第11章圖像正交變換

1、問題的提出： 視覺所感受到的是在空間域和時間域的信號。但是，往往許多問題在頻域中討論時，有其非常方便分析的一面。圖像變換的目的：v使圖像處理問題簡化v有利于圖像特征提取v有助于從概念上增強(qiáng)對圖像信息的理解第11章 圖像正交變換變換問題的引入 頻率域 幅值與頻率 空間域 灰度什么是圖像變換將圖像看成是線性疊加系統(tǒng)圖像在空域上相關(guān)性很強(qiáng)圖像變換是將圖像從空域變換到其它域如頻域的數(shù)學(xué)變換q常用的變換：傅立葉變換、沃爾什變換、哈達(dá)瑪變換、離散余弦變換、離散K-L變換、小波變換11.1 傅立葉變換 傅立葉變換的作用（1）可以得出信號在各個頻率點(diǎn)上的強(qiáng)度。（2）可以將卷積運(yùn)算化為乘積運(yùn)算。（3）傅氏變換和

2、線性系統(tǒng)理論是進(jìn)行圖像恢復(fù) 和重構(gòu)的重要手段。（4）傅立葉變換能使我們從空間域與頻率域兩個不同的角度來看待圖像的問題，有時在空間域無法解決的問題在頻域卻是顯而易見的。 傅立葉變換的定義dxexfuFuxj2)()(若f(x)為一維連續(xù)實(shí)函數(shù)，則它的傅里葉變換可定義為： 傅立葉逆變換定義如下： dueuFxfuxj2)()( 函數(shù)f(x)和F(u)被稱為傅立葉變換對。即對于任一函數(shù)f(x)，其傅立葉變換F(u)是惟一的； 反之，對于任一函數(shù)F(u)，其傅立葉逆變換f(x)也是惟一的。 傅里葉變換的條件傅里葉變換的條件 傅里葉變換在數(shù)學(xué)上的定義是嚴(yán)密的，它需要滿足如下狄利克萊條件： (1) 具有有

3、限個間斷點(diǎn)； (2) 具有有限個極值點(diǎn)； (3) 絕對可積;F(u)可以表示為如下形式： )()()(ujIuRuF2122)()(| )(|uIuRuF)()(tan(arg)(uRuIu |F(u)|稱為F(u)的模，也稱為函數(shù)f(x)的傅立葉譜，)(u稱為F(u)的相角。 2| )(|)(uFuE)(uE稱為函數(shù)f(x)的能量譜或功率譜。 傅立葉變換在圖像濾波中的應(yīng)用 首先，我們來看Fourier變換后的圖像，中間部分為低頻部分，越靠外邊頻率越高。 因此，我們可以在Fourier變換圖中，選擇所需要的高頻或是低頻濾波。 傅立葉變換在卷積中的應(yīng)用 直接進(jìn)行時域中的卷積運(yùn)算是很復(fù)雜的。傅立葉

4、變換將時域的卷積變換為頻域的乘積。)(SG),(jif),(jifgfgfg),(),(),(FGFg)(1ggFFFTf離散傅立葉變換 離散傅立葉變換的定義 要在數(shù)字圖像處理中應(yīng)用傅立葉變換，要在數(shù)字圖像處理中應(yīng)用傅立葉變換， 還需要解決兩個還需要解決兩個問題：一是在數(shù)學(xué)中進(jìn)行傅立葉變換的問題：一是在數(shù)學(xué)中進(jìn)行傅立葉變換的f f( (x x) )為連續(xù)（模擬）為連續(xù)（模擬）信號，信號， 而計(jì)算機(jī)處理的是數(shù)字信號（圖像數(shù)據(jù)）；二是數(shù)學(xué)而計(jì)算機(jī)處理的是數(shù)字信號（圖像數(shù)據(jù)）；二是數(shù)學(xué)上采用無窮大概念，而計(jì)算機(jī)只能進(jìn)行有限次計(jì)算。通常，上采用無窮大概念，而計(jì)算機(jī)只能進(jìn)行有限次計(jì)算。通常， 將受這種限

5、制的傅立葉變換稱為離散傅立葉變換（將受這種限制的傅立葉變換稱為離散傅立葉變換（Discrete Discrete Fourier TransformFourier Transform，DFT)DFT)。1021, 2 , 1 , 0)()(NxNuxjNuexfuF1021, 2 , 1 , 0)(1)(NuNuxjNxeuFNxf二維傅立葉變換1. 二維連續(xù)函數(shù)傅立葉變換的定義 dxdyeyxfvuFvyuxj)(2),(),( dudvevuFyxfvyuxj)(2),(),(2. 二維離散函數(shù)傅立葉變換的定義 根據(jù)一維離散傅立葉變換的定義和二維連續(xù)傅立根據(jù)一維離散傅立葉變換的定義和二維連

6、續(xù)傅立葉變換理論，對于一個具有葉變換理論，對于一個具有M MN N個樣本值的二維離散個樣本值的二維離散序列序列f(xf(x，y)y)，（，（x=0,1,2,3, x=0,1,2,3, ,M-1,M-1；y=0,1,2,3, y=0,1,2,3, ,N-1,N-1）其傅立葉變換為：）其傅立葉變換為： (1) 二維離散傅立葉正變換1, 2 , 1 , 0; 1, 2 , 1 , 0),(),(10)(210NvMueyxfvuFMxNvyMuxjNy(2) 二維離散傅立葉逆變換若已知頻率二維序列F(u，v) （u=0,1,2,3, ,M-1；v=0,1,2,3, ,N-1），則二維離散序列F(u，

7、v)的傅立葉逆變換定義為： 1, 2 , 1 , 01, 2 , 1 , 0),(1),(10)(210NyMxevuFMNyxfNvNvyMuxjMu x、y和u、v，分別為空間域采樣間隔和頻率域采樣間隔 兩者之間滿足如下關(guān)系： vNyuMx11 式中序列R(u，v)和I(u，v)分別表示離散序列F(u，v)的實(shí)序列和虛序列。 二維序列f(x，y)的頻譜（傅立葉幅度譜）、相位譜和能量譜（功率譜）分別如下： F(u，v)可以表示為如下形式：),(),(),(vujIvuRvuF2122),(),(| ),(|vuIvuRvuF),(),(tan(arg),(vuRvuIvu2| ),(|),(

8、vuFvuE(1)(1) 線性特性線性特性 二維離散傅立葉變換的性質(zhì)),(),(),(),(22111111yxfkDFTyxfkDFTyxfkyxfkDFT),(),(2211vuFkvuFk(2) (2) 比例性質(zhì)比例性質(zhì) = =0),(1),(abbvauFabbyaxfDFT(3)(3)平移性質(zhì)平移性質(zhì) ),(),(00)(200vvuuFeyxfDFTNyvMxuj 二維傅立葉變換的移位特性表明，當(dāng)用 乘以f(x，y)，然后再進(jìn)行乘積的離散傅里葉變換時，可以使空間頻率域u-v平面坐標(biāo)系的原點(diǎn)從(0，0)平移到(u0，v0)的位置。 )(200NyvMxuje先對行做變換：然后對列進(jìn)行

9、變換f(x,y)（0，0）（N-1，M-1）xyF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(u,v)（0，0）（N-1，M-1）uv(4)(4)可分離性可分離性 二維傅立葉變換的可分離特性表明，一個二維傅立葉變換可通過二次一維傅立葉變換來完成，即：第一次先對y進(jìn)行一維傅立葉變換 1, 2 , 1 , 01, 2 , 1 , 0),(),(210NvMxeyxfvxFNvyjNy在此基礎(chǔ)上對x進(jìn)行一維傅立葉變換1, 2 , 1 , 01, 2 , 1 , 0),(),(210NvMuevxfvuFMuxjMx 若已知頻率二維序列F(u，v)，則二維

10、可分離性對傅立葉逆變換同樣適應(yīng) 10)(210),(),(MuNvyMuxjNvevuFyxf1, 2 , 1 , 01, 2 , 1 , 0),(102210 NyMxeevuFMuNuxjMvyjNv逆變換的分離性也同樣可以分解為兩次一維傅立葉變換 1, 2 , 1 , 01, 2 , 1 , 0),(),(),(1111NyMxvuFDFTDFTvuFDFTDFTyxfuvvu(5)(5)周期性周期性 1, 2 , 1 , 01, 2 , 1 , 0),(),(21NvMuNkvMkuFvuF 如果二維離散函數(shù)f(x，y)的傅里葉變換為F(u，v)，則傅立葉變換及其逆變換存在如下周期特性

11、： (6)(6)共軛對稱性共軛對稱性 1,2, 1 ,01,2, 1 ,0),(),(*NvMuvuFvuF半周期的傅里葉頻譜全周期的傅里葉頻譜二維圖像的傅里葉頻譜中心化的傅里葉頻譜sincosryrxsincosvu 做代換有： ,Frfyxf 如果 被旋轉(zhuǎn) ,則 被旋轉(zhuǎn)同一角度。即有傅立葉變換對：yxf,0,F u v00,Frf(7)(7)旋轉(zhuǎn)不變性旋轉(zhuǎn)不變性 (8)(8)微分性質(zhì)微分性質(zhì) 1, 2 , 1 , 01, 2 , 1 , 0),()2(),(NvMuvuFujxyxfDFTnnn1, 2 , 1 , 01, 2 , 1 , 0),()2(),(NvMuvuFvjyyxfDF

12、Tnnn(9)(9)平均值性質(zhì)平均值性質(zhì) 平均值定義如下平均值定義如下 1010),(1),(MxNyyxfMNyxf),(),()0 , 0(1010yxfMNyxfFMxNy)0 , 0(1),(FMNyxf平均值性質(zhì)如下：平均值性質(zhì)如下： 即：即： 結(jié)論：二維離散函數(shù)的平均值等于其傅立葉變換在頻率原點(diǎn)處值的1/MN。 ( (1010) )卷積定理：卷積定理：f(x,y)*h(x,y) F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y) F(u,v)*H(u,v)1010),(),(1),(*),(MmNnnymxhnmfMNyxhyxf二維傅立葉變換二維傅立葉變換( (幅值及相位幅值及相位

13、) )意義意義 n左邊一列左邊一列: : 上方為原始圖像,下方為本圖的相關(guān)說明說明;n中間一列中間一列: : 上圖幅值譜,下圖為根據(jù)幅值譜的傅立葉逆變換(忽略相位信息,設(shè)相位為0);n右邊一列右邊一列: : 上圖相位譜,下圖為根據(jù)相位譜的傅立葉逆變換(忽略幅值信息,設(shè)幅值為某一常數(shù));圖像的說明圖像的說明 Fourier 變換示意圖Fourier變換的頻率特性 返回Fourier變換的低通濾波返回Fourier變換的高通濾波返回Fourier變換的壓縮原理另一幅圖像效果壓縮率為：1.7：1壓縮率為：2.24：1壓縮率為：3.3：1Fourier變換的壓縮原理 返回壓縮率為：8.1：1壓縮率為：

14、10.77：1壓縮率為：16.1：1快速傅里葉變換問題的提出： 離散傅里葉變換已成為數(shù)字信號處理的重要工具。然而，它的計(jì)算量較大，運(yùn)算時間長，在某種程度上卻限制了它的使用范圍。 二維離散傅立葉變換具有可分離性，即它可由兩次一維二維離散傅立葉變換具有可分離性，即它可由兩次一維離散傅立葉變換計(jì)算得到，因此，僅研究一維離散傅立葉離散傅立葉變換計(jì)算得到，因此，僅研究一維離散傅立葉變換的快速算法即可。改寫公式：變換的快速算法即可。改寫公式： 10)()(NxuxWxfuF式中，式中，W W=e=e-j2-j2N N ，稱為旋轉(zhuǎn)因子。，稱為旋轉(zhuǎn)因子。 W= e e-j2-j2N N = =cos(22N

15、N )-j )-j sin(22N N ) ( ) (以以N N為周期為周期) )式中很多式中很多W Wuxux系數(shù)相同，不必進(jìn)行多次重復(fù)計(jì)算。系數(shù)相同，不必進(jìn)行多次重復(fù)計(jì)算。 FFT FFT的推導(dǎo)過程：的推導(dǎo)過程： 設(shè)設(shè)N N為為2 2的正整數(shù)次冪，的正整數(shù)次冪， 即即 , 2 , 12nNn令令M M=N/2,=N/2,離散傅立葉變換可改寫成如下形式：離散傅立葉變換可改寫成如下形式： 10)12(2)2(2101202) 12()2()()(MxxuMxuMMxMxuxMWxfWxfWxfuF偶離散點(diǎn)偶離散點(diǎn)奇離散點(diǎn)奇離散點(diǎn)uxMuxMjuxMjuxMWeeW)()(/222/222uMu

16、xMMxMxuxMWWxfWxfuF21010) 12()2()( 定義定義 1, 1 ,0,)12()(1, 1 ,0,)2()(1010MxuWxfuFMxuWxfuFMxuxMoMxuxMe10)12(2)2(2101202) 12()2()()(MxxuMxuMMxMxuxMWxfWxfWxfuF于是于是)()()(2uFWuFuFouMe 將一個將一個N N點(diǎn)的離散傅立葉變點(diǎn)的離散傅立葉變換分解成兩個換分解成兩個N N2 2短序列的離短序列的離散傅立葉變換，即分解為偶數(shù)散傅立葉變換，即分解為偶數(shù)和奇數(shù)序列的離散傅立葉變換和奇數(shù)序列的離散傅立葉變換F Fe e( (u u) )和和F

17、Fo o( (u u) ) 。 )7()7()7()6()6()6()5()5()5()4()4()4()3()3()3()2()2()2() 1 () 1 () 1 ()0()0()0(7868584838281808oeoeoeoeoeoeoeoeFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFF設(shè)設(shè)N=2N=23 37.2.2 7.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換) 7 () 7 () 7 () 6 () 6 () 6 () 5 () 5 () 5 () 4() 4() 4() 3 () 3 () 3 () 2() 2() 2() 1 () 1 () 1 ()

18、0 () 0 () 0 (7868584838281808oeoeoeoeoeoeoeoeFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFMxxMuMMMuMMxxMuMoMuMeWxfWWWxfMuFWMuFMuF0)(220)(2)2()2()()()(MxMxMuxMuMMxMxMuxMWWxfWWWxf020) 12()2(MxuxMuMMxuxMWxfWWxf020) 12()2()()(2uFWuFouMe)0()0()40(2ouMeFWFF)2()2()42(2ouMeFWFF) 1 () 1 ()41 (2ouMeFWFF)3()3()43(2ouMeFWFF

19、7.2.2 7.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換蝶形運(yùn)算單元蝶形運(yùn)算單元 Fe(1)F(1)F(5)Fo(1)18W18W) 1 () 1 ()5() 1 () 1 () 1 (1818oeoeFWFFFWFF)3()3()7()2()2()6() 1 () 1 ()5()0()0()4()3()3()3()2()2()2() 1 () 1 () 1 ()0()0()0(3828180838281808oeoeoeoeoeoeoeoeFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFF7.2.2 7.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換Fe(0)Fe(1)Fe(

20、2)Fe(3)Fo(0)Fo(1)Fo(2)Fo(3)08W18W28W38W08W18W28W38WF(0)F(1)F(2)F(3)F(4)F(5)F(6)F(7) 3 () 3 () 7() 2() 2() 6() 1 () 1 () 5 () 0() 0() 4() 3 () 3 () 3 () 2() 2() 2() 1 () 1 () 1 () 0() 0() 0(3828180838281808oeoeoeoeoeoeoeoeFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFF7.2.2 7.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換 F Fe e( (u u) )和

21、和F Fo o( (u u) )都是都是4 4點(diǎn)的點(diǎn)的DFTDFT，對它們再按照奇偶，對它們再按照奇偶進(jìn)行分組進(jìn)行分組) 1 () 1 () 3()0()0()2() 1 () 1 () 1 ()0()0()0(28082808eoeeeeoeeeeoeeeeoeeeFWFFFWFFFWFFFWFF) 1 () 1 ()3()0()0()2() 1 () 1 () 1 ()0()0()0(28082808oooeooooeooooeooooeoFWFFFWFFFWFFFWFFFee(0)Feo(1)08W28WFee(1)Feo(0)Fe(0)Fe(1)Fe(2)Fe(3)28W08WFoe(

22、0)Foo(1)08W28WFoe(1)Foo(0)Fo(0)Fo(1)Fo(2)Fo(3)28W08W7.2.2 7.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換8點(diǎn)點(diǎn)DFT的蝶形流程圖的蝶形流程圖 Fee(0)Feo(1)08W28WFee(1)Feo(0)Fe(0)Fe(1)Fe(2)Fe(3)28W08WFoe(0)Foo(1)08W28WFoe(1)Foo(0)Fo(0)Fo(1)Fo(2)Fo(3)28W08Wf (0)f (4)08W08Wf (2)f (6)08W08Wf (1)f (5)08W08Wf (3)f (7)08W08W08W18W28W38W08W18W28W38

23、WF(0)F(1)F(2)F(3)F(4)F(5)F(6)F(7)例：例：0 1 0 2 0 3 0 40 5 0 60 7 0 8Fe(0)Fo(1)04W14WFe(1)Fo(0)F (0)F (1)F (2)F (3)14W04W04W04W04W04Wf(0)f(2)f(1)f(3)0 1 0 2 0 3 0 40 5 0 60 7 0 83 i -3 -i 0 3 0 40 5 0 60 7 0 80012003-13i-3-i i-i 1 1 17.2.2 7.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換0034007-17i-7-i i-i 1 1 13 i -3 -i 7 i

24、-7 -i0 5 0 60 7 0 83 i -3 -i 0 3 0 40 5 0 60 7 0 87.2.2 7.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換00560011-111i-11-i i-i 1 1 13 i -3 -i 7 i -7 -i0 5 0 60 7 0 83 i -3 -i 7 i -7 -i11 i -11 -i0 7 0 87.2.2 7.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換00780015-115i-15-i i-i 1 1 13 i -3 -i 7 i -7 -i11 i -11 -i0 7 0 83 i -3 -i 7 i -7 -i11 i -11

25、 -i15 i -15 -i7.2.2 7.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換31171514-822-836-8+8i-8-8-8i i-i 1 1 13 i -3 -i 7 i -7 -i11 i -11 -i15 i -15 -i36 i -3 -i -8+8i i -7 -i-8 i -11 -i-8-8i i -15 -i7.2.2 7.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換iiii2i02i04i000 i-i 1 1 136 i -3 -i -8+8i i -7 -i-8 i -11 -i-8-8i i -15 -i36 4i -3 -i -8+8i 0 -7 -

26、i-8 0 -11 -i-8-8i 0 -15 -i7.2.2 7.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換-3-11-7-15-148-228-368-8i88+8i i-i 1 1 136 4i -3 -i -8+8i 0 -7 -i-8 0 -11 -i-8-8i 0 -15 -i36 4i -36 -i -8+8i 0 8-8i -i-8 0 8 -i-8-8i 0 8+8i -i7.2.2 7.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換-i-i-i-i-2i0-2i0-4i000 i-i 1 1 136 4i -36 -i -8+8i 0 8-8i -i-8 0 8 -i-8-

27、8i 0 8+8i -i36 4i -36 -4i -8+8i 0 8-8i 0-8 0 8 0-8-8i 0 8+8i 07.2.2 7.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換 MATLAB使用函數(shù)fft、fft2和fftn分別可以實(shí)現(xiàn)一維、二維和N維FFT算法；而函數(shù)ifft、ifft2和ifftn則用來計(jì)算反FFT算法。調(diào)用格式如下：Afft(X,N,DIM)其中，X表示輸入圖像；N表示采樣間隔點(diǎn)，如果X小于該數(shù)值，那么MATLAB將會對X進(jìn)行零填充，否則將進(jìn)行截取，使之長度為N；DIM表示要進(jìn)行離散傅立葉變換。Afft2(X,MROWS,NCOLS)其中，MROWS和NCOLS指

28、定對X進(jìn)行零填充后的X大小。Afftn(X,SIZE)其中，SIZE是一個向量，它們每一個元素都將指定X相應(yīng)維進(jìn)行零填充后的長度。A=fftshift(X)可以用于調(diào)整fft、fft2和fftn的輸出結(jié)果，對于一維fft，將左右元素互換，對于二維fft，進(jìn)行對角元素的互換，對于n維fft，將各維的兩半進(jìn)行互換。函數(shù)ifft、ifft2和ifftn的調(diào)用格式與對應(yīng)的離散傅立葉快速變換函數(shù)一致。d=zeros(32,32); %圖象大小32*32d(13:20,13:20)=1; %中心白色方塊大小為8*8subplot(221); imshow(d,notruesize); title(原始圖像

29、)D=fft2(d); %計(jì)算圖象d的傅立葉變換subplot(222); %顯示圖象d的傅立葉變換譜imshow(abs(D),-1 5,notruesize);title(傅立葉變換譜)subplot(223); %顯示圖象d的傅立葉變換對數(shù)譜imshow(log(abs(D),-1 5,notruesize);title(傅立葉變換對數(shù)譜)subplot(224); DF=fftshift(D);%顯示圖象d的傅立葉變換中心譜imshow(log(abs(DF),-1 5,notruesize);title(傅立葉變換中心譜)程序生成一個矩形函數(shù)，區(qū)域內(nèi)像素值為1，區(qū)域外為0。然后對矩形

30、做二維傅立葉變換，由于圖像的傅立葉變換矩陣元素一般是復(fù)數(shù)，不能直接顯示，需要調(diào)用abs函數(shù)對變換后的結(jié)果求模，圖中下面兩幅圖分別是傅立葉變換的對數(shù)譜和中心譜。11.2 離散余弦變換（DCT） Fourier變換的一個最大的問題是：它的參數(shù)都是復(fù)數(shù)，在數(shù)據(jù)的描述上相當(dāng)于實(shí)數(shù)的兩倍。為此，我們希望有一種能夠達(dá)到相同功能但數(shù)據(jù)量又不大的變換。 在此期望下，產(chǎn)生了DCT變換。n一維離散余弦變換1, 1 , 0, 1, 1 , 02) 1(2cos)(2)()(1)0(1010NxNuNuxxfNuFxfNFNxNx 一維離散余弦反變換1, 1 , 02) 12(cos)(2)0(1)(11NxNuxu

31、FNFNxfNun二維離散余弦變換10101010101010102) 12(cos2) 12(cos),(2),(2) 12(cos),(2)0 ,(2) 12(cos),(2), 0(),(1)0 , 0(NxNyNxNyNxNyNxNyNvyNuxyxfNvuFNuxyxfNuFNvyyxfNvFyxfNF 二維離散反余弦變換111111112) 12(cos2) 12(cos),(22) 12(cos)0 ,(22) 12(cos), 0(2)0 , 0(1),(NuNvNuNvNvyNuxvuFNNuxuFNNvyvFNFNyxf如果令如果令N=4，由一維解析式定義可得如下展開式：由

32、一維解析式定義可得如下展開式：)3(271. 0)2(653. 0) 1 (653. 0)0(271. 0)3()3(500. 0)2(500. 0) 1 (500. 0)0(500. 0)2()3(653. 0)2(272. 0) 1 (271. 0)0(653. 0) 1 ()3(500. 0)2(500. 0) 1 (500. 0)0(500. 0)0(ffffFffffFffffFffffF寫成矩陣形式：寫成矩陣形式：)3()2() 1 ()0(271. 0653. 0653. 0271. 0500. 0500. 0500. 0500. 0653. 0271. 0271. 0653.

33、0500. 0500. 0500. 0500. 0)3()2() 1 ()0(ffffFFFFF(u)=Af(x)同理，可得到反同理，可得到反變換展開形式：變換展開形式：) 3()2() 1 ()0(271. 0500. 0653. 0500. 0653. 0500. 0271. 0500. 0653. 0500. 0271. 0500. 0271. 0500. 0653. 0500. 0) 3()2() 1 ()0(FFFFffff)3(271. 0)2(500. 0) 1 (653. 0)0(500. 0)3()3(653. 0)2(500. 0) 1 (271. 0)0(500. 0)2

34、()3(653. 0)2(500. 0) 1 (271. 0)0(500. 0) 1 ()3(271. 0)2(500. 0) 1 (653. 0)0(500. 0)0(FFFFfFFFFfFFFFfFFFFf寫成矩陣形式：寫成矩陣形式：f(x)=ATF(u)二維離散余弦變換為：二維離散余弦變換為：F(u,v)=Af(x,y)ATf(x,y)=ATF(u,v) AT離散余弦變換的計(jì)算離散余弦變換的計(jì)算與傅立葉變換一樣，離散余弦變換可以由定義出發(fā)進(jìn)與傅立葉變換一樣，離散余弦變換可以由定義出發(fā)進(jìn)行計(jì)算，但這樣的計(jì)算量太大，在實(shí)際應(yīng)用中很不方行計(jì)算，但這樣的計(jì)算量太大，在實(shí)際應(yīng)用中很不方便，尋找快速

35、算法便，尋找快速算法首先，從定義出發(fā)，作如下推導(dǎo)首先，從定義出發(fā)，作如下推導(dǎo))(Re2Re)(22)12(cos)(2)(102)12(102)12(10NxNuxjNxNuxjNxexfNexfNNuxxfNuF取實(shí)部取實(shí)部的意思的意思如果把時域數(shù)據(jù)向量作系列延拓，即如果把時域數(shù)據(jù)向量作系列延拓，即12 , 1,01, 2 , 1 , 0)()(NNNxNxxfxfe則則fe(x)的離散余弦變換可寫成為：的離散余弦變換可寫成為：)(Re2)(Re2Re)(22)12(cos)(2)()(1)0(120222102)12(102)12(10120NxNxujeNujNxNuxjeNxNuxjeNxeNxeexfeNexfNexfNNuxxfNuFxfNF則則12022)(NxNxujeexf是是2N點(diǎn)的離散傅立葉變換，所以在作余弦變換時，點(diǎn)的離散傅立葉變換，所以在作余弦變換時，可以把序列長度延拓為可以把序列長度延拓為2N，然后作離散傅立葉