高斯求積公式

1、6.4 高斯求積公式高斯求積公式一、高斯求積的基本思想一、高斯求積的基本思想可否放棄等距節(jié)點(diǎn)的限制，構(gòu)造出穩(wěn)定性好、可否放棄等距節(jié)點(diǎn)的限制，構(gòu)造出穩(wěn)定性好、精確度高且又收斂的求積公式精確度高且又收斂的求積公式性性方方程程組組。但但此此時(shí)時(shí)需需求求解解一一個(gè)個(gè)非非線線，高高的的方方法法確確定定出出可可以以利利用用代代數(shù)數(shù)精精度度盡盡量量對(duì)對(duì)于于數(shù)數(shù)值值求求積積公公式式iibaniiixxfdxxfx,)()()(0 )0(2)(0202, 1)()()()1(11000001100fdxxfxxxxfxfdxxf 由此得由此得方程組方程組使上式成立，得非線性使上式成立，得非線性令令建立一點(diǎn)積分公

2、式建立一點(diǎn)積分公式 中矩形公式中矩形公式代數(shù)精度為代數(shù)精度為1 階階例如例如, ,若在區(qū)間若在區(qū)間-1,1上上, p(x)=1插值型求積公式，代數(shù)精度為插值型求積公式，代數(shù)精度為3 3 階階)33()33()(11ffdxxf+ + 由此得兩點(diǎn)公式由此得兩點(diǎn)公式333311032021010311300211200110010 xxxxxxxx + + + + + + , 1)()()()()2(32111100 xxxxfxfxfdxxf + + 使上式成立，得非線性使上式成立，得非線性方程組方程組令令建立兩點(diǎn)積分公式建立兩點(diǎn)積分公式 難難。這這個(gè)個(gè)方方程程組組求求解解比比較較困困可可得得非

3、非線線性性方方程程組組一一般般情情形形，令令 + + + + +njjnjxxxxfnijiin2 , 4 , 2 , 0,1212 , 3 , 1, 0, 1)(012 問題問題 有沒有其他的途徑來建立有沒有其他的途徑來建立穩(wěn)定性好、精確穩(wěn)定性好、精確度高且又收斂的度高且又收斂的求積公式求積公式? ?【定理【定理4 4】階。階。的代數(shù)精度最高不超過的代數(shù)精度最高不超過的插值型求積公式的插值型求積公式帶權(quán)帶權(quán))12()()()()(0+ + nxfdxxfxxbaniii 求求積積公公式式。的的求求積積公公式式稱稱為為高高斯斯型型為為高高斯斯節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)，相相應(yīng)應(yīng)稱稱其其節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)階階代代數(shù)數(shù)精精度

4、度，則則具具有有如如果果插插值值型型求求積積公公式式ibaniiixnxfdxxfx)12()()()(0+ + 【定義】【定義】二、高斯求積公式二、高斯求積公式【定理【定理5 5】都都帶帶權(quán)權(quán)正正交交，即即：的的多多項(xiàng)項(xiàng)式式與與任任意意次次數(shù)數(shù)不不超超過過其其節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)是是高高斯斯節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)于于插插值值型型求求積積公公式式，)()()(01xpnxxxnjjn + + + + +banndxxpxxp0)()()(),(11 1.1.高斯點(diǎn)的特點(diǎn)高斯點(diǎn)的特點(diǎn)2. 2. 高斯求積公式的余項(xiàng)高斯求積公式的余項(xiàng) + + + + + + +bannbaniiidxxxnfxfdxxfxfRbanxf

5、)()()!22()()()()()(,)22()(21)22(0 高斯求積公式的余項(xiàng)高斯求積公式的余項(xiàng)上連續(xù)，則上連續(xù)，則階導(dǎo)數(shù)在階導(dǎo)數(shù)在的的如果如果3.3.高斯求積公式的穩(wěn)定性高斯求積公式的穩(wěn)定性dxxlxbaiii)()(2 且且有有，都都是是正正的的，則則是是穩(wěn)穩(wěn)定定的的數(shù)數(shù)高高斯斯求求積積公公式式的的求求積積系系高斯求積公式具有較高的代數(shù)精度高斯求積公式具有較高的代數(shù)精度(2n+1)(2n+1)階）階）, ,并且是數(shù)值穩(wěn)定的并且是數(shù)值穩(wěn)定的. .【定理【定理6 6】其中其中0njjijx li(x) xixjx三、幾種常見的高斯求積公式三、幾種常見的高斯求積公式 110)()(nii

6、ixfdxxf 。稱稱為為高高斯斯勒勒讓讓德德公公式式上上的的高高斯斯求求積積公公式式積積分分區(qū)區(qū)間間為為取取1 , 1, 1)( x 1.1.高斯高斯- -勒讓德求積公式勒讓德求積公式勒勒讓讓德德多多項(xiàng)項(xiàng)式式的的零零點(diǎn)點(diǎn) ix以高斯點(diǎn)以高斯點(diǎn) 為零點(diǎn)的為零點(diǎn)的 n+1次多項(xiàng)式，次多項(xiàng)式， 稱為稱為勒讓德勒讓德(Legendre)(Legendre)多項(xiàng)式多項(xiàng)式。), 1 , 0(nkxk )()( )()(101nnxxxxxxxp + +上的積分。上的積分。在在化為化為上的積分，可作變換上的積分，可作變換對(duì)一般區(qū)間對(duì)一般區(qū)間1 , 1)22()(22, + + + + + + tababf

7、tgtababxba)1 , 1(),()32() !)22() !)1(2)()22(3432 + + + + + + + nnfnnnfR余項(xiàng)余項(xiàng)P173 表表6-66-6列出了列出了 n:0-6 n:0-6 時(shí)高斯時(shí)高斯- -勒讓德勒讓德求積公式的節(jié)點(diǎn)和系數(shù)求積公式的節(jié)點(diǎn)和系數(shù). .例例2 分別用三點(diǎn)分別用三點(diǎn),四點(diǎn)高斯四點(diǎn)高斯-勒讓德求積公式勒讓德求積公式計(jì)算計(jì)算 .102 dxex比比雪雪夫夫公公式式。求求積積公公式式稱稱為為高高斯斯切切上上的的高高斯斯積積分分區(qū)區(qū)間間為為取取1 , 1,11)(2 xx 1102)()(11niiixfdxxfx 2.2.高斯高斯- -切比雪夫求積

8、公式切比雪夫求積公式)1 , 1(),(!)22(2)()22(12 + + + + + nnfnfR余項(xiàng)余項(xiàng).1,arccos)1cos()()1(212cos1+ + + + + + + + +nxnxTnixini 零點(diǎn)零點(diǎn)是切比雪夫多項(xiàng)式是切比雪夫多項(xiàng)式 + + + + 00)()(), 0,)(niiixxxfdxxfeex 即即蓋蓋爾爾公公式式。求求積積公公式式稱稱為為高高斯斯拉拉上上的的高高斯斯積積分分區(qū)區(qū)間間為為取取3.3.高斯高斯- -拉蓋爾求積公式拉蓋爾求積公式), 0(),(!)22() !)1()()22(2+ + + + + + nfnnfR余項(xiàng)余項(xiàng)P175 表表6-

9、76-7列出了列出了 n:1-5 n:1-5 時(shí)高斯時(shí)高斯- -拉蓋爾拉蓋爾求積公式的求積公式的求積節(jié)點(diǎn)和系數(shù)求積節(jié)點(diǎn)和系數(shù). .例例3 用用n=3時(shí)的高斯時(shí)的高斯-拉蓋爾求積公式拉蓋爾求積公式計(jì)計(jì)算算 并估計(jì)誤并估計(jì)誤差差. + + 010cos xdxex + + niiixxxfdxxfeex0)()(),(,)(22 即即爾爾米米特特公公式式。求求積積公公式式稱稱為為高高斯斯埃埃上上的的高高斯斯積積分分區(qū)區(qū)間間為為取取4.4.高斯高斯- -埃爾米特求積公式埃爾米特求積公式),(),(!)22(2!)1()()22(1+ + + + + + + + nnfnnfR余項(xiàng)余項(xiàng)6.6 6.6

10、數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分 如果所用的差商分別為向前、向后以及中心如果所用的差商分別為向前、向后以及中心差商，就可分別建立如下的三種數(shù)值微分法差商，就可分別建立如下的三種數(shù)值微分法 如果精度要求不高，可以用差商作為導(dǎo)數(shù)的近如果精度要求不高，可以用差商作為導(dǎo)數(shù)的近似值從而獲得一種簡單的數(shù)值微分方法似值從而獲得一種簡單的數(shù)值微分方法 按照數(shù)學(xué)分析的定義，導(dǎo)數(shù)按照數(shù)學(xué)分析的定義，導(dǎo)數(shù) 是差商是差商當(dāng)當(dāng) 時(shí)的極限時(shí)的極限 fa f ahf ah+0h 一、差商型數(shù)值微分一、差商型數(shù)值微分hxfhxfxf)()()()1000 + + 向前差商數(shù)值微分公式向前差商數(shù)值微分公式)10()(20 + + hxfh余余

11、項(xiàng)項(xiàng)：)(!2)()()(02000hxfhxfhxfhxf + + + + + + + +由泰勒展開式由泰勒展開式hhxfxfxf)()()()2000 向后差商數(shù)值微分公式向后差商數(shù)值微分公式)10()(20 hxfh余項(xiàng)：余項(xiàng)：)(!2)()()(02000hxfhxfhxfhxf + + 由泰勒展開式由泰勒展開式hhxfhxfxf2)()()()3000 + + 中中點(diǎn)點(diǎn)公公式式）中中心心差差商商數(shù)數(shù)值值微微分分公公式式)11()(602 + + hxfh余余項(xiàng)項(xiàng)： 從余項(xiàng)看從余項(xiàng)看, ,步長步長 越小計(jì)算結(jié)果越準(zhǔn)確越小計(jì)算結(jié)果越準(zhǔn)確, ,從舍入誤差看從舍入誤差看, ,步長步長 越小越

12、小, ,兩接近數(shù)直接相兩接近數(shù)直接相減會(huì)造成有效數(shù)字的嚴(yán)重?fù)p失減會(huì)造成有效數(shù)字的嚴(yán)重?fù)p失. .hh如何選擇合適的步長呢如何選擇合適的步長呢? ?選擇合適的步長通常采用選擇合適的步長通常采用事后誤差估計(jì)方法事后誤差估計(jì)方法. .)2(,)(hGhG 分別為步長取分別為步長取 時(shí)的差商時(shí)的差商微分公式微分公式, ,對(duì)給定的精度對(duì)給定的精度 , , 2,hh )2()(hGhG若若2h合適的步長就是合適的步長就是 . .例例1 1 （P182 P182 例例6.196.19）二、插值型數(shù)值微分二、插值型數(shù)值微分微微分分公公式式。式式稱稱為為插插值值型型數(shù)數(shù)值值這這樣樣建建立立的的數(shù)數(shù)值值微微分分公公

13、導(dǎo)導(dǎo)較較為為簡簡單單，的的近近似似，由由于于多多項(xiàng)項(xiàng)式式求求作作為為多多項(xiàng)項(xiàng)式式由由插插值值原原理理，可可用用插插值值), 2 , 1()()()()()()(nkxLxfxfxLknkn 設(shè)已知設(shè)已知 在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn) 的函數(shù)值，利用所給定數(shù)據(jù)作的函數(shù)值，利用所給定數(shù)據(jù)作 次插值多項(xiàng)次插值多項(xiàng)式式 ， f x(0,1, )kx knn)(xLnkx 一般的，我們只用它求取某個(gè)節(jié)點(diǎn)一般的，我們只用它求取某個(gè)節(jié)點(diǎn) 上上的導(dǎo)數(shù)值，這時(shí)我們才有某種意義下比較準(zhǔn)確的的導(dǎo)數(shù)值，這時(shí)我們才有某種意義下比較準(zhǔn)確的余項(xiàng)公式來保證導(dǎo)數(shù)值的精度余項(xiàng)公式來保證導(dǎo)數(shù)值的精度. .)(! )1()()()(1)1(inninixnfxLxf+ + + + + + 帶余項(xiàng)的插值型數(shù)值微分公式帶余項(xiàng)的插值型數(shù)值微分公式為為ni, 1 ,0 )(xLn)(xLn 應(yīng)當(dāng)指出，