13控制原理課件wa狀態(tài)觀測(cè)器

1、CHAPTER 7State Space: Analyze and DesignBy Hui Wanghwan FTP:9/1681Outline of Chapter 7ü Review and Introductionü Controllability and Observabilityü Linear transformation and Canonical formsü State Feedback for SISO Systemü State-Variable Feedback: steady-State Erro

2、r Analysisü State Observer for SISO Systemü .2Outline of Section 6ü State Observer for SISO Systemü 基本思想ü 全維觀測(cè)器ü 分離原理ü 降維觀測(cè)器3State Observer for SISO System1. Basic concept 在第 4 節(jié)討論通過狀態(tài)反饋 u=Kx 進(jìn)行極點(diǎn)任意配置時(shí)，總是假設(shè)所有的狀態(tài)都是可以獲取的。uxState Eq.= Ax + Bux State feedback: u(t)=kx(

3、t)4Conditions:(1) state variables must be controllable;(2) state variables should be accessible.Output Eq.y = CxycontrollerState Observer for SISO System1. Basic conceptIf state variables cannot be accessible, but the system is observable, the real-time state variables can be estimated by output and

4、 input of thesystem , as following Fig.The estimator is called state observer.uxy狀態(tài)方程輸出方程y = Cx=Ax + Bux x器狀態(tài)觀測(cè)器 State observer5State feedback: u(t)=kx(t)State Observer for SISO System1. Basic concept而實(shí)際工程中，能獲取的往往是輸出 y, 而非狀態(tài) x. 設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器的目的是利用已知的輸出與輸入信息估計(jì)出不能獲取的狀態(tài)。其中條件？ 采用估計(jì)出的狀態(tài)取代真實(shí)的狀態(tài)必須滿足 2 個(gè)基本條件： ( 2

5、 )x (t)- x ( t ) ®0 的時(shí)間足夠快所謂狀態(tài)觀測(cè)器（又稱狀態(tài)重構(gòu)或狀態(tài)估計(jì)）：已知系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，并假定系統(tǒng)能觀，通過可測(cè)的輸入、輸出信息估計(jì)出系統(tǒng)的全部狀態(tài)信息。6(1 )x (t)- x ( t )足夠小y ÎR m ´ 1 ,x ÎR n ´ 1 ,m<nState Observer for SISO System1. Basic concepthas the form S : x (t ) = Ax (t ) + Bu (t ), x(0) = x 0The plant state m y Î R m

6、 ,x Î R n ,u Î R r 1）方法一：利用系統(tǒng)輸出輸入的微分信號(hào)可直接估計(jì)狀態(tài)信息令 NT NX(t) = NT Y(t) X(t) = (NT N)-1NT Y(t)7當(dāng)系統(tǒng)能觀，則Mo的秩為néCùê CA úêúY(t) = NX(t) = ê CA2 úX(t) = M X(t)êúoê#úêëCAN -1 úûy = Cxy = C x = CAx+ CBu y = C x = CA 2 x +

7、 CABu+ CBu#n -1y ( n -1 ) = Cx ( n -1 ) = CA n -1 x + å CA n -1 - i Bu ( i -1 )i =1y ( t ) = Cx ( t )State Observer for SISO System1. Basic concept X(t) = (NT N)-1NT Y(t)由上式可見：若系統(tǒng)能觀，則由可測(cè)的輸入及它們的（n-1）階導(dǎo)數(shù)構(gòu)造向量 Y(t) , 可獲得X(t)。然而，理論上雖然是可行的方法， 工程實(shí)際上卻行不通。?： 信號(hào)中不可避免地存在噪聲，微分尤其是高階的微分對(duì)噪聲有放大作用可能足以覆蓋真實(shí)的測(cè)量信號(hào)w

8、(t) = 0.01sin100t w (t) = cos100t w (t) = -100sin100t 例：熱噪聲信號(hào)每次微分都將噪聲信號(hào)的模放大到原值的100倍因此，方法一沒有普遍的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。8State Observer for SISO System1. Basic concepthas the form S : x (t ) = Ax (t ) + Bu (t ), x(0) = x 0The plant state m y Î R m ,x Î R n ,u Î R r 2）方法二：利用系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型估計(jì)狀態(tài)信息構(gòu)造一個(gè)系統(tǒng) :則齊次狀態(tài)方程（求解

9、？） z(t) = x(t) + eAt (z0 - x0 ) 由上式，如果 z0=x0, 則 z(t)=x(t), 即構(gòu)造的系統(tǒng)（狀態(tài)估計(jì)器）完全反映原狀態(tài)。然而，工程中x0 往往無法獲?。?？9 d z(t) - x(t) = Az(t) - x(t)dtS : ì z (t) = Az(t) + Bu(t)íîz(t) = z0y ( t ) = Cx ( t )State Observer for SISO System1. Basic concept z(t) = x(t) + eAt (z0 - x0 ) 分析：（1） 工程中x0 往往無法獲?。?） 退

10、一步，如果A是穩(wěn)定矩陣（其特征值均具有負(fù)實(shí)部），則（3）再假設(shè) A 的特征值的負(fù)實(shí)部值的絕對(duì)值足夠大，則 z(t) ® x(t) 足夠快即狀態(tài)估計(jì)器可以被接受問題：由于構(gòu)造系統(tǒng)的A與原系統(tǒng)是同一個(gè)A，假設(shè)不成立（4）原A是給定的，故改造 A 為期望的，使得10這樣構(gòu)造出的狀態(tài)估計(jì)器具有期望的特性l( )> l(A)AminminAeAt (z0 - x0 )® 0 Þ z(t)® x(t)t®¥t®¥t®¥即狀態(tài)估計(jì)器具有漸近特性State Observer for SISO System

11、1. Basic concept（1） 不需要對(duì)系統(tǒng)變量微分（u, y)（2） 在已知 modle 基礎(chǔ)上，可以通過調(diào)整某些參數(shù)， z(t) ® x(t) 的速度，一般比系統(tǒng)的最小特征值（絕對(duì)值）要大 ()（3）應(yīng)該有修正狀態(tài)觀測(cè)器的估計(jì)精度wruxy=Ax + Bux CK z(t) = x(t) = Fz + Gy + Huz closed-loop Open-loop 11對(duì)狀態(tài)觀測(cè)器的大致輪廓分析：AState Observer for SISO System2.全維狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)指狀態(tài)觀測(cè)器可以估計(jì)出系統(tǒng)的全部狀態(tài)1） 構(gòu)造的系統(tǒng)總是存在偏差2） 開環(huán)結(jié)構(gòu)估計(jì)結(jié)果不滿意構(gòu)造

12、的系統(tǒng)考慮：系統(tǒng)中的反饋環(huán)節(jié)引入校正環(huán)節(jié)，利用系統(tǒng)可測(cè)的輸出信息隨時(shí)校正估計(jì)S: x (t) = Ax(t) + Bu(t) + Ly(t) - Cx(t)閉環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器o- 待定常量矩陣 L n ´ m或?qū)懗?F = A - LC, G = L, H = B12S: x (t) = (A - LC)x(t) + Bu(t) + Ly(t)o方程中僅有的可調(diào)參數(shù)？y Î R m , x Î R n ìï z (t) = z(t) + Bu(t)S : íAïîz(t) = z0State Observer for

13、SISO System2.全維狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)問題：1） 如何求L陣？2） 如何保證所 得到的狀態(tài)觀測(cè) 器是漸近穩(wěn)定的？13S: x (t) = (A - LC)x(t) + Bu(t) + Ly(t)oux1xysxyAC1sxKLACBrState Observer for SISO System2.全維狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)分析觀測(cè)器能否滿足要求定義真實(shí)狀態(tài)與估計(jì)狀態(tài)之間的誤差為 y=Cx 則(t)= Ax + Bu - (A - LC)x + Bu + Ly= (A - LC)x - -狀態(tài)估計(jì)誤差方程齊次方 程求解(t) = 0lim要求且盡可能地快t®¥t也即要求（ALC

14、）矩陣的所有特征值均位于左半平面。若L能任意確定（回顧狀態(tài)反饋的方法），衰減的過程也就能被。14x一般未知，因?yàn)閤/(0)一般不知道x(t) = e(A-LC)tx(0)(t)S: x (t) = (A - LC)x(t) + Bu(t) + Ly(t)oState Observer for SISO System2.全維狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì) 定理7-14：設(shè)系統(tǒng) S : x (t ) = Ax (t ) + Bu (t ) y ( t ) = Cx ( t ) x (t) = (A - LC)x(t) + Bu(t) + Ly(t)完全可觀，則通過全維狀態(tài)觀測(cè)器So:(t) 由 x (t) = (

15、A - LC)x(t) 估計(jì)它的狀態(tài)，估計(jì)誤差決定，并可通過 L 陣的選取，任意配置 （ALC）的全部特征值。說明：因?yàn)锳，C能觀，對(duì)偶系統(tǒng) S*：據(jù)對(duì)偶原理，若 AT，CT能控, 則必存在 LT 實(shí)現(xiàn)(ATCTLT)的極點(diǎn)任意配置l(AT - CTK*) = l(A -(K*)T C)因?yàn)樘卣髦挡皇苻D(zhuǎn)置影響只要令：L(K)T ，所以只要對(duì)偶系統(tǒng)能控(原系統(tǒng)能觀)，(ALC) 的極點(diǎn)就可現(xiàn)任意配置。L稱為觀測(cè)器的增益矩陣。15x *(t) = ATx*(t) + CTu*(t)State Observer for SISO System2.全維狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)由 定理7-14 的說明，可知系統(tǒng)狀

16、態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)問題實(shí)際上已經(jīng)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)反饋器的設(shè)計(jì)，方法完全類似。Example 7-6-1 設(shè)有系統(tǒng)（2001年題）試設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器，希望觀測(cè)器的極點(diǎn)為10，1。解：step 1: 能觀性判別，系統(tǒng)能觀。D*(s) = (s +10)(s +1) = s2 +11s +10 = 0step 2: 期望觀測(cè)器特征方程step 3: 構(gòu)造全維觀測(cè)器，寫出觀測(cè)器特征方程觀測(cè)器 x (t) = (A - LC)x(t) + Bu(t) + Ly(t)16S : x = é 00 .1ù x + é0ù uê 00 .1úê 0

17、 .08 úëûëûy = cx = 10 xState Observer for SISO System2.全維狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)Example 7-6-1 設(shè)有系統(tǒng)（2001年題）試設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器，希望觀測(cè)器的極點(diǎn)為10，1。解：step 3: 構(gòu)造全維觀測(cè)器，寫出觀測(cè)器特征方程觀測(cè)器 x (t) = (A - LC)x(t) + Bu(t) + Ly(t)觀測(cè)器特征方程step 4: 求解觀測(cè)器增益矩陣step 5: 寫出全維觀測(cè)器方程（此略）17D*(s) = D (s) Þ L = ì l1 = 11.1o

18、7;îl2 = 111.1D (s) = sI -(A - LC) = és0ù - é00.1ù - él1 ù10oê0súê00.1úêl úëûëûë 2 û= s2 -(0.1- l1)s - 0.1l1 + 0.1l2S : x = é 00 .1ù x + é0ù uê 00 .1úê 0 .08 úë&

19、#251;ëûy = cx = 10 xState Observer for SISO System2.全維狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)全維觀測(cè)器設(shè)計(jì)小結(jié)1. 其設(shè)計(jì)方法類似于狀態(tài)反饋器的設(shè)計(jì)，關(guān)鍵是求解增益矩陣 L2. 當(dāng)系統(tǒng)維數(shù)較低或C陣非零元素較少時(shí)，采用直接法設(shè)計(jì)較為方便；但若維數(shù)3，或C陣中非零元素占優(yōu)時(shí)，直接法求解將會(huì)（會(huì)遇到求解 f(L) 高階方程）-這種情況下，簡(jiǎn)單通用的方法？3. 回顧狀態(tài)反饋器的設(shè)計(jì)方法，先化系統(tǒng)矩陣為？狀態(tài)反饋：系統(tǒng) S ® 能控狀態(tài)觀測(cè)：系統(tǒng) S ®能觀Sc ® Kc ® KSo ® Lo 

20、4; L18State Observer for SISO System2.全維狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)全維觀測(cè)器設(shè)計(jì)通用方法Step 1. 對(duì)給定系統(tǒng)進(jìn)行能觀性判別，系統(tǒng)能觀才能設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器Step 2. 對(duì)能觀系統(tǒng)構(gòu)造一個(gè)變換矩陣To；將系統(tǒng) S 變成能觀SoT= M -1M x (t ) = Ax (t ) + Bu (t ) y ( t ) = Cx ( t ) 設(shè)系統(tǒng) S :oooStep 3. 根據(jù)指定的觀測(cè)器期望極點(diǎn) li 求期望的特征方程Step 4. 通過簡(jiǎn)單的數(shù)值運(yùn)算得到能觀的增益陣 Lo，再借助變換矩陣 To得到原系統(tǒng)的觀測(cè)器增益陣 L。 L = ToLoStep 5. 寫出原系

21、統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器。19nD*(s) = P(s - li ) = sn + bn-1sn-1 +"+ b1s + b0i=1S o : x o (t ) = A o x o (t ) + B o u(t )= T -1AT x(t ) + T -1Buoooy(t) = C o x o = CTo x(t )State Observer for SISO System2.全維狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)Example 7-6-2 設(shè)有系統(tǒng)試設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器，希望觀測(cè)器的極點(diǎn)為 -3, -4, -5。（中文P313, 7-18）方法一：直接法設(shè)計(jì)解：step 1: 能觀性判別，系統(tǒng)能觀。故可以設(shè)計(jì)狀

22、態(tài)觀測(cè)器D*(s) = (s + 3)(s + 4)(s + 5) = s3 +12s2 + 47s + 60step 2: 期望觀測(cè)器特征方程step 3: 構(gòu)造全維觀測(cè)器，寫出觀測(cè)器特征方程20é 100 ùé 1 ùS : x = ê 021 ú x + ê 0 ú uêúêúêë 002 úûêë 1 úûy = cx= 110 xés - (1- l1)l10 ùDo

23、 (s) = sI -(A - LC) = êl2s -(2 - l2 )-1 úêúêël3l3s - 2úû= s3 + s2(-5 + l1 + l2 ) + s(8 - 4l1 - 3l2 + l3 ) + 4l1 + 2l2 - l3 - 4State Observer for SISO System2.全維狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)é 1ùé 1 ù020= 10Example 7-6-2 設(shè)有系統(tǒng)試設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)ê 0úê 0 ú

24、uS: x =1x +êêë 0úúûêú器，希望觀測(cè)器的極點(diǎn)為 -3, -4, -5。êë 1 úû0 x2（中文P313, 7-18）y = cx1方法一：直接法設(shè)計(jì)解： step 4. 比較 2個(gè)特征方程 s 的同次冪系數(shù)，求解出LD*(s) = (s + 3)(s + 4)(s + 5) = s3 +12s2 + 47s + 60 = Do (s) 21l1 = 120l2 = -103l3 = 210(上誤為214）-5 + l1 + l2 = 128 - 4l1

25、- 3l2 + l3 = 474l1 + 2l2 - l3 - 4 = 60él1 ùé 120 ùL = êl2 ú = ê-103úêúêúêël3 úûêë 210 úûDo (s) = s3 + s2(-5 + l1 + l2 ) + s(8 - 4l1 - 3l2 + l3 ) + 4l1 + 2l2 - l3 - 4State Observer for SISO System2.全維狀

26、態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)é 1ùé 1 ù020= 10Example 7-6-2 設(shè)有系統(tǒng)試設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)ê 0úê 0 ú uS: x =1x +êêë 0úúûêú器，希望觀測(cè)器的極點(diǎn)為 -3, -4, -5。êë 1 úû0 x2（中文P313, 7-18）y = cx1方法一：直接法設(shè)計(jì)解： step 5.寫出全維觀測(cè)器方程 x (t) = (A - LC)x(t) + Bu(t) + Ly(t)

27、22x (t) = (A - LC)x(t) + Bu(t) + Ly(t)é -119-1200ùé 120 ùé1ù= ê 1031051úx + ê-103ú y + ê0úuêúêúê úêë- 210- 2102úûêë 210 úûêë1úûState Observer for SISO

28、 System2.全維狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)Example 7-6-2 設(shè)有系統(tǒng)試設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器，希望觀測(cè)器的極點(diǎn)為 -3, -4, -5。（中文P313, 7-18）解：step 1: 能觀性判別，系統(tǒng)能觀。故可以設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器且能觀矩陣és -1ù0s - 200D(s) = sI = A = ê 0-1 ú = s3 - 5s2 + 8s - 4系統(tǒng)開環(huán)特征方程êêëús - 2úû0D(s) = s3 + a2s2 + a1s + a023方法設(shè)計(jì)方法二：化為é 100 ù

29、;é 1 ùS : x = ê 021 ú x + ê 0 ú uêúêúêë 002 úûêë 1 úûy = cx= 110 xécùé110ùM o = ê cA ú = ê121 úêúêúêëcA 2 úûêë144ú&

30、#251;State Observer for SISO System2.全維狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)1éù0é 1 ù020cx=1 Example 7-6-2 設(shè)有系統(tǒng)試設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè): x=0êú1 xê 0 ú uS+ê0êëúúû21êúêë 1 úû0x器，希望觀測(cè)器的極點(diǎn)為 -3, -4, -5。（中文P313, 7-18）y=解：step 2: 構(gòu)造一個(gè)變換矩陣To；將系統(tǒng) S 變成能觀S

31、oA1bc24o =cTo 0=0é 3 ùo=T -1=bê3-úoêúêë 1 úû0é0ù4o=T-1ATo=1ê0-ú8oêú0êë1úû51é- 5ù8é44ùé- ùT -1 =0ê1-ú5êú = -ê 4- 3úoêú êú

32、êú0êë0úû1êëúû1êë1úû0é1an -1" a 2a1 ù é cA n -1 ùê1%aú êcA n - 2 úê2 ú êúT -1 = ê%ú ê#úoêú êúê%an -1 ú êcAú

33、;êë1úû êcúëû方法二：化為方法設(shè)計(jì)State Observer for SISO System2.全維狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)é 1ùé 1 ù020= 10Example 7-6-2 設(shè)有系統(tǒng)試設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)ê 0úê 0 ú uS: x =1x +êêë 0úúûêú器，希望觀測(cè)器的極點(diǎn)為 -3, -4, -5。êë 1 ú

34、;û0 x2（中文P313, 7-18）y = cx1方法二：化為方法設(shè)計(jì)解：step 3:根據(jù)指定的觀測(cè)器期望極點(diǎn) li 求期望的特征方程(與前同)step 4: 通過簡(jiǎn)單的數(shù)值運(yùn)算得到能觀換矩陣 To得到原系統(tǒng)的觀測(cè)器增益陣 L。的增益陣 Lo，再借助變25loi = b i-1 - ai -1 , i = 1,2," nlo1 = 60-(-4) = 64 lo2 = 47 -8 = 39 lo3 = 12-(-5) = 17é64ùLo = ê39úêúêë17úûD

35、(s) = s3 - 5s2 + 8s - 4= s3 + a2s2 + a1s + a0D*(s) = (s + 3)(s + 4)(s + 5) = s3 +12s2 + 47s + 60= s3 + b2s2 + b1s + b0é00- 60 ùA o - L o c o = ê10- 47 úêúêë01- 12 úûState Observer for SISO System2.全維狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)1éù0é 1 ù020cx=1 Example

36、 7-6-2 設(shè)有系統(tǒng)試設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè): x=0êú1 xê 0 ú uS+ê0êëúúû21êúêë 1 úû0x器，希望觀測(cè)器的極點(diǎn)為 -3, -4, -5。（中文P313, 7-18）y=方法二：化為方法設(shè)計(jì)解：step 4: 通過簡(jiǎn)單的數(shù)值運(yùn)算得到能觀的增益陣 Lo，再借助變換矩陣 To得到原系統(tǒng)的觀測(cè)器增益陣 L。-A1T-1ToT-1L )ooSxSA:C= ( ox o -= o(-o xATxL :o) To T xx

37、ùCooTTxooooC-1 )o(Ao =¢ T=)To -( oLT o)oooo-Co)=x(-AL(LCùé1é64ù 1éé 120 ùêêë 210 úû1)T-1ê3=9úê- 0úêú=-103ú=-1LT=oLo(êúêêë17úûêëúêúû

38、;êëúúûêúostep 5: 寫出全維觀x測(cè)器方程A()Ly26= )tL(-C()xt )+ ( t B) u+ tState Observer for SISO System3.分離原理 設(shè)線性系統(tǒng) S 能控能觀: x (t ) = Ax (t ) + Bu (t ) y ( t ) = Cx ( t ) u = r + Kx u = r + Kx 通過狀態(tài)反饋器設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)狀態(tài)以實(shí)現(xiàn)反饋問題：(1) 采用全維狀態(tài)觀測(cè)器提供的狀態(tài)估計(jì)值代替真實(shí)狀態(tài)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋，其狀態(tài)反饋陣K是否需要重新設(shè)計(jì)以保

39、持系統(tǒng)期望的特征值？(2)狀態(tài)觀測(cè)器引入后，狀態(tài)反饋部分是否會(huì)改變已經(jīng)設(shè)計(jì)好的觀測(cè)器極點(diǎn)配置？觀測(cè)器的增益矩陣L是否需要重新設(shè)計(jì)？該 2 個(gè)問題是考慮一個(gè)維數(shù)為 2n 的復(fù)合系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性分離原理正是回答了這 2個(gè)問題27State Observer for SISO System3.分離原理可以證明： 采用全維狀態(tài)觀測(cè)器提供的狀態(tài)估計(jì)值代替真實(shí)狀態(tài)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋組成的維數(shù)為 2n 的復(fù)合系統(tǒng)與狀態(tài)反饋?zhàn)酉到y(tǒng)具有同樣的傳遞特性（傳遞函數(shù)（矩陣）相同，而與觀測(cè)器部分無關(guān)。因此可由觀測(cè)器的狀態(tài)估計(jì)值代替狀態(tài)的真實(shí)值進(jìn)行反饋。而復(fù)合系統(tǒng)的特征值是由狀態(tài)反饋?zhàn)酉到y(tǒng)與全維狀態(tài)觀測(cè)器的特征值組合而成，且兩部

40、分的特征值相互，彼此不受影響。因此可以根據(jù)各自的要求地進(jìn)行設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋矩陣K和狀態(tài)觀測(cè)器的L。定理7-16（分離定理）：若受控系統(tǒng)（A，B，C）能控能觀，用狀態(tài)觀測(cè)器形成狀態(tài)反饋時(shí)，其系統(tǒng)的極點(diǎn)配置和觀測(cè)器設(shè)計(jì)可分別獨(dú)立進(jìn)行，即狀態(tài)反饋陣K和狀態(tài)觀測(cè)器L陣的設(shè)計(jì)可分別（ 參見中文版P317318）地進(jìn)行。28State Observer for SISO System3.分離原理Example 7-6-3： 某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)已知，其狀態(tài)不可測(cè)。試設(shè)計(jì)觀測(cè)器（極點(diǎn)均為3）進(jìn)行狀態(tài)重構(gòu)以實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋，使系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為1±j 。并畫出結(jié)構(gòu)圖。ux xyx x1s11122s解：step

41、1: 因系統(tǒng)傳遞函數(shù)無相消的因子，故一定能控能觀。如圖，系統(tǒng)的狀態(tài)方程實(shí)現(xiàn)：step 2: 先設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器(狀態(tài)觀測(cè)器與狀態(tài)反饋可以分別設(shè)計(jì)）:(1)期望觀測(cè)器特征方程:Do*(s) = (s + 3)2 = s2 + 6s + 9 29S : x = é - 21 ù x + é 0 ù uê 0- 1úê 1 úëûëûy = cx = 10 x21G(s) =1(s +1)(s + 2)State Observer for SISO Systemé -

42、49;é 0 ù213.分離原理S : x =+- 1ú xê 1 ú uê0ëûëûy = cx =10 xExample 7-6-3： 某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)已知，其狀態(tài)不可測(cè)。試設(shè)計(jì)觀測(cè)器（極點(diǎn)均為3）以實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋，使系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為1±j 。并畫出結(jié)構(gòu)圖。解：step 2: (2) 狀態(tài)觀測(cè)器特征方程(3) 求解觀測(cè)器增益矩陣step 3: 求狀態(tài)反饋矩陣(1)期望的閉環(huán)特征方程:D*(s) = (s +1+ j)(s +1- j) = s2 + 2s + 2 (2) 狀態(tài)反饋后的

43、閉環(huán)特征方程：Dcl (s) = sI - (A + bK) = s2 + 2s + 2 302 + 6s + 9D*o (s) = D (s) Þ L = ìl1 = 3oíîl2 = 4D (s) = sI -(A - LC) = és0ù - é- 21 ù - él1 ù10oê0súê 0-1úêl úëûëûë 2 û= s2 + (3 + l1)s + (2 +

44、l1 + l2 )D* (s) = (s + 3)2 = sG(s) =1(s +1)(s + 2)State Observer for SISO Systemé -ùé 0 ù213.分離原理S : x =+- 1ú xê 1 ú uê0ëûëûy = cx =10 xExample 7-6-3： 某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)已知，其狀態(tài)不可測(cè)。試設(shè)計(jì)觀測(cè)器（極點(diǎn)均為3）以實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋，使系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為1±j 。并畫出結(jié)構(gòu)圖。解：step 3: (3) 求解狀態(tài)反饋矩陣KD

45、*(s) = (s +1+ j)(s +1- j) = s2 + 2s + 2 D(s) = sI - (A + bK) = s2 + 2s + 2 clstep 4: 寫出狀態(tài)反饋系統(tǒng)與狀態(tài)觀測(cè)器該例應(yīng)用了分離原理分別設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋矩陣K與狀態(tài)觀測(cè)器L陣。狀態(tài)反饋矩陣K與狀態(tài)觀測(cè)陣L的實(shí)現(xiàn)見結(jié)構(gòu)圖。問題：能否利用可以測(cè)量到的狀態(tài)而不是估計(jì)出全部狀態(tài)？31K = ìk1 = -2í k= 1î2G(s) =1(s +1)(s + 2)State Observer for SISO Systemé -ùé 0 ù213.S:

46、x =+分離原理- 1ú xê 1 ú uê0ëûëû=ycx10 xrx x xxy1su1 s2211243 Lcyx 1xx 1x11221ss12問題？ bK 32-211u1G(s) =1(s +1)(s + 2)State Observer for SISO System4.降維觀測(cè)器（Luenberger Observer)基本概念 設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器的目的由可以得到的輸入輸出估計(jì)出狀態(tài)，用以分析與設(shè)計(jì)系統(tǒng)考慮線性系統(tǒng) S: x (t ) = Ax (t ) + Bu (t ) y ( t ) = Cx

47、( t ) 系統(tǒng)中的狀態(tài)多少總會(huì)有一些是可測(cè)的，或可用y直接計(jì)算得到，問題：可否利用這些狀態(tài)信息？（1）全維狀態(tài)觀測(cè)器：未利用，估計(jì)所有的狀態(tài)（n維）（2）降維觀測(cè)器：若rankC=m, 則 y 與 m個(gè) x之間不是的，可利用這m個(gè)狀態(tài)信息，設(shè)計(jì)觀測(cè)器就只需要估計(jì) n-m)個(gè)狀態(tài)33x = éx mù - -y 的線性組合ê x n - m ú - - 估計(jì)值，由觀測(cè)器得到ëûState Observer for SISO System4.降維觀測(cè)器（Luenberger Observer)基本概念如果： rankC = n 

48、2; x = C -1y 不需要設(shè)計(jì)觀測(cè)器一般： rankC = m < n 若X= C -1y 11由觀測(cè)器估計(jì)如果形式則需要構(gòu)造變換矩陣Q，使得 Q？34CQ = I m0C ¹ C10C1 m維 ¹ 0y = C0é X1 ùm1êX 2 ú n - mëûState Observer for SISO System4.降維觀測(cè)器（Luenberger Observer)推導(dǎo)變換矩陣Q rankC = m < n, 為行滿秩設(shè)構(gòu)造R(n-m)´n 是使Q-1滿秩的任意（n-m)´

49、;n 的實(shí)常量矩陣 Q º 2( n´( n - m ) 35 CQ = CQ 1CQ 2( n´( n - m ) = I m0( n´m )= éC m´nù = é Im0ùêR ( n - m )´n ú2ê 0I n - m úëûëûQ -1 = éC ùmêR ú n - mëûState Observer for SISO System4.降

50、維觀測(cè)器（Luenberger Observer)推導(dǎo)變換矩陣QExample 7-6-4：已知輸出矩陣構(gòu)造Q陣。解： rankC = 2 < n = 3, 為行滿秩36é001 ù CQ = é101ùê010 ú = é100ù = I0ê010úêúê010ú2´2ëû êë10- 1úûëûé001 ùQ = ê010 &#

51、250;êúêë10- 1úûéC ùé101ùQ -1 = êúm= ê010úëR û n - mê100úëûR1´3 是使Q-1 滿秩的任意（3-2)´3 的實(shí)常量矩陣非惟一性C = é 101 ùê 010 úëûState Observer for SISO System4.降維觀測(cè)器（Luenberger Observer)降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)思路一般系統(tǒng)不滿足 C=Im 0 的條件，引入變換矩陣Q，對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行線性變換,即令： x = Qx 對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分塊：ì éùéùéùéùxxAAB1111121=+S：ïê uúêúêêúúíëx 2 ûë A21A22 ûëx 2 ûë