材料力學 第九章

1、12391 概述概述 92 傳動軸的外力偶矩傳動軸的外力偶矩 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖93 切應力互等定理與剪切胡克定律切應力互等定理與剪切胡克定律94 圓軸扭轉橫截面上的應力圓軸扭轉橫截面上的應力95 極慣性矩與抗扭截面系數(shù)極慣性矩與抗扭截面系數(shù)96 圓軸扭轉破壞與強度條件圓軸扭轉破壞與強度條件97 圓軸扭轉的變形圓軸扭轉的變形 剛度條件剛度條件第九章第九章 扭扭 轉轉 45受扭轉載荷的構件受扭轉載荷的構件16 受扭轉載荷的構件受扭轉載荷的構件2汽車中的轉向軸汽車中的轉向軸7受扭轉載荷的構件受扭轉載荷的構件3機器中的傳動軸機器中的傳動軸8 受扭轉載荷的構件受扭轉載荷的構件4991 引引 言言

2、 軸：軸：工程中以扭轉為主要變形的構件。如：機器中的傳動軸、工程中以扭轉為主要變形的構件。如：機器中的傳動軸、 石油鉆機中的鉆桿等。石油鉆機中的鉆桿等。扭轉：扭轉：外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線 垂直，桿發(fā)生的變形為扭轉變形。垂直，桿發(fā)生的變形為扭轉變形。ABOmmOBA10扭轉角（扭轉角（ ）：）：任意兩截面繞軸線轉動而發(fā)生的角位移。任意兩截面繞軸線轉動而發(fā)生的角位移。剪應變（剪應變（ ）：）：直角的改變量。直角的改變量。mmOBA11工工 程程 實實 例例1292 傳動軸的外力偶矩傳動軸的外力偶矩 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 一、

3、傳動軸的外力偶矩一、傳動軸的外力偶矩 傳遞軸的傳遞功率、轉數(shù)與外力偶矩的關系傳遞軸的傳遞功率、轉數(shù)與外力偶矩的關系：m)(kN559nP.mm)(kN0247nP.mm)(kN1217nP.m其中：其中：P 功率，千瓦（功率，千瓦（kW） n 轉速，轉轉速，轉/分（分（rpm）其中：其中：P 功率，功率，公制馬力（公制馬力（PS） n 轉速，轉轉速，轉/分（分（rpm）其中：其中：P 功率，馬力（功率，馬力（HP） n 轉速，轉轉速，轉/分（分（rpm）1PS=735.5Nm/s , 1HP=745.7Nm/s , 1kW=1.36PS133 扭矩的符號規(guī)定：扭矩的符號規(guī)定： “T”的轉向與截

4、面外法線方向滿足右手螺旋規(guī)則為正，的轉向與截面外法線方向滿足右手螺旋規(guī)則為正，反之為負。反之為負。二、扭矩及扭矩圖二、扭矩及扭矩圖 1 扭矩：扭矩：構件受扭時，橫截面上的內力偶矩，記作構件受扭時，橫截面上的內力偶矩，記作“T”。 2 截面法求扭矩截面法求扭矩mmmTmTmTmx00 x144 扭矩扭矩圖圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。 目目 的的扭矩變化規(guī)律；扭矩變化規(guī)律；|T|max值及其截面位置值及其截面位置 強度計算強度計算(危險截面危險截面)。xT15例例1已知：一傳動軸， n =300r/min，主動輪輸入 P1=500k

5、W，從動輪輸出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試繪制扭矩圖。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：解：計算外力偶矩計算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555911nP.mm)(kN 7843001509.55559232.nP.mmm)(kN 3763002009.5555944.nP.m16nA B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩（扭矩按正方向設）求扭矩（扭矩按正方向設）mkN78. 4 0 , 02121mTmTmxmkN569784784( , 0 322322.).mmTmmTmkN37. 6 , 0-4243mTmTx17繪制

6、扭矩圖繪制扭矩圖mkN 569max .TBC段為危險截面。段為危險截面。xTnA B C Dm2 m3 m1 m44.789.566.371893 切應力互等定理與剪切胡克定律切應力互等定理與剪切胡克定律 薄壁圓筒：薄壁圓筒：壁厚0101rt （r0：為平均半徑）一、實驗：一、實驗：1.實驗前：實驗前：繪縱向線，圓周線；繪縱向線，圓周線；施加一對外力偶施加一對外力偶 m。192.實驗后：實驗后：圓周線不變；圓周線不變；縱向線變成斜直線縱向線變成斜直線。3.結論：結論：圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對轉動。變，只是繞軸

7、線作了相對轉動。 各縱向線均傾斜了同一微小角度各縱向線均傾斜了同一微小角度 。 所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。20各橫截面的大小形狀間距不變，并仍然保持為平面。可假設各各橫截面的大小形狀間距不變，并仍然保持為平面?？杉僭O各橫截面繞軸線發(fā)生剛性轉動。所以橫截面上無正應力，只有切橫截面繞軸線發(fā)生剛性轉動。所以橫截面上無正應力，只有切應力并且切應力與圓周相切。由于壁比較薄，可認為切應力和應力并且切應力與圓周相切。由于壁比較薄，可認為切應力和切應變沿壁厚均勻分布。由于沿周向變形無變化，可認為切應切應變沿壁厚均勻分布。由于沿周向變形無變化，可認為切應

8、力沿周向也不發(fā)生變化。力沿周向也不發(fā)生變化。切應力分布規(guī)律和變形規(guī)律已經(jīng)得到切應力分布規(guī)律和變形規(guī)律已經(jīng)得到, , 切應力和扭轉變形分別為多大切應力和扭轉變形分別為多大? ?T21 acddxbdy 無正應力無正應力 橫截面上各點處，只產(chǎn)橫截面上各點處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的剪生垂直于半徑的均勻分布的剪應力應力 ，沿周向大小不變，方，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。向與該截面的扭矩方向一致。4. 與與 的關系：的關系：LRRL 微小矩形單元體如圖所示：微小矩形單元體如圖所示：L22二、薄壁圓筒剪應力二、薄壁圓筒剪應力 大?。捍笮。?tATtrTTtrrArTrAAA 2 2

9、2d d 0 200000A0：平均半徑所作圓的面積。：平均半徑所作圓的面積。23三、剪應力互等定理：三、剪應力互等定理： 0故dxdytdxdytmz上式稱上式稱為剪應力互等定理為剪應力互等定理。 該定理表明：該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面剪應力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。acddxb dy tz24四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律： 單元體的四個側面上只有剪應力而無正應力作用，這單元體的四個側面上只

10、有剪應力而無正應力作用，這種應力狀態(tài)稱為種應力狀態(tài)稱為純剪切應力狀態(tài)。純剪切應力狀態(tài)。l25 T=m)( ) 2( 0RLtAT 剪切虎克定律：剪切虎克定律：當剪應力不超過材料的剪切比例極限當剪應力不超過材料的剪切比例極限時（時（ p)，剪應力與剪應變成正比關系。，剪應力與剪應變成正比關系。26G 式中：式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因 無量綱，故無量綱，故G的量綱與的量綱與 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可通過實驗確定，值可通過實驗確定，鋼材的鋼材的G值約為值約為80GPa。 剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質的

11、三剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關系個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關系（推導詳見后面章節(jié)）：（推導詳見后面章節(jié)）： 可見，在三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個量可見，在三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。就可以推算出來。)1 ( 2EG27由于由于G是材料常數(shù)，薄壁圓筒的扭轉角和剪應變可以通過扭矩表示出是材料常數(shù)，薄壁圓筒的扭轉角和剪應變可以通過扭矩表示出來：來：02GATGrGATLrL02薄壁圓筒求解小結薄壁圓筒求解小結實驗觀察實驗觀察幾何特征幾何特征周向線大小形狀間距均

12、不發(fā)生變化周向線大小形狀間距均不發(fā)生變化. .縱向縱向線發(fā)生小角度傾斜線發(fā)生小角度傾斜. .傾斜角度沿圓周相同傾斜角度沿圓周相同. .端部仍然為平面端部仍然為平面. .無正應力無正應力, ,只有切應力且與圓周相切只有切應力且與圓周相切. .切應力沿圓周均勻分布切應力沿圓周均勻分布. .各橫截面發(fā)生各橫截面發(fā)生剛性轉動剛性轉動. .薄壁圓筒薄壁圓筒, ,可認為應力可認為應力, ,應變沿厚度無變應變沿厚度無變化化. .靜力平衡求得切應力靜力平衡求得切應力( (扭矩已知扭矩已知) )剪應變和扭轉角之間的關系剪應變和扭轉角之間的關系. .物性實驗得到扭矩和扭轉角之物性實驗得到扭矩和扭轉角之間的線性關系

13、間的線性關系. .對于線性材料引入剪切模量對于線性材料引入剪切模量( (材料常數(shù)材料常數(shù), ,需事先給定需事先給定) )變形大小變形大小2894 圓軸扭轉截面上的應力圓軸扭轉截面上的應力扭轉圓軸橫截面應力扭轉圓軸橫截面應力變形幾何方面變形幾何方面物理關系方面物理關系方面靜力學方面靜力學方面 1. 橫截面變形后橫截面變形后 仍為平面；仍為平面； 2. 軸向無伸縮；軸向無伸縮； 3. 縱向線變形后仍為平行?？v向線變形后仍為平行。一、等直圓桿扭轉實驗觀察：一、等直圓桿扭轉實驗觀察：29二、等直圓桿扭轉時橫截面上的應力：二、等直圓桿扭轉時橫截面上的應力：1. 變形幾何關系：變形幾何關系：xxGGddd

14、tg1xdd距圓心為距圓心為 任一點處的任一點處的 與該點到圓心的距離與該點到圓心的距離 成正比。成正比。xdd 扭轉角沿長度方向變化率。扭轉角沿長度方向變化率。302. 物理關系：物理關系：虎克定律：虎克定律：代入上式得：代入上式得：GxGxGGddddxGdd 313. 靜力學關系：靜力學關系：AxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理關系式代入物理關系式 得：xGdd pITOpdA32pIT橫截面上距圓心為橫截面上距圓心為 處任一點剪應力計算公式。處任一點剪應力計算公式。4. 公式討論：公式討論： 僅適用于各向同性、線彈性材料

15、，在小變形時的等圓截面僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面 直桿。直桿。 式中：式中：T橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。 該點到圓心的距離。該點到圓心的距離。 Ip截面極慣性矩，純幾何量，無物理意義。截面極慣性矩，純幾何量，無物理意義。33 確定最大剪應力：確定最大剪應力：pIT由知：當max , 2dR)2 ( 22 maxdIWWTdITIdTptpp令tWTmaxWt 抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量），抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量）， 幾何量，單位：幾何量，單位：mm3或或m3。34 應力分布應力分布（實心截面）（空心截面）工程

16、上采用空心截面構件：提高強度，節(jié)約材料，重量輕，工程上采用空心截面構件：提高強度，節(jié)約材料，重量輕，結構輕便，應用廣泛。結構輕便，應用廣泛。35靜力方程靜力方程 ATdA)(ApdAI2RIWpTpGITdxdpITTWTmax物理方程物理方程 G幾何方程幾何方程 dxd變形計算公式變形計算公式 應力計算公式應力計算公式 最大應力公式最大應力公式 結結 論論橫截面外圓周上點的剪應力和剪應變最橫截面外圓周上點的剪應力和剪應變最大大 圓軸扭轉時，橫截面上一點剪應力和圓軸扭轉時，橫截面上一點剪應力和剪應變與該點的極坐標呈比例剪應變與該點的極坐標呈比例 橫截面最大剪應力與橫截面的抗扭截橫截面最大剪應力

17、與橫截面的抗扭截面模量成反比面模量成反比扭轉剛度扭轉剛度 橫截面扭轉變形（單位長度扭轉角）橫截面扭轉變形（單位長度扭轉角）與橫截面的扭轉剛度成反比與橫截面的扭轉剛度成反比抗扭截面模量抗扭截面模量36ApdAI2RIWpT)/(1800mGITdxdppIT TWTmaxmax畫軸的扭矩圖畫軸的扭矩圖極慣性矩和抗扭截面模量的計算極慣性矩和抗扭截面模量的計算 確定可能的危險截面確定可能的危險截面計算危險（最大）點應力計算危險（最大）點應力求出最大剪應力求出最大剪應力計算兩截面相對扭轉角計算兩截面相對扭轉角計算最大單位長度扭轉角計算最大單位長度扭轉角lpGIdxxT)(pGIlTpiiiGIlT 3

18、7例例2 一空心圓軸如圖一空心圓軸如圖2.13（a）所示，在）所示，在A、B、C處受外力處受外力偶作用。已知偶作用。已知 ， ， ，材料，材料G=80Gpa，試求（，試求（1）軸內的最大）軸內的最大剪應力剪應力 ；（；（2）C截面相對截面相對A截面的扭轉角截面的扭轉角 150N mAM 50N mBM 100N mCM maxAC畫軸的扭矩圖畫軸的扭矩圖解：解：A、B可能為危險截面可能為危險截面max150kN m, 100kN mABMMM計算危險（最大）點應力計算危險（最大）點應力TAAAWTmax)24/18(1 (024. 0161015043380.8MPa38max86.7MPa8

19、6.7MPa.0.069radTBBBWTmax)22/18(1 (022. 01610100433所以，所以，計算扭轉角計算扭轉角21 ipiiiACGIlT例例2 一空心圓軸如圖一空心圓軸如圖2.13（a）所示，在）所示，在A、B、C處受外力處受外力偶作用。已知偶作用。已知 ， ， ，材料，材料G=80Gpa，試求（，試求（1）軸內的最大）軸內的最大剪應力剪應力 ；（；（2）C截面相對截面相對A截面的扭轉角截面的扭轉角 150N mAM 50N mBM 100N mCM maxAC39單位：單位：mm4，m4。AIApd2 盡管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，盡管由實心圓截面

20、桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿， 只是只是Ip值不同。值不同。4420221032 d2 dD.DAIDApa. 對于實心圓截面：DdO95極慣性矩與抗扭界面系數(shù)極慣性矩與抗扭界面系數(shù)40b. 對于空心圓截面：)1 (10)1 (32 )(32 d2 d4444442222D.DdDAIDdAp)(DddDOd41Ipd 432Wp=d 316IpD 432( 1- 4 )Wp=D 316( 1- 4 )=d / D對于實心圓截面對于實心圓截面對于圓環(huán)截面對于圓環(huán)截面42低碳鋼試件：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：沿與軸線約成45的螺旋線斷開。96圓軸扭轉破壞與強度條件圓軸扭轉破壞與強度條件一、扭轉

21、失效與扭轉極限應力一、扭轉失效與扭轉極限應力43在扭轉實驗中，塑性材料試件受扭時，首先屈服，在試在扭轉實驗中，塑性材料試件受扭時，首先屈服，在試件表面出現(xiàn)橫向與縱向的滑移線，繼續(xù)增大扭轉力偶，件表面出現(xiàn)橫向與縱向的滑移線，繼續(xù)增大扭轉力偶，試件沿橫截面剪斷；脆性試件沒有變形很小，最后會在試件沿橫截面剪斷；脆性試件沒有變形很小，最后會在與軸線成與軸線成4545o o角的螺旋面發(fā)生斷裂。角的螺旋面發(fā)生斷裂。扭轉破壞扭轉破壞：標志：屈服或是斷裂扭轉屈服應力：扭轉屈服應力：扭轉極限強度：扭轉極限強度：扭轉極限應力扭轉極限應力統(tǒng)稱為44二、等直圓桿扭轉時斜截面上的應力二、等直圓桿扭轉時斜截面上的應力低碳

22、鋼試件：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：沿與軸線約成45的螺旋線斷開。因此還需要研究斜截面上的應力。451. 點M的應力單元體如圖(b)：(a)M(b) (c)2. 斜截面上的應力； 取分離體如圖(d)：(d) x46(d) xnt轉角規(guī)定：x軸正向轉至截面外法線逆時針：為“+”順時針：為“”由平衡方程：0)cossind()sincosd(d ; 0AAAFn0)sinsind()coscosd(d ; 0AAAFt解得：2cos ; 2sin 472cos ; 2sin 分析：當 = 0時，max00 , 0當 = 45時，0 , 45min45當 = 45時，0 , 45max45當 = 90時

23、，max9090 , 0 45 由此可見：圓軸扭轉時，在橫截由此可見：圓軸扭轉時，在橫截面和縱截面上的剪應力為最大值；在面和縱截面上的剪應力為最大值；在方向角方向角 = 45 的斜截面上作用有最的斜截面上作用有最大壓應力和最大拉應力。根據(jù)這一結大壓應力和最大拉應力。根據(jù)這一結論，就可解釋前述的破壞現(xiàn)象。論，就可解釋前述的破壞現(xiàn)象。48s對于塑性材料對于塑性材料, ,當橫截面上的切應力達到當橫截面上的切應力達到 時時, ,試件發(fā)生顯著的試件發(fā)生顯著的塑性變形塑性變形, , 稱為扭轉屈服極限。稱為扭轉屈服極限。ss對于脆性材料，試件在破壞前扭轉變形很小對于脆性材料，試件在破壞前扭轉變形很小, ,

24、當切應力達到當切應力達到 時時, , 材料沿材料沿4545度螺旋面斷開度螺旋面斷開。 稱為扭轉強度極限稱為扭轉強度極限。b b 49三、圓軸扭轉時的強度計算三、圓軸扭轉時的強度計算強度條件：強度條件：對于等截面圓軸：對于等截面圓軸：maxmaxtWT( 稱為許用剪應力。)強度計算三方面：強度計算三方面： 校核強度： 設計截面尺寸： 計算許可載荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：實：433116 16 DDWt50四、圓軸的扭轉的強度條件四、圓軸的扭轉的強度條件 nu材料的扭轉許用剪應力材料的扭轉極限剪應力 安全系數(shù)對于塑性材料， 對于脆性材料， 6 . 05 . 0 t0 .

25、 18 . 0對于塑性材料, 極限切應力一般取扭轉屈服極限; 對于脆性材料, 則一般取扭轉強度極限。51 例例22 功率為功率為150kW150kW，轉速為，轉速為15.415.4轉轉/ /秒的電動機轉子軸如圖，秒的電動機轉子軸如圖，許用剪應力許用剪應力 =30M Pa, =30M Pa, 試校核其強度。試校核其強度。nNmTBC2103m)(kN551m)(N4151432101503.Tm解：求扭矩及扭矩圖計算并校核剪應力強度此軸滿足強度要求。D3 =135D2=75 D1=70ABCmmxMPa23160701055133max.WTt52例例汽車傳動軸由汽車傳動軸由4545無縫鋼管制成

26、。已知：無縫鋼管制成。已知：=60MPa=60MPa，若鋼管的，若鋼管的外徑外徑D D90mm90mm，管壁厚，管壁厚t=2.5mmt=2.5mm，軸所傳動的最大扭矩，軸所傳動的最大扭矩M=1.5kN.m. M=1.5kN.m. 試：試：1 1、校核傳動軸的強度；、校核傳動軸的強度；2 2、與同性能實心軸的重量比。、與同性能實心軸的重量比。解：解：1 1、校核強度、校核強度)(1 2 . 0105 . 1)1 (2 . 0423643maxDtDPDDMWT代入數(shù)據(jù)后得：代入數(shù)據(jù)后得：maxmax50.33MPa50.33MPa60MPa;60MPa;強度足夠強度足夠2 2、設計實心軸直徑、設

27、計實心軸直徑D1D1（兩軸的最大工（兩軸的最大工 作切應力相等作切應力相等) )max316331max0.21.5 1053.030.20.2 50.3PTTWDTDmm；即3 3、兩軸重量比、兩軸重量比21. 3859053222222121dDDLALAGG空心軸實心軸D1Dt53例例3 3圖示芯軸圖示芯軸ABAB與軸套與軸套CDCD的軸線重合，二者在的軸線重合，二者在B B、C C處連成一體；在處連成一體；在D D處無接觸。已知芯軸直徑處無接觸。已知芯軸直徑d d = 66mm = 66mm；軸套的外徑；軸套的外徑D D = 80mm = 80mm，壁厚，壁厚= 6mm= 6mm。若二

28、者材料相同，所能承受的最大切應力不得超過。若二者材料相同，所能承受的最大切應力不得超過60MPa60MPa。試求結構所能承受的最大外扭轉力偶矩試求結構所能承受的最大外扭轉力偶矩T T。 解：解：芯軸與軸套只在下面部分芯軸與軸套只在下面部分B處相連接，在上部處相連接，在上部D處，二者互不接觸，所以，芯軸與軸套都是在兩端承處，二者互不接觸，所以，芯軸與軸套都是在兩端承受扭矩。受扭矩。1. 芯軸橫截面上的最大切應力為：芯軸橫截面上的最大切應力為：6311pmax106016dTWMx軸 根據(jù)對最大切應力切應力的限制，有根據(jù)對最大切應力切應力的限制，有1max3116xpMTdW54圖示芯軸圖示芯軸A

29、BAB與軸套與軸套CDCD的軸線重合，二者在的軸線重合，二者在B B、C C處連成一體；在處連成一體；在D D處處無接觸。已知芯軸直徑無接觸。已知芯軸直徑d d = 66mm = 66mm；軸套的外徑；軸套的外徑D D = 80mm = 80mm，壁厚，壁厚= = 6mm6mm。若二者材料相同，所能承受的最大切應力不得超過。若二者材料相同，所能承受的最大切應力不得超過60MPa60MPa。試。試求結構所能承受的最大外扭轉力偶矩求結構所能承受的最大外扭轉力偶矩T T。6311pmax106016dTWMx軸 根據(jù)對最大切應力切應力的限制，有根據(jù)對最大切應力切應力的限制，有 因此得到芯軸所能承受的

30、最大扭矩因此得到芯軸所能承受的最大扭矩36916660 10103387N m16T55解：解：2. 軸套橫截面上的最大切應力為：軸套橫截面上的最大切應力為：4322pmax)8068(116 dTWMx套64322pmax1060)8068(116dTWMx套根據(jù)對最大切應力的限制，有根據(jù)對最大切應力的限制，有 因此得到軸套所能承受的最大扭矩因此得到軸套所能承受的最大扭矩2883)2017(1101680106049362TNm圖示芯軸圖示芯軸ABAB與軸套與軸套CDCD的軸線重合，二者在的軸線重合，二者在B B、C C處連成一體；在處連成一體；在D D處處無接觸。已知芯軸直徑無接觸。已知芯

31、軸直徑d d = 66mm = 66mm；軸套的外徑；軸套的外徑D D = 80mm = 80mm，壁厚，壁厚= = 6mm6mm。若二者材料相同，所能承受的最大切應力不得超過。若二者材料相同，所能承受的最大切應力不得超過60MPa60MPa。試。試求結構所能承受的最大外扭轉力偶矩求結構所能承受的最大外扭轉力偶矩T T。563. 結構所能承受的最大扭轉力偶：結構所能承受的最大扭轉力偶： 根據(jù)上述結果，根據(jù)上述結果，整個結構所能承受的最大扭轉力偶為整個結構所能承受的最大扭轉力偶為33871TNm28832TNmmax122min,2883TT TTNm圖示芯軸圖示芯軸ABAB與軸套與軸套CDCD

32、的軸線重合，二者在的軸線重合，二者在B B、C C處連成一體；在處連成一體；在D D處處無接觸。已知芯軸直徑無接觸。已知芯軸直徑d d = 66mm = 66mm；軸套的外徑；軸套的外徑D D = 80mm = 80mm，壁厚，壁厚= = 6mm6mm。若二者材料相同，所能承受的最大切應力不得超過。若二者材料相同，所能承受的最大切應力不得超過60MPa60MPa。試。試求結構所能承受的最大外扭轉力偶矩求結構所能承受的最大外扭轉力偶矩T T。57例例4 4 圖示實心圓軸承受外扭轉力偶，其力偶矩圖示實心圓軸承受外扭轉力偶，其力偶矩T T = 3kN = 3kNm m。試求：。試求：1 1軸橫截面上

33、的最大切應力；軸橫截面上的最大切應力；2 2軸橫截面上半徑軸橫截面上半徑r r = 15mm = 15mm以內部分承受的扭矩所占全部橫截面以內部分承受的扭矩所占全部橫截面上扭矩的上扭矩的 百分比；百分比；3 3去掉去掉r r = 15mm = 15mm以內部分，橫截面上的最大切應力增加的百分比以內部分，橫截面上的最大切應力增加的百分比解：解：1軸橫截面上的最大切應力軸橫截面上的最大切應力PP1WTWMxmax3333 101670.7MPa 0.0616Td58 圖示實心圓軸承受外扭轉力偶，其力偶矩圖示實心圓軸承受外扭轉力偶，其力偶矩T T = 3kN = 3kNm m。試求：。試求：1 1軸

34、橫截面上的最大切應力；軸橫截面上的最大切應力；2 2軸橫截面上半徑軸橫截面上半徑r r = 15mm = 15mm以內部分承受的扭矩所占全部橫截面以內部分承受的扭矩所占全部橫截面上扭矩的上扭矩的 百分比；百分比；3 3去掉去掉r r = 15mm = 15mm以內部分，橫截面上的最大切應力增加的百分比以內部分，橫截面上的最大切應力增加的百分比解：解： 2. 軸橫截面上半徑軸橫截面上半徑r = 15mm以內部分承以內部分承受的扭矩所占全部橫截面上扭矩的百分比：受的扭矩所占全部橫截面上扭矩的百分比：1drAMA 0p2 drxMI 4p24xMrI59解：解： 2. 軸橫截面上半徑軸橫截面上半徑r

35、 = 15mm以內部分承受的扭矩所占全部以內部分承受的扭矩所占全部橫截面上扭矩的百分比：橫截面上扭矩的百分比：104224rxrApxpMMrtdArrprdrIpMrI444p224432rxMrrdMI4441615116 ()6.25%6016rd 圖示實心圓軸承受外扭轉力偶，其力偶矩圖示實心圓軸承受外扭轉力偶，其力偶矩T T = 3kN = 3kNm m。試求：。試求：1 1軸橫截面上的最大切應力；軸橫截面上的最大切應力；2 2軸橫截面上半徑軸橫截面上半徑r r = 15mm = 15mm以內部分承受的扭矩所占全部橫截面以內部分承受的扭矩所占全部橫截面上扭矩的上扭矩的 百分比；百分比；

36、3 3去掉去掉r r = 15mm = 15mm以內部分，橫截面上的最大切應力增加的百分比以內部分，橫截面上的最大切應力增加的百分比60 解解 : 3去掉去掉r = 15mm以內部分，橫截面上的最大切應力增以內部分，橫截面上的最大切應力增加的百分比：加的百分比：采用圓環(huán)截面的扭轉最大切應力公式采用圓環(huán)截面的扭轉最大切應力公式2max341-16xpMTdW3016022max3411-( )162xpMTdW442max1max441max1( )-126.67%11-151-( )2 圖示實心圓軸承受外扭轉力偶，其力偶矩圖示實心圓軸承受外扭轉力偶，其力偶矩T T = 3kN = 3kNm m

37、。試求：。試求：1 1軸橫截面上的最大切應力；軸橫截面上的最大切應力；2 2軸橫截面上半徑軸橫截面上半徑r r = 15mm = 15mm以內部分承受的扭矩所占全部橫截面以內部分承受的扭矩所占全部橫截面上扭矩的上扭矩的 百分比；百分比；3 3去掉去掉r r = 15mm = 15mm以內部分，橫截面上的最大切應力增加的百分比以內部分，橫截面上的最大切應力增加的百分比61思考問題思考問題 1去掉去掉r = 15mm以內部分，以內部分，所用材料將會減少多少？所用材料將會減少多少？ 2如果中心如果中心r = 15mm以內部以內部分所用的是另一種材料，這時，分所用的是另一種材料，這時，橫截面上的最大切

38、應力將發(fā)生在橫截面上的最大切應力將發(fā)生在哪里？計算這時的最大切應力，哪里？計算這時的最大切應力，還需要什么條件？還需要什么條件？r = 15mm6297 圓軸扭轉變形與剛度條件圓軸扭轉變形與剛度條件一、扭轉時的變形一、扭轉時的變形由公式pGITx dd 知：長為長為 l一段桿兩截面間相對扭轉角一段桿兩截面間相對扭轉角 為值不變）若 ( d d0TGITlxGITplp63二、單位長度扭轉角二、單位長度扭轉角 ：(rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 或三、剛度條件三、剛度條件或GIp反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭轉變形的能力，稱為反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭轉變

39、形的能力，稱為圓軸的抗扭剛度。圓軸的抗扭剛度。 稱為許用單位長度扭轉角。 (rad/m) maxmaxpGIT /m)( 180 maxmaxpGIT 64剛度計算的三方面：剛度計算的三方面： 校核剛度： 設計截面尺寸： 計算許可載荷： max max GT Ip max pGIT 有時，還可依據(jù)此條件進行選材。各類軸的許用單位長度扭轉角可在有關的機械設計手冊中查得。各類軸的許用單位長度扭轉角可在有關的機械設計手冊中查得。對精密機器的軸對精密機器的軸 =(0.250.50)0/m；一般傳動軸一般傳動軸 =(0.51.0)0/m；精度要求不高的軸精度要求不高的軸 =(1.02.5)0/m。 65

40、 例例55長為 L=2m 的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖，若桿的內外徑之比為 =0.8 ，G=80GPa ，許用剪應力 =30MPa，試設計桿的外徑；若=2/m ，試校核此桿的剛度，并求右端面轉角。解：設計桿的外徑maxTWt 116D 43）（tW314max 116）（TD66314max 116）（TD40NmxT代入數(shù)值得：D 0.0226m。 由扭轉剛度條件校核剛度180maxmaxPGIT6740NmxT180maxmaxPGIT 8911108018040324429.)(D右端面轉角為：弧度）( 0330 4102040202200.)xx(GIdxGIxdx

41、GITPPLP68 例例66 某傳動軸設計要求轉速n = 500 r / min，輸入功率N1 = 500 馬力， 輸出功率分別 N2 = 200馬力及 N3 = 300馬力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，試確定： AB 段直徑 d1和 BC 段直徑 d2 ？ 若全軸選同一直徑，應為多少？ 主動輪與從動輪如何安排合理？解：圖示狀態(tài)下,扭矩如 圖，由強度條件得： 500400N1N3N2ACBTx7.024 4.21(kNm)m)(kN0247nN.m6916 31TdWt mm4671070143421016163632.Td 32 4 GTdIp mm8010701

42、43702416163631.Td由剛度條件得：500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm)70 mm47411080143180421032 3249242.GTd mm8411080143180702432 3249241 .GTd mm75 mm8521 d,d綜上：全軸選同一直徑時 mm851 dd71 軸上的絕對值最大的扭矩越小越合理，所以，1輪和2輪應 該換位。換位后,軸的扭矩如圖所示,此時,軸的最大直徑才 為 75mm。Tx 4.21(kNm)2.81472圓軸扭轉的強度設計的簡化公式圓軸扭轉的強度設計的簡化公式實心圓軸實心圓軸空心圓軸空心圓軸163maxmax

43、dMT)1 (1643maxmaxDMT3max16TMd 34max)1(16TMD33 10. 0954916nNnNd例如：富康轎車額定功率65kW，2500轉為設計工況mmd30250065 10. 03v承受同樣最大扭矩的相同材料制成的等強度圓軸，誰重誰輕？73圓軸扭轉的剛度設計簡化公式圓軸扭轉的剛度設計簡化公式實心圓軸實心圓軸空心圓軸空心圓軸4max18032GMdT44 09. 0180954932nNnGNd例如：富康轎車額定功率65kW，2500轉為設計工況mmd36250065 09. 04v承受同樣最大扭矩的相同材料制成的等剛度圓軸，誰重誰輕？)/(1803204maxm

44、dGMT)/(180)1 (32044maxmDGMT44max180)1(32GMDT74補充補充：扭轉超靜定問題扭轉超靜定問題 密圈彈簧變形密圈彈簧變形 非圓截面桿扭轉非圓截面桿扭轉 薄壁桿件扭轉薄壁桿件扭轉7576本章結束本章結束7799 等直圓桿的扭轉超靜定問題等直圓桿的扭轉超靜定問題解決扭轉超靜定問題的方法步驟：解決扭轉超靜定問題的方法步驟：平衡方程；平衡方程；幾何方程幾何方程變形協(xié)調方程；變形協(xié)調方程；補充方程：由幾何方程和物理方程得；補充方程：由幾何方程和物理方程得；物理方程；物理方程；解由平衡方程和補充方程組成的方程組。解由平衡方程和補充方程組成的方程組。78 例例77長為 L

45、=2m 的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖，若桿的內外徑之比為 =0.8 ，外徑 D=0.0226m ，G=80GPa，試求固定端反力偶。解解：桿的受力圖如圖示， 這是一次超靜定問題。 平衡方程為：02BAmmmAB79幾何方程變形協(xié)調方程0BA 綜合物理方程與幾何方程，得補充方程：040220200PAPALPBAGImdxGIxmdxGITmN 20 Am 由平衡方程和補充方程得：另另: :此題可由對稱性直接求得結果。此題可由對稱性直接求得結果。mN 20Bm809-10 9-10 圓柱形密圈螺旋彈簧的應力和變形計算圓柱形密圈螺旋彈簧的應力和變形計算 811. 1. 彈簧絲橫

46、截面上的應力彈簧絲橫截面上的應力 由由Q Q引起的剪應力引起的剪應力 由由T T引起的最大剪應力引起的最大剪應力 橫截面上的內力橫截面上的內力其中其中由由82對某些工程實際問題，如機車車輛中的重彈簧，對某些工程實際問題，如機車車輛中的重彈簧，的值并不太小，此時不僅要考慮剪力，還要考慮彈簧絲曲率的的值并不太小，此時不僅要考慮剪力，還要考慮彈簧絲曲率的影響，進一步理論分析和修正系數(shù)影響，進一步理論分析和修正系數(shù)k k的選取可見有關參考書。的選取可見有關參考書。 密圈彈簧絲的強度條件是密圈彈簧絲的強度條件是 83設彈簧在軸向壓力（或拉力）作用下，軸線方向的總縮短（或伸長）量為 ，這是彈簧的整體的壓縮

47、（或拉伸）變形變形。如圖4-16a、b，外力對彈簧做功 。簧絲橫截面上，距圓心為 的任意點的扭轉剪應力為2. 彈簧的變形彈簧的變形如認為簧絲是純扭轉，則其相應的單位體積變形能變形能是84由，則得到是彈簧圈的平均半徑。若引入記號則上式可寫成代表彈簧抵抗變形的能力，稱為彈簧剛度?？梢娕c成反比，越大則越小。 其中85【例9-5】 某柴油機的氣閥彈簧，簧圈平均半徑 ，簧絲直徑 ，有效圈數(shù) ， 材料的 。彈簧工作時受 KN，求此彈簧的最大壓縮量與最大剪應力(略去彈簧曲率的影響)?！窘狻浚河勺冃喂角笞畲髩嚎s量 考慮剪切力時 不考慮剪力影響時，相差5.9% 。由于，還應考慮曲率影響，此處從略。 86 9-11 9-11 非圓截面桿扭轉的概念非圓截面桿扭轉的概念 桿件受桿件受扭轉力偶扭轉力偶作用發(fā)生變形，變形后其橫截作用發(fā)生變形，變形后其橫截面將不再保持平面，而發(fā)生面將不再保持平面，而發(fā)生“翹曲翹曲” ” 87 扭轉時，若各橫截面翹曲是自由的，不受約束，此時扭轉時，若各橫截面翹曲是自由的，不受約束，此時相鄰橫截面的翹曲處處相同，桿件軸向纖維的長度無相鄰橫截面的翹曲處處相同，桿件軸向纖維的長度無變化，因而橫截面上，只有剪應力沒有正應力，這種變化，因而橫截面上，只有剪應力沒有正應力，這種扭轉稱為自由扭轉。此時橫截面上剪應力規(guī)律如下扭轉稱為自由扭轉。此時