必修二用樣本估計總體

1、第十講用樣本估計總體【引例】我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出，某市政府為了節(jié)約生活用水，計劃在本 市試行居民生活用水定額管理，即確定一個居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)a，用水量不超過a的部分按平價收費，超出a的部分按議價收費.通過抽樣調(diào)查，獲得 100位居民2007年的月均用水量如下表（單位：t）:3.12.52.02.01.51.01.61.81.91.63.42.62.22.21.51.20.20.40.30.43.22.72.32.11.61.23.71.50.53.83.32.82.32.21.71.33.61.70.64.13.22.92.42.31.81.43.51.90.8

2、4.33.02.92.42.41.91.31.41.80.72.02.52.82.32.31.81.31.31.60.92.32.62.72.42.11.71.41.21.50.52.42.52.62.32.11.61.01.01.70.82.42.82.52.22.01.51.01.21.80.62.2顯然，若居民月用水量標(biāo)準(zhǔn) a太高，則會影響居民的日常生活；若居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)a太低，則不利于節(jié)約用水為了確定一個較為合理的居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)a,必須對全市居民月均用水量的分布情況進(jìn)行分析，比如月均用水量在哪個范圍的居民最多，他們占全市居民的百分比情況等一、頻率分布表與頻率分布直方圖1. 頻率分布

3、分組頻數(shù)累計頻數(shù)頻率0, 0.5)40.040.5 , 1)7正80.081 , 1.5)正正正150.151.5 , 2)正正-正正220.222, 2.5)正正正正正250.252.5 , 3)正正140.143 , 3.5)正一60.063.5 , 4)40.044 , 4.5卩20.02合計1001.002般地，列出一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表可以按以下幾個步驟進(jìn)行 求極差（極差=樣本數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差） 決定組距與組數(shù).（設(shè)k=極差仝組距，若k為整數(shù)，則組數(shù)=k，否則，組數(shù)=k+1） 確定分點，將數(shù)據(jù)分組統(tǒng)計頻數(shù)，計算頻率，制成表格3為了直觀反映樣本數(shù)據(jù)在各組中的分布情況，我們將上

4、述頻率分布表中的有關(guān)信息用下面的圖形表示:O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.51月均用水量/t內(nèi)部資料，請勿外傳上圖稱為頻率分布直方圖，其中橫軸表示月均用水量， 縱軸表示頻率/組距頻率分布直方圖中各小長 方形的寬度和高度在數(shù)量上有何特點？4頻率分布直方圖各小長方形的面積表示什么？各小長方形的面積之和多少？5頻率分布直方圖非常直觀地表明了樣本數(shù)據(jù)的分布情況，使我們能夠看到頻率分布表中看不太清楚的數(shù) 據(jù)模式，但原始數(shù)據(jù)不能在圖中表示出來 你能根據(jù)上述頻率分布直方圖指出居民月均用水量的一些數(shù)據(jù)特 點嗎？ 二、莖葉圖頻率分布表、頻率分布直方圖和折線圖的主要作用是表示樣本數(shù)據(jù)的分布

5、情況，此外，我們還可以用 莖葉圖來表示樣本數(shù)據(jù)的分布情況【問題】某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽的得分情況如下：甲運動員得分：13,51,23, 8,26, 38, 16,33,14, 28,39；乙運動員得分：49,24,12, 31,50,31, 44,36,15,37,25, 36, 39.助教在比賽中將這些數(shù)據(jù)記錄為如下形式甲乙8046312536825438931616794491501你能理解這個圖是如何記錄這些數(shù)據(jù)的嗎？你能通過該圖說明哪個運動員的發(fā)揮更穩(wěn)定嗎？2在統(tǒng)計中，上圖叫做 莖葉圖，它也是表示樣本數(shù)據(jù)分布情況的一種方法，其中莖”指的是哪些數(shù)，葉指的是哪些數(shù)？3對于樣本數(shù)

6、據(jù)：3.1, 2.5，2.0, 0.8，1.5, 1.0, 4.3, 2.7, 3.1，3.5,用莖葉圖如何表示？4一般地，畫出一組樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖的步驟如何？5.用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的分布情況是一種好方法，你認(rèn)為莖葉圖有哪些優(yōu)點？ 三、眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)1、在初中我們學(xué)過眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的概念，這些數(shù)據(jù)都是反映樣本信息的數(shù)字特征，對一組樣本 數(shù)據(jù)如何求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？2. 在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，你認(rèn)為眾數(shù)應(yīng)在哪個小矩形內(nèi)？由此估計總體的 眾數(shù)是什么？3. 在頻率分布直方圖中，每個小矩形的面積表示什么？中位數(shù)左右兩側(cè)的直方圖的面積應(yīng)有什么關(guān)系？4. 在城市居民

7、月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，從左至右各個小矩形的面積分別是0.04, 0.08,0.15, 0.22, 0.25, 0.14, 0.06, 0.04, 0.02.由此估計總體的中位數(shù)是什么？5平均數(shù)是頻率分布直方圖的重心”，在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，各個小矩形的重心在哪里？從直方圖估計總體在各組數(shù)據(jù)內(nèi)的平均數(shù)分別為多少？6根據(jù)統(tǒng)計學(xué)中數(shù)學(xué)期望原理，將頻率分布直方圖中每個小矩形的面積與小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之積相加，就是樣本數(shù)據(jù)的估值平均數(shù) 由此估計總體的平均數(shù)是什么？7組數(shù)據(jù)的中位數(shù)一般不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些情況下是一個優(yōu)點，但它對極端值的不敏 感有

8、時也會額成為缺點，你能舉例說明嗎？樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于(或小于)中位數(shù)說明什么問題？你怎 樣理解 我們單位的收入水平比別的單位高 ”這句話的含義？四、標(biāo)準(zhǔn)差甲、乙兩人本次射擊的平均成績分別為多少環(huán)？2、甲、乙兩人射擊的平均成績相等，觀察兩人成績的頻率分布條形圖，你能說明其水平差異在那里嗎?3、反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計量是標(biāo)準(zhǔn)差，一般用S表示假設(shè)樣本數(shù)據(jù)X1, X2,Xn的平均數(shù)為X，則標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式是：1在一次射擊選拔賽中，甲、乙兩名運動員各射擊10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下:甲:78795491074乙：95787686777內(nèi)部資料，請勿外傳s = 1(X1 - X)2 +

9、(X2 - X)2 + L + (Xn - X)2-n那么標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么？標(biāo)準(zhǔn)差為o的樣本數(shù)據(jù)有何特點？4標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2稱為方差，有時用方差代替標(biāo)準(zhǔn)差測量樣本數(shù)據(jù)的離散度方差與標(biāo)準(zhǔn)差的測量效果是一致的，在實際應(yīng)用中一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差【典例精講】例1在學(xué)校開展的綜合實踐活動中，某班進(jìn)行了小制作評比，作品上交時間為5月1日至30日，評委會把同學(xué)們上交作品的件數(shù)按 5天一組分組統(tǒng)計，繪制了頻率分布直方圖(如圖所示)，已知從左到右各長 方形高的比為2 : 3 : 4 : 6 : 4 : 1，第三組的頻數(shù)為12，請解答下列問題：(1) 本次活動共有多少件作品參加評比？(2) 哪組上交的作品數(shù)量最

10、多？有多少件？(3) 經(jīng)過評比，第四組和第六組分別有10件、2件作品獲獎，I 6 11 16 21 26 31 日朗問這兩組哪組獲獎率高？例2為了解A , B兩種輪胎的性能，某汽車制造廠分別從這兩種輪胎中隨機抽取了8個進(jìn)行測試，下面列出了每一個輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程數(shù)（單位：1 000 km）輪胎 A96,112,97,108,100,103, 86,98輪胎 B108，101，94，105，96，93，97，106（1 ）分別計算A，B兩種輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)，中位數(shù)；（2）分別計算A，B兩種輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差、標(biāo)準(zhǔn)差；（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)你認(rèn)為哪種型號的輪胎性能更加穩(wěn)定？30 min

11、抽取一包產(chǎn)品，稱其重量，分別99；110.例3某化肥廠甲、乙兩個車間包裝肥料，在自動包裝傳送帶上每隔 記錄抽查數(shù)據(jù)如下：甲：102，101，99，98，103，98，乙：110，115，90，85，75，115，（1）這種抽樣方法是哪一種？ （2）將這兩組數(shù)據(jù)用莖葉圖表示;（3）將兩組數(shù)據(jù)比較，說明哪個車間產(chǎn)品較穩(wěn)定【家庭作業(yè)】 1為了了解高一學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖（如圖所示），圖中從左到右各小長方形面積之比為2 : 4： 17 : 15： 9 : 3,第二小組頻數(shù)為12.（1）第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？（2）若

12、次數(shù)在110以上（含110次）為達(dá)標(biāo), 試估計該學(xué)校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？（3）在這次測試中，學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在 哪個小組內(nèi)？請說明理由2某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分情況如下:甲的得分：12， 15， 24， 25， 31， 31， 36， 36， 37， 39， 44， 49， 50；乙的得分：8， 13， 14， 16， 23， 26， 28， 33， 38， 39， 59.（1）制作莖葉圖，并對兩名運動員的成績進(jìn)行比較；（2）計算上述兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，并比較兩名運動員的成績和穩(wěn)定性；（3）能否說明甲的成績一定比乙好，為什么？【作業(yè)答案】1. ( 1)由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，因此第二小組的頻率為:0.08=150-4=0 08又因為頻率=第二小組頻數(shù)，所以樣本容量 =第二小組頻數(shù) 1217 15 9 3又因為頻率樣本容量'第二小組頻率(2)由圖可估計該學(xué)校高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為2 47 1；5 15 9 3 仙=88%.由已知可得各小組的頻數(shù)依次為6,12,51,45,27,9,所以前三組的頻數(shù)之和為所以跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第四小組內(nèi).(3)114，2.( 1)制作莖葉圖如下：從莖葉圖上可看出，甲運動員發(fā)揮比