正交變換法和配方法化二次型標(biāo)準(zhǔn)形(hfuu)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上正交變換法和配方法化二次型標(biāo)準(zhǔn)形1配方法化二次型標(biāo)準(zhǔn)形用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的關(guān)鍵是消去交叉項(xiàng)，分如下兩種情形處理：情形1: 如果二次型含某文字例如的平方項(xiàng)，而,則集中二次型中含的所有交叉項(xiàng)，然后與配方，并作非退化線性替換（）則,其中是的二次型。對重復(fù)上述方法直到化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形為止.情形2: 如果二次型不含平方項(xiàng)，及 ,但含某一個(gè) ，則可先作非退化線性替換把化為一個(gè)含平方項(xiàng)的二次型，再用情形1的方法化為標(biāo)準(zhǔn)形.例1.1：用配方法化二次型=為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的非退化線性替換.解：先對配方消去所有含有的項(xiàng)，： =+- =-+- =-再對配方消去所有含的項(xiàng)；： =-

2、=-作線性替換 把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形 =注：用配方法所化得的標(biāo)準(zhǔn)形不唯一，如若作非退化線性替換為 或 則二次型化得標(biāo)準(zhǔn)形是= 例1.2：用配方法化二次型=+- 為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的非退化線性替換.解：作非退化線性替換 則 =+-=先對配方，=-+=-+-再對配方，=-=-+作線性替換 把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形：=2正交變換法化二次型標(biāo)準(zhǔn)形正交變換法化二次型標(biāo)準(zhǔn)形的一般步驟：(1)寫出的特征方程,求出的全部特征值.(2)對于各個(gè)不同的特征值，求出齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，即解空間的一個(gè)基底（但不一定是標(biāo)準(zhǔn)正交基），然后把它們施密特正交化.(3)把上述求得的n個(gè)兩兩正交的單位特征向量作為矩陣的列向量，就

3、是使二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的正交變換.例2.1：用正交變換化二次型=+為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所作的正交變換.解: 二次型的矩陣, 求出的特征值: 由 = =得特征值 ，其次，求屬于-1的特征向量 把代入 （1）求得基礎(chǔ)解系 把它正交化，得 再單位化，得 再求屬于8的特征向量，把代入（1），求得基礎(chǔ)解系 把它單位化得 于是正交矩陣為 作非退化線性替換,二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為=3 兩種方法的比較例3.1：用可逆線性變換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.=解：方法1) 用配方法作非退化線性替換 =+ = =令 則二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為=方法2) 用正交變換法二次型的矩陣 =由 = =得特征值 ，把代入 （1）求得基礎(chǔ)解系 正交化，得 再單位化，得 把代入（1），求得