微積分基本定理(選修2-2)

1、1.6微積分基本定理復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：定積分的定義定積分的定義n1( )lim( )nbiaibaf x dxfn定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)1212(1)( )( ) ()(2) ( )( )( )( )(3)( )( )( ) ( cb)bbaabbbaaabcbaackf x dxkf x dxkf xfx dxf x dxfx dxf x dxf x dxf x dx a為常數(shù)c被積函數(shù)被積函數(shù)積分變量積分變量積分區(qū)間積分區(qū)間,ba積分上限積分上限積分下限積分下限A( )baf x dx問(wèn)題問(wèn)題. 利用定義計(jì)算利用定義計(jì)算:dxx211 思考思考:你能求出上述和式的值嗎？你能求出上述和式的值嗎？

2、.11)21(1112 , 1 121nninixninininn ，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為，個(gè)小區(qū)間等分成個(gè)分點(diǎn)，把區(qū)間上等間隔地插入，首先，在111111)(),2,1(11 innnixfSSniniiiii則其次，取12121111)1 (11 nnnnxnifSSniniin再次，利用定義計(jì)算定積分利用定義計(jì)算定積分21xdx3221( )2xF xx4(2)2F1(1)2F32(1)F(2)F n1n2ninnxOy2xy 利用定義計(jì)算定積分利用定義計(jì)算定積分112011limlim1111lim1132313nnniniSSfnnnnx dx231( )3xF xx33111(1)(

3、0)10333FF( )?baf x dx ( )( )令 F xf x( )( )( )baf x dxF aF b即牛頓即牛頓萊布尼茲公式（萊布尼茲公式（NewtonNewtonLeibniz FormulaLeibniz Formula）。）。簡(jiǎn)記：簡(jiǎn)記： 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) f(x),若，則若，則( )( )f xF x( )( )( )baf x dxF bF a( )( )f xf x由于 F(x)+C，F(xiàn)(x)+C也是的原函數(shù)，其中c為常數(shù)。其中 叫做 一個(gè)原函數(shù)( )F x( )f x( )( )( )( )bbaaf x dxF bF aF x微積分基本定理微積分基本定理牛頓牛

4、頓萊布尼茲萊布尼茲思考思考. 根據(jù)微積分基本定理你認(rèn)為求定積分的一根據(jù)微積分基本定理你認(rèn)為求定積分的一 般步驟：般步驟：1.由求導(dǎo)公式和運(yùn)算法則從反方向上求由求導(dǎo)公式和運(yùn)算法則從反方向上求F(x);2.求積分上限和積分下限函數(shù)值之差求積分上限和積分下限函數(shù)值之差.nx1nnx 1x1lnxasin xcos xsin x cos xxexalnxaaxec0函數(shù)函數(shù)f(x)導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)回顧：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式回顧：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式logax ln x被積被積函數(shù)函數(shù)f(x)原函數(shù)原函數(shù)F(x)新知：基本初等函數(shù)的原函數(shù)公式新知：基本初等函數(shù)的原函數(shù)公式ccxnx111nxn

5、sin xcos x sin xcos xxalnxaaxexe1xln x例例1. 計(jì)算下列定積分：計(jì)算下列定積分：（1） （2） 0cos xdx00sinsinsincoscos)sin00 xdxxx（解： 312xdx231231()22|918xxxdxx 解：( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a502210141(2)(3)sinxdxdxxxdx（ ）練習(xí)練習(xí)5012- 2例例 計(jì)算下列定積分計(jì)算下列定積分 原式原式33221111()dxdxdxdxxx333322221111=3x3x=3x3x解解:32211(3-)xdxx32211()3,(

6、 )xxxx 3 33331111176|(31 )()313xx 求求下下列列定定積積分分： (1)12(x22x3)dx； (2)0(cos xex)dx； (3) 02 (1-2sin2x2)dx. 練習(xí)練習(xí)解解析析 (1) 12 (x22x3)dx 12x2dx122xdx123dx x33|21x2|213x|21253. (2) 0 (cos xex)dx0cos xdx0exdx sin x|0ex|01e1. (3)1-2sin2x2cosx， 一點(diǎn)通一點(diǎn)通當(dāng)原函數(shù)不易求時(shí)，可將被積函數(shù)適當(dāng)變形當(dāng)原函數(shù)不易求時(shí)，可將被積函數(shù)適當(dāng)變形后再求解后再求解. 20sin )cos=si

7、n|sinsin012xxx 由于(原式例例3：計(jì)算下列定積分計(jì)算下列定積分2sin xdx20sin xdx0sin xdxxxsin)cos(解：2)0cos()cos(|cossin) 1 (0oxxdx2)cos()2cos(|cossin)2(22xxdx0)0cos()2cos(|cossin)3(2020 xxdx我們發(fā)現(xiàn)：我們發(fā)現(xiàn)：定積分的值可取正值也可取負(fù)值，還可以是定積分的值可取正值也可取負(fù)值，還可以是0 0；（1 1）當(dāng)曲邊梯形位于）當(dāng)曲邊梯形位于x x軸上方時(shí)，定積分的值取正值；軸上方時(shí)，定積分的值取正值；sinyxyxo20sin xdx（2 2）當(dāng)曲邊梯形位于）當(dāng)曲

8、邊梯形位于x x軸下方時(shí)，定積分的值取負(fù)值；軸下方時(shí)，定積分的值取負(fù)值；sinyxyxo22sin xdx（3 3）當(dāng)曲邊梯形位于）當(dāng)曲邊梯形位于x x軸上方的面積等于位于軸上方的面積等于位于x x軸下方軸下方的面積時(shí)，定積分的值為的面積時(shí)，定積分的值為0 0得到定積分的幾何意義：得到定積分的幾何意義：曲邊梯形面積的曲邊梯形面積的代數(shù)和代數(shù)和。sinyxyxo220sin xdx定積分的幾何意義定積分的幾何意義設(shè)設(shè)( )yf x 為為 , a b上連續(xù)函數(shù)上連續(xù)函數(shù). .(1)(1)當(dāng)當(dāng)0( )( , )f xxa b 時(shí)時(shí), ,( )baf x dx 為曲線為曲線0( ),yf xxa xb

9、 y 圍成的面積圍成的面積. .(2)(2)當(dāng)當(dāng)0( )( , )f xxa b 時(shí)時(shí), ,( )baf x dx 為曲線為曲線0( ),yf xxa xb y 圍成的面積的相反數(shù)圍成的面積的相反數(shù)( (負(fù)面積負(fù)面積).).(3)(3)一般情形一般情形: :( )baf x dx 為曲線為曲線( )yf x 在在x x軸上方的正面積與軸上方的正面積與在在x x軸下方的負(fù)面積的代數(shù)和軸下方的負(fù)面積的代數(shù)和. .abyx（2）利用定積分基本定理求定積分的關(guān)鍵找到被積函）利用定積分基本定理求定積分的關(guān)鍵找到被積函數(shù)的原函數(shù)，也就是說(shuō)要找到一個(gè)函數(shù)，使它的導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)，也就是說(shuō)要找到一個(gè)函數(shù)，使它的導(dǎo)函數(shù)等于被積函數(shù)數(shù)等于被積函數(shù)（1）微積分基本定理公式）微積分基本定理公式( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF