多元復(fù)合全微分

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程腳本編寫：王利平課件制作：王利平 第一章 多元函數(shù)微分學(xué)請點擊請點擊第五節(jié)第五節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)微分法多元復(fù)合函數(shù)微分法一. 全 導(dǎo) 數(shù)三.全微分形式不變性二.鏈導(dǎo)法則多元函數(shù)經(jīng)復(fù)合運算后, 一般仍是多元函數(shù), 但也可能成為一元函數(shù).按前面關(guān)于多元函數(shù)的討論方法, 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的研究可從復(fù)合后成為一元函數(shù)的情況開始.這就是全導(dǎo)數(shù)問題.一一. .全導(dǎo)數(shù)全導(dǎo)數(shù). dd ,cos ,sin , 22tztbytaxyxz求求設(shè)設(shè)tbatbtayxz2sin41)cos()sin(222222222cos2sin241 dd 22ttbatz故故tba4sin2122 下

2、面看另一種解法. 例例解解. dd ,cos ,sin , 22tztbytaxyxz求求設(shè)設(shè) 例例解解tyyztxxztzdddddd)sin(2cos 222tbyxtayxtba4sin2122zxyt+zxyttyyztxxztzdddddd, )(, )(, ),(221121txxtxxxxfztxxztxxztzdddddd221121ddiiitxxz )( ),( ),( 均可導(dǎo)，則設(shè)tyytxxyxfz將例中的情形進行一般性的描述將例中的情形進行一般性的描述 由此可推至一般的情況( (全導(dǎo)數(shù)公式全導(dǎo)數(shù)公式) ) ), 1 ( )( , ),( 1可可復(fù)復(fù)合合為為設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)

3、mixvvvfuiim . )(,),(1xxfum的點的點在相應(yīng)于在相應(yīng)于函數(shù)函數(shù)處可微處可微在點在點若若 ),( , )( 1xvvfxxmi處處在點在點則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)處可微處可微 )(,),( , ),(11xxxfuvvmm , 且可導(dǎo)miiixvvuxu1 . dddd 定理定理miiixvvuxu1 dddd ux1vmv2viv+( (全導(dǎo)數(shù)公式全導(dǎo)數(shù)公式) ) ), 1 ( )( , ),( 1可可復(fù)復(fù)合合為為設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)mixvvvfuiim . )(,),(1xxfum的點的點在相應(yīng)于在相應(yīng)于函數(shù)函數(shù)處可微處可微在點在點若若 ),( , )( 1xvvfxxmi處處在

4、點在點則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)處可微處可微 )(,),( , ),(11xxxfuvvmm , 且且可偏導(dǎo)可偏導(dǎo)miiixvvuxu1 . dddd 現(xiàn)在證明定理現(xiàn)在證明定理定理定理)()(xxxviii), 1(mi|)o(|1vvvuumiii從而從而xvxvvuxumiii|)o(|1由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)定義由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)定義, , 取取0 x的極限的極限: :xvxviidd 0|)o(| ？xv給給 x 以增量以增量, , 相應(yīng)地有相應(yīng)地有x證 ),( 1的可微性，有由mvvfu由由)(xvii可導(dǎo)可導(dǎo), , 故必連續(xù)故必連續(xù), , 從而從而0 x時時, , 定理獲證 xvvvxvxx|)

5、|o(lim)|o( lim00為什么取為什么取絕對值絕對值 ? ?221 |mvvv , 0 | , 0于于是是即即有有vvimiixvxvvv1200|lim|)o(|lim . 0設(shè)xxzsin, 求. ddxz令,yxz ,sin xy 則xyyzxzxzddddzxxy1yyxxxxycosln xxxxxxlncossinsin 例例解解設(shè)以下函數(shù)滿足定理的條件, ; )( , )( , ),(tyytxxyxfz; )( , )( , )( , ),(tzztyytxxzyxfu寫出二元和三元函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)公式:. )( , )( , ),(xzzxyyzyxfu 請同學(xué)自己寫 例

6、例; )( , )( , ),(tyytxxyxfztyyztxxztz d d d d d dzxyt; )( , )( , )( , ),(tzztyytxxzyxfutzzutyyutxxutu d d d d d d d duxyzt. )( , )( , ),(xzzxyyzyxfuxzzuxyyuxuxu d d d d d duxyzx 你做對了嗎 ?二二. .鏈導(dǎo)法則鏈導(dǎo)法則 假設(shè)所有出現(xiàn)的函數(shù)求導(dǎo)運算均成立假設(shè)所有出現(xiàn)的函數(shù)求導(dǎo)運算均成立, , 試想一下如何求下面函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：試想一下如何求下面函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：, ),(wvufz . ),( , ),( , ),(yxwwyxvv

7、yxuu ),( ),( ),( yxwyxvyxufz . , yzxz求zuvwxy 將 y 看成常數(shù)xzxuuzxvvzxwwzyzyuuzyvvzywwz 將 x 看成常數(shù) 分別將 x , y 看成常數(shù), 按全導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo), 而在具體運算時, 實質(zhì)上又是求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù). 從上面的作法可以看出, 將復(fù)合的多元函求函數(shù)偏導(dǎo)數(shù).全導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo), 在具體求導(dǎo)過程中實質(zhì)上是數(shù)中其余的變量看成常數(shù), 對某一個變量運用你能由此得出多元復(fù)合函數(shù) 的求導(dǎo)法則嗎 ?定理設(shè)),(1niixxv), 2, 1(mi在點對應(yīng)點),(1mvv 可微, 則復(fù)合函數(shù)),(,),(111nmnxxxxfu在點),(

8、1nxx 處可導(dǎo), 且jxu), 2, 1(njmijiixvvu1),(1nxx 處均可導(dǎo), 且),(1mvvfu在 m 個 n 元函數(shù) 一個 m 元函數(shù) 一個 n 元函數(shù)定理設(shè)),(1niixxv), 2, 1(mi在點對應(yīng)點),(1mvv 可微, 則復(fù)合函數(shù)),(,),(111nmnxxxxfu在點),(1nxx 處可導(dǎo), 且jxu), 2, 1(njmijiixvvu1),(1nxx 處均可導(dǎo), 且),(1mvvfu在 m 個 n 元函數(shù) 一個 m 元函數(shù) 一個 n 元函數(shù)該定理可視為全導(dǎo)數(shù)定理的推廣:看成常數(shù),運用全導(dǎo)數(shù)公式,將求導(dǎo)記號作相應(yīng)改變即可證明該定理.將諸) ( jkxk設(shè)

9、, ),(yxufz ),(yxuu 滿足定理的條件, 則有), ),(yxyxufz zuxyxyxzxuuzxfxuufxzyzyuuzyfyuufyz 例例zuvxy設(shè),sinvezu,22yxu , yxv求,xz.yzxzxuuzxvvz22sinxyveu1cos veu) )cos()sin(2(222yxyxxyeyx 例例解解zuvxy設(shè),sinvezu,22yxu , yxv求,xz.yzyzyuuzyvvzyxveu22sin) 1(cosveu) )cos()sin(2(222yxyxyxeyx 例例解解設(shè)xytteyxF0d),(3)0,0(yx求,xF.yF令,xy

10、u 則utteuF0d)(3uFxyxuuFxFddxyyeu23xyexy3)(21yuuFyFddxyxeu23yxexy3)(21關(guān)于 u 的 一元函數(shù) 例例解解設(shè), ),(22xyeyxfz求。xzzxy12xyxfxz)(221212fyefxxyxefxy)(2yz 2 21fexfyyzxy 自己做 例例解解設(shè), )cos,(22xyyxfz,cosrx ,sinry 其中,1Cf 求。rz令,22yxu,cosxyv 則, ),(vufz zuvyxrrzryyuuzrxxuuzryyvvzrxxvvzuzyx)sincos(2vzxyxysin)sincos( 例例解解設(shè)函數(shù)

11、, ),(vuxfz , ),(uyxv),(yxgu 均可微, 求,xz.yzzxuvxyxyuxyg gxz uf xgvfxxgu xf 例例解解設(shè)函數(shù), ),(vuxfz , ),(uyxv),(yxgu 均可微, 求,xz.yzzxuvxyxyuxyg gyz uf ygvfyygu 例例解解記得嗎? 一元函數(shù)的微分有一個重要性質(zhì)： 一階微分形式不變性一階微分形式不變性對函數(shù))(ufy 不論 u 是自變量還是中間變量, 在可微的條件下, 均有 d)(d uufy三三. .全微分形式不變性全微分形式不變性對二元函數(shù)),(yxfz 來說,在可微的條件下, f 的全微分總可寫為：zdxxzdyyzd 不論 x 和 y 是自變量還是中間變量, 詳細的推導(dǎo)過程請同學(xué)自己看書.設(shè), ),(1nxxfu不論ix是自變量還是中間變量, 在可微的條件下, 均有iniixxuudd1一般說來: 設(shè),sinvezu,xyu ,yxv應(yīng)用全微分形式不變性求，xz。yzvvzuuzzddd)dd(sinyxxyveuxyxyxyexyd)cos()sin(yyxyxxexyd)cos()sin()d(dcosyxveu與yyzxxzz