用軸對稱求最短距離

1、用軸對稱求最短距離在研究幾條線段長之和（差）的最小或最大值時，常常需要把這些線段集中到一起，然后將其與某條長度固定的線段進行比較。把其中的部分特殊點進行恰當(dāng)?shù)妮S對稱變換，是實現(xiàn)這一目標(biāo)的有效手段?，F(xiàn)舉例說明，供同學(xué)們參考。一、為了在已知直線上尋找與同側(cè)兩點距離之和最小的點，可通過軸對稱變換，把同側(cè)兩點轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩點，再利用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”來確定例1. 如圖1，牧童在A處放牧，其家在B處，A、B到河岸l的距離分別為AC、BD，且A處到河岸CD中點的距離為500m。（1）如牧童從A處將馬牽到河邊飲水后再回家，試問：在何處飲水，所走路程最短？（2）最短的路程是多少？解析：這

2、個問題可簡述為“已知直線CD和直線CD同側(cè)的兩點A，B，在直線CD上求一點M，使最小?！保?）如圖2，先作點A關(guān)于直線CD的對稱點，再連接交CD于點M，則點M為所求的點。證明如下：在CD上任取一點，連接、AM。點A、關(guān)于直線CD對稱，點M、在CD上，。最小。（2）由（1）知，。故M為CD中點，且最短路程為。二、在涉及折線段長的最值問題的，一般是通過多次軸對稱變換，利用兩點之間線段最短求最值。例2. 如圖3，牧童家在A處?，F(xiàn)在牧童要先帶馬到河邊（圖中用直線a表示）飲水，再到草地（圖中用直線b表示）吃草，然后回家。問：牧童讓馬在何處飲水、吃草，所走的總路程最短？解析：設(shè)點B、點C分別是馬

3、飲水、吃草處，本題即是要求線段長之和AB+BC+CA的最小值。我們通常需要把它和固定線段相比較?？赏ㄟ^軸對稱變換，把這些線段放在同一直線上，利用兩點之間線段最短來解決。如圖4所示，分別作點A關(guān)于直線a的對稱點A”，點A關(guān)于直線b的對稱點A”。連接A”A”。A”A”交直線a于點B，交直線b于點C，則AB+BC+CA=A”B+BC+CA”A”A”。而對其他地點B”、C”，也都可以同樣轉(zhuǎn)化為A”B”+B”C”+C”A”，即為A”、A”兩點間的折線段的長。根據(jù)“兩點之間線段最短”知，線段A”A”最短，點B、C即為所求。三、為了在已知直線上尋找與異側(cè)兩點距離之差最小的點，可通過軸對稱變換，把異側(cè)兩點轉(zhuǎn)化為同側(cè)兩點，利用“三角形任意兩邊之差小于第三邊”來確定例3. 如圖5，已知直線l和位于直線l異側(cè)的兩點A、B。其中點A到直線l的距離大于點B到直線l的距離。求作直線l上一點C，使最大。解析：如圖6，作點B關(guān)于直線l的對稱點B”，連接AB”，