Chap7熱量傳輸-導(dǎo)熱

1、董 杰上海交通大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院輕合金精密成型國(guó)家工程研究中心材料加工過(guò)程中的傳輸現(xiàn)象材料加工過(guò)程中的傳輸現(xiàn)象Transport Phenomena in Materials Processing 第二篇 熱量傳輸7 導(dǎo)熱分析(Heat Transfer Analysis )董杰董杰 陳娟陳娟材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象7 導(dǎo)熱分析本講提綱本講提綱7.1 導(dǎo)熱問(wèn)題的求解方法7.2 一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱7.3 二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱7.4 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱7.5 金屬凝固傳熱材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象7 導(dǎo)熱分析7.1 導(dǎo)熱問(wèn)題的求解方法導(dǎo)熱問(wèn)題的求解方法導(dǎo)熱問(wèn)題實(shí)際上是固體或靜止流體的傳熱問(wèn)題，無(wú)內(nèi)熱源時(shí)的導(dǎo)熱微分方程的一般形

2、式可由能量方程簡(jiǎn)化得到。能量方程的直角坐標(biāo)形式、柱坐標(biāo)形式和球坐標(biāo)系分別為：)(222222zTyTxTtT222221)(1zTTrrTrrrtT)sin1)(sinsin1)(12222222TrTrrTrrrtT材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象v求解導(dǎo)熱問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是對(duì)導(dǎo)熱微分方程的求解。v通過(guò)數(shù)學(xué)方法原則上可以得到通解。v對(duì)實(shí)際工程問(wèn)題，需得到滿足導(dǎo)熱微分方程和具體問(wèn)題附加條件的特解(particular solution)。v使微分方程得到特解的附加條件(auxiliary condition)或稱單值性條件(monodrome condition)，數(shù)學(xué)上稱為定解條件。v幾何條件：求解對(duì)象的幾何

3、形狀與尺寸；v物理?xiàng)l件：求解對(duì)象的材料物性參數(shù)；v初始條件(時(shí)間條件)：初始時(shí)刻(t=0)研究對(duì)象內(nèi)部的具體溫度分布；v邊界條件： 求解對(duì)象邊界上的溫度分布及與環(huán)境的換熱情況。對(duì)一般導(dǎo)熱問(wèn)題，求解對(duì)象的幾何形狀(幾何條件)及材料物性(物理?xiàng)l件)都為已知，故對(duì)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，定解條件只有初始條件和邊界條件；對(duì)穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，則只有邊界條件。7 導(dǎo)熱分析材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象v第一類邊界條件：給出任何時(shí)刻的物體表面的溫度分布。典型特例是規(guī)定邊界溫度為常數(shù)TW=constant， 對(duì)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，t0時(shí)，TW=f1(t)。v第二類邊界條件：給出邊界上的熱流密度分布。特例是熱流密度為定值， qW=constant，

4、 對(duì)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，t0時(shí)，v第三類邊界條件：給出了周圍介質(zhì)溫度分布Tf及物體與周圍介質(zhì)的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h。以物體被冷卻的場(chǎng)合為例，v對(duì)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱， h和Tf均為時(shí)間t的函數(shù)。 )(2tfnTkW )(fWWTThnTk7 導(dǎo)熱分析材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象7.2 7.2 一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 導(dǎo)熱微分方程：)(222222zTyTxTtT 對(duì)一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：022 xT邊界條件：210TTxTTx處，；處，7 導(dǎo)熱分析單層無(wú)限大平板T1T2材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象積分并利用邊界條件得到：xTTTT21112TTdxdT由傅里葉導(dǎo)熱定律可求得熱流密度：)(21TTdxdTq單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)的導(dǎo)熱量：ATTTT

5、AQ)()(2121-一維平板穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱熱阻一維平板穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱熱阻(簡(jiǎn)稱熱阻簡(jiǎn)稱熱阻)ARttRTQ因此，7 導(dǎo)熱分析材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象7 導(dǎo)熱分析通過(guò)平壁的導(dǎo)熱量與溫度差成正比，與熱阻成反比，它只適用于無(wú)內(nèi)熱源且導(dǎo)熱系數(shù)為定值的平壁一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。當(dāng)為溫度的函數(shù)時(shí)，只要取計(jì)算區(qū)域內(nèi)平均溫度的即可。 一維導(dǎo)熱的熱流為： tRTTQ)(21對(duì)于由n塊并聯(lián)而成的厚度為的單層組合平壁的總熱阻Rt的倒數(shù)為： niiinititARR1111對(duì)于由n塊串聯(lián)而成的多層組合平壁多層組合平壁的總熱阻為： niiinititARR11 )( 平材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象0)( drdTrdrd邊界條件：邊界條件：2211

6、TTRrTTRr 處處，；處處，對(duì)一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：對(duì)一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：積分并利用邊界條件得到：積分并利用邊界條件得到：)()/ln()/ln(211211TTRRRrTT 由傅里葉導(dǎo)熱定律得到熱流為：由傅里葉導(dǎo)熱定律得到熱流為：)()/ln(22112TTRRLdrdTAAqQr7 導(dǎo)熱分析材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象7 導(dǎo)熱分析單層圓筒壁導(dǎo)熱熱阻：)2()ln(12LRRRt對(duì)于由n層導(dǎo)熱系數(shù)不同的材料緊密緊密結(jié)合的復(fù)合圓筒壁，應(yīng)用串聯(lián)熱阻疊加原則，其總熱流量為： niiiinnitinLrrTTRTTQ11111112ln)()(注意： 在穩(wěn)定條件下，通過(guò)圓筒壁的熱流量是一個(gè)常量，但熱流密度則是個(gè)變量！

7、材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象7 導(dǎo)熱分析接觸熱阻接觸熱阻 當(dāng)兩固體實(shí)際直接接觸時(shí)，由于表面粗糙，兩表面不可能處處都接觸當(dāng)兩固體實(shí)際直接接觸時(shí)，由于表面粗糙，兩表面不可能處處都接觸（非理想接觸），只能部分接觸，部分形成空隙。（非理想接觸），只能部分接觸，部分形成空隙。1111RRRRtstcRtc接觸熱阻Rs由導(dǎo)熱接觸面流線收縮產(chǎn)生的熱阻Rt流體的導(dǎo)熱熱阻R穿過(guò)界面間隙的輻射熱阻 如果理想接觸：界面處的溫度相等，熱流密度相等材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象7.3 7.3 二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 02222 yTxT二維導(dǎo)熱微分方程：邊界條件：000000TTyTyTLxTx 處處，；處處，處處，；處處，7 導(dǎo)熱分

8、析條件：該平板在x方向上尺寸有限，在y方向上尺寸無(wú)限大，在垂直于紙面的z方向尺寸則很小，因此可忽略z方向的熱量傳輸。材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象)()(),(yYxXyxT 分離變量：222211dyYdYdxXdX 左邊為x的函數(shù)，與y無(wú)關(guān)；右邊為y的函數(shù)，與x無(wú)關(guān)，故兩者相等必為常數(shù)(設(shè)為2)：0222XdxXd0222YdyYd2稱為分離常數(shù)，也稱微分方程的本征值。以上兩式均為常系數(shù)齊次線性方程。令：axeX byeY 7 導(dǎo)熱分析材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象代入以上兩式中： iaaXdxXd 0022222 bbYdyYd0022222通解為：xixieCeCX21yyeCeCY43)sin()cos

9、(sincos21xCxCXxixexi又可以利用恒等式：7 導(dǎo)熱分析材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象0 0)sin()cos( , 00121CxCxCXYTx，則時(shí)，,.)2 , 1 , 0( , 0)sin( 0)sin()sin()cos( , 0221nLnxLCLCLCXYTLxn其中即，則時(shí)，LxnCxXsin)( 20sin)( nnLxnCxX二維導(dǎo)熱方程的通解為，)(sin()cos(),(4321yyeCeCxCxCyxT下面利用邊界條件求上式中的常數(shù)，（1）（2），Xn可進(jìn)一步寫成通式分離變量值均滿足齊次方程任一,7 導(dǎo)熱分析材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象yLnyyyeCeCYCeCeCYT

10、y)/(44343, 00, 0則，則時(shí)， 0)/(sinnyLnnLxneAXYT 故故乘乘積積解解0000)/(sin sin0nnnyLnnLxnATTLxneATy，則，時(shí)，)()(sin)(sin)()(sin100100LxdLxnALxmLxdLxmTnn 為為偶偶數(shù)數(shù)為為奇奇數(shù)數(shù)左左邊邊nnnTnnTnnT, 0,2cos1cos0cos000 兩邊同乘Lxmsin并積分(x/L=01)，這里m為n一個(gè)特定的積分值，（3）（4）材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象0)(2)sin()(2)sin()sin()sin()()sin()sin(,/101010nmtnmnmtnmdttntmLxd

11、LxnLxmtLx，mn則令根據(jù)積分表時(shí)右邊當(dāng),.)5 , 3 , 1(,4,2200 nnTAAnTnn 2222sin2)()(sin)(10102nnnnnAAnxnAxALxdLxnA，mn，右邊各項(xiàng)積分和即時(shí)當(dāng)本征值相同右邊材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象,.)5 , 3 , 1(sin41)/(0nLxnenTTnyLn最終解為：最終解為：由于幾何形狀和邊界條件的復(fù)雜性，求解和計(jì)算很復(fù)雜，甚至得由于幾何形狀和邊界條件的復(fù)雜性，求解和計(jì)算很復(fù)雜，甚至得不到解，數(shù)值解法不到解，數(shù)值解法(有限差分等有限差分等)是有效途徑。是有效途徑。練習(xí)：請(qǐng)推導(dǎo)具有如下非齊次邊界條件的二維穩(wěn)定導(dǎo)熱的溫度分布： （1

12、）x=0, T=T1; (2) x=L, T=T1; (3) y=, T=T1; (4) y=0, T=f(x);材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象7.4 7.4 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱單一方向的導(dǎo)熱與時(shí)間有關(guān)，即非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱或瞬態(tài)導(dǎo)熱。單一方向的導(dǎo)熱與時(shí)間有關(guān)，即非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱或瞬態(tài)導(dǎo)熱。非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱特點(diǎn)：(1)物體內(nèi)溫度的變化，存在部分物體不參與變化和整個(gè)物體參與變化的兩個(gè)階段；(2)不同位置達(dá)到指定溫度的時(shí)間不同；(3)傳熱過(guò)程中，開(kāi)始時(shí)傳遞的熱量較大，隨溫度的變化而逐漸減小。材料加工中的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱例子：金屬加熱熱處理(固溶、時(shí)效等)鑄件凝固求解非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的目的：(1)溫度及熱流量隨時(shí)間變化的規(guī)律；(2)達(dá)到預(yù)

13、定溫度所需要的時(shí)間；(3)經(jīng)歷一定時(shí)間后物體所能達(dá)到的溫度。7 導(dǎo)熱分析材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象常物性一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的微分方程：常物性一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的微分方程：22xTtT LLfTT 令令過(guò)過(guò)余余溫溫度度22xt 則則（Tf-周圍介質(zhì)溫度）周圍介質(zhì)溫度）A.無(wú)限大平板冷卻過(guò)程無(wú)限大平板冷卻過(guò)程(x方向有限，方向有限，y,z方向無(wú)限大方向無(wú)限大)：初始條件：初始條件：ifiTTxt)0 ,(0時(shí)，7 導(dǎo)熱分析t=0, T=Ti材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象LL0),(),( , 0), 0(0tLkhxtLxt：t時(shí)，邊界條件(1) 根據(jù)平板內(nèi)溫度分布對(duì)稱性,x=0時(shí)，（2）固體表面：傳導(dǎo)熱量=平板表面的對(duì)

14、流換熱，0), 0(xt邊界條件：),(),(tLhxtLk， 即0),(),(tLkhxtL7 導(dǎo)熱分析材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象分離變量：分離變量：)()(),(tGxXtx 22211dtdGGdxXdX得常微分方程：得常微分方程：002222XdxXdGdtdG22xt求解求解xCxCX sincos21 )exp(23tCG 02GdtdG0222XdxXd7 導(dǎo)熱分析材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象0)cos()sin( )()()(), 0(0210 xxxCxCtGxtGxXxt（1）根據(jù)邊界條件1（t0時(shí)）求C2：02C0), 0(xtxCXcos1以下根據(jù)初始條件和邊界條件確定系數(shù)以下根據(jù)初

15、始條件和邊界條件確定系數(shù):7 導(dǎo)熱分析所以所以,過(guò)余溫度的通解過(guò)余溫度的通解:)exp(sincos),(2321tCxCxCtx材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象0)()()sin( )(1tGLXkhxCtGLx0cos)sin(11LCkhLCBiLkhLLLhLkhkLctgnnnnn之比。與表面的對(duì)流換熱熱阻的導(dǎo)熱熱阻物理意義：為固體內(nèi)部hkL10),()()(tLkhxtGLX0)()()()(tGLXkhxLXtG)()(),(tGxXtx 0),(),(tLkhxtLxCXcos1khLBi 稱為稱為Biot準(zhǔn)則準(zhǔn)則（2） 根據(jù)邊界條件2求特征值通過(guò)求解此方程，可求出無(wú)窮多個(gè)特征值n?？刹捎?/p>

16、圖解法求解。7 導(dǎo)熱分析材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象圖解法求n7 導(dǎo)熱分析材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象 12cos)exp(nnnnxtA 考慮所有特征值n，取乘積，通解有：)exp(23tCG xCXcos1)()(),(tGxXtx （3）以下根據(jù)初始條件，求Anixt )0 ,(0時(shí)，時(shí)， 1cosnnnixA 12cos)exp(nnnnxtA 7 導(dǎo)熱分析材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象 LnmnnLmixdxxAxdx010coscoscos 利用正交函數(shù)利用正交函數(shù): :右邊只有右邊只有m=nm=n時(shí)，積分不為零：時(shí)，積分不為零：cossin212LLLAnnnn Lnnisin左邊LLLLAnnnnin

17、cossinsin2 7 導(dǎo)熱分析材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象Lnn 令令12cos)exp(cossinsin2nnnnnnnixtLLLL最終解：最終解：)cos()exp(cossinsin2122 nnnnnnnfifiLxLtTTTT nnnntgBiBiLLctg 把An代回的通解就得到，- n實(shí)際上實(shí)際上Bi數(shù)的函數(shù)，數(shù)的函數(shù)，7 導(dǎo)熱分析材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象表明：平板中某一時(shí)刻給定位置的溫度是表明：平板中某一時(shí)刻給定位置的溫度是Bi,Fo和和x/L的函數(shù)。的函數(shù)。),(LxFoBifTTTTfifi 22LtLtFo),(2無(wú)量綱數(shù)傅里葉準(zhǔn)數(shù)定義FoLt熱擾動(dòng)發(fā)生時(shí)刻至所計(jì)算時(shí)刻的時(shí)間

18、熱擾動(dòng)發(fā)生時(shí)刻至所計(jì)算時(shí)刻的時(shí)間/使熱擾動(dòng)擴(kuò)散為使熱擾動(dòng)擴(kuò)散為L(zhǎng)2的面積上所需時(shí)間的面積上所需時(shí)間則，則，7 導(dǎo)熱分析材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象0 Lx7 導(dǎo)熱分析材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象7 導(dǎo)熱分析材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象常物性一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的微分方程：常物性一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的微分方程：22xTtT sTT 令過(guò)余溫度22xt 則則（Ts-表面溫度）表面溫度）B.半無(wú)限大平板單面加熱過(guò)程半無(wú)限大平板單面加熱過(guò)程(表面溫度恒定表面溫度恒定)：初始條件：初始條件：00)0 ,(0sTTxt時(shí)，7 導(dǎo)熱分析半無(wú)限大平板加熱時(shí)溫度分布固定單面加熱時(shí)溫度分布邊界條件：邊界條件：0), 0(0tx時(shí)，0),(Ttx時(shí)，

19、材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象同樣同樣,也可利用變量分離法求解：也可利用變量分離法求解：tx2,如果令上式則寫為:7 導(dǎo)熱分析txerftxdeTTTTtxetxssi2222020)(0erfTTTTssi利用Fourier定律可求得x=0處的熱流密度和單位面積上接收的熱量:)/( 1)(2000mWtTTxTqsxxx)/( )(22000mJtTTdtqQstxxt材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象7.5 金屬凝固傳熱金屬凝固傳熱的特點(diǎn):是一個(gè)非穩(wěn)態(tài)過(guò)程,即金屬鑄件和鑄型中的溫度場(chǎng)總是隨時(shí)間變化的;金屬凝固會(huì)放出潛熱,因此, 可把金屬凝固過(guò)程分為兩個(gè)階段:(a) 放出過(guò)熱熱量階段(b) 凝固潛熱放出階段, 即有

20、源過(guò)程凝固傳熱體系是由鑄件、鑄件/鑄型中間層和鑄型組成的多層傳熱體系。凝固傳熱分析的目的:計(jì)算金屬凝固過(guò)程溫度場(chǎng);估算鑄件凝固層推進(jìn)速度:凝固潛熱的簡(jiǎn)化處理方法特點(diǎn):等效比熱法：對(duì)有結(jié)晶溫度區(qū)間合金而言，可把結(jié)晶潛熱值加入到合金比熱值中，即，等效溫度法：在傳熱計(jì)算時(shí)人為地把潛熱換算成可提高合金液的溫度數(shù)。結(jié)均效TLcc1結(jié)晶溫度區(qū)間的平均比熱結(jié)晶溫度區(qū)間結(jié)晶潛熱材料加工過(guò)程傳輸現(xiàn)象金屬凝固時(shí)的熱量傳輸可看成受到以下幾個(gè)熱阻層的控制： （1）液態(tài)金屬層熱阻 （RL=L/L) （2）凝固金屬層熱阻 （RS=S/S) （3）間隙熱阻 （Ri=1/h) （4）鑄型熱阻 （RM=M/M)金屬凝固傳熱分類： A. 主要受鑄型熱阻控制的金屬凝固傳熱