53平面向量的數(shù)量積

1、第代卓平海舸量§5,3平面向量的數(shù)量積基礎(chǔ)知識自主學習2. I知識梳理荽點講解深層突破向量的夾角已知兩個非零向量a和b,作OA=a,OB=b,則/AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是0,兀平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個非零向重a,b的夾角為。，則數(shù)重|a|b|-cos叫做a與b的數(shù)重積（或內(nèi)積），記作ab投影|a|cos。叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos。叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)重積ab于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos。的乘積平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a,b都是非零向量，e是單位向量，。為a與b(或e)的夾角.則平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標表示設(shè)

2、向量a=(xi,yi),b=(x2,y2)，貝Ua律xjxg+巧陷,由此得到若a=(x,y),則|a|2=x2+y2或|a|=寸x2+y2.設(shè)A(xi,yi),B(x2,y2)，貝UA,B兩點間的距離|AB|=|AB|=yjx2-xi2+y2-yi2.(3) 設(shè)兩個非零向量a,b,a=(xi,yi),b=(x2,y2),貝Ua±b?xxg+v%=0.(4) 【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打或“x”)(i)向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量.(V)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運算的運算結(jié)果是向量.(V)在四邊形ABCD中，Ab=dC且ACbD

3、=0,貝U四邊形ABCD為矩形.(X)兩個向量的夾角的范圍是0,2.(X)由ab=0可得a=0或b=0.(x)(ab)c=a(bc).(x)考點自刑快速菲答自查自糾i.已知向量a,b的夾角為60。，且|a|=2,|b|=i,則向量a與向量a+2b的夾角等于答案30°解析設(shè)向量a與向量a+2b的夾角為Q|a+2b|2=4+4+4ab=8+8cos60=i2,|a+2b|=2寸3,aa+2b)=|a|a+2b|-cOS=2x3cosX/3cos0,又aa+2b)=a2+2ab=4+4cos60=6,.4、j3cos0=6,cos0=.K0°,i80°,0=30

4、6;.已知菱形ABCD的邊長為a,ZABC=60。，則BDCD=.答案|a2解析如圖所示，B由題意，得BC=a,CD=a,ZBCD=i20°./iBD2=BC2+CD22BCCD-cosi20=a2+a22aax-=3a2,BD=a.BDcd=|BD|cD|cos30=/3a2x平=|a2.3.已知單位向量ei,ei的夾角為a,且cos若向量a=3e2ei，則|a|=.3答案3解析-|a|2=aa=(3ei2ei)-倒2ei)1一.一=9|ei|212eiei+4|ei|2=912X1x1x3+4=9.-|a|=3.4. 已知A,B,C為圓。上的三點，若aO=方晶+AC),則扁與AC

5、的夾角為.答案90°解析由Ab=或康+AC)可知點o為bc的中點，即bc為圓o的直徑，又因為直徑所對的圓周角為直角，所以/BAC=90°,所以AB與AC的夾角為90°.已知|a|=5,|b|=4,a與b的夾角0=120。，則向量b在向量a方向上的投影為答案2解析由數(shù)量積的定義知，b在a方向上的投影為|b|cos0=4Xcos120=2.題型分類深度剖析題型一平面向量數(shù)量積的運算例1(1)(2015四川)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，|AB|=6,|品|=4,若點M,N滿足bM=3MC,DN=2NC，貝UAMNM=.(2)已知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上

6、的動點，則dEcB的值為；DEdC的最大值為.答案(1)9(2)11解析(1)AM=AB+，品，rH>1>1奩NM=CMCN=-4AD+TAB,r1一工1rAMNM=(4AB+3AD)(4AB3AD)=成(16康29AD2)=選(16X62-9X42)=9.(2)方法一以射線AB,AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標系，貝UA(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),設(shè)T一一/一_一一一一一E(t,0),任0,1,則DE=(t,-1),CB=(0,-1)，所以DECB=(t,-1)-(01)=1.因為DC=(1,0),所以DEDC=(t,1)-(1,0)tv1,故D

7、EDC的最大值為1.方法二由圖知，無論E點在哪個位置，DE在CB方向上的投影都是CBA早H='一/-DECB=|CB|.與1,心c當E運動到B點時，DE在DC方向上的投影最大即為DC=1,-(DEDC)max=|DC|日1.思維升華(1)求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標運算；利用數(shù)量積的幾何意義.(2)解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運算問題時，可先利用向量的加、減運算或數(shù)量積的運算律化簡再運算，但一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補.跟蹤訓(xùn)練1(1)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8,AD=5,CP=P夕3pD,ApBp=2,則Ab/AD=.

8、礦A8(2)已知正方形ABCD的邊長為2,E為CD的中點，貝UAe品=.答案(1)22(2)2解析(1)由cp=3兄，得DP=1dc=4ab,AP=aD+DP=AD+4AB,bp=ApAb=AD+1AB-AB=AD-3AB.因為APBp=2,所以(AD+!扁)AD-7>AB)=2,即aD21品aB-£4444，216康2=2.又因為AD2=25,AB2=64,所以ABAD=22.一_.、，rr,(2)由題意知：AEBD=(AD+DE)A。一AB)，riL.1rr=(AD+嚴)ADAB)=AD2-；aBAB-2aB2=4-0-2=2.題型二用數(shù)量積求向量的模、夾角命題點1求向量的

9、模例2(1)已知向量a,b均為單位向量，它們的夾角為本則|a+b|=.(2)(2014湖南)在平面直角坐標系中，。為原點，A(-1,0),B(0,寸3),C(3,0),動點D滿足|CD1=1,貝U|oA+OB+OD|的最大值是.答案(1)3(2)7+1解析(1)因為向量a,b均為單位向量，它們的夾角為f所以|a+b|=Ua+b2=Ja2+2ab+b23=J1+2cos3+1=艘.設(shè)D(x,y),由品=(x-3,y)及|CD|=1知(x-3)2+y2=1,即動點D的軌跡為以點C為圓心的單位圓.又。成+OB+OD=(-1,0)+(0,“)+(x,y)=(x-1,y+盈)，|OA+Ob+Ob|=Wx

10、_12+y+女2.問題轉(zhuǎn)化為圓(x3)2+y2=1上的點與點P(1,一寸3)間距離的最大值.圓心C(3,0)與點P(1,一寸3)之間的距離為<3-12+0+確2=寸7,故Vx-12+y+洲2的最大值為yp+1.命題點2求向量的夾角例3(1)(2015重慶)若非零向量a,b滿足|a|=2p|b|,且(a-b)±(3a+2b)，則a與b的夾角3為.若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a3b與c的夾角為鈍角，貝Uk的取值范圍是TT99答案(1)4(2)-00,-U23解析(1)由(ab)±(3a+2b)得(a-b)-呀2b)=0,即3a2aS2b2=

11、0.又.|a|=¥|b|,設(shè)3a,b=0,即3|a|2|a|b|-coS2|b|2=0,8°2,2°°2-3|b|2-3|b|2-co2|b|2=0,-cos0=板.又0<0<7-0=4(2).2a3b與c的夾角為鈍角,.(2a3b)cv0,即(2k3,-6)-(2,1)0,4k66v0,kv3.9又右(2a3b)/c,則2k3=12,即k=一云當k=一|時，2a3b=(-12,6)=6c,即2a3b與c反向.一99綜上，k的取值氾圍為一8,U,3.思維升華(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，可以求向量的模、夾角，解決垂直、夾角問題;兩向量夾角。

12、為銳角的充要條件是cos0>0且兩向量不共線；(2)求向量模的最值(范圍)的方法：代數(shù)法，把所求的模表示成某個變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解；幾何法(數(shù)形結(jié)合法)，弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動點表示的圖形求解.跟蹤訓(xùn)練W(1)已知單位向量ei與e2的夾角為a,且cosa=向量a=3e2e2與b=3ei3一e2的夾角為6,貝Ucos3=(2)在左ABC中，若A=120°,扁aC=1,貝U|BC|的最小值是答案的(2).63解析(1).|a|=寸3e2e229+412X1x1X*3,|b|=寸3e1e22=9+16X1x1x3=2y/2,-ab=(3e2e2)-e3e2)=

13、9e29e1e2+2e2cc1cc=99X1X1x3+2=8,c822-cos3=：.3X2,23(2).ABAC=1,-|AB|AC|-cos120-1,即|AB|AC|=2,|I3C|2=|AC-扇|2=AC2-2ABAC+AB2>2|AB|AC|2ABAC=6,-|BC|min=寸6.題型三平面向量與三角函數(shù)例4(2015廣東)在平面直角坐標系xOy中，已知向量m=萼，*2,n=(sinx,cosx),x0,方.若m±n，求tanx的值；若m與n的夾角為*求x的值.解(1)因為m=乎，一乎，n=(sinx,cosx),m±n.所以mn=0,即乎sinx乎cosx

14、=0,所以sinx=cosx,所以tanx=1.兀1因為|m|=|n|=1,所以mn=cosg=«,口冷.乂21.兀1即sinx-cosx=2，所以sinx-4=«,因為0<x<2所以4<x一芯,所以x一即x=52.思維升華平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標中含有三角函數(shù)的形式，運用向量共線或垂直或等式成立得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解.給出用三角函數(shù)表示的向量坐標，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_形式，解題思路是經(jīng)過向量的運算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等.跟蹤訓(xùn)練3(2015懷化二模)已知O為坐標原點，向

15、量OA=(3sina,cos由,Ob=(2sin也,3兀一、.5sina4cosa),2兀，且OA±OB,貝Utana的值為.4答案3解析由題意知6sin2a+cosa(5sinx4cosa)=0,即6sin2a+5sinocosa4cos2a=0,上述cc3TT一，一一等式兩邊同時除以cos2a,得6tan2a+5tana-4=0,由于a,2兀，則tanav0,解礙tana=43.易錯警示系列向量夾角范圍不清致誤60。，若向量2tei+7e2典例(14分)若兩向量ei,e2滿足|ei|=2,|e2|=1,ei,e2所成的角為與向量ei+te2所成的角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍.易錯

16、分析兩個向量所成角的范圍是0,兀兩兩個向量所成的角為鈍角，容易誤認為所成角兀為鈍角，導(dǎo)致所求的結(jié)果范圍擴大.規(guī)范解答解設(shè)向量2tei+7e2與向量ei+te2的夾角為。，由。為鈍角，知cos火0,故(2tei+7e2)e<+te2)=2te2+(2t2+7)eie2+7te2=2t2+i5t+7v0,解得一7vtv-.5分再設(shè)向量2tei+7e2與向量ei+te2反向，則2te+7e2=k(ei+te2)(kv0),8分c,142t=k,t=七,從而且kv0,解得27=tkk=一何即當t=一寸g時，兩向量所成的角為兀12分所以t的取值范圍是(一7,一斗4)U(-斗4,-).14分溫馨提醒

17、(1)兩個非零向量的夾角范圍為0,兀解題時要注意挖掘題中隱含條件.1 (2)利用數(shù)量積的符號判斷兩向量的夾角取值范圍時，應(yīng)該注意向量夾角的取值范圍，不要忽視兩向量共線的情況.若abv0,貝"a,b>C(宗有若ab>0,貝Ua,b>C0,亦思想方法感悟提高方法與技巧.計算數(shù)量積的三種方法：定義法、坐標運算、數(shù)量積的幾何意義，解題要靈活選用恰當?shù)姆椒?，和圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用.1. 求向量模的常用方法：利用公式|a|2=a2,將模的運算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運算.2. 利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問題常用的方法與技巧.失誤與防范1.

18、數(shù)量積運算律要準確理解、應(yīng)用，例如，ab=ac（a乒0）不能得出b=c,兩邊不能約去一個向量.2 .兩個向量的夾角為銳角，則有ab>0,反之不成立；兩個向量夾角為鈍角，則有ab<0,反之不成立.練出高分A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練（時間：40分鐘）1.若向量a,b滿足|a|=|b|=2,a與b的夾角為60。，則|a+b|=.答案2,'31.解析|a+b|11.c=2,礙sin0=1,所以0=90,所以e1e2=0.從而對e3=e1+ke2兩邊同時平萬得1=k2,解得k=乎或一乎（舍去）.4. 如圖，在ABC中，若|康+AC|=|ABAC|,AB=2,AC=1,E,F為BC邊的三等分點，

19、貝UAEaF=.=|a|2+|b|2+2|a|b|cos60=4+4+2X2x2X廣12,|a+b|=2/3.2 .已知向量a=（1,寸3）,b=（3,m）.若向量a,b的夾角為：，則實數(shù)m=.答案3解析.ab=（1,書）-（3m）=3+3m,ab=寸12+羽2x寸32+m2xcosj3 +'/3m=寸12+*/32x寸32+m2xcos言，m=3.3. 1設(shè)e，e2,e3為單位向重，且e3=01+ke2（k>0）,右以向重e，e2為鄰邊的二角形的面積,1為-，則k的值為.答案"311.3 解析設(shè)e，&的夾角為0,則由以向量e，e2為鄰邊的三角形的面積為得寸1x

20、1xsin010答案料9解析若|扇+AC=|AB-AC,則康2+AC2+2ABAC=扇2+AC2-2扇AC,即有ABAC=.一.r1yL1ztL0.E,F為BC邊的等分點，則AEAF=(AC+CE)AB+BF)=AC+CBAB+-BC=32AC+1AB.1AC+2Ab=|aC2+|aB2+5ABAC=IX(1+4)+0=10. 333399999到直線x+1=1(0<x<1)的距離1+46.在ABC中，M是BC的中點，AM=3,已知向量a,b是單位向量，若a律0,且|ca|+|c2b|=寸5,則|c+2a|的取值范圍是答案垂心解析OA0B=OBOC,OBQA-OC)=0,-OBCA

21、=0,OBXCA,即OB為ABC底邊CA上的高所在直線.同理OABC=0,OCAB=0，故0是左ABC的垂心.9. 已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)倒b)=61.求a與b的夾角女求|a+b|；若AB=a,BC=b,求ABC的面積.解(1).(2a3b).&+b)=61,.4|a|24ab-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,.644ab27=61,ab=6.0ab61cos0=一_,|a|b|4X32'p.c一27t又.Tt,-0=o(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=42+2x(-6)+32=13,|a+b|=-jfi3.扁與此的夾

22、角。=奪，O又|AB|=|a|=4,|BC|=|b|=3,1->->Saabc=-|AB|BC|sinZABC=；X4X3X乎=3福在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,向量m=(cos(AB),sin(A-B),n-3=(cosB,sinB),且mn=-5(1)求sinA的值；若a=4&b=5,求角B的大小及向量bX在氐方向上的投影.解(1)由mn=3,得cos(AB)cosBsin(AB)sinB=3,所以cosA=-555'因為OvAvTt,所以sinA=寸1-cos2A=3252=由正弦定理，得sinAsinB'4bsinA5*52a4,2

23、則sinB=2因為a>b,所以A>B,貝UB=4.由余弦定理得（4寸2）2=52+c22X5cx解得c=1,故向量BA在BC方向上的投影為2|BA|cosB=ccosB=1x2專項能力提升（時間：20分鐘）已知點A,B,C在圓x2+y2=1上運動，且AB±BC.若點P的坐標為（2,0），貝U|PA+PB+PC|的最大值為.答案7解析由A,B,C在圓x2+y2=1上，且AB±BC,所以AC為圓直徑，故PA+PC=2PO=(-4,0),設(shè)B(x,y),則x2+y2=1且x1,1,PB=(x-2,y),所以PA+PB+PC=(x-6,y).故|PA+PB+PC|=H1

24、2x+37，所以x=1時有最大值寸49=7.10. .一,一一、一，一一一一_f一土一一在ABC中，A=90,AB=1,AC=2.設(shè)點P,Q滿足AP=入ABAQ=(13AC,入£R.若BQCP=2,貝U入=.答案I3解析bQ=AQ-扇=(1-誠-扇，r上q_上CP=APAC=入ABAC,BQCP=(卜1)AC2-xlB2=4(入一1)一出3入一4=一2,即出.3如圖，在矩形ABCD中，AB=寸2,BC=2,點E為BC的中點，點F在ofccd上，若aBaF=寸2則AEbF的值是./答案展解析依題意得AEBF=(AB+BE)tAfAB)=ABAFAB2+BEAFBeAbr=42+1X2-

25、0=g設(shè)向量a=(ai,a2),b=(bi,b2)，定義一種向量積a?b=(aibi,a2b2)，已知向量m=(2,1),n=(3,0)，點P(x,y)在y=sinx的圖象上運動，Q是函數(shù)y=f(x)圖象上的點，且滿足OQ=m?OP+n(其中。為坐標原點)，貝U函數(shù)y=f(x)的值域是.八11答案2，2解析設(shè)Q(c,d),由新的運算可得->1兀OQ=m?OP+n=(2x,sinx)+(3,0)，八，兀1=(2x+SnSinx),32-.兀c=2x+,3由d=sinx,消去x得d=singcj,所以y=f(x)=1sin(1x-",11易知y=f(x)的值域是一22.11. 在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若ABAC=BABC=1.判斷ABC的形狀；求邊長c的值；若|AB+AC|=2也，求ABC的面積.解(1)由AfeAC=BAbC=1,得bc-coA=ac-coB,由正弦定理，即sinBcosA=sinAcosB,sin(AB)=0,A=B，即ABC是等腰三角形.由aBaC=1,得bc-coA=1,又bcb+C=1,貝Ub2+c2a2=2,2bc又a=b,c2=2,即c=yJ2.