2003年哈爾濱工業(yè)大學量子力學試題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 2003年量子力學試題解答 一、（30分）回答下列問題 1、何謂微觀粒子的波粒兩象性？解：微觀粒子既不是粒子，也不是波。更確切地說，它既不是經(jīng)典意義下的粒子，也不是經(jīng)典意義下的波，但是，它即具有經(jīng)典粒子的第一條屬性（具有確定的質(zhì)量、電荷與自旋），又具有經(jīng)典波動的第三條屬性（具有干涉與衍射現(xiàn)象）。嚴格地說，電子就是電子，粒子與波只是微觀粒子的兩種不同的屬性。如果硬是要用經(jīng)典的概念來理解它的話，那么，它既具有經(jīng)典粒子的屬性又具有經(jīng)典波動的屬性，是經(jīng)典粒子與經(jīng)典波動這一對矛盾的綜合體。 2、波函數(shù)是用來描述什么的？它應該滿足什么樣的自然條件？的物理含義是什么？ 解：波函數(shù)

2、是用來描述體系的狀態(tài)的復函數(shù)，除了應滿足平方可積的條件之外，它還應該是單值、有限和連續(xù)的。表示在時刻附近體積元中粒子出現(xiàn)的幾率密度。 3、分別說明什么樣的狀態(tài)是束縛態(tài)、簡并態(tài)與負宇稱態(tài)？ 解：當粒子的坐標趨向無窮遠時，波函數(shù)趨向零，稱之為粒子處于束縛態(tài)。若一個本征值對應一個以上的本征態(tài)，則稱該本征值是簡并的，所對應的本征態(tài)即為簡并態(tài)，本征態(tài)的個數(shù)就是相應的簡并度。將波函數(shù)中的坐標變量改變一個負號，若新波函數(shù)與原波函數(shù)相差一個負號，則稱其為負宇稱態(tài)。 4、物理上可觀測量應該對應什么樣的算符？為什么？ 解：物理上可觀測量對應線性厄米特算符。線性是狀態(tài)疊加原理要求的，厄米特算符的本征值是實數(shù)，可與觀

3、測值比較。 5、坐標分量算符與動量分量算符的對易關系是什么？并寫出兩者滿足的測不準關系。 解：對易關系為，測不準關系為 6、厄米算符的本征值與本征矢分別具有什么性質(zhì)？ 解：本征值為實數(shù)，本征矢為正交、歸一和完備的函數(shù)系。 二、（20分）（見習題選講6.1）設氫原子處于 的狀態(tài)上，求其能量、角動量平方及角動量分量的可能取值與相應的取值幾率，進而求出它們的平均值。解：選為描述體系的力學量完全集，氫原子的本征解為 其中，量子數(shù)的取值范圍是 利用歸一化條件求出歸一化常數(shù)為 氫原子的能量只與主量子數(shù)有關，以題意可知，的可能取值只有兩個，即，于是 角動量量子數(shù)的可能取值只有一個，即，故有 角動量磁量子數(shù)的

4、可能取值有兩個，即，于是 三、（25分）有一質(zhì)量為的粒子，在如下勢場中運動 試求出束縛能級所滿足的方程。 解：當時，四個區(qū)域的波函數(shù)分別為 式中， ； 由處波函數(shù)連續(xù)可知，由處波函數(shù)連續(xù)可知再利用處波函數(shù)及其一階導數(shù)連續(xù)的條件求出此即時能量本征值滿足的超越方程。當時，四個區(qū)域的波函數(shù)分別為式中，； 由處波函數(shù)連續(xù)條件可知，或者再利用處波函數(shù)及其一階導數(shù)連續(xù)的條件利用與的關系式，將上兩式改寫為最后，得到時能量滿足的超越方程 四、（25分）設厄米特算符的本征矢為，構(gòu)成正交歸一完備系，定義一個算符（1） 計算對易子；（2） 證明 ；（3） 計算跡，其中，算符的跡定義為 ；（4） 若算符的矩陣元為，證

5、明 解：（1）對于任意一個態(tài)矢，有 故 （2） （3）算符的跡為 （4）算符而五、 （25分）自旋為、固有磁矩為（其中為實常數(shù)）的粒子，處于均勻外磁場中，設時，粒子處于的狀態(tài)，（1） 求出時的波函數(shù)；（2） 求出時與的可測值及相應的取值幾率。解：體系的哈密頓算符為在泡利表象中，哈密頓算符的本征解為（1） 在時，粒子處于的狀態(tài)，即為了求出在泡利表象中的具體形式，需要求解滿足的本征方程解之得于是，有由于，哈密頓算符不顯含時間，故時刻的波函數(shù)為 （2）因為，所以是守恒量，它的取值幾率與平均值不隨時間改變，換句話說，只要計算時的取值幾率就知道了時的取值幾率。由于；故有而的取值幾率為而 六、（25分）（類似習題選講9.4）已知二維諧振子的哈密頓算符為，在對其施加微擾后，利用微擾論求基態(tài)能量至二級修正、第二激發(fā)態(tài)能量至一級修正。 提示：，其中，為線諧振子的第個本征矢。解：體系的哈密頓算符為 其中，已知的解為其中，將前三個能量與波函數(shù)具體寫出來， 對于基態(tài)