25矩形菱形與正方形

1、矩形菱形與正方形、選擇題1.（2014?黑龍江龍東，第 18 題 3 分）如圖，正方形 ABCD 的邊長為 2, H 在 CD 的延長線上，四邊形 CEFH 也為正方形，則 DBF 的面積為（）A.4B 以C. :考點(diǎn)： 整式的混合運(yùn)算.專題： 計(jì)算題.分析： 設(shè)正方形 CEFH 邊長為 a,根據(jù)圖形表示出陰影部分面積，去括號合并即可得到結(jié)果.解答： 解：設(shè)正方形 CEFH 的邊長為 a,根據(jù)題意得： SBDF=4+a2-用-a （ a- 2）- a （a+2） =2+a2- a2+aa2- a=2,2 2 2 2 2故選 D點(diǎn)評：此題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.2.

2、（2014?黑龍江龍東，第 20 題 3 分）如圖，正方形 ABCD 中，AB=6，點(diǎn) E 在邊 CD 上，且CD=3DE .將 ADE 沿 AE 對折至 AFE，延長 EF 交邊 BC 于點(diǎn) G,連接 AG、CF.則下列 結(jié)論：1厶 ABGAFG : BG=CG; AG/ CF : SEGC=SAFE;/ AGB+Z AED=145 .其中正確的個(gè)數(shù)是（）AV_ DGCBCEA.2B. 3C. 4D. 5考點(diǎn)：翻折變換(折疊問題)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).分析：根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證RtAABG 也 RtAAFG ;在直角 ECG 中,根據(jù)勾股定理可證 BG=GC

3、;通過證明/ AGB =ZAGF=ZGFC=ZGCF，由平行線的判定可 得 AG/CF ;分別求出 SEGC與SA AFE的面積比較即可；求得/ GAF =45 / AGB+ZAED=180-ZGAF=135.解答：解：正確.理由：/ AB =AD =AF,AG=AG, ZB=ZAFG=90 RtAABG 也 RtAAFG ( HL);2正確.理由：EF=DECD=2，設(shè) BG=FG=x，貝 U CG=6 - x.3在直角 ECG 中，根據(jù)勾股定理，得(6 - x)2+42= (x+2)2,解得 x=3 . BG=3=6 - 3=GC;3正確.理由：/ CG = BG, BG = GF, CG

4、 = GF, FGC 是等腰三角形，ZGFC =ZGCF .又 RtAABG 也 RtAAFG;ZAGB =ZAGF, ZAGB+ZAGF=2ZAGB=180-ZFGC =ZGFC+ZGCF=2ZGFC =2ZGCF,ZAGB =ZAGF =ZGFC=ZGCF, AG / CF ;4正確.理由:TSAGCE= 丄 GC?CE=_X3X4=6,2 2/SAFE=-LAF ?EF =_X5X2=6,2 2 I SAEGC=SAAFE；5錯(cuò)誤./BAG =ZFAG，/DAE =/FAE,又/ BAD=90 ,/GAF=45,/AGB+ZAED=180 上GAF=135.點(diǎn)評：本題考查了翻折變換的性質(zhì)

5、和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì),平行線的判定，三角形的面積計(jì)算等知識此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意 數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.3.（2014?黑龍江綏化，第 18 題 3 分）如圖，在矩形 ABCD 中，AD=_ 】AB,ZBAD 的平分線交 BC 于點(diǎn) E, DH 丄 AE 于點(diǎn) H，連接 BH 并延長交 CD 于點(diǎn) F，連接 DE 交 BF 于點(diǎn) 0,下列結(jié)論：ZAED =ZCED:OE=OD:BH=HF; BCCF=2HE;AB=HF,其中正確的有（An*:sEB . 3 個(gè)C . 4 個(gè)考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與

6、性質(zhì).勾股定理,分析：根據(jù)角平分線的定義可得/BAE= / DAE=45，然后利用求出厶 ABE 是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得 AE=.:AB，從而得到 AE=AD，然后利用 角角 邊”證明厶 ABE 和厶 AHD 全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得 BE=DH，再根據(jù)等 腰三角形兩底角相等求出/ ADE= / AED=67.5 根據(jù)平角等于 180求出/ CED=67.5 從而判斷出正確；再求出/ AHB=67.5 / DOH=ZODH =22.5 然后根據(jù)等角對等邊可得 OE=OD=OH ,判斷出正確；再求出/ EBH= / OHD=22.5 / AEB=ZHDF=45

7、,然后利用 角邊角”證明 BEH 和 HDF 全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BH = HF，判斷出正確；根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得 DF = HE，然后根據(jù) DH=DC - CF 整理得到.:BC - 2CF=2HE ,判斷出錯(cuò)誤；判斷出 ABH 不是等邊三角形，從而得到AB 再 H，即 ABHIF，得到錯(cuò)誤.解答： 解：在矩形 ABCD 中，AE 平分/ BAD,/BAE=ZDAE =45,ABE 是等腰直角三角形，AE=二 AB,/ AD=二 AB, AE=AD ,在厶 ABE 和厶 AHD 中，F(xiàn)ZBAE=ZDAE ZABE=ZAHD=90fl,.AE二AD ABEAHD (AAS

8、), BE=DH ,AB=BE=AH=HD,/ADE =ZAED 丄(180-45=67.52 / CED=180 - 45 - 67.5 67.5 / AED =ZCED,故正確；/AHBJ(180-45 =67.5 , / OHE = / AHB (對頂角相等),OE = OH ,/ DOH =90 - 67.5 22.5 / ODH =67.5 - 45 =22.5 / DOH = / ODH , OH=OD,.OE = OD = OH，故正確；/ EBH=90 - 67.5 22.5 / EBH = Z OHD ,在厶 BEH 和厶 HDF 中，VEBH=Z0HD=22- 55后=5臨

9、厘米2,(3)當(dāng) AE=EF=5 厘米時(shí)，如圖考點(diǎn)： 菱形的性質(zhì)分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)可得： AB=AD，然后根據(jù)/ A=60，可得三角形 ABD 為等邊三角形，繼而可得出邊長以及周長.解答： 解：四邊形 ABCD 為菱形， AB=AD,/ A=60 , ABD 為等邊三角形，/ BD=7, AB=BD=7,菱形 ABCD 的周長=4X7=28.故答案為：28.DF=J 丄！-:二=4厘米， SAEF=-LAE?DFJX5X4=10 厘米2.2 2故答案為：上 J, 5.i, 10.點(diǎn)評：本題主要考查矩形的角是直角的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用,定分情況討論.要根據(jù)三角形的腰長的不確12.（2014?重

10、慶 A,第 15 題 4 分）如圖，菱形 ABCD 中，/ A=60 BD=7，則菱形 ABCD 的 周長為 28.點(diǎn)評：本題考查了菱形的性質(zhì)， 解答本題的關(guān)鍵是掌握菱形的四條邊都相等的性質(zhì),簡單.13. （2014?重慶 A,第 18 題 4 分）如圖，正方形 ABCD 的邊長為 6，點(diǎn) 0 是對角線 AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn) E 在 CD 上，且 DE=2CE,過點(diǎn) C 作 CF 丄 BE,垂足為 F，連接 OF，則 OF 的考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì).分析：在 BE 上截取 BG=CF ,連接 OG ,證明 OBGOCF ,則 OG=OF, / BOG= /

11、COF ,得出等腰直角三角形 GOF，在 RTABCE 中，根據(jù)射影定理求得 GF 的長，即可求得 OF 的長.解答： 解：如圖，在 BE 上截取 BG=CF，連接 OG,/ RT BCE 中，CF 丄 BE,/EBC=ZECF,/OBC=/OCD=45,/OBG=/OCF,在厶 OBG 與厶 OCF 中OB=OCZ0BG=Z0CFBG=CFOBGAOCF(SAS) OG = OF，/ BOG = / COF ,OG 丄 OF,在 RTABCE 中,BC=DC=6 , DE=2EC , EC=2 ,BE=T 亠匚丄2. I ii ,比較 BC2=BF?BE,則 62=BF，解得: EF=BE

12、- BF,5CF2=BF?EF , CF=：5 GF = BF - BG=BF - CF=5在等腰直角 OGF 中OF2=GF2,OF=：5的應(yīng)用.14. （2014?四川成都，第 24 題 4 分）如圖，在邊長為 2 的菱形 ABCD 中，/ A=60 M 是 AD邊的中點(diǎn)，N 是 AB 邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將 AMN 沿 MN 所在直線翻折得到 AMN，連接 AC,解答：解：如圖所示： MN , MA 是定值，A C 長度的最小值時(shí)，即 A 在 MC 上時(shí), 過點(diǎn)M 作 M 丄 DC 于點(diǎn) F,根據(jù)題意得出 A 的位置，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出分析:A C 的長即可.BF ll _ ?點(diǎn)評：

13、本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理考點(diǎn):菱形的性質(zhì)；則 A C 長度的最小值是在邊長為 2 的菱形 ABCD 中，/ A=60 CD=2，/ ADCB=120,/ FDM =60 , / FMD=30 , FD=MD=,22 FM=DM Cos30逅,2MC= ；打 -.， AC-MC - MA 八-1.故答案為：- 1.點(diǎn)評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，得出A點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵.15._（2014 衡陽，第 15 題 3 分）如圖，在矩形ABCD中，Z BOC 120o,AB 5，則BD的長為_?！究键c(diǎn)】矩形的對角線相等且互相平分；

14、一個(gè)角是60 度的等腰三角形是等邊三角形【解析】矩形ABCD OA-OB 又TZ BOC 120o AOB-60。 AOB 是等邊三角形 OA-OB-AB-5 ：矩形ABCD BD-2OB-10【答案】10【點(diǎn)評】本題主要考察矩形對角線的性質(zhì)，只要應(yīng)用一個(gè)角是60 度的等腰三角形是等邊三角形就可得結(jié)論16、（2014?無錫，第 18 題 2 分）如圖，菱形 ABCD 中，ZA-60 AB-3,OA、OB 的半徑分別為 2 和 1 , P、E、F 分別是邊 CD、OA 和OB 上的動(dòng)點(diǎn)，貝UPE+PF 的最小值是 3考點(diǎn)：軸對稱-最短路線冋題；菱形的性質(zhì)；相切兩圓的性質(zhì).分析：禾 U 用菱形的性

15、質(zhì)以及相切兩圓的性質(zhì)得出P 與 D 重合時(shí) PE+PF 的最小值，進(jìn)而求出即可.解答： 解：由題意可得出：當(dāng) P 與 D 重合時(shí)，E 點(diǎn)在 AD 上，F(xiàn) 在 BD 上，此時(shí) PE+PF 最小,連接 BD,菱形 ABCD 中，/ A=60 , AB=AD，則 ABD 是等邊三角形， BD=AB=AD=3,VOA、OB 的半徑分別為 2 和 1 , PE=1, DF=2, PE+PF 的最小值是 3.故答案為：3.點(diǎn)評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及相切兩圓的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意得出 P 點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵.17、（2014?江西，第 13 題 3 分）如圖，是將菱形 ABCD 以點(diǎn) 0 為中心按順時(shí)

16、針方向分別旋轉(zhuǎn) 90 180 270后形成的圖形。若BAD 60o, AB=2，則圖中陰影部分的面積為【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).【分析】 連接 AC、BD , AO、BO , AC 與 BD 交于點(diǎn) E,求出菱形對角線 AC 長，根據(jù)旋ACI （2 3）l轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知 AO 丄 CO。在 RtAAOC 中，根據(jù)勾股定理求出 AO=CO=AC（2 3丿6,Y 2 Y 2【答12-43.（第13地）從而求出 Rt AOC的面積，再減去 ACD 的面積得陰影部分 AOCD 面積，一共有四個(gè)這樣 的面積，乘以 4 即得解?！窘獯稹拷猓哼B接 BD、AC,相交于點(diǎn) E,連接 AO、CO。因

17、為四邊形 ABCD 是菱形， AC 丄 BD, AB = AD= 2。/ BAD = 60 ABD 是等邊三角形， BD = AB = 2,111 / BAE =_/ BAD = 30 AE =一 AC, BE=DE=-BD=1 ,222在 RtAABE 中，AE=AB2BE222123, AC= 2。菱形 ABCD 以點(diǎn) O 為中心按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90 180 2701/ AOC=$60 = 90 即 AO 丄 CO , AO = CO4在 RtAAOC 中，AO=CO=(JAC (Mr。 S 陰影=SAAOC SAADC_4X(3 3) =12 43所以圖中陰影部分的面積為12 43。1

18、8、(2014?寧夏，第 10 題 3 分)菱形 ABCD 中，若對角線長 AC_8cm , BD_6cm ,則邊長AB_ 5 cm.考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；勾股定理專題： 常規(guī)題型.分析：根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分求出對角線一半的長度，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解.解答：解：如圖，菱形 ABCD 中，對角線長 AC_8cm, BD_6cm , AO_-AC_4cm , BOBD_3cm ,2 2菱形的對角線互相垂直，在 RtAAOB 中，AB_二 I _5cm.1TSAAOC= AO CO =2 21 1_3 ,SADC=2AC DE=2沱X1故答案為：5.點(diǎn)評：本題主要考查了菱形的對角線互

19、相垂直平分的性質(zhì),解.19、（2014?寧夏，第 15 題 3 分）如圖，在四邊形 ABCD 中，AD / BC, AB=CD=2, BC=5 ,/ BAD 的平分線交 BC 于點(diǎn) E,且 AE/ CD，則四邊形 ABCD 的面積為考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)分析：根據(jù)題意可以判定 ABE 是等邊三角形，求得該三角形的高即為等腰梯形ABCD 的高所以利用梯形的面積公式進(jìn)行解答.解答：解：如圖，過點(diǎn) A 作 AF 丄 BC 于點(diǎn) F./AD/BC,/DAE =ZAEB,又/BAE=ZDAE,/BAE=ZAEB,/AE / CD ,/AEB=ZC,/AD/BC,AB=CD=

20、2,四邊形是等腰梯形,/ B= / C, ABE 是等邊三角形, AB=AE = BE=2，/ B=60 ,作出圖形更形象直觀且有助于理 AF=AB?s in 60=2/AD / BC, AE/ CD ,2四邊形 AECD 是平行四邊形, AD = EC=BC BE=5 - 2=3 ,三、解答題1.(2014?海南，第 23 題 13 分)如圖，正方形 ABCD 的對角線相交于點(diǎn) O,/ CAB 的平分 線分別交BD , BC 于點(diǎn) E, F，作 BH 丄 AF 于點(diǎn) H，分別交 AC, CD 于點(diǎn) G, P,連接 GE ,GF .(1) 求證： OAEOBG ;(2) 試問：四邊形 BFGE

21、 是否為菱形？若是，請證明；若不是，請說明理由;(3) 試求：丄的值(結(jié)果保留根號).AEPc)Fdu3考點(diǎn)：四邊形綜合題.分析：(1)通過全等三角形的判定定理ASA 證得： OAEOBG;(2) 四邊形 BFGE 是菱形.欲證明四邊形 BFGE 是菱形，只需證得 EG=EB=FB=FG , 即四條邊都相等的四邊形是菱形；(3) 設(shè)OA=OB=OC=a， 菱形GEBF的邊長為B .由該菱形的性質(zhì) CG=GF = b,(也可 由厶 OAEOBG 得 OG=OE=a- b, OC - CG=a - b,得 CG=b);然后在 RtAGOE 中，由勾股定理可得 a=b，通過相似三角形 CGPsAGB

22、 的對應(yīng)邊成比例得點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì),平行四邊形的判定和性質(zhì)， 等腰梯形的性質(zhì)等.梯形的面積匕至 y：_!=_!=1;最后由(1) OAEOBG 得到：AE=GB,故-= - - 1.GB屈AE GB解答：(1)證明：四邊形 ABCD 是正方形，OA=OB,/AOE =ZBOG =90./ BH 丄 AF,/AHG=90 ,/ GAH+ / AGH=90 = / OBG+ / AGH ,/GAH= / OBG，即/ OAE =ZOBG .C Z0A=Z0BGOAE 與厶 OBG 中，0加OB,ZAOE=ZBOG OAEOBG (ASA);(2)四邊形 BFGE 是菱形，理由

23、如下：在 AHG 與厶 AHB 中，F(xiàn)ZGAH=ZBAH AH二AHtZAHG=ZAHB=90fl AHGAHB (ASA),GH=BH, AF 是線段 BG 的垂直平分線， EG = EB, FG=FB./BEF =ZBAE +ZABE=67.5 /BFE=90-ZBAF=67.5/BEF =ZBFE EB=FB, EG = EB=FB=FG,四邊形 BFGE 是菱形；(3 )設(shè) OA=OB=OC=a，菱形 GEBF 的邊長為 B .四邊形 BFGE 是菱形， GF / OB ,ZCGF =ZCOB=90,ZGFC =ZGCF=45, CG = GF = b,(也可由厶 OAEOBG 得 O

24、G=OE=a b, OC - CG=a - b，得 CG=b)OG = OE=a-b,在 RtAGOE 中，由勾股定理可得： 2 (a - b)2=b2，求得 a= ： b2 AC=2a= (2+ :) b, AG=AC - CG= (1+ 二)b/ PC / AB,由(OAE 也厶 OBG 得 AE=GB , 士 4-1，即卡-1-P嚴(yán))AB點(diǎn)評：本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的判定與性質(zhì)等四邊形的綜合題該題難度較大，需要學(xué)生對有關(guān)于四邊形的性質(zhì)的知識 有一系統(tǒng)的掌握.2.(2014?黑龍江綏化，第 26 題 9 分)在菱形 ABCD 和正三角形 BG

25、F 中，/ ABC=60 P 是DF 的中點(diǎn)，連接 PG、PC.(1)如圖 1,當(dāng)點(diǎn) G 在 BC 邊上時(shí)，易證：PG=_；PC.(不必證明)(2) 如圖 2,當(dāng)點(diǎn) F 在 AB 的延長線上時(shí)，線段 PC、PG 有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并給與證明；(3)如圖 3,當(dāng)點(diǎn) F 在 CB 的延長線上時(shí)，線段 PC、PG 又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的 猜想(不必證明).考點(diǎn)：四邊形綜合題.丄亠GB AGC1+V2)b=.：-1,分析：(1)延長 GP 交 DC 于點(diǎn) E,利用 PEDPGF ,得出 PE=PG , DE = FG ,得到 CE=CG ,CP 是 EG 的中垂線,在 RTACPG

26、 中，/ PCG=60 ,所以 PG= . :PC.(2) 延長 GP 交 DA 于點(diǎn) E,連接 EC , GC ,先證明 DPEFPG,再證得 CDECBG，利用在 RTA CPG 中，/ PCG=60 所以 PG=J PC.(3)延長 GP 至 U H ,使 PH=PG ,連接 CH、DH，作 ME / DC，先證 GFPHDP ,/ PCG=60 ,所以 PGV3PC. CE=CG, CP 是 EG 的中垂線，在 RTACPG 中，/ PCG=60 , PG= :PC.(2)如圖 2,延長 GP 交 DA 于點(diǎn) E,連接 EC , GC,/ ABC=60 , BGF 正三角形 GF /

27、BC / AD,/ EDP = Z GFP ,在厶 DPE 和厶 FPG 中VEDP=ZGFPDP二FPiZDFE=ZFFGDPEFPG (ASA) PE=PG , DE=FG=BG ,/ CDE = CBG=60 , CD=CB,在厶 CDE 和厶 CBG 中，禾|用厶 PEDPGF，得出 PE=PG , DE=FG ,rCD=CBZCDE=CBG=ECDECBG ( SAS) CE=CG ,Z DCE = Z BCG ,/ ECG= / DCB=120 ,/ PE=PG , CP 丄 PG,/ PCG= / ECG=602 PG= :；PC.(3)猜想：PG=.1PC.證明：如圖 3，延長

28、 GP 至 U H，使 PH=PG，連接 CH , CG , DH，作 ME / DCFP=DP,/ GPF = / HPD ,GFPHDP , GF = HD , / GFP=/ HDP ,/ GFP + / PFE=120 , / PFE=/ PDC ,/ CDH = / HDP+ / PDC=120 ,四邊形 ABCD 是菱形， CD = CB , / ADC = / ABC=60 點(diǎn) A、B、G 又在一條直線上,/ GBC=120 ,四邊形 BEFG 是菱形， GF = GB , HD=GB , CH=CG,/ DCH= / BCG,/DCH +/HCB =ZBCG+/HCB=120,

29、即/ HCG=120/ CH=CG, PH = PG, PG 丄 PC,/ GCP= / HCP=60 PG= :PC.點(diǎn)評：本題主要考查了菱形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定等知識點(diǎn)，根據(jù)已知和所求的條件正確的構(gòu)建出相關(guān)的全等三角形是解題的關(guān)鍵.3.（2014?湖北宜昌，第 23 題 11 分）在矩形 ABCD 中，二=a,點(diǎn) G, H 分別在邊 AB, DC AL-上，且 HA = HG ,點(diǎn) E 為 AB 邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 HE,把厶 AHE 沿直線 HE 翻折得到厶 FHE .匸HCnHC D狂/“GFc4kG罰遲AG圖21s A圖3應(yīng)G（1）如圖 1,當(dāng) DH=DA 時(shí)，1填空：/

30、HGA= 45 度；2若 EF / HG,求/ AHE 的度數(shù)，并求此時(shí)的最小值；（2）如圖 3,/ AEH=60 , EG=2BG，連接 FG，交邊 FG ,交邊 DC 于點(diǎn) P,且 FG 丄 AB,G 為垂足，求 a 的值.考點(diǎn)：四邊形綜合題.分析：（1 根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知條件得出/HAE =45，再根據(jù) HA=HG，得出/ HAE=/ HGA，從而得出答案；先分兩種情況討論：第一種情況，根據(jù)（1）得出/ AHG=90再根據(jù)折疊的性質(zhì)得出/ HAE= / F=45 , / AHE= / FHE，再根據(jù) EF / HG，得出/ AHF= / AHG -/ FHG，即可得出/ AHE=22.

31、5 此時(shí)，當(dāng) B 與 G 重合時(shí)，a 的值最小，求出最小值；第二種情況：根據(jù)已知得出/ AEH + / FEH=45 ,由折疊的性質(zhì)求出/ AHE 的度數(shù)，此時(shí)，當(dāng) B 與 E 重合時(shí)，a 的值最小，設(shè) DH=DA=x，貝 U AH=CH=二 x,在 RtAAHG 中，/AHG=90 ,根據(jù)勾股定理得： AGAH=2x，再根據(jù)/ AEH = / FEH ,/ GHE=/ FEH，求出/ AEH = / GHE，得出 AB=AE=2x+二 x,從而求出 a 的最小值；(2)先過點(diǎn) H 作 HQ 丄 AB 于 Q,則/ AQH = / GOH=90 ,根據(jù)矩形的性質(zhì)得出/ D= / DAQ = /

32、 AQH =90 ,得出四邊形 DAQH 為矩形， 設(shè) AD=x, GB=y， 貝 U HQ=x, EG=2y，由折疊的性質(zhì)可知/ AEH =ZFEH=60,得出/ FEG=60 在 RtAEFG 中，根據(jù)特殊 角的三角函數(shù)值求出 EG 和 EQ 的值，再由折疊的性質(zhì)得出 AE=EF，求出 y 的值，從 而求出AB=2AQ+GB，即可得出 a 的值.解答：解：(1 )四邊形 ABCD 是矩形，/ADH=90 ,DH =DA，/DAH =/DHA=45/HAE=45 ,HA=HG，/HAE =ZHGA=45;故答案為： 45；分兩種情況討論：第一種情況： / HAG= / HGA=45/AHG=

33、90 ,由折疊可知：/ HAE=ZF=45 / AHE =ZFHE ,/ EF / HG ,/FHG =/F=45,/AHF=ZAHG-ZFHG =45,即/ AHE +ZFHE =45 ,ZAHE=22.5，此時(shí)，當(dāng) B 與 G 重合時(shí)， a 的值最小，最小值是 2；第二種情況：EF/ HG，ZHGA=ZFEA=45，即ZAEH +ZFEH =45 ,由折疊可知：/ AEH=/FEH ,/AEH =ZFEH =22.5/ EF / HG ,/GHE=/FEH =22.5/AHE=90+22.5 112.5 此時(shí)，當(dāng) B 與 E 重合時(shí)，a 的值最小，設(shè) DH = DA=x，貝 U AH=CH

34、 =:x,在 RtAAHG 中，/ AHG=90 ,由勾股定理得：AG=；打 AH=2x,/AEH =ZFEH，/GHE =/FEH,/AEH =ZGHE, GH=GE= _ X AB=AE=2x+=：； ：jx, a 的最小值是 皿亠 2+；(2)如圖：過點(diǎn) H 作 HQ 丄 AB 于 Q,則/ AQH= / GOH =90 ,在矩形 ABCD 中，/ D =ZDAQ =90 ,/D=ZDAQ=/AQH =90,四邊形 DAQH 為矩形， AD=HQ,設(shè) AD=x, GB=y,貝 U HQ=x, EG=2y,由折疊可知：/ AEH=ZFEH =60/FEG=60 , 在 RtAEFG 中，E

35、G=EFXcos60, EF=4y,在 RtAHQE 中，EQ=-=x,tan60 3 QG = QE+EG= x+2y,3/ HA = HG , HQ 丄 AB , AQ = GQ=亠上 x+2y,3 AE=AQ+QE=由折疊可知：AE=EF ,；x+2y=4y,3 y=；x,3 AB=2AQ+GB=2：x+2y)3 a4：；.AD4.(2014?湖南永州，第 23 題 10 分)在同一平面內(nèi)， ABC 和厶 ABD 如圖放置，其中AB=BD.小明做了如下操作：將厶 ABC 繞著邊 AC 的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180得到 CEA，將 ABD 繞著邊 AD 的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180得到厶 DFA，如圖，請完成

36、下列問題：(1)試猜想四邊形 ABDF 是什么特殊四邊形，并說明理由;(2)連接 EF , CD，如圖，求證：四邊形 CDEF 是平行四邊形.+y=x，3殊角的三角函數(shù)值等知識點(diǎn)，關(guān)鍵是根據(jù)題意做出輔助線，構(gòu)造直角三角形.點(diǎn)評:考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；平行四邊形的判定；菱形的判定.分析：(1)根旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 AB=DF , BD=FA，由于 AB=BD，所以 AB=BD=DF=FA，則可根據(jù)菱形的判定方法得到四邊形ABDF 是菱形；(2)由于四邊形 ABDF 是菱形，則 AB/ DF，且 AB=DF，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得四邊形 ABCE 為平行四邊形，根據(jù)判死刑四邊形的性質(zhì)得AB / CE ,且 A

37、B=CE,所以 CE / FD, CE=FD，所以可判斷四邊形 CDEF 是平行四邊形.解答：(1)解：四邊形 ABDF 是菱形.理由如下： ABD 繞著邊 AD 的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180得到 DFA, AB=DF , BD = FA,/ AB=BD, AB=BD=DF = FA,四邊形 ABDF 是菱形；(2)證明：四邊形 ABDF 是菱形， AB/ DF，且 AB=DF ,/ ABC 繞著邊 AC 的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180得到 CEA, AB=CE, BC=EA,四邊形 ABCE 為平行四邊形， AB/ CE，且 AB=CE, CE/ FD , CE=FD ,四邊形 CDEF 是平行四邊形.點(diǎn)評：本題

38、考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng) 點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角也考查了平行四邊形的判定和菱形的判疋.5.(2014?廣西來賓，第 21 題 8 分)如圖，BD 是矩形 ABCD 的一條對角線.(1) 作 BD 的垂直平分線 EF ,分別交 AD、BC 于點(diǎn) E、F,垂足為點(diǎn) O.(要求用尺規(guī)左圖, 保留作圖痕跡，不要求寫作法)；(2) 求證：DE=BF.考點(diǎn)：作圖一基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；矩形的性質(zhì).分析：(1)分別以 B、D 為圓心，以大于二 BD 的長為半徑四弧交于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)作直線即可得到線段 BD 的垂直平分線;(2)利用垂直平分線

39、證得 DEOBFO 即可證得結(jié)論.解答： 解：(1)答題如圖：(2)四邊形 ABCD 為矩形， AD / BC,/ ADB = Z CBD , EF 垂直平分線段 BD ,BO=DO,在厶 DEO 和三角形 BFO 中，F(xiàn)ZADB=ZCBD BO二DO，tZD0E=ZB0FDEOBFO (ASA),DE=BF.點(diǎn)評：本題考查了基本作圖及全等三角形的判定與性質(zhì)，了解基本作圖是解答本題的關(guān)鍵, 難度中等.6.(2014 年廣西欽州，第 20 題 7 分)如圖，在正方形 ABCD 中，E、F 分別是 AB、BC 上的點(diǎn)，且 AE=BF .求證：CE=DF .考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)

40、.版權(quán)所有專題：證明題.分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得 AB=BC=CD，/ B= / BCD=90然后求出 BE=CF，再利用邊角邊”證明 BCE 和厶 CDF 全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可.解答：證明：在正方形 ABCD 中，AB=BC=CD，/ B= / BCD =90/ AE=BF , AB - AE=BC - BF ,即 BE=CF,在厶 BCE 和厶 CDF 中，BC=CD,BECFBCECDF ( SAS ,CE=DF.點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵.7.(2014 年貴州安順，第 23 題 12 分)已知

41、：如圖，在 ABC 中，AB=AC, AD 丄 BC,垂足為點(diǎn) D , AN 是厶 ABC 外角/ CAM 的平分線，CE 丄 AN，垂足為點(diǎn) E,(1)求證：四邊形 ADCE 為矩形；(2)當(dāng)厶 ABC 滿足什么條件時(shí)，四邊形 ADCE 是一個(gè)正方形？并給出證明.考點(diǎn)：矩形的判定；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；正方形的判定.專題： 證明題；開放型.分析：(1 )根據(jù)矩形的有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，已知CE 丄 AN, AD 丄 BC,所以求證/ DAE=90可以證明四邊形 ADCE 為矩形.(2)根據(jù)正方形的判定，我們可以假設(shè)當(dāng)AD 年 BC,由已知可得，DC 丄 BC，由(1 )的

42、結(jié)論可知四邊形 ADCE 為矩形，所以證得，四邊形 ADCE 為正方形.解答： (1)證明：在厶 ABC 中，AB=AC, AD 丄 BC,/ BAD = Z DAC ,/ AN 是厶 ABC 外角/ CAM 的平分線，/ DAE = / DAC+ / CAE=1x18090 ,2又 AD 丄 BC, CE 丄 AN,/ADC =/CEA=90,四邊形 ADCE 為矩形.(2)當(dāng)厶 ABC 滿足/ BAC=90時(shí)，四邊形 ADCE 是一個(gè)正方形.理由： AB=AC,/ACB =ZB=45,/ AD 丄 BC,/CAD =/ACD=45,DC=AD,四邊形 ADCE 為矩形，矩形 ADCE 是正

43、方形.當(dāng)/ BAC=90時(shí)，四邊形 ADCE 是一個(gè)正方形.點(diǎn)評：本題是以開放型試題， 主要考查了對矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，及角平分線的性質(zhì)等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用.& ( 2014?萊蕪，第 21 題 9 分)如圖，已知ABC 是等腰三角形，頂角/ BAC=a(aV60,D 是 BC 邊上的一點(diǎn)，連接 AD，線段 AD 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到 AE,過點(diǎn) E 作 BC 的平行 線，交 AB 于點(diǎn) F，連接DE, BE, DF .(1) 求證：BE=CD;(2) 若 AD 丄 BC,試判斷四邊形 BDFE 的形狀，并給出證明.考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定；旋

44、轉(zhuǎn)的性質(zhì).分析：(1 )根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得/ BAE= / CAD，從而 SAS 證明 ACDABE，得出答案 BE=CD ;(2)由 AD 丄 BC, SAS可得厶 ACDABEABD， 得出 BE=BD=CD , / EBF =ZDBF ,再由 EF / BC,/ DBF = / EFB，從而得出/ EBF= / EFB，貝 U EB=EF，證明得出四邊 形BDFE 為菱形.解答： 證明：(1 ) ABC 是等腰三角形，頂角/ BAC=a(a60,線段 AD 繞點(diǎn) A 順時(shí) 針旋轉(zhuǎn)a到 AE , AB=AC ,/BAE=ZCAD,在厶 ACD 和厶 ABE 中， ZBAE=ZCAD,tAE=AD

45、 ACDABE (SAS),BE=CD;(2)TAD 丄 BC,BD=CD, BE=BD=CD，/BAD=ZCAD,/BAE=ZBAD,在厶 ABD 和厶 ABE 中，rAE=ADZBAE=ZBAD,朋二AB ABDABE ( SAS),/EBF =ZDBF,/ EF / BC ,/DBF=ZEFB,/EBF =ZEFB, EB=EF, BD = BE=EF=FD,四邊形 BDFE 為菱形.點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).9.(2014?青島，第 21 題 8 分)已知：如圖，？ABCD 中，O 是 CD 的中點(diǎn)，連接 AO 并延 長，交 BC的延長線于點(diǎn) E .(1) 求證： AODEOC ;(2) 連接 AC , DE,當(dāng)/ B= / AEB= 45 。時(shí)，四邊形 ACED 是正方形？請說明理由.考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的判定.分析：(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/ D= / OCE, / DAO= / E,再根據(jù)中點(diǎn)定義可得