數(shù)學(xué)建模題目及答案

1、放不穩(wěn)，然后稍微挪動(dòng)幾15 分故f( )g( ) =0必成立09級(jí)數(shù)模試題1. 把四只腳的連線呈長(zhǎng)方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地,次，就可以使四只腳同時(shí)著地，放穩(wěn)了。試作合理的假設(shè)并建立數(shù)學(xué)模型說(shuō)明這個(gè)現(xiàn)象。 解：對(duì)于此題，如果不用任何假設(shè)很難證明，結(jié)果很可能是否認(rèn)的。因此對(duì)這個(gè)問(wèn)題我們假設(shè) ：1地面為連續(xù)曲面2長(zhǎng)方形桌的四條腿長(zhǎng)度相同3相對(duì)于地面的彎曲程度而言，方桌的腿是足夠長(zhǎng)的4方桌的腿只要有一點(diǎn)接觸地面就算著地。那么，總可以讓桌子的三條腿是同時(shí)接觸到地面?，F(xiàn)在，我們來(lái)證明：如果上述假設(shè)條件成立，那么答案是肯定的。以長(zhǎng)方桌的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)作直角 坐標(biāo)系如下列圖，方桌的四條

2、腿分別在 A、B、C、D處，A、B,C、D的 初始位置在與x軸平行，再假設(shè)有一條在x軸上的線ab,那么ab也與 A B, C、D平行。當(dāng)方桌繞中心 0旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)角線ab與x軸的夾 角記為 。容易看岀，當(dāng)四條腿尚未全部著地時(shí)，腿到地面的距離是不確定的。為消除這一不確定性，令f()為A、B離地距離之和,g()為CD離地距離之和，它們的值由唯一確定。由假設(shè)1,f ( ), g()均為 的連續(xù)函數(shù)。又由假設(shè)3，三條腿總能同時(shí)著地,不妨設(shè)f (0) 0, g(0) 0g假設(shè)g(0)也為o,那么初始時(shí)刻已四條腿著地，不必再旋轉(zhuǎn)，于是問(wèn)題歸結(jié)為： f( ), g()均為 的連續(xù)函數(shù),f (0) 0, g(0

3、)0且對(duì)任意 有f( 0)g( 0) 0，求證存在某一 °，使 f ( 0)g( 0)0證明：當(dāng)b =n時(shí)，AB與CD互換位置，故f( )0, g( )0。作h( ) f( ) g()，顯然，h()也是 的連續(xù)函數(shù)，h(0) f (0)g(0)0而h( ) f( ) g( )0，由連續(xù)函數(shù)的取零值定理，存在0 , 00 ，使得h( 0) 0，即f( 0) g( 0)。又由于f( 0)g( 0) 0，故必有f ( 0) g ( 0)0，證畢。2. 學(xué)校共1000名學(xué)生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。學(xué)生 們要組織一個(gè)10 人的委員會(huì)，試用合理的方法分配各宿

4、舍的委員數(shù)。15分解：按各宿舍人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比列分配各宿舍的委員數(shù)。設(shè)：A宿舍的委員數(shù)為x人，B宿舍的委員數(shù)為y人，C宿舍的委員數(shù)為z人。計(jì)算岀人數(shù)小數(shù)點(diǎn)后面的小數(shù)局部最大的整數(shù)進(jìn)1,其余取整數(shù)局部。那么X+y+z=10 ;x/10=235/1000y/10=333/1000z/10=432/1000,x,y,z 為正整數(shù);y=3z=43. 一飼養(yǎng)場(chǎng)每天投入 5元資金用于飼料、設(shè)備、人力，估計(jì)可使一頭80公斤重的生豬每天增加2公斤目前生豬出售的市場(chǎng)價(jià)格為每公斤8元，但是預(yù)測(cè)每天會(huì)降低0.1元，問(wèn)該場(chǎng)應(yīng)該什么時(shí)候出售這樣的生豬可以獲得最大利潤(rùn)。15分解：設(shè)在第t天出售這樣的生豬初始重 80公斤的

5、豬可以獲得的利潤(rùn)為z元。每頭豬投入：5t元產(chǎn)出：8-0.1t 80+2t 丨元利潤(rùn)：Z = 5t + 8-0.1t 80+2t=-0.2 tA2 + 13t +640=-0.2tA2-65t+4225/4 +3405/4當(dāng) t=32 或 t=33 時(shí)，Zmax=851.25(元)因此，應(yīng)該在第32天過(guò)后賣出這樣的生豬，可以獲得最大利潤(rùn)。4. 一奶制品加工廠用牛奶生產(chǎn) A1, A2兩種奶制品，1桶牛奶可以在設(shè)備甲上用 12小時(shí)加工成3公斤A1, 或者在設(shè)備乙上用8小時(shí)加工成4公斤A2。根據(jù)市場(chǎng)需求，生產(chǎn)的 A1, A2全部能售出，且每公斤 A1獲利 24元，每公斤A2獲利16元?，F(xiàn)在加工廠每天能

6、得到 50桶牛奶的供應(yīng)，每天工人總的勞動(dòng)時(shí)間為480小時(shí)，并且設(shè)備甲每天至多能加工100公斤A1,設(shè)備乙的加工能力沒(méi)有限制。1試為該廠制訂一個(gè)生產(chǎn)計(jì)劃，使每天獲利最大。233元可買到1桶牛奶，買嗎？ 3假設(shè)買，每天最多買多少 ？4可聘用臨 時(shí)工人，付出的工資最多是每小時(shí)幾元？ (5)A1的獲利增加到30元/公斤，應(yīng)否改變生產(chǎn)方案？15分(1)解：設(shè)：每天生產(chǎn)將x桶牛奶加工成A1, y桶牛奶加工成A2,所獲得的收益為Z元。加工每桶牛奶的信息表產(chǎn)品A1A2所需時(shí)間12小時(shí)8小時(shí)產(chǎn)量3公斤4公斤獲利/公斤24元16元x+y<=5012 x8y48003x100y 0Z=24*3x + 16*4

7、y=72x+64yg - jriit max 72x+64y stX+U<5B 12x+By<U80 3x<1O0end韁 pert? Window 'LP OPTIMUMFOUND AT STEP2OBJECTIUE FUNCTIOM UALUE3360.oaoVARIABLEUALUEREDUCED COSTX20.0000000,000000V30.000000Qi. BoaaoaR02SLACK OR SURPLUSDUAL PRICES2)0ODOOOO3>2. mood4)000000Q.000000MO. ITERATIONS=2RnriGES i

8、n1 CH THE BASIS ISUNGHftHGEl>:OBJCOEFFICrEHT RANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLQUA8LECOEFINCREASEDECREfiSEX72.0SDODOz期.ooaaoa8-800000V64.000000S,00000016.000000RlCnTHftND SIDE RANGESnouCURRENT口 LLOIJ 角 RLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE25a.09090019-OO0O0S6-6666673489.000000&3-S93392S8-60BBOB4100.

9、090(100INFINITEIl 0.60D68G解得， 當(dāng) x=20 , y=30 時(shí)，Zmax=3360 元那么此時(shí)，生產(chǎn)生產(chǎn)方案為 20桶牛奶生產(chǎn)A1, 30桶牛奶生產(chǎn)A2。2設(shè)：純利潤(rùn)為W元。W=Z-33*(x+y)=39x+31y=3360-33*50=1710( 元)>0貝U,牛奶33元/桶可以買。(3) 假設(shè)不限定牛奶的供應(yīng)量，那么其優(yōu)化條件變?yōu)?12x 8 y48003x100y 0W=39x+31y<urrit3t12x+8y<>j8 0 3x<1 00end陶 7亡!口rt安 i.VnCdwLP OPTIMUMFOUND ft! STEP1O

10、BJECT IUE FUNCI ION UALIJE1)1860,000UARIAQLEVALUEREDUCED COSTXo.aaaooaVo.eaiiaaaQ.ooatoaROUSLACK OR SURPLUSDUAL PRICES2)O.000OSO時(shí)146,900009ND ITERATIONS-1RRhGES IMVHICH THEISIJNCHRNGED：OBJCOEFFICIENT RANGESUARIABLECURRENTALLOWABLEALLD孫加LECOEFINCREASEDEGREASE科39.0601007.500000INFINITEVai.coooooINFINI

11、TY5.009901RIGHTHAND SIDE RANGESROUCURRENTALLOUABLEALLOIMBLERUMINCREASEDECREASE2usu.fioflfioaIHFIHITVMQ.0OO90Q3loe.tiooooo1NF1N1TVMMM解得，當(dāng) x=0， y=60 時(shí)，Wmax=1860元那么最多購(gòu)置60桶牛奶。(4) 假設(shè)將全部的利潤(rùn)用來(lái)支付工人工資，設(shè)工資最高為n元n=Wmax/480=3.875元(5) 假設(shè)A1的獲利為30元，那么其優(yōu)化條件不變。Z1=90x+64y曙 untitled >l2«*8y<4B6gnd喟 Reports W

12、indojvLP OPTlMUh FOUND ft! S1EPOBJECT1UE FUNCTION UAL0UEREDUCED COST6.900000UhREARLE 斗9840.901UALULG. saeoao60.91900ROUSLACKSURPLUSDUAL PfilCES2)0.4190013)100.000000o. ootmNO. ITEfifiTI0N5=BRftMGES ItiVH1CH THE BASIS ISUNCHANGED；OBJCOE阡IGIEHT RANGESUARinBLECURRENTALLOWABLEALLOllftBLE£OEFINCREAS

13、EDEGRERSE90. O(180HQA.oaamIHFINIT?¥6000100INFINITYU,006000RIGHTHAND SIDE RANGES»0UCURRENTALLOWABLEftLLOBLERH£INCREASEDECREASE2i«S£l. OOOOCUIHFIHITYMSO.0000603ics.ooaooaINFINITV190.300068解得， 當(dāng) x=0， y=60 時(shí)，Z1max=3840元因此，不必改變生產(chǎn)方案。5.在冷卻過(guò)程中，物體的溫度在任何時(shí)刻變化的速率大致正比于它的溫度與周圍介質(zhì)溫度之差，這一結(jié)論稱

14、為牛頓冷卻定律，該定律同樣用于加熱過(guò)程。一個(gè)煮硬了的雞蛋有98C，將它放在18C的水池里，5分鐘后，雞蛋的溫度為38 'C,假定沒(méi)有感到水變熱，問(wèn)雞蛋到達(dá) 20 C，還需多長(zhǎng)時(shí)間？ 15分解：題意沒(méi)有感到水變熱，即池水中水溫不變。設(shè)：雞蛋的溫度為T,溫度變化率就是dT/dt其中t為時(shí)間，水的溫度為 T1，那么雞蛋與水溫差為 T-T1 由題意有：T- T仁kdT/dt (其中k為比例常數(shù))方程 化為 ：dt=kdT/ T- T1 2對(duì)2兩邊同時(shí)積分之后并整理一下就得到：t=k*ln T- T1+C貝U k*ln 98-18+ C=05=k*ln 38-18+ck5ln20ln80t1=k

15、*ln(20-18)+c-k*ln(38-18)+c= min所以，還需min。6. 報(bào)童每天清晨從報(bào)社購(gòu)進(jìn)報(bào)紙零售，晚上將沒(méi)有賣完的報(bào)紙退回。設(shè)每份報(bào)紙的購(gòu)進(jìn)價(jià)為，零售價(jià)為， 退回價(jià)為，應(yīng)該自然地假設(shè)。這就是說(shuō)，報(bào)童售出一份報(bào)紙賺，退回一份報(bào)紙賠。報(bào)童如果每天購(gòu)進(jìn)的報(bào) 紙?zhí)?，不夠賣的，會(huì)少賺錢；如果購(gòu)進(jìn)太多，賣不完，將要賠錢。請(qǐng)你為報(bào)童籌劃一下，他應(yīng)該如何確 定每天購(gòu)進(jìn)報(bào)紙的數(shù)量，以獲得最大的收入。15分解：設(shè)：報(bào)紙具有時(shí)效性每份報(bào)紙進(jìn)價(jià)b元，賣出價(jià)a元，賣不完退回份報(bào)紙 c元。設(shè)每日的訂購(gòu)量為 n，如果訂購(gòu)的多了，報(bào)紙剩下會(huì)造成浪費(fèi)，甚至陪錢。訂的少了，報(bào)紙不夠賣，又會(huì)少賺錢。為了獲得最

16、大效 益，現(xiàn)在要確定最優(yōu)訂購(gòu)量n。n的意義。n是每天購(gòu)進(jìn)報(bào)紙的數(shù)量，確定n方面可以使報(bào)童長(zhǎng)期以內(nèi)擁有一個(gè)穩(wěn)定的收入，另一方面也可以讓報(bào)社確定每日的印刷量，防止紙張浪費(fèi)。所以，筆者認(rèn)為n的意義是雙重的。此題就是讓我們根據(jù)a、b、c及r來(lái)確定每日進(jìn)購(gòu)數(shù) n。根本假設(shè)1、 假設(shè)報(bào)童現(xiàn)在要與報(bào)社簽定一個(gè)長(zhǎng)期的訂購(gòu)合同，所以要確定每日的訂購(gòu)量n。2、 假設(shè)報(bào)紙每日的需求量是r，但報(bào)童是一個(gè)初次涉足賣報(bào)行業(yè)的菜鳥，毫無(wú)經(jīng)驗(yàn)，無(wú)法掌握需求 量r的分布函數(shù)，只知道每份報(bào)紙的進(jìn)價(jià) b、售價(jià)a及退回價(jià)c。3、假設(shè)每日的定購(gòu)量是 n。4、報(bào)童的目的是盡可能的多賺錢。建立模型應(yīng)該根據(jù)需求量r確定需求量n,而需求量r是

17、隨機(jī)的，所以這是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題。而報(bào)童卻因?yàn)樽陨淼木窒?，無(wú)法掌握每日需求量的分布規(guī)律，已確定優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)。但是要得到n值，我們可以從賣報(bào)紙的結(jié)果入手，結(jié)合r與n的量化關(guān)系，從實(shí)際出發(fā)最終確定n值。由常識(shí)可以知道賣報(bào)紙只有賺錢、不賺錢不賠錢、賠錢會(huì)有三種結(jié)果。現(xiàn)在用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)式表示這 三種結(jié)果。1、賺錢。賺錢又可分為兩種情況：r>n，那么最終收益為(a-b)n(1)r<n，那么最終收益為(a-b)r-(b-c)(n-r)>0整理得：r/n>(b-c)/(a-c)(2)2、由(2)式容易得出不賺錢不賠錢。r/n=(b-c)/(a-c)3、賠錢。模型的求解首先由 (1

18、) 式可以看出 n 與最終的收益呈正相關(guān)。收益越多， n 的取值越大。但同時(shí)訂購(gòu)量 n 又由需 求量 r 約束，不可能無(wú)限的增大。所以求 n 問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成研究 r 與 n 的之間的約束關(guān)系。然后分析 (3) 、(4) 兩式。因?yàn)?(3) 、(4) 分別代表不賺錢不賠錢及賠錢兩種情況，而我們確定 n 值是 為了獲得最大收益，所以可以預(yù)見(jiàn)由 (3) 、(4) 兩式確立出的 n 值不是我們需要的結(jié)果，所以在這里可以排 除，不予以討論。最后重點(diǎn)分析 (2) 式。顯然式中 r 表需求量， n 表訂購(gòu)量， (b-c) 表示退回一份兒報(bào)紙賠的錢。因?yàn)?(a-c) 無(wú)法表示一個(gè)顯而 易見(jiàn)的意義， 所以現(xiàn)在把它放入不等式中做研究。 由 a>b>c, 可得 a-c>a-b ，而 (a-b) 恰好是賣一份報(bào)紙賺得 的錢。然后采用放縮法，把 (2) 式中的 (a-c) 換成 (a-b) ，得到r/n<(b-c)/(a-b) (5) 不等式依然成立。由(5) 式再結(jié)合 (1) 式可知收益與 n 正相關(guān)，所以要想使訂購(gòu)數(shù) n 的份數(shù)越多，報(bào)童每份報(bào)紙賠錢 (b-c) 與賺錢 (a-b) 的比值就應(yīng)越小。 當(dāng)報(bào)社與報(bào)童簽訂的合同使報(bào)童每份報(bào)紙賠錢與賺錢之比越小，訂購(gòu)數(shù)就應(yīng)越多。7. 談?wù)勀銓?duì)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí)