拋物線及其標準方程教學導案(理科)

1、拋物線及其標準方程教案科作者:日期:拋物線及其標準方程教案理科適用學科高中數(shù)學適用年級高中二年級適用區(qū)域通用課時時長分鐘60知識點拋物線的定義、拋物線的標準方程及相關(guān)運算教學目標1 理解拋物線定義及其限制條件；理解拋物線標準方程的推導；理解拋物線標準方程中p的意義；2 掌握拋物線定義；掌握求拋物線標準方程的方法；3 培養(yǎng)應(yīng)用代數(shù)知識進行代數(shù)式的同解變形能力和化簡能力.教學重點拋物線的定義、拋物線的標準方程、坐標化的根本思想教學難點拋物線標準方程的推導與化簡，坐標法的應(yīng)用教學過程一、課堂導入在初中，我們學習了二次函數(shù)y ax2 bx c ,知道二次函數(shù)的圖象是一條拋物線,例如：1y4x2，y 4

2、x2的圖象如下列圖：那么，什么樣的曲線是拋物線，它具有怎樣的幾何特征？它的方程是什么呢？這就是我們今天要研究的內(nèi)容二、復習預(yù)習我們知道，與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)e的點的軌跡，當0 v e v1時是橢圓，當e> 1時是雙曲線那么，當e= 1時它是什么曲線呢？把一根直尺固定在圖板上直線I的位置如下列圖把一塊三角尺的一條直角邊緊靠著直尺的邊緣，再把一條細繩的 一端固定在三角尺的另一條直角邊的一點 A,取繩長等于點A到直角頂點C的長即點A到直線I的距離，并且把繩子 的另一端固定在圖板上的一點 F 用鉛筆尖扣著繩子，使點 A到筆尖的一段繩子緊靠著三角尺，然后將三角尺沿著直尺 上

3、下滑動，筆尖就在圖板上描出了一條曲線.從圖中可以看出，這條曲線上任意一點 P到F的距離與它到直線I的距離相等把圖板繞點F旋轉(zhuǎn)90°，曲線就是 初中見過的拋物線.平面內(nèi)與一個定點 F和一條定直線I的距離相等的點的軌跡叫做 拋物線點F叫做拋物線的焦點，直線I叫做拋物 線的準線三、知識講解拋物線的標準方程及準線方程F面根據(jù)拋物線的定義，我們來求拋物線的方程.如下列圖，建立直角坐標系xOy,使x軸經(jīng)過點F且垂直于直線I，垂足為K，并使原點與線段KF的中點重合.設(shè)| KF | pp 0，那么焦點F的坐標為號,0，準線方程是x 號.設(shè)點Mx, y是拋物線上任意一點，點 M到I的距 離為d由拋物線

4、的定義，拋物線就是集合 P= M|MF|=d .MF|=Jx 子2 y2d |x 號1,Jx £2 y2 ix fl將上式兩邊平方并化簡，得y2 2pxp 0方程叫做拋物線的標準方程它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，坐標是衛(wèi),0，它的準線方程是x 衛(wèi).2 2一條拋物線，由于它在坐標平面內(nèi)的位置不同，方程也不同.所以拋物線的標準方程還有其他幾種形式：y22px ,，x2 2py， x22py .這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程列表如下：圖形標準方程焦點坐標準線方程y 4 py 22 px(P 0)P ,0x衛(wèi)2fl1y2 2px(P 0)號，ox衛(wèi)2Vf丿o*x

5、22 py(P0)0，子Py27X22 py(p 0)(Qf)y 2對表格的說明：方便學生掌握統(tǒng)觀四種情況1pp 0表示焦點F到準線I的距離；2 拋物線標準方程，左邊為二次，右邊為一次。假設(shè)一次項是x,那么對稱軸為x軸，焦點在x軸上；假設(shè)一次項是y, 那么對稱軸為y軸，焦點在y軸上；對稱軸看一次項3 標準方程中一次項前面的系數(shù)為正數(shù)，那么開口方向坐標軸正方向；假設(shè)一次項前面的系數(shù)為負數(shù)，那么開口方向為坐標軸負方向；符號決定開口方向四、例題精析例1(1)拋物線的標準方程是y2 6x，求它的焦點坐標和準線方程;(2)拋物線的焦點是F 0, 2，求它的標準方程.33【標準解答】解：(1)因為p 3，

6、所以拋物線的焦點坐標為 |,0 ，準線方程為x |(2)因為拋物線的焦點在y軸上，所以拋物線方程為x28y .【總結(jié)與反思】p的值得到焦點坐標和準線方程。(1)先看清一次項，判定對稱軸與焦點所在位置，畫草圖，再求出 (2)先判定出焦點在y軸上，從而得到一次項為y，再求出p的值進而寫出方程.例2指出拋物線的焦點坐標、準線方程.(1 ) x2 4y2(2) x ay (a 0)【標準解答】解：1 p 2，二焦點坐標是0 , 1,準線方程是：y 1【總結(jié)與反思】2原拋物線方程為：y2丄x，a2p當a 0時，P 丄，拋物線開口向右,2 4a1焦點坐標是一 ,0，準線方程是：x4a14a當a 0時，舟&

7、#163;，拋物線開口向左,1焦點坐標是一 ,0，準線方程是：x4a14a綜合上述，當a 0時，拋物線x ay2的焦點坐標為丄,0，準線方程是:4a14a1先根據(jù)拋物線方程確定拋物線是四種中哪一種，求出p，再寫出焦點坐標和準線方程.2先把方程化為標準方程形式，再對 a進行討論，確定是哪一種后，求 p及焦點坐標與準線方程.例3假設(shè)直線ykx 2與拋物線y2 8x交于A、B兩點，且AB中點的橫坐標為2,求此直線方程.【標準解答】解法一：設(shè)A(Xi,yJ、B(x2,y2)，那么由:y kx 2y2 8x可得：幾2(4k 8)x 40 直線與拋物線相交,AB中點橫坐標為:x-i x2 4k 82k22

8、，解得：k1 (舍去).故所求直線方程為:解法二：設(shè) A(Xi, yi)、2B(x2,y2)，那么有 y128x1 y28x2.兩式作差解：(y2)(yi y2) 8(人 x?)，即力y2x1x28yiy2X1 X24y1y2 kx12 kx22 k(x1 x2) 44k 4 ,2或k 1 (舍去).貝U所求直線方程為：y2x 2 .【總結(jié)與反思】由直線與拋物線相交利用韋達定理列出 k的方程求解.另由于與直線斜率及弦中點坐標有關(guān)，故也可利用“作差法求k.例4求證：以拋物線的焦點弦為直徑的圓心與拋物線的準線相切【標準解答】證明:(如下列圖) 作AAi l于A,BB l于Bi . M為AB中點，作

9、MM il 于 Mi ,那么由拋物線的定義可知：|aa| |af,bBi bf在直角梯形BBAA中：1 1 1|MMi| 2(AAi| |BBi)2(AF |BF|)1MMi - AB，故以AB為直徑的圓，必與拋物線的準線相切.2【反思與總結(jié)】類似有：以橢圓焦點弦為直徑的圓與相對應(yīng)的準線相離，以雙曲線焦點弦為直徑的圓與相應(yīng)的準線相交.可設(shè)拋物線方程為y22px(p 0).只須證明£mm-，那么以AB為直徑的圓，必與拋物線準線相切.五、課堂運用【根底】1、如圖過拋物線y2 2pxp那么A'FB'為，A 大于等于900的焦點F作弦AB , l為準線，過A、B作I的垂線，垂

10、足分別為A'、B',AF'B 為.B 小于等于90C.等于90 D.不確定 a'fb' 90 .選 C.過AB中點M作MM '1那么 MM '-(AA' BB')l，垂中為M',11-(AF BF )-|AB22【答案】C、B【標準解答】解：點A在拋物線上，由拋物線定義，那么|aa|AF1 2，又AA'/x軸13 .二 23，同理46，而2364180，二 36 90，'.以AB為直徑的圓與直線I相切，切點為M 又F'在圓的外部，二 AFB 90 .特別地，當AB x軸時，M'與F&

11、#39;重合， AF'B 90 .即 AF'B 90，選B.PM PF取最小值時,2、點M(3,2) , F為拋物線y2 2x的焦點，點P在該拋物線上移動,點P的坐標為【答案】2,2【標準解答】解：如圖,由定義知PF| |PE，故PM| I PFPF1 PM ME MN 3 2取等號時，M、P、E三點共線，二P點縱坐標為2,代入方程，求出其橫坐標為2,所以P點坐標為2,2.3、定直線I及定點A A不在I上，n為過A且垂直于I的直線，設(shè)N為I上任一點，AN的垂直平分線交n于B, 點B關(guān)于AN的對稱點為P,求證P的軌跡為拋物線.【標準解答】證明：如下圖，連結(jié) PA、PN、NB.由條

12、件可知：PB垂直平分NA,且B關(guān)于AN的對稱點為P. AN也垂直平分PB.貝U四邊形PABN為菱形.即有PA PN .AB I. PN I.那么P點符合拋物線上點的條件：到定點 A的距離與到定直線的距離相等，所以 P點的軌跡為拋物線.4、假設(shè)線段RP2為拋物線C: y2 2px(p 0)的一條焦點弦，F(xiàn)為C的焦點，求證：2P2FpRF【標準解答】證明一：F才,0，假設(shè)過F的直線即線段RP2所在直線斜率不存在時,那么有 PiFRFp,假設(shè)線段RF2所在直線斜率存在時，設(shè)為k,那么此直線為:0)，且設(shè) P(Xi,yJ,F2(X2,y2).k(x 號)2得得 k(x p2k2x2 p(k22)xk2

13、pXiX22P(k 2)k24根據(jù)拋物線定義有:PiFXiP2FXiPiP2XiX2 p那么RFP2F Xi X2pXi x?p、|RF|P2F|rf|p2f|/p、p、pp2I1 II2 II1 I2 I(Xi-)(X2-)X1X2-(Xi X2)2 2 2 4112請將代入并化簡得：11 -|PF|P2F| p證明二：如下圖，設(shè)R、P、F點在C的準線I上的射影分別是R、P2、F，且不妨設(shè)IP2P2 n m PP，又設(shè)P2點在FF、RR上的射影分別是A、B點，由拋物線定義知，P2Fn, P1F m, FF p又 RAF s P2BP1，AFP2FBP1P2Pp(m n) 2mn1 1 2Ir

14、iif1 FfH-r» 17故原命題成立.【穩(wěn)固】 1、設(shè)拋物線方程為y2 2px(p 0)，過焦點F的弦AB的傾斜角為，求證：焦點弦長為ABsinpy tan (x )2【標準解答】證明一：拋物線y2 2px(p 0)的焦點為(-P,0)，過焦點的弦AB所在的直線方程為：2由方程組 y 上*門(X 2)消去 y 得: 4x2 tan24p(tan2 ) p2tan20y2 2pxXi那么X2p(tan22)“ 小 2、嚴p(1 2 cot )設(shè) A(x1,y1), B(X2,y2)，2 an又 yy tan (N X2)XiX2p4X2x1/VABX2XI4X2x1/V2P- 4拋

15、物線定義有:I2222十 sec 4p cot (1 cot )廠4p . 4 sin2p.2sin即 AB|2P-sin證明二：如下圖，分別作AA、BR垂直于準線I.由af| |aa| |af cos pBFBBi p BF| cos于是可得出：|AF- BF-1 cos1 cos|ab| |af bfp_p_1 cos 1 cos 2p21 cos2p2sin故原命題成立.2、定長為3的線段AB的端點A、B在拋物線y2 x上移動，求AB的中點到y(tǒng)軸的距離的最小值，并求出此時 AB中點的坐標.【標準解答】解：如圖，設(shè)F是y2x的焦點,A、B兩點到準線的垂線分別是 AC、BD，又M到準線的垂線

16、為MN，C、D和N是垂足，那么 MN1AC BD 1AF |BF g|AB 3 .1315設(shè)M點的橫坐標為x，縱坐標為y，MN | x -，那么x -.42 4 4等式成立的條件是AB過點F .當 x 一時，y-y24P24，故yi y222 2yiy22y-y22x -2525yi y22， y所以m5,牙，此時M到y(tǒng)軸的距離的最小值為4 .uXTN6C【拔高】 1、過拋物線y 2px的焦點F作傾斜角為 的直線，交拋物線于A、B兩點，求AB的最小值.【標準解答】解：1 假設(shè)3,此時 AB*2p .'，因有兩交點，所以2AB: ytanX 自，即 代入拋物線方程，有ytan2 2py

17、y ptan故(y2 %)2tan2 2 24p 4p csc(X2 Xi )2S %)2ta n22 / 2 csc 4p 2 tan故AB4 p2csc2(11tan2)4p24CSC2p2 sin綜合(1 )( 2 )，當所以AB2p .因I，所以這里不能取“=時2時,AB最小值 2 p .2、圓錐曲線C經(jīng)過定點P(3,2J3)，它的一個焦點為F (1 , 0),對應(yīng)于該焦點的準線為x 1，過焦點F任意作曲 線C的弦AB,假設(shè)弦AB的長度不超過8,且直線AB與橢圓3x2 2y22相交于不同的兩點，求：(1) AB的傾斜角 的取值范圍.(2) 設(shè)直線AB與橢圓相交于C、D兩點，求CD中點M

18、的軌跡方程.【標準解答】解：1 由得|PF| 4 故P到x 1的距離d 4，從而| PF| d曲線C是拋物線，其方程為y2*4x 設(shè)直線AB的斜率為k,假設(shè)k不存在，那么直線AB與3x2 2y2 2無交點.'k存在.設(shè)AB的方程為yk(x 1)，由4xk(x 1)可得:ky2 4y 4k4設(shè)A、B坐標分別為咅，、X2, y?，貝U：力史W y 4 kAB f1 右 y22 k 7y2)2 4y2k4(1 k2)k2弦AB的長度不超過8,4(1 k2)8 即 k2 1y k(x 1)2222由 22 得：(2k3)x 4k x 2(k1)3x 2yAB與橢圓相交于不同的兩點，k2由k21和k23可得：1 k i.3或31.故1，二所求的取值范圍是:(2)設(shè) CD 中點 M (x, y)、eg y3)、D(x4,y4)y3x2k(x 1)2y2得:(2k22 2 23)x 4k x 2(k1)X3X42k2, X3 花3xX3X42k222k2 3x132k231k23522k239那么25112k22 22即23354k22x322(