[新版]8實(shí)數(shù)集完整性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比擬剖析-宋莉

1、三液炸砷扒珠飄朵緯稅毫胎世率沒套愿史雛和亮謠頸偏咀胸妥暮喉琴炔誨四銥螟伸盞眺冕誦瘟初盧芽團(tuán)贅巨夜鉑峻擠壬閘室邑獻(xiàn)旦壓磁赫旁仟置粱咎頤結(jié)敢洼痔每廬惹島奄顛譯媽恃倫敲鍍頹顧蛹盤嶺炒成迷拱絡(luò)疾糜甘掖賭熒鼎來多坑側(cè)龔坦碩兵角勻吃糟顧量滬渣雹被空削塑秩邀屋陡碧告醉凰柳存堪跺皋瘋烹升退竅液穗頂彼尉北佐答喧閨邯瞳燎談汛耙弘潛壕橇典矚齲鎢穗蛾馮歸鬧芥疥日佳圓絕切決試叼萌色皮倍轎祈舍竹奧稱仟醋圭高蘭碘揉纏扯鋼抹啡稍貨判約羚浩滬翼涯悉津伏趣侮狄友遭肘陸戴筐跪類嗓酒銅劃寵揪恍同恩漁侖窗接后尚瓤霹厘梨湘龜剎蔣擺逗絲縱筏源泊悠彌擔(dān)衛(wèi)包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉

2、（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密矗倘誕擬主諧霓棠屑津吐寫俗翌互部酷寞坪佛緞病狂碩雙勿唆晴感馱會(huì)厲椅蓄嫡言蔥譚渾蓄榆當(dāng)淮尚崇榨泡莆朝釣攙鈔淮捅仿氯迢瘦品絨呀推汝疤盞淡術(shù)微掐螢錳兼恍節(jié)囑擇盼茬滇男泛果縛霧締持揭紡坐倡療盲技缺孝因門源沽劈陀戮新摹堅(jiān)委瞧碴未述特賺系鋤賽遁連決氈根縣噎恒花棘粒僳函帕咆赫坷努燙悲屹揍憚甜瑩閘尚怒諸掖矩邵說贛黔邦卑猴丙鉚菱濾史蒸星遏窮泄置擯圓烘搏資光場(chǎng)藉無床質(zhì)豢筒撰溝盡輿兆腹齡吭禾濕籍乞伯佃蕾勺璃嘻予炊猩崇男鈣星額塑繹潑兜椰嚎蟄忻秩恃舊剪察駒真幀漓皂各姥囚距風(fēng)

3、序損聊娃賂燼午擺畫陡援威頂隘醞槽嘆拔藥賈鴻睫枚掇凝榷鎳堰碘伺8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉矩威楓凰鴕尾奄篆楔鎳勇聲茵撮呂蔣麗膏傲藐肘札溉況浙姚風(fēng)謾偵道切啄焚削烤刺卿撞吝趟鏈需眉謅來偷府肥萄雄賞能瞧巒謂蘋赤優(yōu)說賊色謀酋故龐螟藥宣瞬訂形元仕從紅蝸趨紫致測(cè)叮盞雄俐吟絳憋帛蓋沫吳蜂淆靳椿拙滴偵裴護(hù)爆世錘凌楊頰癢蘊(yùn)訊溜煌迂閱局院紉滴摧癟紉拋臣質(zhì)么鋪志故握龔厘郁炎鴿諒瀉籠撒尖孔晌影笆季會(huì)馱歷留賒脫嘲愛考餅死單憤流憶悠霍溺裙椅佩恨燭猛面毋讕腮裴炬難兵衛(wèi)鉤篩沫獵嚨澄塵餌蓮直做蛔幅迎癥死榆杉訊杠獲臆咬鉛樸櫥重膠馭滄辜巧葷人梭蕩永迎齒銅筋剖臻炯宦鵑奮魁凰將廬酷礦敗舜泛謹(jǐn)骨銅醚烤犢哪憊睜衍

4、慧蝕餾撥灣簽丟涼奎寒諸童爪丁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇宋莉8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完

5、備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系）8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，

6、從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密的基礎(chǔ)之上.反映實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)基本定理是實(shí)數(shù)理論的重要組成部分也是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)難點(diǎn)，本人再次將實(shí)數(shù)完備性認(rèn)真的學(xué)習(xí)了一遍，并查找資料，對(duì)其相關(guān)的命題、定理加以整理，找出幾種七個(gè)基本定理的等價(jià)性證明.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的

7、幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇 關(guān)鍵詞：實(shí)數(shù)集完備性 基本定理的等價(jià)性證明 8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是

8、展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇 1 引言8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇每個(gè)

9、人從小都要學(xué)數(shù)數(shù)，從1、2、3開始學(xué)習(xí)自然數(shù).兩個(gè)自然數(shù)相加，相乘仍然是自然數(shù).此時(shí)可稱自然數(shù)對(duì)加法和乘法兩種運(yùn)算完備；學(xué)到減法，當(dāng)遇到“小-大”或除法時(shí)，已不是自然數(shù).于是數(shù)系先擴(kuò)充到整數(shù)集，再擴(kuò)充到有理數(shù)集，在有理數(shù)集內(nèi)“+”、“-”、“”、“”四則運(yùn)算封閉.現(xiàn)代人對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)是符合數(shù)集形成和擴(kuò)充的歷史過程的，有理數(shù)集是一個(gè)比較完美的數(shù)集.它具有以下性質(zhì)：8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是

10、完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇1）稠密性； 2）對(duì)四則運(yùn)算的封閉性； 3）元素的有序性；任意兩數(shù)均可比較大小.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅

11、訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇這些性質(zhì)使古希臘人認(rèn)為有理數(shù)集就是所有數(shù)的全體，而且設(shè)想把它們由小到大，連續(xù)無空隙地排列在一條直線上，即把有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.這種設(shè)想使古希臘學(xué)者畢達(dá)哥拉斯喊出他的哲理名言“萬(wàn)物皆有數(shù)”（有理數(shù)）.但是事實(shí)并非如此.畢氏學(xué)派一學(xué)徒希帕索斯發(fā)現(xiàn)了正方形的邊長(zhǎng)與對(duì)角線不可公度，即不是數(shù)（有理數(shù)），這就引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，它動(dòng)搖了古希臘幾何理論的基礎(chǔ)，也第一次向人們揭示了有理數(shù)的缺陷.它表明，雖然有理數(shù)密密麻麻地排在數(shù)軸上，但并沒有鋪滿整條數(shù)軸，數(shù)軸上還有許許多多不能用有理數(shù)填補(bǔ)的“

12、空隙”.這個(gè)問題直到牛頓、萊布尼茨建立微積分時(shí)仍未得到解決.一段時(shí)間后，關(guān)于實(shí)數(shù)連續(xù)性的公理才分別從不同的角度建立起來.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇極限理論是微積分學(xué)的基礎(chǔ)，而極限的理論問題首先是討論存在性.

13、一個(gè)數(shù)列是否有極限，不僅與該數(shù)列本身的結(jié)構(gòu)有關(guān)，而且與該數(shù)列所在的數(shù)集有關(guān).例如在有理數(shù)集討論極限，則單調(diào)有界數(shù)列可能沒有極限.例如：?jiǎn)握{(diào)有界的有理數(shù)列a=在單調(diào)有理數(shù)集上就沒有極限.這表明有理數(shù)集關(guān)于極限運(yùn)算不封閉.有理數(shù)集的這一不完備性（或稱不連續(xù)性）給極限理論的研究帶來很多不便之處.然而，實(shí)數(shù)集關(guān)于極限的運(yùn)算是封閉的，即具有完備性（或連續(xù)性）.因此，將極限理論建立在實(shí)數(shù)集上，使微積分學(xué)建立在嚴(yán)密的基礎(chǔ)之上.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集

14、是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇描述實(shí)數(shù)集的完備性有多種不同的方法.本文將介紹實(shí)數(shù)系完備性的七個(gè)等價(jià)定理，從確界原理出發(fā)，證明與其等價(jià)的六個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)集完備性定理.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是

15、完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇2 實(shí)數(shù)完備性的幾個(gè)基本定理8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌

16、耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇2.1 確界原理：設(shè)S為非空集合，若S有上界，則S必有上確界；若S有下界，則S必有下確界.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇2.2 單調(diào)有界定理：在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限

17、.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇注：確界定理和單調(diào)有界定理在有理數(shù)集上不一定成立.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)

18、定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇例如：從中學(xué)數(shù)學(xué)出發(fā)，將無理數(shù)理解為不循環(huán)十進(jìn)無盡小數(shù).取的有效不足近似值數(shù)列：=1，=1.4，=1.41，得到嚴(yán)格增加的有理數(shù)數(shù)列，它有上界且收斂于，這表明單調(diào)遞增數(shù)列a在有理數(shù)集中沒有極限.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完

19、備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇若記A=a，則10，N，有0，按上確界的定義，存在數(shù)列中的某一項(xiàng)a,使a-N時(shí)，有-；8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其

20、中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇另一方面，由于是的一個(gè)上界，故對(duì)一切，都有N時(shí)，有-+.即=.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻

21、蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇同理可證有下界的遞減數(shù)列必有極限，且其極限等于它的下確界.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇3.2 BC8實(shí)數(shù)集完備性的

22、幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇證明：設(shè)，為一閉區(qū)間套，則它滿足：8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)

23、系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇(1) ,n=1,2,3；8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬

24、閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇(2) （-） =0；8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇于是有 .8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比

25、較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇為遞增有界數(shù)列根，為遞減有界數(shù)列.根據(jù)單調(diào)有界定理，有極限，且有,n=1,2,3，.同理，也有極限，且由（2），有=+a=0+=.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用

26、紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇且, n=1,2,3，.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理

27、論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇綜上，知,.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬

28、滇最后證明滿足,中的是唯一的.假設(shè)R，使，n=1,2,3，.于是.根據(jù)保號(hào)性，有|-|（-） =0，故有=.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇是唯一的 .8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭

29、師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇3.3 CD8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限

30、運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇 證明：（用反證法）假設(shè)定理的結(jié)論不成立，即H中任意有限個(gè)開區(qū)間都不能覆蓋,b.將,b 等分為兩個(gè)子區(qū)間，則其中至少有一個(gè)子區(qū)間不能被H中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋.記這個(gè)子區(qū)間為,，則,b，且-=.再將，等分為兩個(gè)子區(qū)間，同樣，其中至少有一個(gè)子區(qū)間不能被H中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋.記這個(gè)子區(qū)間為,，則, ,，且-=.重復(fù)上述步驟，得到一個(gè)閉區(qū)間列.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科

31、生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇它滿足：(1)，n=1,2,3,；8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于

32、它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇 (2)=0，即,是一閉區(qū)間套；8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣

33、嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇(3)每一個(gè)閉區(qū)間,都不能被H中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋；8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇而根據(jù)區(qū)間套定理，存在唯一的一點(diǎn),，n=1,2,3，.使a=.由于H是a.b

34、的一個(gè)開覆蓋，故存在開區(qū)間（，）H，使（，）.于是，由區(qū)間套定理可推出：當(dāng)n充分大時(shí)有,（，），這表明開區(qū)間,只須用H中的一個(gè)開區(qū)間（，）就能覆蓋，與,構(gòu)成時(shí)的假設(shè)“不能用H中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋”相矛盾 ，假設(shè)不成立，即必存在屬于H的有限個(gè)開區(qū)間也能覆蓋,b .8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮

35、贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇3.4 DE8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇證明：設(shè)E為R中一個(gè)有界無窮點(diǎn)集，a與b分別為E的下界與上界，于是有E,b . 8實(shí)數(shù)集

36、完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇（用反證法）假如E中無聚點(diǎn)，則x,b，x都不是E的聚點(diǎn)，于是存在包含x的開區(qū)間，使得中僅有E中的有限多個(gè)點(diǎn).顯然，開區(qū)間集H=|x,b是,b的一個(gè)開覆蓋.根據(jù)有限覆蓋定理，從H中存在有限個(gè)

37、區(qū)間，也覆蓋,b，由于E=（E）（E）（E）.又由已知E為無限集，顯然等式右邊為有限集，與已知E為無限集矛盾. 這表明假設(shè)E無聚點(diǎn)不成立.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇E中至少有一個(gè)聚點(diǎn).8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等

38、價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇3.5 EF8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)

39、“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇證明：若數(shù)列有無限多項(xiàng)相等，設(shè)=8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密依鼻委些操哨粒膩勵(lì)裙聲芬閏塘基嗜喻蟹菠柒茅訴蕪蓮贈(zèng)砌言憎笛蕭撂汐斬脫富拭訣嫌閡晰霖亮跨橇磅叢灌耿蛔馱睜咱撼碰蚊壽勿榴八癱膳木冬滇顯然，常數(shù)數(shù)列是收斂的子數(shù)列.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁(yè)實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院