第九章常微分方程-2

1、11.2 一階微分方程一階微分方程 一、可分離變量的微分方程時，時，當當0)( yg)()(ygxfdxdy 稱稱為為可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程. .5422yxdxdy 例例如如,2254dxxdyy 解法解法 dxxfdyyg)()(1兩兩端端積積分分設函數(shù)設函數(shù))(yG和和)(xF是依次為是依次為)(yg和和)(xf的原函的原函數(shù)數(shù),CxFyG )()(為微分方程的解為微分方程的解.分離變量法分離變量法（1）dxxfdyyg)()(1 分分離離變變量量：也也是是原原方方程程的的一一個個解解。則則使使得得若若有有 yyygy,0)(,)2(合合并并后后的的解解。和和原原方方程

2、程的的解解為為)2()1()()(ygxfdxdy 例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分離變量分離變量,2xdxydy 兩端積分兩端積分,2 xdxydy12|lnCxy ).0(2 CCeyx二、典型例題時時，當當0 y)(.2為為任任意意常常數(shù)數(shù)為為所所求求通通解解CCeyx .0是是原原方方程程的的一一個個解解又又 y例例2 求解微分方程求解微分方程的的特特解解。0|,02 xyxyey解解得得由由,2yxey dxedyexy2 兩端積分兩端積分 dxedyexy2ceexy 221得得由由00 xy21 c于是原方程的特解為：于是原方程的特解為：)

3、1(21ln2 xey解解,dtdM衰變速度衰變速度由題設條件由題設條件)0(衰衰變變系系數(shù)數(shù) MdtdMdtMdM , dtMdM00MMt 代代入入,lnlnCtM ,tCeM 即即00CeM 得得,C teMM 0衰變規(guī)律衰變規(guī)律解解例例4 4 某車間體積為某車間體積為12000立方米立方米, 開始時空氣中開始時空氣中含有含有 的的 , 為了降低車間內空氣中為了降低車間內空氣中 的含量的含量, 用一臺風量為每秒用一臺風量為每秒2000立方米的鼓風機立方米的鼓風機通入含通入含 的的 的新鮮空氣的新鮮空氣, 同時以同樣的同時以同樣的風量將混合均勻的空氣排出風量將混合均勻的空氣排出, 問鼓風機

4、開動問鼓風機開動6分分鐘后鐘后, 車間內車間內 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?2CO%1 . 02CO2CO2CO%03. 0設鼓風機開動后設鼓風機開動后 時刻時刻 的含量為的含量為2CO)%(txt,dttt 在在 內內,2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量,03. 02000 dt),(2000txdt 2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2CO的改變量的改變量 03. 0200012000 dtdx),(2000txdt ),03. 0(61 xdtdx,03. 061tCex , 1 . 0|0 tx,07. 0 C,07. 003. 061tex ,056.

5、007. 003. 0|16 ext6分鐘后分鐘后, 車間內車間內 的百分比降低到的百分比降低到%.056. 02CO二、齊次方程)(xyfdxdy 形如形如的微分方程稱為的微分方程稱為齊次方程齊次方程. .2.解法解法,xyu 作變量代換作變量代換,xuy 即即代入原式有代入原式有,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分離變量的方程可分離變量的方程1.1.定義定義齊次方程齊次方程可分離變量方程可分離變量方程變量代換變量代換,0)(時時當當 uuf,ln)(1xCuufdu 得得,)(uCex 即即 ）（uufduu)()( ,代入代入將將xyu ,)(

6、xyCex 得通解得通解,0u 當當, 0)(00 uuf使使,0是是新新方方程程的的解解則則uu ,代回原方程代回原方程.0 xuy 得齊次方程的解得齊次方程的解.)(xuufdxdu 例例 1 1 求解微分方程求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx，令令xyu ，則則udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu .lnsinCxxy 微分方程的解為微分方程的解為解解2222yxyxxyydxdy ,1222 xyxyxyxy,xyu 令令,1222uuuuuxu .2222xyydyyxyxdx 例例

7、 2 2 求解微分方程求解微分方程解解,dxduxudxdy 則則,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu .)2(123Cxuuu 微分方程的解為微分方程的解為.)2()(32xyCyxy ,1122)121(21xdxduuuuu 例例 3 3 求解微分方程求解微分方程22yxxyy 解解以以x為未知函數(shù)為未知函數(shù)uyx 令令.dyduyudydxyux ，則則代入上式得：代入上式得：dyuydu12 ydyudu 12即即.ln1ln2cyuu 積積分分得得)2(2cxcyyxu 代代入入上上式式整整理理得得：把把)()(xQyxPdxdy 一階線性微分方程一階線性微分方程的

8、標準形式的標準形式:, 0)( xQ當當上方程稱為上方程稱為齊次的齊次的.上方程稱為上方程稱為非齊次的非齊次的., 0)( xQ當當三、一階線性微分方程三、一階線性微分方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy線性的線性的;非線性的非線性的. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxPCey1. 線性齊次方程線性齊次方程一階線性微分方程的一階線性微分方程的解法解法(使用分離變量法使用分離變量法)2. 線性非齊次方程線性非齊次方程).()(xQyx

9、Pdxdy 討論討論,)()(dxxPyxQydy 兩邊積分兩邊積分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ為為設設 ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即非齊次方程通解形式非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比與齊次方程通解相比:)(xuC .)( dxxPCey常數(shù)變易法常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法. .實質實質: : 未知函數(shù)的變量代換未知函數(shù)的變量代換.),()(xyxu原原未未知知函函數(shù)數(shù)新新未未知知函函數(shù)數(shù)作變換作變換 dxxPexuy)()(,)()()()()( dxx

10、PdxxPexPxuexuy代代入入原原方方程程得得和和將將yy ,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 積分得積分得一階線性非齊次微分方程的通解為一階線性非齊次微分方程的通解為: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(對應齊次對應齊次方程通解方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解).()(xQyxPdxdy .sin1的的通通解解求求方方程程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cx

11、x 解解(一一) 直接利用公式直接利用公式例例1 1dxexQeCeydxxPdxxPdxxP )()()()(.sin1的的通通解解求求方方程程xxyxy 解解(二二) 常數(shù)變易法常數(shù)變易法10 先求對應的齊次方程的解先求對應的齊次方程的解得得，由由01 yxy.xdxydy 兩邊積分得兩邊積分得cxylnlnln 即即)(1為為任任意意實實數(shù)數(shù)cxcy 20 常數(shù)變易常數(shù)變易xxuy1)( 令令代代入入原原方方程程并并化化簡簡得得和和將將yy xxusin)( cxxu cos)()(cos1cxxy 從從而而原原方方程程的的通通解解為為：例例2 2 如圖所示，平行于如圖所示，平行于 軸的

12、動直線被曲軸的動直線被曲 線線 與與 截下的線段截下的線段PQ之之長數(shù)值上等于陰影部分的面積長數(shù)值上等于陰影部分的面積, 求曲線求曲線 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,兩邊求導得兩邊求導得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲線為所求曲線為).222(32 xxeyx23xyy 同學們自己用常數(shù)變易法做做同學們自己用常數(shù)變易法做做四、可化為一階微分方程的特殊類型的微分方程的微分方程形如形如)(111cybxacb

13、yaxfdxdy 可化為為齊次方程或變量分離方程可化為為齊次方程或變量分離方程，令令kYyhXx ,（其中（其中h和和k是待定的常數(shù)）是待定的常數(shù)）dYdydXdx ,)(11111ckbhaYbXacbkahbYaXfdXdY 2.解法解法1.1.類型類型1 1 , 0, 0111ckbhacbkah, 0)1(11 baba有唯一一組解有唯一一組解h,k.使得上式成立。使得上式成立。)(11YbXabYaXfdXdY 由由得通解代回得通解代回 ，kyYhxX,未必有解未必有解, 上述方法不能用上述方法不能用.,011時時當當 b.1中必至少有一個為零中必至少有一個為零與與ba, 0)2(1

14、1 baba ,11 bbaa令令),)(1cbyaxcbyaxfdxdy 方方程程可可化化為為,byaxz 令令，則則dxdybadxdz ).()(11czczfadxdzb , 0 b若若可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程., 0, 01 ab若若),(1adxdzbdxdy )()(11cczfadxdzb 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程.,021時時當當 b,byaxz 令令可分離變量可分離變量.)(111cybxacbyaxfdxdy , 011 baba .314的通解的通解求求例例 yxyxdxdy解解, 021111 , 0301khkh方程組方程組, 2,

15、1 kh. 2, 1 YyXx令令,YXYXdXdY 代入原方程得代入原方程得，令令XYu , 0, 0111ckbhacbkah,11uudXduXu 分離變量法得分離變量法得,)12(22CuuX ,222CXXYY 即即代回，代回，將將2, 1 yYxX得原方程的通解得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy .622122Cyxyxyx 或或方程變?yōu)榉匠套優(yōu)槔? 5 求解微分方程求解微分方程0cos)3sin42()3sin2( ydyyxdxyx解解0)(sin)3sin42()3sin2( ydyxdxyx令令zy sin,34232 zxzxdxdz再令再令uzx

16、 2,236udxdu 兩邊積分后得兩邊積分后得,632Cxuu 變量還原得變量還原得.6)sin2()sin2(32Cxyxyx 伯努利伯努利(Bernoulli)方程的標準形式方程的標準形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n方程為方程為線性微分方程線性微分方程. 方程為方程為非線性微分方程非線性微分方程.類型2 伯努利方程時時，當當1 , 0 n時時，當當1 , 0 n解法解法: : 需經過變量代換化為線性微分方程需經過變量代換化為線性微分方程.,1 nyz 令令，則則dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPnd

17、xdz 求出通解后，將求出通解后，將 代入即得代入即得nyz 1，得，得兩端除以兩端除以ny代入上式有代入上式有. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn即即具體如下：具體如下：nyxQyxPdxdy)()( 一階線性一階線性微分方程微分方程也是原方程的解。也是原方程的解。則則注：若注：若0, 0 yn.42的的通通解解求求方方程程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解得解得.224 Cxxy即即解解，得，得兩端除以兩端除以y例例 3例例4 4 用用適當?shù)淖兞看鷵Q適當?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程解下列微分方程: :;22. 122xxexyyy 解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz 則則,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解為所求通解為).2(222Cxeyx ;)(sin1. 22xy