是完全平方式，則常數(shù) k等于1】A. 64B. 48C. 32D. 16【答案】A?！究键c(diǎn)】完全平方式?！痉治觥?x2+ 16x+ k是完全平方式，對(duì)應(yīng)的一元二次方程 x2+16x+ k=0根的判別式4=0。.=1624M 法=0,解得 k=64。故選 A。例2: （2012貴州黔東南4分）二次三項(xiàng)式x2-kx+9是一個(gè)完全平方式，則k的值是。【答案】6【考點(diǎn)】完全平方式?！痉治觥?#39; x2 - kx+9是完全平方式，對(duì)應(yīng)的一元二次方程 x2 - kx+9=0根的判別式4=0。

23、.-.=k2-4X1 X9=0,解得 k=±6o例3: （2012湖北荊州3分）已知：多項(xiàng)式x2-kx+1是一個(gè)完全平方式，則反比例函數(shù)y=- x的解析式為。【答案】 y= 1或y= o x x【考點(diǎn)】完全平方式，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式?！痉治觥慷囗?xiàng)式x2 - kx+1是一個(gè)完全平方式，.對(duì)應(yīng)的一元二次方程 x2-kx+1=0根的判別式 二0。，二k2 4X1 X1=0,解得 k二±2。把k=+2分別代入反比例函數(shù) y=的解析式得：y=-或y= 室。 xx x練習(xí)題：21. （2011玄南玉溪3分）若x 6x k是完全平萬(wàn)式，則 k=1A. 9B. 9C.均D.七2.

24、 （2010廣西南寧3分）下列二次三項(xiàng)式是完全平方式的是【】A. x2-8x- 16B. x2+8x+16C. x24x16D. x2+4x+ 16五.判斷雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)：典型例題：k例1: （2012江辦南東2分）右反比仞函數(shù)y 與一次函數(shù)y x 2的圖像沒(méi).有父點(diǎn)，則k的值可以是【】A. -2 B. -1 C. 1 D. 2【答案】Ao【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，一元二次方程的判別式?！痉治觥堪褍珊瘮?shù)的解析式組成方程組，再轉(zhuǎn)化為求一元二次方程解答問(wèn)題，求出k的取值范圍，找出符合條件的 k的值即可：k反比例函數(shù)y 與一次函數(shù)y=x+2的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，y K .如 k c

25、 . x 無(wú)斛，即 =x 2無(wú)解，整理得 x2+2x k=0,y x 2x =4+4k<0,解得 kv 1。四個(gè)選項(xiàng)中只有一2V1,所以只有A符合條件。故選 Ao1 .例2： （2012廣東河 源3分）在同一坐標(biāo)系中， 直線(xiàn)y=x+1與雙曲線(xiàn)y=一的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 x【 】A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D.不能確定【答案】Ao【考點(diǎn)】直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題，曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，一元二次方程根的判別式?！痉治觥扛鶕?jù)點(diǎn)在曲線(xiàn)上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程的關(guān)系，聯(lián)立y = x+ 1和y=°得，x+ 1 =,xx整理，得x 2+ x 1 = 00= 1 + 4=5>0,，x2+x1=

26、0有兩不相等的實(shí)數(shù)根。，直線(xiàn)y=x+1與雙曲線(xiàn)丫=工有兩個(gè)交點(diǎn)。故選 A。 x例釜C 2。1二廠西南寧3分)已知二次函&蟆+t)z+L 汶醞激廣kE1)，若它們的圖象 4對(duì)于任意的非奉實(shí)數(shù)k都只有一個(gè)公共點(diǎn)，則a,匕的值分別為1A, a=l, b=2 B. a=L b=-2 C. a=-L b=2 D. aL b-2t答案】Bol:考點(diǎn)】二次函數(shù)的性詹，一元二次方程根的判別式，解二元一次方程組.1分析】由廣故2十h區(qū)十1和廣k (*1)一彳組成的方程蛆，消去y,整理得，ax2+ (bkJ卻"1+K十一加， 4:它們的圖蒙對(duì)于任意的實(shí)數(shù)k都只有一個(gè)公共點(diǎn)，則方程組只有一組解，.

27、二關(guān)于x的方程B+ (bk) x+ lH-k+一=0有兩相等的實(shí)數(shù)恨4即三(t)k):一4& (1 +k+ )=CL /. (i-A)k工2 C2a+ti) k+松一4aCL 41 - a- Q.;對(duì)于任意的實(shí)數(shù)k都成立，J J 2a+力=口 ,解得卜551 .故選以 ab=2ba-4a = 0'例4: (2012四川資陽(yáng)8分)已知：一次函數(shù)y=3x 2的圖象與某反比例函數(shù)的圖象的一個(gè) 公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1。(1) (3分)求該反比例函數(shù)的解析式；(2) (3分)將一次函數(shù)y=3x-2的圖象向上平移 4個(gè)單位，求平移后的圖象與反比例函 數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)；(3) (2分)請(qǐng)直接寫(xiě)出

28、一個(gè)同時(shí)滿(mǎn)足如下條件的函數(shù)解析式：函數(shù)的圖象能由一次函數(shù) y=3x2的圖象繞點(diǎn)(0, 2)旋轉(zhuǎn)一定角度得到；函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)?！敬鸢浮?解：(1)把x=1代入y=3x-2,得y=1。設(shè)反比例函數(shù)的解析式為 y=K ,把(1, 1)代入得，k=1。x.該反比例函數(shù)的解析式為1 y=x(2)平移后的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為y=3x2+4,即 y=3x+2,一.一 1 加聯(lián)立y=3x+ 2和y=,得, xy 3x+21x=. x=y=1,解得 3或y= xy=3，平移后的圖象與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(一,3)和(-1, 1) o3(3) y= - 2x- 2 (答案不唯一)?！究?/p>

29、點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，待定系數(shù)法，曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系, 一次函數(shù)圖象與平移、旋轉(zhuǎn)變換?！痉治觥?1)先求出兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式。(2)平移后的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為y=3x+2,聯(lián)立兩函數(shù)解析式，從而求得交點(diǎn)坐標(biāo)。(3)函數(shù)的圖象由一次函數(shù) y=3x 2的圖象繞點(diǎn)(0, 2)旋轉(zhuǎn)一定角度得至可設(shè)所求函數(shù)解析式為 y=mx-2,則由y mx 21 得 mx2 2x 1=0。 y=x.函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象沒(méi)有公共點(diǎn),=44 m (1) < 0,解得 mv 1。，只要常數(shù)項(xiàng)為-2,次項(xiàng)系數(shù)小于1的一次函數(shù)均可。-2-10 12 3

30、(B)I i I i-2-10 12 3(D)例5: (2011湖北宜昌3分)如圖，直線(xiàn)y=x +2與雙曲線(xiàn)y = m-3在第二象限有兩個(gè)交 x點(diǎn)，那么m的取值范圍在數(shù)軸上表示為【-l1i4611-2-1012 34(A)-l1ihd1-2-10 12 34(C)【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，在數(shù)軸上表示不等式的解集【分析】因?yàn)橹本€(xiàn)y = x+2與雙曲線(xiàn)y = m_2在第二象限有兩個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立兩方程求出mx的取值范圍即可，然后在數(shù)軸上表示出m的取值范圍：由 x +2= mL_3 得 x2+2x +3 m=0, x= y = x +2與y = m_3有兩個(gè)交點(diǎn)，方程x 2+2 x +3

31、 - m=0有兩不相等的實(shí)數(shù)根。 x即=44X （3m） >0,解得 m>2。又二雙曲線(xiàn)在二、四象限，m - 3<0。mv 3。.m的取值范圍為：2vmv3。故在數(shù)軸上表示為 Bo故選Bo練習(xí)題：一4 一一，1 ，1. （2011湖北黃石3分）若一次函數(shù)y kx 1的圖像與反比例函數(shù) y 的圖像沒(méi)有公共 x點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是。2. （2012陜西省3分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，若一個(gè)反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y= 2x+6的圖象無(wú).公共點(diǎn)，則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式是（只寫(xiě)出符合條件 的一個(gè)即可）。k 一3. （2006湖北黃石8分8）已知一次函數(shù) y=kx+b （k&g

32、t; 0, b>0）與反比例函數(shù) y 一的圖 x象有唯一的公共點(diǎn)。（1）求出b關(guān)于k的表達(dá)式及b為最小正整數(shù)時(shí)的兩個(gè)函數(shù)的解析式；（2）證明：k取任何正實(shí)數(shù)時(shí)，直線(xiàn) y=kx+b總經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。4. （2012四川綿陽(yáng)3分）在同一直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)y=2x的圖象與反比例函數(shù)y= 42k的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k的取值范圍在數(shù)軸上表示為【xTTr 0 12&B-C.D.六.判斷拋物線(xiàn)與直線(xiàn)（含x軸）的公共點(diǎn)個(gè)數(shù):典型例題：例上fun山東日照4分)二次函數(shù)1/+或一“笄6的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：©-4300:2a+ b < 0 ；4a 2

33、b+c0；a ： h ：。一1 ： 2 ：至其中正確的是1 0)(q®®(D)【答案】D.t首點(diǎn)】二次函數(shù)圖冢與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式，二次函效的性痂一1分#T根據(jù)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)分別作出判斷：;二次礴圖冢與工軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一對(duì)應(yīng)的一元二次方程a+M+c有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)機(jī).M4ac>0=選項(xiàng)0正確0又;對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)ml, §P-A = 1, .2a-bh-0o選項(xiàng)錯(cuò)誤. 2a;由圖象知，群一2對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為負(fù)數(shù)，當(dāng)匯一2的yHa2b+c<0n選項(xiàng)錯(cuò)誤口;圖象知，后一 1對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為Q,.當(dāng) 21時(shí)，y=a+b+c-0.送立2a十gU和

34、 尸4十七十cH 可除1j=-2a)。三一.士 to： c=a： ( 2a)： ( 3a) 1： 2： 30選項(xiàng)正SS.綜上所述，正確的選項(xiàng)有；,故選d例2:(2012山東泰安3分)二次函數(shù)y ax2 bx的圖象如圖，若一元二次方程ax2 bx mA.30有實(shí)數(shù)根，則B. 3 C.【答案】Bo【考點(diǎn)】拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)?！痉治觥慷佄锞€(xiàn)的開(kāi)口向上，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為-3,c b2rr 2 a >0,3,即 b2 12a。4a 一元二次方程 ax2 bx m 0有實(shí)數(shù)根， = b2 4am 0,即 12a 4am 0,即 12 4m 0,解得 m 3。m的最大值為3。故選Bo例3: (2012湖

35、北荊州12分)已知：y關(guān)于x的函數(shù)y=(k- 1) x2-2kx+k+2的圖象與x軸 有交點(diǎn)。(1)求k的取值范圍；(2)若x1, x2是函數(shù)圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且滿(mǎn)足(k- 1) x12+2kx2+k+2=4x1x2.求k的值；當(dāng)ka4+2時(shí)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象確定 y的最大值和最大值。【答案】 解：(1)當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù) y= - 2x+3,其圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)kwi時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，其圖象與x軸有一個(gè)或兩個(gè)交點(diǎn)，令 y=0 得(k- 1) x2- 2kx+k+2=0 . 二 (- 2k) 2- 4 (k 1) (k+2) >Q 解得 k<2,即 kW2且

36、 ki綜上所述，k的取值范圍是kwz(2).x1 次2,由(1)知 k<2 且 kwi。由題意得(k-1)刈2+ (k+2) =2kx1 (*),將(*)代入(k- 1) x12+2kx2+k+2=4x1x2 中得：2k (x1+x2) =4x1x2。又 “1+*2=，x1介里，2k?a=4?g2,k 1 k 1 k 1 k 1解得：k1= - 1, k2=2 (不合題意，舍去)。，所求k值為-1。如圖，= k1= - 1, y= - 2x2+2x+1= - 2 (x- 1 ) 2+3,且一1 士wi,22由圖象知：當(dāng)x=-1時(shí)，y最小=-3;當(dāng)x=1時(shí)，y最大=9。22.y的最大值為3

37、,最小值為-3。2【考點(diǎn)】拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，一次函數(shù)的定義， 一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)物關(guān)系，二次函數(shù)的最值?！痉治觥?1)分兩種情況討論，當(dāng) k=1時(shí)，可求出函數(shù)為一次函數(shù)，必與 x軸有一交點(diǎn)；當(dāng)kwi時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，若與x軸有交點(diǎn)，則 >Cb(2)根據(jù)(k- 1) xi2+2kx2+k+2=4xix2及根與系數(shù)的關(guān)系，建立關(guān)于k的方程，求出k的值。充分利用圖象，直接得出y的最大值和最小值。例4： (2012福建福州14分)如圖，已知拋物線(xiàn) y=ax2 + bx(aw0輕過(guò)A(3, 0)、B(4, 4) 兩點(diǎn)。(1)求拋物線(xiàn)的解析式;(2)將直線(xiàn)OB向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后

38、，得到的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)D,求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo);如圖，若點(diǎn)N在拋物線(xiàn)上，且/ NBO = /ABO,則在(2)的條件下，求出所有滿(mǎn)足解：(點(diǎn)P、0、D分別與點(diǎn)N、0、B對(duì)應(yīng))。D: 拋物線(xiàn) y=ax2 + bx(aw。羥過(guò)點(diǎn) A(3, 0)、B(4, 4).9a+3b=0 初/曰a=1,解得：。16a+ 4b = 4'b=- 3，拋物線(xiàn)的解析式是y= x2- 3x。(2)設(shè)直線(xiàn)OB的解析式為y=k1x,由點(diǎn)B(4,4),得：4= 4k1,解得 k1=1。直線(xiàn)OB的解析式為y=x。，直線(xiàn)0B向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為：y=x-mo.點(diǎn)D在拋物線(xiàn) y=x2- 3x上，可設(shè)

39、 D(x, x23x)。又點(diǎn) D 在直線(xiàn) y=xm 上，x23x =x m,即 x24x+m=0。,拋物線(xiàn)與直線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)， = 164m=0,解得：m=4o此時(shí) x = x2=2, y=x2 3x= -2oD 點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 2)。.直線(xiàn)OB的解析式為y=x,且A（3, 0）,，點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)是（0, 3）。設(shè)直線(xiàn)A'B的解析式為y=k2x+3,過(guò)點(diǎn)B（4, 4）,1 4k2+3=4,斛得：k2=4。 ,直線(xiàn)A'B的解析式是y=：x+ 3。4 . /NBO = /ABO, 點(diǎn) N 在直線(xiàn) A'B 上。1 設(shè)點(diǎn)N(n,a+3),又點(diǎn)N在拋

40、物線(xiàn)y=x2-3x±,13.4n+3=n2-3n,解得：ni=-n2=4（不合題意，會(huì)去）。點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3, 45）。4 16如圖，將ANOB沿x軸翻折，得到N1OB1,一 345則 N1（一7 ）, B1（4, 4）。.0、D、B1都在直線(xiàn)y=x上。 PQDs4 NOB, PQDs N1OB1。0P1=0N1。，點(diǎn)p1的坐標(biāo)為（-3, 284532將OP1D沿直線(xiàn)y=x翻折，可得另一個(gè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)綜上所述，點(diǎn)p的坐標(biāo)是（835）或（35, 3）?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，平移的性質(zhì)，一元次方程根的判別式，翻折對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可。（2）根據(jù)已知可求出 0B的解析式為y=x,則向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為:y= x m。由于拋物線(xiàn)與直線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，意味著聯(lián)立解析式后得到的一元二次方程，其根的判別式等于0,由此可求出 m的值和D點(diǎn)坐標(biāo)。（3）綜合利用幾何變換和相似關(guān)系求解：翻折變換，將 ANOB沿x軸翻折。（或用旋轉(zhuǎn)）求出P點(diǎn)坐標(biāo)之后，該點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn) y=-x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也滿(mǎn)足題意，