九年級(jí)數(shù)學(xué)圓與相似的專(zhuān)項(xiàng)培優(yōu)易錯(cuò)難題練習(xí)題附答案解析

1、AB為斜邊向三角內(nèi)部作九年級(jí)數(shù)學(xué) 圓與相似的專(zhuān)項(xiàng) 培優(yōu)易錯(cuò)難題練習(xí)題附答案解析一、相似1.如圖，在等腰 RtABC中，O為斜邊AC的中點(diǎn)，連接 BO,EO.求證：【答案】（1）證明：在等腰 RtA ABC中，O為斜邊AC的中點(diǎn), OBXAC,/ AOB=90 ； / AEB=90 ； .A, B, E, O四點(diǎn)共圓，/ OAE=Z OBE(2)證明：在 AE上截取EF=BE在等腰RtABC中，O為斜邊AC的中點(diǎn),/ ABO=45 ；/ ABF=Z OBE,AB 班BE.ABFABOE,儀,=二，AF= , OE,.AE=AF+EF，AE=BE+ OE.【解析】【分析】(1)利用等腰直角三角形的

2、性質(zhì)，可證得/AOB=/AEB=90,可得出A, B, E,。四點(diǎn)共圓，再利用同弧所對(duì)的圓周角相等，可證得結(jié)論。(2)在AE上截取EF=BE易證EFB是等腰直角三角形，可得出 BF與BE的比值為， 再證明/ABF=/ OBE, AB與BO的比值為二，就可證得 AB、BO、BF、BE四條線(xiàn)段成比 例，然后利用兩組對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等的兩三角形相似，可證得ABFsBOE,可證得AF=kOE,由AE=AF+EF可證得結(jié)論。2.已知直線(xiàn)y=kx+b與拋物線(xiàn)y=ax2 (a0)相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與 y軸正半軸相交于點(diǎn) C,過(guò)點(diǎn)A作ADx軸，垂足為D.八、尸衣一(1)若/AOB=60

3、, AB/ x 軸，AB=2,求 a 的值；(2)若/AOB=90，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-4, AC=4BC求點(diǎn)B的坐標(biāo);(3)延長(zhǎng) AD、BO相交于點(diǎn) E,求證：DE=CO.OA=OB, / AOB=60 ； .AOB是等邊三角形， . AB=2, ABOC, .AC=BC=1, /BOC=30,.oc=Ki，j , .A (-1 ,被)，把A (-1, 3 )代入拋物線(xiàn)y=ax2 (a0)中得：a= ;(2)解：如圖2,過(guò)B作B已x軸于E,過(guò)A作AGLBE,交BE延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,交y軸于. CF/ BG,AC加一而， .AC=4BC,. .凡=4,.AF=4FG, . A的橫坐標(biāo)為-4,，.B的橫

4、坐標(biāo)為1,.A (-4, 16a) , B (1, a), / AOB=90 ； / AOD+/ BOE=90 ； / AOD+Z DAO=90 ；/ BOE=Z DAO, / ADO=Z OEB=90 ； .ADOAOEB,AD _0L質(zhì)班, ?16d77, ?16a2=4,用a= 士一 ,.a0,/ a=二;B d,二）；（3）解：如圖3, ?百一.-.BCOABAE,X. I I jgf jfCO= =am2n, . DE=CQ【解析】【分析】（1）拋物線(xiàn)y=ax2關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，根據(jù) AB/ x軸，得出A與B是對(duì)稱(chēng) 點(diǎn)，可知 AC=BC=1由/AOB=60 ,可證得4AOB是等邊三角形，

5、利用解直角三角形求出OC的長(zhǎng)，就可得出點(diǎn) A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法就可求出a的值。(2)過(guò)B作B已x軸于E,過(guò)A作AG BE,交BE延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) G,交y軸于F,根據(jù)平行 線(xiàn)分線(xiàn)段成比例證出 AF=4FG根據(jù)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-4,求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1,則A (4, 16a) , B(1, a),再根據(jù)已知證明 / BOE=/ DAO, /ADO=/OEB,就可證明 ADOsOEB,得出對(duì)應(yīng)邊成比例，建立關(guān)于a的方程求解，再根據(jù)點(diǎn) B在第一象限，確定點(diǎn)B的坐標(biāo)即可。(3)根據(jù)(2)可知A的橫坐標(biāo)是B的橫坐標(biāo)的n倍，則設(shè)B (m, am2),則A (-mn, am2n2),得出 AD的長(zhǎng)，再證明 BO

6、QEOD, BC8 BAE,得對(duì)應(yīng)邊成比例，證得 CO=am2n,就可證得 DE=COA、B,與y軸交于點(diǎn) C,且 OA=1,3.如圖，拋物線(xiàn) y=-x2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)(1)求拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)點(diǎn)P是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過(guò) A、B兩點(diǎn)，且與直線(xiàn) CD相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)M,使得DCMsbqc?如果存在，求出點(diǎn) M的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)解： 曲=八0B - 3,代入 y - - / ，d ,得 9 S c 也解得拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的表達(dá)式為：F 一 - 2r (2)解：如圖,設(shè)直線(xiàn)CD切

7、。P于點(diǎn)E.連結(jié)PE、PA,作CF上極/|點(diǎn)H . : FE上CD. PE 刊. 由J-= =/+二上+ 3,得對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1, .:- ，一， 二.I 小為等腰直角三角形.一一一二.任二卷I 的I為等腰三角形.設(shè)E聲=-(7 -禧涔在色月片中，工網(wǎng)=901刃戶(hù)= “1 4 =白(-nF + 圻；- (4 版- 1 ( i)?+ M, .尸整理，得小的 H二也解得，的=-力土人冠.點(diǎn)p的坐標(biāo)為 u ，+小質(zhì) 或a -/ 入身.(3)解：存在點(diǎn)M,使得門(mén)2als公BQC .如圖，連結(jié)【解析】【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解;x=1,頂點(diǎn) D (1, 4),點(diǎn) C (0, 為等腰直角三角形，

8、 DEP為等腰三角 PE、PA用含m的代數(shù)式表示出來(lái)，根(2)由(1)中的解析式易求得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn) 3),由題意可設(shè)點(diǎn) P (1, m),計(jì)算易得 4DCF 形，在直角三角形 PED和APQ中，用勾股定理可將 據(jù)PA=PE列方程求解；DM 3 DC D4(3)由DCMsbqc所得比例式分兩種情況： 及? 4或陽(yáng) G,根據(jù)所得比例式即可 求解。4.如圖1,直線(xiàn)1:與x軸交于點(diǎn) A (4, 0),與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)C是線(xiàn)段OA上一動(dòng)點(diǎn)(0VACV 5 ),以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作OA交x軸于另一點(diǎn) D, 交線(xiàn)段AB于點(diǎn)E,連結(jié)OE并延長(zhǎng)交OA于點(diǎn)F.J圈imz爵m田(1)求直線(xiàn)l的函數(shù)

9、表達(dá)式和tan / BAO的值；(2)如圖2,連結(jié)CE,當(dāng)CE=EFW,求證：OCa4OEA;求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求 OEEF的最大值.，農(nóng)必、q +小尸=-十/ /日P1【答案】(1)解：把A (4, 0)代入廣 ，得，X4+b=0解得b=3,3 ,直線(xiàn)l的函數(shù)表達(dá)式為1， B (0,3), . AOXBO, OA=4, BO=3,tan / BAO=，.(2)證明：如圖，連結(jié) AF, .CE=EFZ CAE之 EAF, 又 AC=AE=AF / ACE玄 AEF, / OCE4 OEA, 又 / COEN EOA, .,.OCEAOEA.解：如圖，過(guò)點(diǎn) E作EHx

10、軸于點(diǎn)H,tan / BAO=, 設(shè) EH=3x, AH=4x,，AE=AC=5x OH=4-4x,，OC=4-5x,.OCEOEA,OB OC OA =兆,即 OE2=OA OC,(4-4x) 2+ (3x) 2=4 (4-5x),圖解得xi=:芍，x2=0 (不合題意，舍去)(3)解：如圖，過(guò)點(diǎn) A作AM, OF于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)O作ONLAB于點(diǎn)N,tan / BAO=寸，3cos/ BAO=, 16.AN=OA cosZ BAO= 5 , 設(shè) AC=AE=r,生EN= -r,1 . ONXAB, AM LOF,I/ ONE=Z AME=90 ； EM=上 EF, 又 / OEN=Z AEM,

11、2 .OENAAEM,OE.忌=瓦，1即 OE- EF=AEEN,16.OEEF=2AEEN=2r ( 口 -r)當(dāng) 勺.OEEF=-2i2+ 5 r-2 (r15 )2+12b25 (0vrvJ67)8芻當(dāng)r= 時(shí)，OEEF有最大值，最大值為 與I【解析】【分析】(1)將點(diǎn)A坐標(biāo)代入直線(xiàn)l解析式即可求出b值從而彳#直線(xiàn)l的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)銳角三角函數(shù)正切定義即可求得答案.(2)如圖，連結(jié) AF,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)等邊對(duì)等角可得兩組對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)相似三角形的判定即可得證如圖，過(guò)點(diǎn) E作EHIx軸于點(diǎn)H,根據(jù)銳角三角函數(shù)正切值即可設(shè)EH=3x, AH=4x,從而得出AE、OH、OC,由中相似三

12、角形的性質(zhì)可得OE2=OAOC,代入數(shù)值即可得一個(gè)關(guān)于x的方程，解之即可求出E點(diǎn)坐標(biāo).(3)如圖，過(guò)點(diǎn) A作AMLOF于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)。作ONLAB于點(diǎn)N,根據(jù)銳角三角函數(shù)定義1616可求得 AN=OAcos/BAO= 5，設(shè)AC=AE=r,U EN=6-r根據(jù)相似三角形判定和性質(zhì)可知 AE = 助3216鬼，即OEEF=-2i2+ 5 r= (0vrv 5 )，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求此最大值5.如圖，在矩形 ABCD中，AB=2cm, / ADB=30. P, Q兩點(diǎn)分別從 A, B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn) P 沿折線(xiàn) AB-BC運(yùn)動(dòng)，在 AB上的速度是 2cm/s,在BC上的速度是 2 / cm/s ;點(diǎn)

13、 Q在BD 上以2cm/s的速度向終點(diǎn) D運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn) P作PNXAD,垂足為點(diǎn) N.連接PQ,以PQ, PN 為鄰邊作？PQMN.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 x (s) , ?PQMN與矩形ABCD重疊部分的圖形面積為 y(1)當(dāng) PQ AB 時(shí)，x=;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出 x的取值范圍；(3)直線(xiàn)AM將矩形ABCD的面積分成1: 3兩部分時(shí)，直接寫(xiě)出 x的值.2【答案】(1)于自(2)解：如圖1中，當(dāng)0vxwi時(shí)，重疊部分是四邊形 PQMN.口Ely=2x X/3 x=2N，x2 .同一PQEN. 如圖中，當(dāng)- x W,重疊部分是四邊形 如圖3中，當(dāng)1vxv 2時(shí)，重疊部分是四邊形PNE

14、Q.S3p色y= -(2-x+2) xNx-2x (x-1) =x2 -2Jj g2()r * yftx 宜 W D237/ -九, 4 A/5t7 x s或7時(shí)，直線(xiàn)AM將矩形ABCD的面積分成1: 3兩部分【解析】【解答】解：（1）當(dāng)PQ AB時(shí)，BQ=2PB, .2x=2 （2-2x）,故答案為 s.【分析】（1）由題意BQ=2x,PB=2-2x,當(dāng)PQLAB時(shí)，根據(jù)含30直角三角形的邊之間的關(guān) 系得：BQ=2PB,從而列出方程，求解即可；(2) 如圖1中，當(dāng)0vxw附，重疊部分是四邊形 PQMN.由題意知：AP=2x, BQ=2x, 故平行四邊形 AP邊上的高是，金，根據(jù)平行四邊形的面

15、積計(jì)算方法得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；如圖中，當(dāng)一，vxWl時(shí)，重疊部分的面積等于平行四邊形APQM的面積減去 AEM的面積，即可得出 y與x的函數(shù)關(guān)系式； 如圖3中，當(dāng)1vxv2時(shí)，重疊部分是 四邊形PNEQ.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，分別表示出EQ,ME,NE的長(zhǎng)，根據(jù)重疊部分等于平行四邊形NPQM的面積減去4MNE的面積，即可列出 y與x之間的函數(shù)關(guān)系；(3) 如圖4中，當(dāng)直線(xiàn)AM經(jīng)過(guò)BC中點(diǎn)E時(shí)，滿(mǎn)足條件.根據(jù)等角的同名三角函數(shù)值 相等，即tan/EAB=tan/ QPB,再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可建立方程，求解得出x的值； 如圖5中，當(dāng)直線(xiàn) AM經(jīng)過(guò)CD的中點(diǎn)E時(shí)，滿(mǎn)足條件.根據(jù)等角的同名

16、三角函數(shù)值相 等，即tan/DEA=tan/ QPB,再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可建立方程，求解得出x的值；綜上所述即可得出答案。6.已知一次函數(shù)y二-4x-12的圖象分別交x軸，y軸于A, C兩點(diǎn)。01(1)求出A, C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在x軸上找出點(diǎn) B,使ACBAOC,若拋物線(xiàn)過(guò) A, B, C三點(diǎn)，求出此拋物線(xiàn)的解 析式；(3)在(2)的條件下，設(shè)動(dòng)點(diǎn) P、Q分別從A, B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同速度沿 AC、BA向 C, A運(yùn)動(dòng)，連接 PQ,設(shè)AP=m,是否存在 m值，使以A, P, Q為頂點(diǎn)的三角形與 4ABC 相似*存在，求出所有 m值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。【答案】(1)解：在一次函數(shù)

17、 y=-4x-12中，當(dāng)x=0時(shí)，y=-12;當(dāng) y=0 時(shí),x=-16，即 A(-16,0),C(0,-12)(2)解：過(guò)C作CB, AC,交x軸于點(diǎn)B,顯然，點(diǎn)B為所求。則 OC2=OA?OB,此時(shí) OB=9,可求得 B(9,0);17此時(shí)經(jīng)過(guò)A. B. C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式為y= /=x2+1二x-12(3)解：當(dāng) PQ/ BC時(shí)，如圖(l)AAPQsACB；則有:心 25 - A 五=F-當(dāng) PQ AB 時(shí),AAPQs ACB;有:網(wǎng)以 25 - fh ni7 =，出,即 20 = 35 ,123解得m= 9 .【解析】【分析】（1）令直線(xiàn)的解析式y(tǒng)=0,可得A的坐標(biāo)，令x=0,可得

18、C的坐標(biāo)（2）要使ACBAOC,則B點(diǎn)必為過(guò)C點(diǎn)且垂直于 AC的直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn).那么根據(jù)射影定理不難得出 B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求得拋物線(xiàn)的解析式.（3）本題可分兩種情況進(jìn)行求解： 當(dāng)PQ/ BC時(shí)，APQsACB; 當(dāng)PQLAB時(shí)，AAPQAACBM 據(jù)各自得出的不同的對(duì)應(yīng)成比例線(xiàn)段求出m的值.7.操作：134加和都是等邊三角形， Df ,繞著點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，切是 周、川廣的中點(diǎn)，有以下三種圖形.探究：B“/ C1）（1）在上述三個(gè)圖形中，月火灰是否一個(gè)固定的值，若是，請(qǐng)選擇任意一個(gè)圖形求出這個(gè)比值；（2）如:緲”的值是否也等于這個(gè)定值，若是，請(qǐng)結(jié)合圖（1）證明你的結(jié)論；（3

19、）與儂有怎樣的位置關(guān)系，請(qǐng)你結(jié)合圖（2）或圖（3）證明你的結(jié)論.1BO -BC【答案】（1）解：良是等邊三角形，由圖（1）得AOLBC,.加木帆,.也即3.1.證明：曲:初=，AO:HO -. A AOA 入聲山AAAOBBBO（3）證明：在圖（3）中，由（2）得 AOA 漢城 Z3 4 ,/ 2+Z 4=/ 1 + Z 3,即 / AEF =/ AOB / AOB=90 ；- 一姑尸-9（/血，上 .AC【解析】【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得AOBC, BOd BC=- AB,根據(jù)勾股定理計(jì)算即可求得 AO= 4 BO,即AO： BO是一個(gè)固定的值 KG : 1； （2）由等邊三角形的

20、性質(zhì) 可得 AO BC, Vo上BC ,由同角的余角相等可得I/現(xiàn)域=/筑/，由（1）可得AO:BO = A 03:1 可得d4”/白瓦/，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得.江:必二5：，； （ 3）在圖（3）中，由（2）得二加 班康，根據(jù)相似三角形的 性質(zhì)可得/1 = /2,根據(jù)對(duì)頂角相等得/ 3=/4 ,則/ 2+/4=/1 + /3=/AOB=90 ,即 AA 上 88；8.如圖，過(guò)。外一點(diǎn)P作。O的切線(xiàn)PA切。于點(diǎn)A,連接PO并延長(zhǎng)，與。交于 C、D兩點(diǎn)，M是半圓CD的中點(diǎn)，連接 AM交CD于點(diǎn)N,連接AC、CM.（1）求證：CM2=MN MA;（2）若 / P=30, PC=2,求 CM 的

21、長(zhǎng).【答案】（1）解：* 6中，川點(diǎn)是半圓G的中點(diǎn),團(tuán)團(tuán)I,Y錚=不匐又:st 心就，：J AVC s JCM Ah即1京-出,期?。?2)解：連接|您、網(wǎng),丁 E4是，的切線(xiàn), ： PAO 蚓 ?又 ：，產(chǎn)的1I1二 OA -P0 =-(PC + CO) 門(mén)Q金q設(shè)a 4的半徑為士，PC - 2解得：，匕,又 丁 是直徑，；二cw 阿 ?1 CM岫 ?：股是等腰直角三角形，,：|在RE JCMD中，由勾股定理得 W T城二切，即立獷二犯尸叫則 ，= ,/!/ 久后9 # L-.JH 一 .團(tuán)田【解析】【分析】(1 )由f* 州知 Nf：故=上NO ,根/ CMA=Z NMC據(jù)證AAMOACM

22、N即可得；(2)連接 OA、DM,由直角三角形 PAO中/ P=30知/ IOA =-P0 = -(PC CO)二 二，據(jù)此求得 OA=OC=2再證三角形 CMD是等腰直角三角形得 CM的長(zhǎng).二、圓的綜合9.如圖，已知 4ABC中，AB=AC, Z A=30, AB=16,以AB為直徑的。與BC邊相交于點(diǎn)D,與AC交于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)D作DEL AC于點(diǎn)E.(1)求證：DE是。的切線(xiàn)；(2)求CE的長(zhǎng)；(3)過(guò)點(diǎn)B作BG/ DF,交。O于點(diǎn)G,求弧BG的長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 8-4 J3 (3) 4?！窘馕觥俊痉治觥?1)如圖1,連接AD, OD,由AB為。O的直徑，可得 AD BC,

23、再卞據(jù)AB=AC,可得 BD=DC,再卞據(jù) OA=OB,則可得 OD/ AC,繼而可得 D已OD,問(wèn)題得證；(2)如圖2,連接BF,根據(jù)已知可推導(dǎo)得出 DE=1 BF, CE=EF根據(jù)/A=30, AB=16,可得BF=8,繼而得DE=4,由DE為。的切線(xiàn)，可得 ED2=EF?AE即42=CE? (16-CE),繼 而可求得CE長(zhǎng)；(3)如圖3,連接OG,連接AD,由BG/ DF,可得/ CBG4 CDF=30 ,再根據(jù) AB=AC可 推導(dǎo)得出Z OBG=45 ,由OG=OB可得Z OGB=45 ,從而可得/ BOG=90 ,根據(jù)弧長(zhǎng)公式即 可求得？G的長(zhǎng)度.【詳解】(1)如圖1,連接AD,

24、OD； .AB為。的直徑，/ ADB=90 ；即 ADXBC, .AB=AC,BD=DC, .OA=OB, .OD/AC, .DEXAC, DEXOD,/ ODE=Z DEA=90 ； .DE為。O的切線(xiàn)；(2)如圖2,連接BF,.AB為。的直徑，/ AFB=90 , .BF/ DE, .CD=BD, .DE=1 BF, CE=EF2 / A=30 , AB=16,.BF=8,，DE=4,. DE為。O的切線(xiàn)，ED2=EF?AE.42=CE? (16-CE),.CE=8- 4y/3 , CE=8+4/3 (不合題意舍去)；(3)如圖3,連接OG,連接AD,1. BG/ DF,/ CBG=Z C

25、DF=30,.AB=AC,/ ABC=/ C=75 ；/ OBG=75 - 30 =45 ；.OG=OB,/ OGB=/ OBG=45 ；/ BOG=90 , Bg的長(zhǎng)度=908 =4兀.180【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題，涉及了切線(xiàn)的判定、三角形中位線(xiàn)定理、圓周角定理、弧長(zhǎng)公式等，正確添加輔助線(xiàn)、熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵10.如圖，AB是圓。的直徑，射線(xiàn) AM LAB,點(diǎn)D在AM上，連接OD交圓。于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作DC=DA交圓。于點(diǎn)C （A、C不重合），連接 OC、BC CE（1）求證：CD是。的切線(xiàn)；（2）若圓。的直徑等于2,填空： 當(dāng)AD=時(shí)，四邊形 OADC是正方形； 當(dāng)A

26、D=時(shí)，四邊形 OECB是菱形.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）1 ;J3. ,【解析】試題分析：（1）依據(jù)SSS證明OAD0OCD,從而得到/OCD=/ OAD=90;（2） 依據(jù)正方形的四條邊都相等可知AD=OA;依據(jù)菱形的性質(zhì)得到 OE=CE則4EOC為等邊三角形，則 /CEO=60,依據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可知/ DOA=60 ,利用特殊銳角三角函數(shù)可求得AD的長(zhǎng).試題解析：解： AMXAB,/ OAD=90 :-. OA=OC, OD=OD, AD=DC,.OADAOCD,/ OCD=Z OAD=90 :OCX CD,.CD是。O的切線(xiàn).(2)二.當(dāng)四邊形OADC是正方形， .AO=AD=1.故

27、答案為：1 .;四邊形OECB是菱形，.OE=CE又. OC=OE.OC=OE=CE/ CEO=60.1. CE/ AB,/ AOD=60 :在 RtA OAD 中,/ AOD=60 , AO=1, .AD=.回故答案為：71點(diǎn)睛：本題主要考查的是切線(xiàn)的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、菱形的性質(zhì)、等 邊三角形的性質(zhì)和判定，特殊銳角三角函數(shù)值的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.11.如圖，AB是半圓。的直徑，半徑 OCAB, OB=4, D是OB的中點(diǎn)，點(diǎn) E是弧BC上 的動(dòng)點(diǎn)，連接AE, DE.(1)當(dāng)點(diǎn)E是弧BC的中點(diǎn)時(shí)，求 4ADE的面積；3(2)右 tan AED -,求 AE的長(zhǎng)

28、；(3)點(diǎn)F是半徑OC上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) E到直線(xiàn)OC的距離為m,當(dāng) DEF是等腰直角三角 形時(shí)，求m的值.【O D B【答案】(1) Sade 672 ； (2) AE 16 V5 ； (3) m 2V3 , m 2灰， 5m 一 7 1 .【解析】【分析】OH= 2+a,則 EH= OH=2+a,S ADE的值；AF AD根據(jù)DF/ BE故.EF BDx,進(jìn)而求出AE的長(zhǎng)；m的值.(1)作 EHIAB,連接 OE, EB,設(shè) DH=a,則 HB= 2-a, 根據(jù)RtAEB中，EH2=AH?BH,即可求出a的值，即可求出(2)作 DUAE,垂足為 F,連接 BE,設(shè) EF= 2x, DF= 3x

29、,得出AF= 6x,再利用 RtAFD中，AF2+DF2=AD2,即可求出 (3)根據(jù)等腰直角三角形的不同頂點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)討論，分別求出 【詳解】解：(1)如圖，作EHIAB,連接OE, EB,設(shè) DH=a,貝U HB=2-a, OH=2+a,點(diǎn)E是弧BC中點(diǎn)，/ COE= / EOH= 45 ,-.EH=OH= 2+a,在 RtMEB中，EH2=AH?BH,(2+a) 2= ( 6+a) ( 2 - a),解得 a= 2 J2 2，a= 272 2，EH=272，SAade= In ADn EH 6.2；2O D H B(2)如圖，作 DFAE,垂足為F,連接BEO D B設(shè) EF= 2x, D

30、F= 3x1) DF/ BEAF AD EF BDAF 6 1 =3 2x 2.AF = 6x在 RtAFD 中，AF2+DF2=AD2(6x) 2+ (3x) 2= (6) 2一 2解得x= 2 5516 ,AE= 8x= 755(3)當(dāng)點(diǎn)D為等腰直角三角形直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖O D H B設(shè) DH= a由 DF=DE/ DOF=Z EHD=90 , / FDO+Z DFO=Z FDO+Z EDH,/ DFO=Z EDH.,.ODFAHED.OD=EH= 2在 RtMBE 中，EH2=AH?BH2) ) 2= ( 6+a) ? (2-a)解得a=及J3 2m= 2百當(dāng)點(diǎn)E為等腰直角三角形直角頂點(diǎn)

31、時(shí)，如圖O D H B同理得AEFCADEH設(shè) DH=a，貝UGE= a, EH= FG= 2+a在 RtMBE 中，EH2=AH?BH(2+a) 2= (6+a) (2-a)解得a= 2,2 2m= 272當(dāng)點(diǎn)F為等腰直角三角形直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖O D H B同理得 EFM FDO設(shè) OF= a,則 ME=a, MF = OD = 2 .EH=a+2在 RtMBE 中，EH2=AH?BH(a+2) 2= (4+a) ? (4-a)解得a= J7 1m=61【點(diǎn)睛】此題主要考查圓內(nèi)綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的 判定與性質(zhì).A,速度12.如圖所示，AB是半圓。的直

32、徑，AC是弦，點(diǎn)P沿BA方向，從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)為1cm/s,若AB 10cm,點(diǎn)。到AC的距離為4cm.(1)求弦AC的長(zhǎng);(2)問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間后， APC是等腰三角形.【答案】(1) AC=6; (2) t=4或5或14s時(shí)，4APC是等腰三角形;5【解析】【分析】AC的(1)過(guò)。作ODLAC于D,根據(jù)勾股定理求得 AD的長(zhǎng)，再利用垂徑定理即可求得 長(zhǎng)；(2)分AC=PC AP=AC AP=CP三種情況求t值即可.【詳解】(1)如圖1,過(guò)。作ODLAC于D,易知 AO=5, OD=4,從而川=加入2-01)3,，AC=2AD=6；(2)設(shè)經(jīng)過(guò)t秒4APC是等腰三角形，則 AP=10-t 如圖2

33、,若AC=PC過(guò)點(diǎn)C作CHIAB于H, / A=Z A, / AHC=Z ODA=90 ；.AHCAADO,-rr 八 1 0-t.AC： AH=OA： AD,即 AC： - =5： 3,解得 t=-si, | 5 |,14 一A ,，經(jīng)過(guò) =s后4APC是等腰三角形；5又 AC=6,則 10 - t=6 ,解得 t=4s,.經(jīng)過(guò)4s后4APC是等腰三角形；如圖4,若AP=CP P與O重合,圖4則 AP=BP=5,，經(jīng)過(guò)5s后4APC是等腰三角形.14|口綜上可知當(dāng)t=4或5或-s時(shí)，4APC是等腰二角形.【點(diǎn)睛】 本題是圓的綜合題，解決問(wèn)題利用了垂徑定理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題時(shí)要注意當(dāng) BPC是等腰三角形時(shí)，點(diǎn) P的位置有三種情況.13.