非參數(shù)統(tǒng)計第四章

1、本章內(nèi)容樣本之間相互獨立， 為位置參數(shù)， 稱為尺度參數(shù)。12, 12, 假設(shè)樣本： (X1, X2, ,Xn)i.i.d.F1 11x(Y1, Y2, ,Yn)i.i.d.F2 22xBrown-Mood中位數(shù)檢驗Moses方法Mood檢驗Mann-Whitney秩和檢驗。 211210211210:HHHH第一節(jié)第一節(jié) Brown-Mood中位數(shù)檢中位數(shù)檢驗驗在單樣本位置問題中，人們想要檢驗的是總體的中心是否等于一個已知的值但在實際問題中，更受注意的往往是比較兩個總體的位置參數(shù)；比如。兩種訓(xùn)練方法中哪一種更出成績，兩種汽油中哪一個污染更少，兩種市場營銷策略中哪種更有效，兩種藥物中哪種更有效傳

2、統(tǒng)上，人們假設(shè)總體是正態(tài)分布或近似的正態(tài)分布，然后利用兩樣本的T檢驗。但是關(guān)于總體是正態(tài)的假設(shè)并不一定合理。在小樣本時，近似也不一定合適。本章的目標(biāo)就是在對總體不作任何分布假設(shè)的前提下，解決兩樣本檢驗問題。Brown-Mood中位數(shù)檢驗中位數(shù)檢驗0 xy1xyH :medmedH :medmed檢驗原理：在零假設(shè)成立時，如果數(shù)據(jù)有相同中位數(shù)，那么混合樣本的中位數(shù)應(yīng)該和混合前的項等。也就是說，(Y1，Y2，Ym)和（X1,X2,，Xn）中大于或小于混合后的中位數(shù) 的樣本點應(yīng)該大致一樣多 假設(shè)(X1, X2, ,Xn)i.i.d.F(x ) ， (Y1, Y2, ,Ym)i.i.d.G(x )xy

3、M首先將兩個樣本混合，找出混合樣本中位數(shù) ，將X和 Y按照在 兩側(cè)分類計數(shù)，即： xyMxyM在給定m，n和t的時候，在零假設(shè)成立時,A的分布服從超幾何分布： mn()()ktkP(Ak),kmmn()t如果A值太大或太小時，則應(yīng)該懷疑零假設(shè)。 計算XYMxyABtMxyCD(mn)(AB)mnmnABCD總和總和檢驗基本內(nèi)容P-值 檢驗統(tǒng)計量 0H1HxyMMxyMMAAAxyMMxyMMxyMMxyMM0HP (Aa)0HP (Aa)00HH2min(P (A a),P (A a)對于水平 ，如果p-值小于 ，那么拒絕零假設(shè) 大樣本檢驗對于大樣本情況下，可以使用超幾何分布的正態(tài)近似進(jìn)行檢驗

4、：3Amt / (mn)ZN(0,1)mnt(mnt)/ (mn) 例4.1 為研究兩不同品牌同一規(guī)格顯示器在某市不同商場的零售價是否存在差異，收集了出售A品牌的9家商場的零售價數(shù)據(jù)和出售B品牌的7家商場的零售價數(shù)據(jù)，列表如下：問是否存在差異？備擇假設(shè)：備擇假設(shè)：H H1 1:M:Mx xMMy，而X的秩大部分小于Y的秩，則數(shù)據(jù)將支持H1:MxMy。 假設(shè)樣 本來 自于 ， 來自于 并且獨立。假設(shè)檢驗問題： 1nX ,X1F(x)1nY ,Y2F(x)01212H :H1: 將兩個樣本混合， 在混合樣本中的秩 ；iYijikiR#(XY, j1,m)#(YY,k1,n)nyii 1WR定義 ，

5、同樣可定義 ，稱為Wilcoxon秩和統(tǒng)計量。 XWW-M-W統(tǒng)計量xyjimnW#(XY, jI ,iI )yxijmnW#(YX , jI ,iI )稱為Mann-Whitney統(tǒng)計量：在零假設(shè)情況下， 和 獨立同分布, 并且和Wilcoxon秩和統(tǒng)計量 等價。當(dāng)統(tǒng)計量偏小的時候，考慮拒絕零假設(shè)。xyWyxWXW性質(zhì)和檢驗定理4.2 在零假設(shè)下：若 ，且 ，時：m,n mmn xyWmn/2ZN(0,1)mn(mn1)/12xWm(mn1)/2ZN(0,1)mn(mn1)/12 在檢驗時 ， ，其中a，b值由上面定理確定。在水平為a拒絕域為：2P（Kk|a,b）a，其中k是使式子成立的最大

6、值。對于打結(jié)的情況需要使用修正的公式。 xyKminW ,W K N(a,b)例題解答二：有節(jié)點Wilcoxon-Mann-Whitney檢驗當(dāng)X或Y中有相同數(shù)值時，也就是說數(shù)據(jù)有結(jié)，此時大樣本近似的Z修正為：其中 為第i個結(jié)的長度311/ 2Z=()(1)1212()(1)X YggiiiiWm nm nm n mnmnmni 三： 的點估計和區(qū)間估計（1）差 的點估計很簡單，只要把X和Y觀測值成對相減（共有mn對），然后求中位數(shù)即可。（2）區(qū)間估計（i）將 = 做為待估參數(shù)，用Bootstrap方法分別估計 和 ，取得二者之差，得到Bootstrap ，求出 的方差，再用第三章方法求解。XYMMXYMMXYMMYM*XM（ii）計算X和Y的差，求排序后的中位數(shù)，具體步驟為：1.得到所有mn個差2.記按升冪排序排列的這些差為 N=mn3.從表中查出 它滿足 則所要的置信區(qū)間為ijXY1,2.ND DD/2(