人教版高中數(shù)學必修⑤《數(shù)列求和》教學設(shè)計

1、.課題：必修數(shù)列求和三維目標： 1、 知識與技能（1）通過對特殊數(shù)列求和的學習，培養(yǎng)學生將等差數(shù)列，等比數(shù)列的知識靈活運 用，培養(yǎng)和提高學生觀察問題，分析問題，解決問題的能力；（2）在掌握等差數(shù)列，等比數(shù)列的求和公式及一些常用的數(shù)列的和的公式的基礎(chǔ)上理解或掌握一些常用的求和的思想方法：公式法、變換通項法（如：分項組合、裂項相消）、倒序相加法、錯位相減法、并項法；（3）會用上述求和方法解決一些簡單的與前項和有關(guān)的問題.2、過程與方法（1）經(jīng)歷各種基本的求和的思想方法的探究與應(yīng)用，進一步理解數(shù)列的求和方法的本質(zhì)轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學生利用轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化的能力；在知識、方法發(fā)生、發(fā)展以及形成過程中培養(yǎng)學生觀

2、察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力。（2）通過方法的探索與總結(jié)、公式的推導過程，展現(xiàn)數(shù)學中的“美”的價值，體會這些思想方法的聯(lián)系和本質(zhì)；為進一步熟練、恰當運用奠定良好的基礎(chǔ)；（3）培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力及鉆研精神，培養(yǎng)學生的運算能力、嚴謹?shù)乃季S習慣以及解題的規(guī)范性。3、情態(tài)與價值觀(1) 通過對數(shù)列知識的進一步學習，不斷培養(yǎng)自主學習、合作交流、善于反思、勤于總結(jié)的科學態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神，提高參與意識和合作精神；（2）通過生動具體的現(xiàn)實問題，激發(fā)學生探究的興趣和欲望，樹立學生求真的勇氣和自信心，產(chǎn)生熱愛數(shù)學的情感, 形成學數(shù)學、用數(shù)學的思維和意識，培養(yǎng)學好數(shù)學的信心，體驗

3、在學習中獲得成功的成就感，為遠大的志向而不懈奮斗。 教學重點：數(shù)列求和的幾種常用方法：公式法、變換通項法、錯位相減法、倒序相加法教學難點：運用某種方法前的轉(zhuǎn)化思路及方法的恰當性教 具：多媒體、實物投影儀教學方法：合作探究、分層推進教學法教學過程：一、雙基回眸 科學導入：前面，我們學習等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、通項公式、前n項和公式及其有關(guān)性質(zhì)，并運用這些知識解決了許多相關(guān)問題和實際問題，請同學們回顧一下學過的這些基本知識和性質(zhì)：關(guān)于等差數(shù)列： 差數(shù)列定義：即(n2) 由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，這時，A叫做a與b的等差中項。 等差數(shù)列通項公式：(n1) 在等差數(shù)列

4、中， 若m + n= p + q 則 等差數(shù)列的前n項和的公式 ，關(guān)于等比數(shù)列：等比數(shù)列定義：即(n2) 由三個數(shù)a，G，b組成的等比數(shù)列可以看成最簡單的等比數(shù)列，這時，G叫做a與b的等比中項。 等比數(shù)列通項公式：(n1) 在等比數(shù)列中， 若m + n= p + q 則 等比數(shù)列的前n項和的公式Sn= （q1） Sn=（q1） 通過各種求和問題，大家可體會出數(shù)列求和的重要性。兩種重要的數(shù)列都學完了，下面我們再進一步總結(jié)一下數(shù)列求和的基本方法，通過應(yīng)用體現(xiàn)數(shù)列知識及相關(guān)數(shù)學知識的聯(lián)系和綜合運用。二、 創(chuàng)設(shè)情境 合作探究：同學們，等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式的推導用的是什么方法呢？這些方法還有

5、進一步的運用嗎？下面同學們合作探究一些求和問題，看能否還能用上這些方法，并進一步總結(jié)出更多的方法。【引領(lǐng)學生合作探究，通過解決相關(guān)的問題層層總結(jié)出數(shù)列求和的各種基本方法，展現(xiàn)一些求和方法的廣泛性】【方法一】公式法 前面所做的關(guān)于等差、等比數(shù)列的求和問題均是直接采用的公式法，這里就不詳細介紹了。下面的方法不是直接運用公式，大都是通過轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化為運用基本公式。 利用下列常用求和公式求和（有的要采用轉(zhuǎn)化思想）是數(shù)列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差數(shù)列求和公式： 2、等比數(shù)列求和公式：3、 4、5、【方法二】變換通項法（如：分項組合、裂項相消） 問題1.求數(shù)列的前n項和：，【分析】通過引領(lǐng)學生

6、分組合作探究出【方法二】變換通項法中的分項組合【解析】設(shè)將其每一項拆開再重新組合得 （分組）當a1時， （分組求和）當時，【點評】通過此題說明數(shù)列求和的變換通項法的思路充分體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想；問題2.求和 【分析】通過引領(lǐng)學生分組合作探究出【方法二】變換通項法中的裂項相消【解析】 從而 【點評】解決此題緊抓住通項公式的特點，進行巧妙變形，進一步說明數(shù)列求和的變換通項法的思路充分體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想；【方法三】錯位相減法 前面推導等比數(shù)列的求和公式就是運用了此法問題3.求數(shù)列前n項的和.【分析】通過引領(lǐng)學生分組合作探究出【方法三】錯位相減法【解析】由題可知，的通項是等差數(shù)列2n的通項與等比數(shù)列的通項之積設(shè) （

7、設(shè)制錯位）得 （錯位相減） 【點評】通過此題說明等比數(shù)列的前n項和公式的推導方法的重要性；由此可進一步通過各種題目總結(jié)幾種常見求和的方法?！痉椒ㄋ摹康剐蛳嗉臃ㄇ懊嫱茖У炔顢?shù)列的求和公式就是運用了此法問題4.的值 【分析】通過引領(lǐng)學生分組合作探究出【方法四】倒序相加法【解析】設(shè). 將式右邊反序得 （倒序） 又因為 +得 （倒序相加）89 S44.5【點評】通過此題可進一步體會等差數(shù)列的前n項和公式的推導方法的本質(zhì)【方法五】并項法問題5.求1-2+3-4+5-6+2n-1-2n【分析】通過引領(lǐng)學生分組合作探究出【方法五】并項法【解析】1-2+3-4+5-6+2n-1-2n=（1-2）+（3-4）+

8、( 5-6) +( 2n-1-2n) =-1-1-1-1= 【點評】此題的解法實際上也是對通項進行了一些恰當?shù)淖兓?、組合，但不是對某一項，而是對相鄰的兩項進行的變換三、互動達標 鞏固所學：有了上面的各種基本方法，再通過互動地解決下面的針對性問題，鞏固這些方法，從而進一步理解這些方法，便于將來的更加熟練、靈活地運用 問題.6求下列數(shù)列的前項和：（1）； （2）；（3）5，55，555，5555，；（4）； （5）1 , 2x , 3x2 , 4x3 nxn-1；（x0）（6）cos1°，cos2°， cos3°，··· ， cos178

9、°，cos179°【問題答案】 （1）， 原式（2）， =（3）（4） (5) 解：設(shè)Sn=1+2x+3x2+4x3+ +nxn-1 則xSn=x+2x2+3x3+4x3+ +nxn - 得 （1-x）S n = 1+x+x2+x3+ +x n-1-nx n 當x=1時，在原式中Sn=1+2+3+4 + +n=當x時 (6)設(shè)Sn cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° Sn （cos1°+ cos179°）+（ cos2°

10、;+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90° 0 （合并求和）四、思悟小結(jié)：知識線：（1）等差數(shù)列前 項和公式； （2）等比數(shù)列前 項和公式；（3）數(shù)列的相關(guān)的性質(zhì)及相關(guān)的數(shù)學公式。思想方法線： （1）數(shù)列求和的基本方法：【方法一】公式法【方法二】變換通項法（如：分項組合、裂項相消）【方法三】錯位相減法【方法四】倒序相加法【方法五】并項法（2）轉(zhuǎn)化思想題目線：利用上述思想方法求相關(guān)的數(shù)列的和的問題。五、針對訓練 鞏固提高：1求數(shù)列的前

11、n項和：，解：設(shè)將其每一項拆開再重新組合得 當a1時， 當時，2求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項和.解：設(shè) 將其每一項拆開再重新組合得 Sn = 3（07高考山東文18）設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和已知，且構(gòu)成等差數(shù)列（1）求數(shù)列的等差數(shù)列（2）令求數(shù)列的前項和解：（1）由已知得解得設(shè)數(shù)列的公比為，由，可得又，可知，即，解得由題意得故數(shù)列的通項為（2）由于由（1）得， 又是等差數(shù)列故4（07高考全國文21）設(shè)是等差數(shù)列，是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且，（）求，的通項公式；（）求數(shù)列的前n項和解：（）設(shè)的公差為，的公比為，則依題意有且解得，所以，（），得，5（09高考山東文20）等比數(shù)列的前n項和為， 已知對任意的 ，點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1）求r的值； （11）當