有理數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納

1、第二章有理數(shù)及其運(yùn)算知識(shí)梳理正數(shù)和負(fù)數(shù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念負(fù)數(shù)：比0 小的數(shù)正數(shù)：比0 大的數(shù)0 既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)注意 ：字母a 可以表示任意數(shù)，當(dāng)a表示正數(shù)時(shí)，-a是負(fù)數(shù)；當(dāng)a 表示負(fù)數(shù)時(shí)，-a是正數(shù)；當(dāng)a 表示0 時(shí)，-a仍是0。（如果出判斷題為：帶正號(hào)的數(shù)是正數(shù)，帶負(fù)號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù)，這種說法是錯(cuò)誤的，例如+a,-a就不能做出簡(jiǎn)單判斷）正數(shù)有時(shí)也可以在前面加“+”，有時(shí)“+”省略不寫。所以省略“+”的正數(shù)的符號(hào)是正號(hào)。2. 具有相反意義的量若正數(shù)表示某種意義的量，則負(fù)數(shù)可以表示具有與該正數(shù)相反意義的量，比如：零上 8表示為： +8；零下 8表示為： -8 3.0表示的意義 0表示“ 沒有”

2、，如教室里有0 個(gè)人，就是說教室里沒有人； 0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線， 0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。如：有理數(shù)1. 有理數(shù)的概念正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)（0 和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)）正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)正整數(shù)，0，負(fù)整數(shù)，正分?jǐn)?shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，這樣的數(shù)稱為有理數(shù)。理解 ：只有能化成分?jǐn)?shù)的數(shù)才是有理數(shù)。 是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分?jǐn)?shù)形式，不是有理數(shù)。有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可化成分?jǐn)?shù)，都是有理數(shù)。注意 ：引入負(fù)數(shù)以后，奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也擴(kuò)大了，像-2,-4,-6,-8也是偶數(shù)，-1,-3,-5也是奇數(shù)。2. 有理數(shù)的分類按有理數(shù)的意義分類按正、負(fù)來分正整數(shù)正整數(shù)整數(shù)正有理數(shù)負(fù)整

3、數(shù)正分?jǐn)?shù)有理數(shù)有理數(shù)0（ 0 不能忽視）正分?jǐn)?shù)負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)負(fù)有理數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)總結(jié)：正整數(shù)、0 統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)（也叫自然數(shù)）負(fù)整數(shù)、 0 統(tǒng)稱為非正整數(shù)正有理數(shù)、0 統(tǒng)稱為非負(fù)有理數(shù)負(fù)有理數(shù)、0 統(tǒng)稱為非正有理數(shù)數(shù)軸數(shù)軸的概念規(guī)定了原點(diǎn)，正方向，單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。注意 ：數(shù)軸是一條向兩端無限延伸的直線；原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不可；同一數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度要統(tǒng)一；數(shù)軸的三要素都是根據(jù)實(shí)際需要規(guī)定的。2. 數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，正有理數(shù)可用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負(fù)有理數(shù)可用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示， 0 用原點(diǎn)表示。所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)

4、表示出來，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)，也就是說，有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)不是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。（如，數(shù)軸上的點(diǎn) 不是有理數(shù)）3. 利用數(shù)軸表示兩數(shù)大小在數(shù)軸上數(shù)的大小比較，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，距離原點(diǎn)遠(yuǎn)的數(shù)比距離原點(diǎn)近的數(shù)小。4. 數(shù)軸上特殊的最大（?。?shù)最小的自然數(shù)是 0，無最大的自然數(shù)；最小的正整數(shù)是 1，無最大的正整數(shù)；最大的負(fù)整數(shù)是 -1 ，無最小的負(fù)整數(shù)5.a 可以表示什么數(shù) a>0 表示 a 是正數(shù)；反之， a 是正數(shù)，則 a>0； a<0 表示 a 是負(fù)數(shù)；反之， a 是負(fù)數(shù)，則 a<0 a=0 表示 a

5、是 0；反之， a 是 0, ，則 a=06. 數(shù)軸上點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律根據(jù)點(diǎn)的移動(dòng)，向左移動(dòng)幾個(gè)單位長(zhǎng)度則減去幾，向右移動(dòng)幾個(gè)單位長(zhǎng)度則加上幾，從而得到所需的點(diǎn)的位置。相反數(shù)相反數(shù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)， 0 的相反數(shù)是注意：相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的；相反數(shù)只有符號(hào)不同，若一個(gè)為正，則另一個(gè)為負(fù)；0。 0 的相反數(shù)是它本身；相反數(shù)為本身的數(shù)是0。2. 相反數(shù)的性質(zhì)與判定任何數(shù)都有相反數(shù)，且只有一個(gè)； 0 的相反數(shù)是0；互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0，和為0 的兩數(shù)互為相反數(shù)，即a， b 互為相反數(shù)，則a+b=0互為相反數(shù)的非零兩數(shù)商為負(fù)1，即a， b 互為相反數(shù)，則a= -

6、1(ab3. 相反數(shù)的幾何意義在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)表示的兩個(gè)數(shù)，是互為相反數(shù)；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（ 0除外）在原點(diǎn)兩旁，并且與原點(diǎn)的距離相等。0 的相反數(shù)對(duì)應(yīng)原點(diǎn)；原點(diǎn)表示0 的相反數(shù)。說明：在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。4. 相反數(shù)的求法求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上負(fù)號(hào)“- ”即可求得（如：5 的相反數(shù)是-5 ）；求多個(gè)數(shù)的和或差的相反數(shù)是，要用括號(hào)括起來再添“- ”，然后化簡(jiǎn)（如；5a+b的相反數(shù)是- （ 5a+b）?；?jiǎn)得-5a-b）；求前面帶“- ”的單個(gè)數(shù)，也應(yīng)先用括號(hào)括起來再添“- ”，然后化簡(jiǎn)( 如：-5的相反數(shù)是- （ -5 ）

7、，化簡(jiǎn)得5)5. 相反數(shù)的表示方法一般地，數(shù)a 的相反數(shù)是-a，其中 a 是任意有理數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或0。當(dāng) a>0 時(shí)， -a<0 （正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)）當(dāng) a<0 時(shí)， -a>0 （負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)）當(dāng) a=0 時(shí)， -a=0 ，（ 0 的相反數(shù)是0）6. 多重符號(hào)的化簡(jiǎn)多重符號(hào)的化簡(jiǎn)規(guī)律: “ +”號(hào)的個(gè)數(shù)不影響化簡(jiǎn)的結(jié)果，可以直接省略；“- ”號(hào)的個(gè)數(shù)決定最后化簡(jiǎn)結(jié)果；即：“- ”的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為負(fù)，“- ”的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為正。絕對(duì)值絕對(duì)值的幾何定義一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a 的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做a 的絕對(duì)值，記作|a|。2. 絕對(duì)值的代數(shù)定義一個(gè)

8、正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)； 0 的絕對(duì)值是0.如果a>0，那么 |a|=a ；如果 a<0，那么 |a|=-a；如果 a=0，那么 |a|=0 。可歸納為：a0， <> |a|=a（非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于本身；絕對(duì)值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)。） a 0， < > |a|=-a（非正數(shù)的絕對(duì)值等于其相反數(shù)；絕對(duì)值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。）3. 絕對(duì)值的性質(zhì)任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，也就是說絕對(duì)值具有非負(fù)性。所以，a 取任何有理數(shù)，都有|a| 0。即 0 的絕對(duì)值是 0；絕對(duì)值是 0 的數(shù)是 0. 即： a=0 < 一個(gè)數(shù)的絕對(duì)

9、值是非負(fù)數(shù)，絕對(duì)值最小的數(shù)是 > |a|=0；0. 即： |a| 0；任何數(shù)的絕對(duì)值都不小于原數(shù)。即：|a| a；絕對(duì)值是相同正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。即：若|x|=a （ a>0），則互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對(duì)值相等。即：|-a|=|a|或若 a+b=0，則 |a|=|b|；絕對(duì)值相等的兩數(shù)相等或互為相反數(shù)。即：|a|=|b|，則 a=b 或 a=-b ；x= ± a；若幾個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的和等于0，則這幾個(gè)數(shù)就同時(shí)為0。即 |a|+|b|=0，則a=0 且b=0。（非負(fù)數(shù)的常用性質(zhì)：若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則有且只有這幾個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)為0）4. 有理數(shù)大小的比較利用數(shù)軸比較

10、兩個(gè)數(shù)的大?。簲?shù)軸上的兩個(gè)數(shù)相比較，左邊的總比右邊的?。焕媒^對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大?。簝蓚€(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小；異號(hào)兩數(shù)比較大小，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。5. 絕對(duì)值的化簡(jiǎn)當(dāng) a 0 時(shí)， |a|=a；當(dāng) a 0 時(shí)， |a|=-a6. 已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，求這個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)a 的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a 的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，一般地，絕對(duì)值為同一個(gè)正數(shù)的有理數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，絕對(duì)值為0 的數(shù)是0，沒有絕對(duì)值為負(fù)數(shù)的數(shù)。有理數(shù)的加減法1. 有理數(shù)的加法法則同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；互為相反

11、數(shù)的兩數(shù)相加，和為零；一個(gè)數(shù)與零相加，仍得這個(gè)數(shù)。2. 有理數(shù)加法的運(yùn)算律加法交換律：a+b=b+a加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)在運(yùn)用運(yùn)算律時(shí)，一定要根據(jù)需要靈活運(yùn)用，以達(dá)到化簡(jiǎn)的目的，通常有下列規(guī)律：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)先相加“相反數(shù)結(jié)合法”；符號(hào)相同的兩個(gè)數(shù)先相加“同號(hào)結(jié)合法”；分母相同的數(shù)先相加“同分母結(jié)合法”；幾個(gè)數(shù)相加得到整數(shù)，先相加“湊整法”；整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)相加“同形結(jié)合法”。3. 加法性質(zhì)一個(gè)數(shù)加正數(shù)后的和比原數(shù)大；加負(fù)數(shù)后的和比原數(shù)?。患? 后的和等于原數(shù)。即：當(dāng) b>0 時(shí)， a+b>a當(dāng) b<0 時(shí)， a+b<a當(dāng) b=0 時(shí)，

12、a+b=a4. 有理數(shù)減法法則減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。用字母表示為：a-b=a+(-b)。5. 有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義有理數(shù)加減法混合運(yùn)算中，根據(jù)有理數(shù)減法法則，可以將減法轉(zhuǎn)化成加法后，再按照加法法則進(jìn)行計(jì)算。在和式里，通常把各個(gè)加數(shù)的括號(hào)和它前面的加號(hào)省略不寫，寫成省略加號(hào)的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的讀法：按這個(gè)式子表示的意義讀作“負(fù)8、負(fù) 7、負(fù) 6、正 5 的和”按運(yùn)算意義讀作“負(fù)8減 7減 6加 5”有理數(shù)的乘除法1. 有理數(shù)的乘法法則法則一：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；（“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”專指

13、“兩數(shù)相乘”的情況，如果因數(shù)超過兩個(gè)，就必須運(yùn)用法則三）法則二：任何數(shù)同 0 相乘，都得 0；法則三：幾個(gè)不是 0 的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積是正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積是負(fù)數(shù)；法則四：幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0, 則積等于0.2. 倒數(shù)乘積是1 的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，其中一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，用式子表示為a· 1 =1（ a 0），就是說aa和 1 互為倒數(shù)，即a 是 1 的倒數(shù)，1aaa注意： 0 沒有倒數(shù)；是 a 的倒數(shù)。求假分?jǐn)?shù)或真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母點(diǎn)顛倒位置即可；求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)時(shí)，先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再把分子、分母顛倒位置；正數(shù)的倒數(shù)是

14、正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)。（求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，不改變這個(gè)數(shù)的性質(zhì)）；倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1 或 -1, 不包括 0。3. 有理數(shù)的乘法運(yùn)算律乘法交換律：一般地，有理數(shù)乘法中，兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即ab=ba乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等。即(ab)c=a(bc).乘法分配律：一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，在把積相加。即 a(b+c)=ab+ac4.有理數(shù)的除法法則（ 1）除以一個(gè)不等0 的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。（ 2）兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。0 除以任何一個(gè)不等于0 的數(shù)，都得 05.有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算（ 1）乘除混合運(yùn)算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號(hào)，最后求出結(jié)果。（ 2）有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算，如無括號(hào)指出先做什么運(yùn)算，則按照先乘除后加減的順序進(jìn)行。有理數(shù)的乘方1.乘方的概念求 n 個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。在a n 中， a 叫做底數(shù)， n 叫做指數(shù)。2.乘方的性質(zhì)（ 1）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)