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1、1.3 算法案例算法案例 第二課時第二課時 知識探究(一)知識探究(一):輾轉(zhuǎn)相除法輾轉(zhuǎn)相除法思考思考1:18與與30的最大公約數(shù)是多少?你的最大公約數(shù)是多少?你是怎樣得到的?是怎樣得到的?知識探究(一)知識探究(一):輾轉(zhuǎn)相除法輾轉(zhuǎn)相除法思考思考1:18與與30的最大公約數(shù)是多少?你的最大公約數(shù)是多少?你是怎樣得到的?是怎樣得到的?先用兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除,先用兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除,一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止,然一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止,然后把所有的除數(shù)連乘起來即為最大公后把所有的除數(shù)連乘起來即為最大公約數(shù)約數(shù). 思考思考2: 對于對于8251與與6105這兩個數(shù),由于這兩
2、個數(shù),由于其公有的質(zhì)因數(shù)較大,利用上述方法求其公有的質(zhì)因數(shù)較大,利用上述方法求最大公約數(shù)就比較困難最大公約數(shù)就比較困難.注意到注意到8251=61051+2146,那么,那么8251與與6105這兩個數(shù)的公約數(shù)和這兩個數(shù)的公約數(shù)和6105與與2146的公約的公約數(shù)有什么關(guān)系?數(shù)有什么關(guān)系?思考思考3:又又6105=21462+1813,同理,同理,6105與與2146的公約數(shù)和的公約數(shù)和2146與與1813的公的公約數(shù)相等約數(shù)相等.重復(fù)上述操作,你能得到重復(fù)上述操作,你能得到8251與與6105這兩個數(shù)的最大公約數(shù)嗎?這兩個數(shù)的最大公約數(shù)嗎?8251=8251=610561051+1+2146
3、2146,思考思考3:又又6105=21462+1813,同理,同理,6105與與2146的公約數(shù)和的公約數(shù)和2146與與1813的公的公約數(shù)相等約數(shù)相等.重復(fù)上述操作,你能得到重復(fù)上述操作,你能得到8251與與6105這兩個數(shù)的最大公約數(shù)嗎?這兩個數(shù)的最大公約數(shù)嗎?8251=8251=610561051+1+21462146,61056105= =214621462+2+18131813,思考思考3:又又6105=21462+1813,同理,同理,6105與與2146的公約數(shù)和的公約數(shù)和2146與與1813的公的公約數(shù)相等約數(shù)相等.重復(fù)上述操作,你能得到重復(fù)上述操作,你能得到8251與與61
4、05這兩個數(shù)的最大公約數(shù)嗎?這兩個數(shù)的最大公約數(shù)嗎?21462146= =181318131+1+333333,8251=8251=610561051+1+21462146,61056105= =214621462+2+18131813,思考思考3:又又6105=21462+1813,同理,同理,6105與與2146的公約數(shù)和的公約數(shù)和2146與與1813的公的公約數(shù)相等約數(shù)相等.重復(fù)上述操作,你能得到重復(fù)上述操作,你能得到8251與與6105這兩個數(shù)的最大公約數(shù)嗎?這兩個數(shù)的最大公約數(shù)嗎?21462146= =181318131+1+333333,18131813= =3333335+5+1
5、48148,8251=8251=610561051+1+21462146,61056105= =214621462+2+18131813,思考思考3:又又6105=21462+1813,同理,同理,6105與與2146的公約數(shù)和的公約數(shù)和2146與與1813的公的公約數(shù)相等約數(shù)相等.重復(fù)上述操作,你能得到重復(fù)上述操作,你能得到8251與與6105這兩個數(shù)的最大公約數(shù)嗎?這兩個數(shù)的最大公約數(shù)嗎?21462146= =181318131+1+333333,333333= =1481482+2+3737,18131813= =3333335+5+148148,8251=8251=610561051+
6、1+21462146,61056105= =214621462+2+18131813,思考思考3:又又6105=21462+1813,同理,同理,6105與與2146的公約數(shù)和的公約數(shù)和2146與與1813的公的公約數(shù)相等約數(shù)相等.重復(fù)上述操作,你能得到重復(fù)上述操作,你能得到8251與與6105這兩個數(shù)的最大公約數(shù)嗎?這兩個數(shù)的最大公約數(shù)嗎?21462146= =181318131+1+333333,148148= =37374+0.4+0.333333= =1481482+2+3737,18131813= =3333335+5+148148,8251=8251=610561051+1+214
7、62146,61056105= =214621462+2+18131813,思考思考3:又又6105=21462+1813,同理,同理,6105與與2146的公約數(shù)和的公約數(shù)和2146與與1813的公的公約數(shù)相等約數(shù)相等.重復(fù)上述操作,你能得到重復(fù)上述操作,你能得到8251與與6105這兩個數(shù)的最大公約數(shù)嗎?這兩個數(shù)的最大公約數(shù)嗎?理論遷移理論遷移(1) 1515,600(2) 117,182例例1 用輾轉(zhuǎn)相除法求下列各數(shù)的最大用輾轉(zhuǎn)相除法求下列各數(shù)的最大公約數(shù)公約數(shù).理論遷移理論遷移(1) 1515,600(2) 117,182例例1 用輾轉(zhuǎn)相除法求下列各數(shù)的最大用輾轉(zhuǎn)相除法求下列各數(shù)的最大
8、公約數(shù)公約數(shù).答案答案:(1)15 (2)13例例2 求求325,130,270三個數(shù)的最大公約數(shù)三個數(shù)的最大公約數(shù). 例例2 求求325,130,270三個數(shù)的最大公約數(shù)三個數(shù)的最大公約數(shù). 因為因為325=1302+65,130=652,所所以以325與與130的最大公約數(shù)是的最大公約數(shù)是65.例例2 求求325,130,270三個數(shù)的最大公約數(shù)三個數(shù)的最大公約數(shù). 因為因為325=1302+65,130=652,所所以以325與與130的最大公約數(shù)是的最大公約數(shù)是65.因為因為270=654+10,65=106+5,10=52,所以所以65與與270最大公約數(shù)是最大公約數(shù)是5. 例例2
9、求求325,130,270三個數(shù)的最大公約數(shù)三個數(shù)的最大公約數(shù). 因為因為325=1302+65,130=652,所所以以325與與130的最大公約數(shù)是的最大公約數(shù)是65.因為因為270=654+10,65=106+5,10=52,所以所以65與與270最大公約數(shù)是最大公約數(shù)是5. 故故325,130,270三個數(shù)的最大公三個數(shù)的最大公約數(shù)是約數(shù)是5.知識探究(二)知識探究(二):更相減損術(shù)更相減損術(shù) 思考思考1:設(shè)兩個正整數(shù)設(shè)兩個正整數(shù)mn,若,若m-n=k,則則m與與n的最大公約數(shù)和的最大公約數(shù)和n與與k的最大公約的最大公約數(shù)相等數(shù)相等.反復(fù)利用這個原理,可求得反復(fù)利用這個原理,可求得98
10、與與63的最大公約數(shù)為多少?的最大公約數(shù)為多少?知識探究(二)知識探究(二):更相減損術(shù)更相減損術(shù) 98-63=3598-63=35,思考思考1:設(shè)兩個正整數(shù)設(shè)兩個正整數(shù)mn,若,若m-n=k,則則m與與n的最大公約數(shù)和的最大公約數(shù)和n與與k的最大公約的最大公約數(shù)相等數(shù)相等.反復(fù)利用這個原理,可求得反復(fù)利用這個原理,可求得98與與63的最大公約數(shù)為多少?的最大公約數(shù)為多少?知識探究(二)知識探究(二):更相減損術(shù)更相減損術(shù) 98-63=3598-63=35,63-35=2863-35=28,思考思考1:設(shè)兩個正整數(shù)設(shè)兩個正整數(shù)mn,若,若m-n=k,則則m與與n的最大公約數(shù)和的最大公約數(shù)和n與
11、與k的最大公約的最大公約數(shù)相等數(shù)相等.反復(fù)利用這個原理,可求得反復(fù)利用這個原理,可求得98與與63的最大公約數(shù)為多少?的最大公約數(shù)為多少?知識探究(二)知識探究(二):更相減損術(shù)更相減損術(shù) 98-63=3598-63=35,35-28=735-28=7,63-35=2863-35=28,思考思考1:設(shè)兩個正整數(shù)設(shè)兩個正整數(shù)mn,若,若m-n=k,則則m與與n的最大公約數(shù)和的最大公約數(shù)和n與與k的最大公約的最大公約數(shù)相等數(shù)相等.反復(fù)利用這個原理,可求得反復(fù)利用這個原理,可求得98與與63的最大公約數(shù)為多少?的最大公約數(shù)為多少?知識探究(二)知識探究(二):更相減損術(shù)更相減損術(shù) 98-63=359
12、8-63=35,28-7=2128-7=21,35-28=735-28=7,63-35=2863-35=28,思考思考1:設(shè)兩個正整數(shù)設(shè)兩個正整數(shù)mn,若,若m-n=k,則則m與與n的最大公約數(shù)和的最大公約數(shù)和n與與k的最大公約的最大公約數(shù)相等數(shù)相等.反復(fù)利用這個原理,可求得反復(fù)利用這個原理,可求得98與與63的最大公約數(shù)為多少?的最大公約數(shù)為多少?知識探究(二)知識探究(二):更相減損術(shù)更相減損術(shù) 98-63=3598-63=35,21-7=1421-7=14,28-7=2128-7=21,35-28=735-28=7,63-35=2863-35=28,思考思考1:設(shè)兩個正整數(shù)設(shè)兩個正整數(shù)m
13、n,若,若m-n=k,則則m與與n的最大公約數(shù)和的最大公約數(shù)和n與與k的最大公約的最大公約數(shù)相等數(shù)相等.反復(fù)利用這個原理,可求得反復(fù)利用這個原理,可求得98與與63的最大公約數(shù)為多少?的最大公約數(shù)為多少?知識探究(二)知識探究(二):更相減損術(shù)更相減損術(shù) 98-63=3598-63=35,14-7=7.14-7=7.21-7=1421-7=14,28-7=2128-7=21,35-28=735-28=7,63-35=2863-35=28,思考思考1:設(shè)兩個正整數(shù)設(shè)兩個正整數(shù)mn,若,若m-n=k,則則m與與n的最大公約數(shù)和的最大公約數(shù)和n與與k的最大公約的最大公約數(shù)相等數(shù)相等.反復(fù)利用這個原理,可求得反復(fù)利用這個原理,可求得98與與63的最大公約數(shù)為多少?的最大公約數(shù)為多少?“更相減損術(shù)更相減損術(shù)”在中國古代數(shù)學專著在中國古代數(shù)學
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