初中數(shù)學(xué)校本教材(完整版)

1、初中數(shù)學(xué)校本教材 ?生活與數(shù)學(xué)?序言一、把握數(shù)學(xué)的生活性“使教學(xué)有生活味 ?數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)?中指出：“數(shù)學(xué)可以幫助人們更好地探求客觀世界的規(guī)律，并對(duì)現(xiàn)代社會(huì)中大量紛繁復(fù)雜的信息做出恰當(dāng)?shù)倪x擇和判斷，進(jìn)而解決問題，直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值。這說明數(shù)學(xué)來源于社會(huì)，同時(shí)也反作用于社會(huì)，社會(huì)生活與數(shù)學(xué)關(guān)系密切，它已經(jīng)滲透到生活的每個(gè)方面，我們的衣食住行都離不開它?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)論認(rèn)為：數(shù)學(xué)源于生活，又運(yùn)用于生活，生活中充滿數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)教育寓于生活實(shí)際。有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生溝通生活中的具體問題與有關(guān)數(shù)學(xué)問題的聯(lián)系，借助學(xué)生熟悉的生活實(shí)際中的具體事例，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的求知欲，幫助學(xué)生更好的理解和掌握數(shù)學(xué)根底知識(shí)，并運(yùn)用學(xué)到

2、的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問題。二、把握數(shù)學(xué)的美育性“使教學(xué)有韻味數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨(dú)特的創(chuàng)作。音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切。 美作為現(xiàn)實(shí)的事物和現(xiàn)象，物質(zhì)產(chǎn)品和精神產(chǎn)品、藝術(shù)作品等屬性總和，具有：勻稱性、比例性、和諧性、色彩變幻、鮮明性和新穎性。作為精神產(chǎn)品的數(shù)學(xué)就具有上述美的特點(diǎn)。簡(jiǎn)練、精確是數(shù)學(xué)的美。數(shù)學(xué)的根本定理說法簡(jiǎn)約，卻又涵蓋真理，讓人閱讀簡(jiǎn)便卻又印象深刻。數(shù)學(xué)語(yǔ)言是如此慎重的、有意的而且經(jīng)常是精心設(shè)計(jì)的，憑借數(shù)學(xué)語(yǔ)言的嚴(yán)密性和簡(jiǎn)潔性，我們就可以

3、表達(dá)和研究數(shù)學(xué)思想，這種簡(jiǎn)潔性有助于思維的效率。數(shù)學(xué)很講究它的邏輯美。數(shù)學(xué)的應(yīng)用是被人們廣泛認(rèn)同的，可學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)還能訓(xùn)練人的邏輯思維能力。尤其是幾何的證明講究前因后果，每一步都要前后照應(yīng)，抽象的數(shù)學(xué)也顯示它模糊的美。抽象給我們想象的余地，讓我們思維海闊天空，給學(xué)生留有了思索和創(chuàng)新的空間。抽象的數(shù)學(xué)不正展示它的魅力嗎？數(shù)學(xué)上有很多知識(shí)是和對(duì)稱有關(guān)的。對(duì)稱給人協(xié)調(diào)，平穩(wěn)的感覺，像圓，正方體等，它們的形式是如此的勻稱優(yōu)美。正是由于幾何圖形中有這些點(diǎn)對(duì)稱、線對(duì)稱、面對(duì)稱，才構(gòu)成了美麗的圖案，精美的建筑，巧奪天工的生活世界，也才給我們帶來豐富的自然美，多彩的生活美。中學(xué)數(shù)學(xué)的美育性，除了上述一些方面，還有

4、其它美妙的地方，只要我們用心挖掘和捕捉，就會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)蘊(yùn)涵著如此豐富的美的因素，教師要善于挖掘美的素材，在學(xué)生感受美的同時(shí)既提高教學(xué)質(zhì)量，又使教學(xué)韻味深厚。三、把握校本教材的可讀性-“使教學(xué)有拓展性陶行知先生早就說過：“在現(xiàn)狀下，把學(xué)習(xí)的根本自由還給學(xué)生。，經(jīng)過我們反復(fù)的思考和研究，同時(shí)邀請(qǐng)專家親臨指點(diǎn)，最終我們確定本課程的根本框架，本課程的設(shè)計(jì)理念就是要“把學(xué)習(xí)的根本自由還給學(xué)生，所有的過程根本上都是以學(xué)生的活動(dòng)展開的，真正實(shí)現(xiàn)“自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式的變革，本課程共分為六個(gè)章節(jié)，分別是：?古老的數(shù)學(xué)?，?好玩的數(shù)學(xué)?，?有用的數(shù)學(xué)?，?智慧的數(shù)學(xué)?，?先進(jìn)的數(shù)學(xué)?和?美麗的數(shù)學(xué)?。在?古

5、老的數(shù)學(xué)?一章中，并不是把數(shù)學(xué)史作為一門研究數(shù)學(xué)的起源、開展過程和規(guī)律的學(xué)科，而是根據(jù)現(xiàn)代心理學(xué)發(fā)現(xiàn)的一個(gè)表達(dá)數(shù)學(xué)史的認(rèn)知功能的“遺傳法那么。從數(shù)學(xué)一次又一次的飛躍中尋找數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的故事，用故事的形式讓學(xué)生了解這些數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的背景、體會(huì)數(shù)學(xué)家們?yōu)閷ふ疫@些知識(shí)的付出的艱辛。這樣一方面可以讓學(xué)生從本質(zhì)上更好的理解自己所學(xué)的知識(shí)；另一方面也可以以此作為人生觀與價(jià)值觀教育的教材，讓學(xué)生體會(huì)“只有付出努力才會(huì)獲得成功的人生道理，“為實(shí)現(xiàn)理想而不懈追求的數(shù)學(xué)精神。在?好玩的數(shù)學(xué)?一章中，利用心理學(xué)中“興趣是學(xué)習(xí)最好的老師的規(guī)律，以一系列數(shù)學(xué)游戲?yàn)檩d體，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)并不是“枯燥的代名詞，真正的數(shù)學(xué)其實(shí)可

6、以是樂趣無窮的，以此來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并以這種興趣作為他以后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力和源泉。這樣一方面可以讓學(xué)生主動(dòng)意識(shí)到自己愛玩的游戲原來與數(shù)學(xué)緊密相連，從而為學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)培養(yǎng)內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力；另一方面，也可以在學(xué)生玩游戲的過程中幫助學(xué)生穩(wěn)固看似乏味的知識(shí)，讓學(xué)生的學(xué)科知識(shí)在游戲中得到鍛煉和提升。在?有用的數(shù)學(xué)?一章中，根據(jù)?數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)?：義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程要求“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，設(shè)計(jì)了很多貼近學(xué)生、符合實(shí)際、利用學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)能夠解決的生活實(shí)例。這樣做可以使學(xué)生深刻的感受到生活中處處存在著數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)來源于生活。這些在生活中經(jīng)常碰到的數(shù)學(xué)問題需要我們?nèi)ヌ骄浚瑢W(xué)生通過對(duì)這些數(shù)學(xué)問題的解決，能夠更具體

7、更深刻的理解什么是數(shù)學(xué)，知道學(xué)習(xí)和學(xué)好數(shù)學(xué)是很有用的，從而進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力。在?智慧的數(shù)學(xué)?一章中，通過穿插一些有趣的數(shù)學(xué)小故事,以改變?nèi)藗冋J(rèn)為科學(xué)研究枯燥無味的看法。本章內(nèi)容主要包括有趣的數(shù)學(xué)問題、經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題、奇怪的數(shù)學(xué)問題。通過對(duì)“有趣的數(shù)學(xué)問題的研究，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)中的存在的智慧產(chǎn)生強(qiáng)烈的好奇與追求，從而激發(fā)學(xué)生天生的求知欲；通過對(duì)“經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題的研究使學(xué)生掌握一些根本的數(shù)學(xué)方法，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方法解決問題；通過對(duì)“奇怪的數(shù)學(xué)問題的研究，幫助學(xué)生開闊眼界，增長(zhǎng)知識(shí)、鍛煉和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。在?先進(jìn)的數(shù)學(xué)?一章中，主要學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)軟件“幾何畫

8、板的使用方法。通過對(duì)幾何畫板軟件的學(xué)習(xí)，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓寬學(xué)生的知識(shí)面，改變學(xué)生“數(shù)學(xué)枯燥論和“數(shù)學(xué)無用論的觀點(diǎn)；可以開發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣，改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，從而實(shí)現(xiàn)提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的；另外，通過對(duì)幾何畫板軟件的學(xué)習(xí)，可為學(xué)生學(xué)習(xí)其他計(jì)算機(jī)軟件打下了一個(gè)結(jié)實(shí)的根底，從而提高學(xué)生的電腦素養(yǎng)，為學(xué)生終身開展和可持續(xù)開展做出數(shù)學(xué)教育上的奉獻(xiàn)。在?美麗的數(shù)學(xué)?一章中，展示給大家的是數(shù)學(xué)的美麗無所不在，數(shù)學(xué)的符號(hào)、公式、算法、圖形、表格、方程、解題思路、解題方法都是很美麗的。這些“數(shù)學(xué)之美都需要我們能夠和我們的學(xué)生一起去尋找、去發(fā)現(xiàn)、去挖掘、去欣賞，使美麗的數(shù)學(xué)成為學(xué)生

9、快樂學(xué)習(xí)的源泉。數(shù)學(xué)的美麗使我們深刻感受到數(shù)學(xué)的教育不應(yīng)該僅僅是作為對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)，更應(yīng)該把它作為一種審美教育的載體，用它來感染和啟迪學(xué)生的心靈，讓學(xué)生的人格更健全，心靈更美好。開發(fā)校本課程要有高度的責(zé)任感、使命感和強(qiáng)烈的事業(yè)心，決不能僅僅憑著自己的興趣，更重要的是要把它作為自己的事業(yè)來做，要付出艱辛的努力、經(jīng)歷痛苦的歷程，只有付出艱辛的努力、經(jīng)歷痛苦的歷程才能在這個(gè)過程中感受成功的喜悅與幸福。開發(fā)校本課程，首先要有一個(gè)追求對(duì)我們國(guó)家的教育事業(yè)無比熱愛，功利心不能太強(qiáng)，不要一說到數(shù)學(xué)研究就問這件事情對(duì)我職稱評(píng)審有沒有用，對(duì)我評(píng)骨干教師有沒有用，要確定一個(gè)核心思想即開發(fā)的核心宗旨、研究方向、根

10、本要求，要充分利用校內(nèi)外各類資源，要不斷地進(jìn)行課程資源的積累和課程特色的培育；校本課程的規(guī)劃要根據(jù)學(xué)生的課程需要來制訂；要選擇貼近時(shí)代特點(diǎn)、社會(huì)開展與學(xué)生實(shí)際的課程內(nèi)容，要變革教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式，充分發(fā)揮師生的獨(dú)立性、自主性和創(chuàng)造性，引導(dǎo)學(xué)生在身心愉悅的環(huán)境中實(shí)踐和研究。校本課程的開發(fā)和建設(shè)是一個(gè)漫長(zhǎng)的道路，需要我們時(shí)時(shí)刻刻做一個(gè)有心人，心中時(shí)時(shí)刻刻裝著為學(xué)生的終身開展和可持續(xù)開展考慮，裝著為我們數(shù)學(xué)教學(xué)向數(shù)學(xué)教育轉(zhuǎn)變效勞的理想和追求。 編者按 2021年8月第一章 興趣數(shù)學(xué)第一節(jié) 七橋問題一筆畫問題18世紀(jì)時(shí)，歐洲有一個(gè)風(fēng)景秀麗的小城哥尼斯堡，那里有七座橋。如圖1所示：河中的小島A與河的左岸

11、B、右岸C各有兩座橋相連結(jié)，河中兩支流間的陸地D與A、B、C各有一座橋相連結(jié)。當(dāng)時(shí)哥尼斯堡的居民中流傳著一道難題：一個(gè)人怎樣才能一次走遍七座橋，每座橋只走過一次，最后回到出發(fā)點(diǎn)？大家都試圖找出問題的答案，但是誰也解決不了這個(gè)問題。七橋問題引起了著名數(shù)學(xué)家歐拉17071783的關(guān)注。他把具體七橋布局化歸為圖所示的簡(jiǎn)單圖形，于是，七橋問題就變成一個(gè)一筆畫問題：怎樣才能從A、B、C、D中的某一點(diǎn)出發(fā)，一筆畫出這個(gè)簡(jiǎn)單圖形即筆不離開紙，而且a、b、c、d、e、f、g各條線只畫一次不準(zhǔn)重復(fù)，并且最后返回起點(diǎn)？歐拉經(jīng)過研究得出的結(jié)論是：圖是不能一筆畫出的圖形。這就是說，七橋問題是無解的。這個(gè)結(jié)論是如何產(chǎn)生

12、呢？如果我們從某點(diǎn)出發(fā)，一筆畫出了某個(gè)圖形，到某一點(diǎn)終止，那么除起點(diǎn)和終點(diǎn)外，畫筆每經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)一次，總有畫進(jìn)該點(diǎn)的一條線和畫出該點(diǎn)的一條線，因此就有兩條線與該點(diǎn)相連結(jié)。如果畫筆經(jīng)過一個(gè)n次，那么就有2n條線與該點(diǎn)相連結(jié)。因此，這個(gè)圖形中除起點(diǎn)與終點(diǎn)外的各點(diǎn)，都與偶數(shù)條線相連。如果起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，那么這個(gè)點(diǎn)也與偶數(shù)條線相連；如果起點(diǎn)和終點(diǎn)是不同的兩個(gè)點(diǎn)，那么這兩個(gè)點(diǎn)部是與奇數(shù)條線相連的點(diǎn)。綜上所述，一筆畫出的圖形中的各點(diǎn)或者都是與偶數(shù)條線相連的點(diǎn)，或者其中只有兩個(gè)點(diǎn)與奇數(shù)條線相連。圖2中的A點(diǎn)與5條線相連結(jié)，B、C、D各點(diǎn)各與3條線相連結(jié)，圖中有4個(gè)與奇數(shù)條線相連的點(diǎn)，所以不管是否要求起點(diǎn)與終點(diǎn)

13、重合，都不能一筆畫出這個(gè)圖形。歐拉定理 ：  如果一個(gè)圖是連通的并且奇頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于0或2，那么它可以一筆畫出；否那么它不可以一筆畫出。一筆畫：但凡由偶點(diǎn)組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時(shí)可以把任一偶點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一定能以這個(gè)點(diǎn)為終點(diǎn)畫完此圖。 但凡只有兩個(gè)奇點(diǎn)的連通圖其余都為偶點(diǎn)，一定可以一筆畫成。畫時(shí)必須把一個(gè)奇點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)奇點(diǎn)終點(diǎn)。 其他情況的圖都不能一筆畫出。(奇點(diǎn)數(shù)除以二便可算出此圖需幾筆畫成。)練習(xí)：你能筆尖不離紙，一筆畫出下面的每個(gè)圖形嗎？試試看。不走重復(fù)線路圖例1圖例2圖例3圖例4第二節(jié) 四色問題人人都熟悉地圖，可是繪制一張普通的政區(qū)圖，至少需要幾種顏

14、色，才能把相鄰的政區(qū)或區(qū)域通過不同的顏色區(qū)分開來，就未必是一個(gè)簡(jiǎn)單的問題了。 這個(gè)地圖著色問題，是一個(gè)著名的數(shù)學(xué)難題。大家不妨用一張中國(guó)政區(qū)圖來試一試，無論從哪里開始著色，至少都要用上四種顏色，才能把所有省份都區(qū)別開來。所以，很早的時(shí)候就有數(shù)學(xué)家猜想：“任何地圖的著色，只需四種顏色就足夠了。這就是“四色問題這個(gè)名稱的由來。 四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。 四色問題的內(nèi)容是：“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示，即“將平面任意地細(xì)分為不相重迭的區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域總可以用1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字之一來標(biāo)記，而不會(huì)使相鄰的兩個(gè)區(qū)域得到相同

15、的數(shù)字。上右圖。這里所指的相鄰區(qū)域，是指有一整段邊界是公共的。如果兩個(gè)區(qū)域只相遇于一點(diǎn)或有限多點(diǎn)，就不叫相鄰的。因?yàn)橛孟嗤念伾o它們著色不會(huì)引起混淆。數(shù)學(xué)史上正式提出“四色問題的時(shí)間是在1852年。當(dāng)時(shí)倫敦的大學(xué)的一名學(xué)生法朗西斯向他的老師、著名數(shù)學(xué)家、倫敦大學(xué)數(shù)學(xué)教授莫根提出了這個(gè)問題，可是莫根無法解答，求助于其它數(shù)學(xué)家，也沒有得到答案。于是從那時(shí)起，這個(gè)問題便成為數(shù)學(xué)界的一個(gè)“懸案。一直到二十年前的1976年9月，?美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)通告?正式宣布了一件震撼全球數(shù)學(xué)界的消息：美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩位教授阿貝爾和哈根，利用電子計(jì)算機(jī)證明了“四色問題這個(gè)猜想是完全正確的！他們將普通地圖的四色問題轉(zhuǎn)化為

16、2000個(gè)特殊圖的四色問題，然后在電子計(jì)算機(jī)上計(jì)算了足足1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，最后成功地證明了四色問題，轟動(dòng)了世界。這是一百多年來吸引許多數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)愛好者的大事，當(dāng)兩位數(shù)學(xué)家將他們的研究成果發(fā)表的時(shí)候，當(dāng)?shù)氐泥]局在當(dāng)天發(fā)出的所有郵件上都加蓋了“四色足夠的特制郵戳，以慶祝這一難題獲得解決。第三節(jié) 麥比烏斯帶數(shù)學(xué)上流傳著這樣一個(gè)故事：有人曾提出，先用一張長(zhǎng)方形的紙條，首尾相粘，做成一個(gè)紙圈，然后只允許用一種顏色，在紙圈上的一面涂抹，最后把整個(gè)紙圈全部抹成一種顏色，不留下任何空白。這個(gè)紙圈應(yīng)該怎樣粘？如果是紙條的首尾相粘做成的紙圈有兩個(gè)面，勢(shì)必要涂完一個(gè)面再重新涂另一個(gè)面，不符合涂抹的

17、要求，能不能做成只有一個(gè)面、一條封閉曲線做邊界的紙圈兒呢？對(duì)于這樣一個(gè)看來十分簡(jiǎn)單的問題，數(shù)百年間，曾有許多科學(xué)家進(jìn)行了認(rèn)真研究，結(jié)果都沒有成功。后來，德國(guó)的數(shù)學(xué)家麥比烏斯對(duì)此發(fā)生了濃厚興趣，他長(zhǎng)時(shí)間專心思索、試驗(yàn)，也毫無結(jié)果。 有一天，他被這個(gè)問題弄得頭昏腦漲了，便到野外去散步。新鮮的空氣，清涼的風(fēng)，使他頓時(shí)感到輕松舒適，但他頭腦里仍然只有那個(gè)尚未找到的圈兒。 一片片肥大的玉米葉子，在他眼里變成了“綠色的紙條兒，他不由自主地蹲下去，擺弄著、觀察著。葉子彎曲著聳拉下來，有許多扭成半圓形的，他隨便撕下一片，順著葉子自然扭的方向?qū)映梢粋€(gè)圓圈兒，他驚喜地發(fā)現(xiàn)，這“綠色的圓圈兒就是他夢(mèng)寐以求的那種圓

18、圈。 麥比烏斯回到辦公室，裁出紙條，把紙的一端扭轉(zhuǎn)180°，再將一端的正面和反面粘在一起，這樣就做成了只有一個(gè)面的紙圈兒。 圓圈做成后，麥比烏斯捉了一只小甲蟲，放在上面讓它爬。結(jié)果，小甲蟲不翻越任何邊界就爬遍了圓圈兒的所有局部。麥比烏斯沖動(dòng)地說：“公正的小甲蟲，你無可辯駁地證明了這個(gè)圈兒只有一個(gè)面。 麥比烏斯圈就這樣被發(fā)現(xiàn)了。 做幾個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)“麥比烏斯圈有許多讓我們感到驚奇而有趣的結(jié)果。弄好一個(gè)圈,粘好,繞一圈后可以發(fā)現(xiàn),另一個(gè)面的入口被堵住了,原理就是這樣啊. 實(shí)驗(yàn)一如果在裁好的一張紙條正中間畫一條線，粘成“麥比烏斯圈，再沿線剪開，把這個(gè)圈一分為二，照理應(yīng)得到兩個(gè)圈兒，

19、奇怪的是，剪開后竟是一個(gè)大圈兒。 實(shí)驗(yàn)二如果在紙條上劃兩條線，把紙條三等分，再粘成“麥比烏斯圈，用剪刀沿畫線剪開，剪刀繞兩個(gè)圈竟然又回到原出發(fā)點(diǎn)，猜一猜，剪開后的結(jié)果是什么，是一個(gè)大圈？還是三個(gè)圈兒？都不是。它究竟是什么呢？你自己動(dòng)手做這個(gè)實(shí)驗(yàn)就知道了。你就會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，紙帶不一分為二，一大一小的相扣環(huán)。 有趣的是：新得到的這個(gè)較長(zhǎng)的紙圈，本身卻是一個(gè)雙側(cè)曲面，它的兩條邊界自身雖不打結(jié)，但卻相互套在一起。我們可以把上述紙圈，再一次沿中線剪開，這回可真的一分為二了！得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，那么分別包含于兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身并不打結(jié)罷了。 奇妙之處有三：一、麥比烏斯

20、環(huán)只存在一個(gè)面。 二、如果沿著麥比烏斯環(huán)的中間剪開，將會(huì)形成一個(gè)比原來的麥比烏斯環(huán)空間大一倍的、具有正反兩個(gè)面的環(huán)在本文中將之編號(hào)為：環(huán)0，而不是形成兩個(gè)麥比烏斯環(huán)或兩個(gè)其它形式的環(huán)。 三、如果再沿著環(huán)0的中間剪開，將會(huì)形成兩個(gè)與環(huán)0空間一樣的、具有正反兩個(gè)面的環(huán)，且這兩個(gè)環(huán)是相互套在一起的在本文中將之編號(hào)為：環(huán)1和環(huán)2，從此以后再沿著環(huán)1和環(huán)2以及因沿著環(huán)1和環(huán)2中間剪開所生成的所有環(huán)的中間剪開，都將會(huì)形成兩個(gè)與環(huán)0空間一樣的、具有正反兩個(gè)面的環(huán)，永無止境且所生成的所有的環(huán)都將套在一起，永遠(yuǎn)無法分開、永遠(yuǎn)也不可能與其它的環(huán)不發(fā)生聯(lián)系而獨(dú)立存在。 數(shù)學(xué)中有一個(gè)重要分支叫拓?fù)鋵W(xué)，主要是研究幾何圖

21、形連續(xù)改變形狀時(shí)的一些特征和規(guī)律的，麥比烏斯圈變成了拓?fù)鋵W(xué)中最有趣的單側(cè)面問題之一。麥比烏斯圈的概念被廣泛地應(yīng)用到了建筑，藝術(shù)，工業(yè)生產(chǎn)中。運(yùn)用麥比烏斯圈原理我們可以建造立交橋和道路，防止車輛行人的擁堵。 一、1979年，美國(guó)著名輪胎公司百路馳創(chuàng)造性地把傳送帶制成麥比烏斯圈形狀，這樣一來，整條傳送帶環(huán)面各處均勻地承受磨損，防止了普通傳送帶單面受損的情況，使得其壽命延長(zhǎng)了整整一倍。 二、針式打印機(jī)靠打印針擊打色帶在紙上留下一個(gè)一個(gè)的墨點(diǎn)，為充分利用色帶的全部外表，色帶也常被設(shè)計(jì)成麥比烏斯圈。三、在美國(guó)匹茲堡著名肯尼森林游樂園里，就有一部“加強(qiáng)版的云霄飛車它的軌道是一個(gè)麥比烏斯圈。乘客在軌道的兩面

22、上奔馳。 四、麥比烏斯圈循環(huán)往復(fù)的幾何特征，蘊(yùn)含著永恒、無限的意義，因此常被用于各類標(biāo)志設(shè)計(jì)。微處理器廠商Power Architecture的商標(biāo)就是一條麥比烏斯圈，甚至垃圾回收標(biāo)志也是由麥比烏斯圈變化而來。垃圾回收標(biāo)志 Power Architecture 標(biāo)志第四節(jié) 分割圖形分割圖形是使我們的頭腦靈活，增強(qiáng)觀察能力的一種有趣的游戲。我們先來看一個(gè)簡(jiǎn)單的分割圖形的題目分割正方形。在正方形內(nèi)用4條線段作“井字形分割，可以把正方形分成大小相等的9塊，這種圖形我們常稱為九宮格。 用4條線段還可以把一個(gè)正方形分成10塊，只是和九宮格不同的是，每塊的大小不一定都相等。那么，怎樣才能用4條線段把正方形

23、分成10塊呢？請(qǐng)你先動(dòng)腦筋想想，在動(dòng)腦的同時(shí)還要?jiǎng)邮之嬕划嬈鋵?shí)，正方形是不難分割成10塊的，下面就是其中兩種分割方法。練習(xí)：想一想，用4條線段能將正方形分成11塊嗎？應(yīng)該怎樣分？第五節(jié) 數(shù)學(xué)故事1奇特的墓志銘在大數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上，鐫刻著一個(gè)有趣的幾 何圖形：一個(gè)圓球鑲嵌在一個(gè)圓柱內(nèi)。相傳，它是阿基米 德生前最為欣賞的一個(gè)定理。 在數(shù)學(xué)家魯?shù)婪虻哪贡?，那么鐫刻著圓周率的35位 數(shù)值。這個(gè)數(shù)值被叫做。魯?shù)婪驍?shù)。它是魯?shù)婪虍吷难?的結(jié)晶。大數(shù)學(xué)家高斯曾經(jīng)表示，在他去世以后，希望人們?cè)谒?的墓碑上刻上一個(gè)正17邊形。因?yàn)樗窃谕瓿闪苏?7邊形 的尺規(guī)作圖后，才決定獻(xiàn)身于數(shù)學(xué)研究的 不過，最奇

24、特的墓志銘，卻是屬于古希臘數(shù)學(xué)家丟番 圖的。他的墓碑上刻著一道謎語(yǔ)般的數(shù)學(xué)題： “過路人，這座石墓里安葬著丟番圖。他生命的16 是幸福的童年，生命的112是青少年時(shí)期。又過了生命 的 1 7他才結(jié)婚?；楹?5年有了一個(gè)孩子，孩子活到他 父親一半的年紀(jì)便死去了。孩子死后，丟番圖在深深的悲 哀中又活了4年，也結(jié)束了塵世生涯。過路人，你知道丟 番圖的年紀(jì)嗎？ 丟番圖的年紀(jì)究竟有多大呢？ 設(shè)他活了X歲，依題意可列出方程。這樣，要知道丟番圖的年紀(jì)，只要解出這個(gè)方程就行了。這段墓志銘寫得太妙了。誰想知道丟番圖的年紀(jì)，誰 就得解一個(gè)一元一次方程；而這又正好提醒前來瞻仰的人 們，不要忘記了丟番圖獻(xiàn)身的事業(yè)。在

25、丟番圖之前，古希臘數(shù)學(xué)家習(xí)慣用幾何的觀點(diǎn)看待 遇到的所有數(shù)學(xué)問題，而丟番圖那么不然，他是古希臘第一 個(gè)大代數(shù)學(xué)家，喜歡用代數(shù)的方法來解決問題?，F(xiàn)代解方程的根本步驟，如移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、，方程兩邊乘以同一因子等等，丟番圖都道了。他尤其擅長(zhǎng)解答不定方 程，創(chuàng)造了許多巧妙的方法，被西方數(shù)學(xué)家譽(yù)為這門數(shù)學(xué) 分支的開山鼻祖。丟番圖也是古希臘最后一個(gè)大數(shù)學(xué)家。遺憾的是，關(guān) 于他的生平。后人幾乎一無所知，既不知道他生于何地， 也不知道他卒于何時(shí)。幸虧有了這段奇特的墓志銘，才知 道他曾享有84歲的高齡。 2希臘十字架問題圖上那只巨大的復(fù)活節(jié)彩蛋上有一個(gè)希臘十字架，從它引發(fā)出許多切割問題，下面是其中的三個(gè)。(a

26、)將十字架圖形分成四塊，用它們拼成一個(gè)正方形; 有無限多種方法把一個(gè)希臘十字架分成四塊，再把它們拼成一個(gè)正方形，以下列圖給出了其中的一個(gè)解法。 奇妙的是，任何兩條切割直線，只要與圖上的直線分別平行，也可取得同樣的結(jié)果，分成的四塊東西總是能拼出一個(gè)正方形。 (b)將十字架圖形分成三塊，用它們拼成一個(gè)菱形;(c)將十字架圖形分成三塊，用它們拼成一個(gè)矩形，要求其 長(zhǎng)是寬的兩倍。 第二章 最完美的數(shù)完美數(shù)又稱為完全數(shù),最初是由畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)的信徒發(fā)現(xiàn)的,他們注意到:數(shù)6有一個(gè)特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和: 6=1+2+3,下一個(gè)具有同樣性質(zhì)的數(shù)是28, 28=1+2

27、+4+7+14 接著是496和8128.他們稱這類數(shù)為完美數(shù).歐幾里德在大約公元前350-300年間證明了:假設(shè)2n-1是素?cái)?shù),那么數(shù)2n-12n-1 (1) 是完全數(shù).兩千年后,歐拉證明每個(gè)偶完全數(shù)都具有這種形式.這就在完全數(shù)與梅森數(shù)(形式為的素?cái)?shù))之間建立了緊密的聯(lián)系,到1999年6月1日為止,共發(fā)現(xiàn)了38個(gè)梅森素?cái)?shù),這就是說已發(fā)現(xiàn)了38個(gè)完全數(shù). 1：完全數(shù)是非常奇特的數(shù),它們有一些特殊性質(zhì),例如每個(gè)完全數(shù)都是三角形數(shù),即都能寫成n(n+1)/2.6=1+2+3=3*4/228=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2 496=1+2+3+4+.+31=31*32/2. 2n-1(2n-1

28、)=1+2+3+.+(2n-1)=(2n-1)2n/22：把它們(6除外)的各位數(shù)字相加,直到變成一位數(shù),那么這個(gè)一位數(shù)一定是1;它們都是連續(xù)奇數(shù)的立方和(6除外),22(23-1)=28=13+33 24(25-1)=496=13+33+53+73 26(27-1)=8128=13+33+53+73+93+113+133+153 . 2n-1(2n-1)=13+33+53+.+(2(n+1)/2-1)33：除了因子1之外,每個(gè)完全數(shù)的所有因子(包括自身)的倒數(shù)和等于1,比方:1/2+1/3+1/6=1 1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1 .4：完全數(shù)都是以6或8結(jié)尾的,如果以8結(jié)

29、尾,那么就肯定是以28結(jié)尾.注意以上談到的完全數(shù)都是偶完全數(shù),至今仍然不知道有沒有奇完全數(shù),如果真的存在奇完全數(shù).第三章 有理數(shù)的巧算有理數(shù)運(yùn)算是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運(yùn)算的根底它要求同學(xué)們?cè)诶斫庥欣頂?shù)的有關(guān)概念、法那么的根底上，能根據(jù)法那么、公式等正確、迅速地進(jìn)行運(yùn)算不僅如此，還要善于根據(jù)題目條件，將推理與計(jì)算相結(jié)合，靈活巧妙地選擇合理的簡(jiǎn)捷的算法解決問題，從而提高運(yùn)算能力，開展思維的敏捷性與靈活性1括號(hào)的使用 在代數(shù)運(yùn)算中，可以根據(jù)運(yùn)算法那么和運(yùn)算律，去掉或者添上括號(hào)，以此來改變運(yùn)算的次序，使復(fù)雜的問題變得較簡(jiǎn)單例1 計(jì)算：分析 中學(xué)數(shù)學(xué)中，由于負(fù)數(shù)的引入，符號(hào)“+與“-具有了雙重涵義，它既是表示

30、加法與減法的運(yùn)算符號(hào)，也是表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的性質(zhì)符號(hào)因此進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算時(shí)，一定要正確運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算法那么，尤其是要注意去括號(hào)時(shí)符號(hào)的變化注意 在本例中的乘除運(yùn)算中，常常把小數(shù)變成分?jǐn)?shù)，把帶分?jǐn)?shù)變成假分?jǐn)?shù)，這樣便于計(jì)算例2 計(jì)算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445分析 直接計(jì)算很麻煩，根據(jù)運(yùn)算規(guī)那么，添加括號(hào)改變運(yùn)算次序，可使計(jì)算簡(jiǎn)單此題可將第一、第四項(xiàng)和第二、第三項(xiàng)分別結(jié)合起來計(jì)算解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) =211×

31、;(555+445)+(445+555)×789 =211×1000+1000×789 =1000×(211+789) =1 000 000說明 加括號(hào)的一般思想方法是“分組求和，它是有理數(shù)巧算中的常用技巧例3 在數(shù)1，2，3，1998前添符號(hào)“+和“-，并依次運(yùn)算，所得可能的最小非負(fù)數(shù)是多少？分析與解 因?yàn)榧僭O(shè)干個(gè)整數(shù)和的奇偶性，只與奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)，所以在1，2，3，1998之前任意添加符號(hào)“+或“-，不會(huì)改變和的奇偶性在1，2，3，1998中有1998÷2個(gè)奇數(shù)，即有999個(gè)奇數(shù)，所以任意添加符號(hào)“+或“-之后，所得的代數(shù)和總為奇數(shù)，故最小

32、非負(fù)數(shù)不小于1現(xiàn)考慮在自然數(shù)n，n+1，n+2，n+3之間添加符號(hào)“+或“-，顯然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0這啟發(fā)我們將1，2，3，1998每連續(xù)四個(gè)數(shù)分為一組，再按上述規(guī)那么添加符號(hào)，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1所以，所求最小非負(fù)數(shù)是1說明 本例中，添括號(hào)是為了造出一系列的“零，這種方法可使計(jì)算大大簡(jiǎn)化2用字母表示數(shù)我們先來計(jì)算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-

33、22這是一個(gè)對(duì)具體數(shù)的運(yùn)算，假設(shè)用字母a代換100，用字母b代換2，上述運(yùn)算過程變?yōu)?a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2于是我們得到了一個(gè)重要的計(jì)算公式(a+b)(a-b)=a2-b2， 這個(gè)公式叫平方差公式，以后應(yīng)用這個(gè)公式計(jì)算時(shí)，不必重復(fù)公式的證明過程，可直接利用該公式計(jì)算例4 計(jì)算 3001×2999的值解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999例5 計(jì)算 103×97×10 009的值解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=

34、1004-92=99 999 919例6 計(jì)算：分析與解 直接計(jì)算繁仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)分母中涉及到三個(gè)連續(xù)整數(shù)：12 345，12 346，12 347可設(shè)字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母變?yōu)閚2-(n-1)(n+1)應(yīng)用平方差公式化簡(jiǎn)得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690例7 計(jì)算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)分析 式子中2，22，24，每一個(gè)數(shù)都是前一個(gè)數(shù)的平方，假設(shè)在(2+1)前面有一個(gè)(2-1)，就可以連續(xù)遞進(jìn)地運(yùn)用(a+b)(a-b)=a2-b2了解

35、 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1) =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)= =(232-1)(232+1) =264-1例8 計(jì)算：分析 在前面的例題中，應(yīng)用過公式(a+b)(a-b)=a2-b2這個(gè)公式也可以反著使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)此題就是一個(gè)例子 通過以上例題可以看到，用字母表示數(shù)給我們的計(jì)算帶來很大的益處下面再看一個(gè)例題，從中可以看到用字母表示一個(gè)式子，也可使計(jì)算簡(jiǎn)化例9計(jì)算：我

36、們用一個(gè)字母表示它以簡(jiǎn)化計(jì)算 1 觀察算式找規(guī)律例10 某班20名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)?nèi)缦?，?qǐng)計(jì)算他們的總分與平均分87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88分析與解 假設(shè)直接把20個(gè)數(shù)加起來，顯然運(yùn)算量較大，粗略地估計(jì)一下，這些數(shù)均在90上下，所以可取90為基準(zhǔn)數(shù)，大于90的數(shù)取“正，小于90的數(shù)取“負(fù)，考察這20個(gè)數(shù)與90的差，這樣會(huì)大大簡(jiǎn)化運(yùn)算所以總分為90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=18

37、00-1=1799，平均分為 90+(-1)÷20=89.95例11 計(jì)算1+3+5+7+1997+1999的值 分析 觀察發(fā)現(xiàn)：首先算式中，從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都等于2；其次算式中首末兩項(xiàng)之和與距首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都等于2000，于是可有如下解法解 用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+1997+1999 再將S各項(xiàng)倒過來寫為S=1999+1997+1995+3+1 將，兩式左右分別相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+2000+2000(1000個(gè)2000)=2000×1000從而有 S

38、=1000 000說明 一般地，一列數(shù)，如果從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都相等(此題3-1=5-3=7-5=1999-1997，都等于2)，那么，這列數(shù)的求和問題，都可以用上例中的“倒寫相加的方法解決例13 計(jì)算 1+5+52+53+599+5100的值分析 觀察發(fā)現(xiàn)，上式從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是它前面一項(xiàng)的5倍如果將和式各項(xiàng)都乘以5，所得新和式中除個(gè)別項(xiàng)外，其余與原和式中的項(xiàng)相同，于是兩式相減將使差易于計(jì)算解 設(shè)S=1+5+52+599+5100， 所以5S=5+52+53+5100+5101 得4S=5101-1，說明 如果一列數(shù)，從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比都相等(本例中是都等于5)，那么

39、這列數(shù)的求和問題，均可用上述“錯(cuò)位相減法來解決例14 計(jì)算：分析 一般情況下，分?jǐn)?shù)計(jì)算是先通分此題通分計(jì)算將很繁，所以我們不但不通分，反而利用如下一個(gè)關(guān)系式來把每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，然后再計(jì)算，這種方法叫做拆項(xiàng)法 解 由于所以說明 本例使用拆項(xiàng)法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的項(xiàng)，這種方法在有理數(shù)巧算中很常用練習(xí)1計(jì)算以下各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×47

40、2 635-472 634×472 636； (6)1+4+7+244； 2某小組20名同學(xué)的數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦?，試?jì)算他們的平均分81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85第四章 歸納與發(fā)現(xiàn)歸納的方法是認(rèn)識(shí)事物內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律性的一種重要思考方法，也是數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)命題與發(fā)現(xiàn)解題思路的一種重要手段這里的歸納指的是常用的經(jīng)驗(yàn)歸納，也就是在求解數(shù)學(xué)問題時(shí)，首先從簡(jiǎn)單的特殊情況的觀察入手，取得一些局部的經(jīng)驗(yàn)結(jié)果，然后以這些經(jīng)驗(yàn)作根底，分析概括這些經(jīng)驗(yàn)的共同特征，從而發(fā)現(xiàn)解題的一般途徑或新的命題的思考方法下面舉幾

41、個(gè)例題，以見一般 例1 如圖2-99，有一個(gè)六邊形點(diǎn)陣，它的中心是一個(gè)點(diǎn)，算作第一層；第二層每邊有兩個(gè)點(diǎn)(相鄰兩邊公用一個(gè)點(diǎn))；第三層每邊有三個(gè)點(diǎn)，這個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有n層，試問第n層有多少個(gè)點(diǎn)？這個(gè)點(diǎn)陣共有多少個(gè)點(diǎn)？分析與解 我們來觀察點(diǎn)陣中各層點(diǎn)數(shù)的規(guī)律，然后歸納出點(diǎn)陣共有的點(diǎn)數(shù) 第一層有點(diǎn)數(shù)：1；第二層有點(diǎn)數(shù)：1×6；第三層有點(diǎn)數(shù)：2×6；第四層有點(diǎn)數(shù)：3×6；第n層有點(diǎn)數(shù)：(n-1)×6.因此，這個(gè)點(diǎn)陣的第n層有點(diǎn)(n-1)×6個(gè)n層共有點(diǎn)數(shù)為例2 在平面上有過同一點(diǎn)P，并且半徑相等的n個(gè)圓，其中任何兩個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn)，任何三個(gè)圓除P點(diǎn)外

42、無其他公共點(diǎn)，那么試問：(1)這n個(gè)圓把平面劃分成多少個(gè)平面區(qū)域？(2)這n個(gè)圓共有多少個(gè)交點(diǎn)？分析與解 (1)在圖2-100中，設(shè)以P點(diǎn)為公共點(diǎn)的圓有1，2，3，4，5個(gè)(取這n個(gè)特定的圓)，觀察平面被它們所分割成的平面區(qū)域有多少個(gè)？為此，我們列出表181由表181易知S2-S1=2，S3-S23，S4-S34，S5-S45，由此，不難推測(cè)Sn-Sn-1n把上面(n-1)個(gè)等式左、右兩邊分別相加，就得到Sn-S1234n，因?yàn)镾1=2，所以下面對(duì)Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1n的正確性略作說明因?yàn)镾n-1為n-1個(gè)圓把平面劃分的區(qū)域數(shù)，當(dāng)再加上一個(gè)圓，即當(dāng)n個(gè)圓過定點(diǎn)P時(shí)，這個(gè)加上去的

43、圓必與前n-1個(gè)圓相交，所以這個(gè)圓就被前n-1個(gè)圓分成n局部，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1n(2)與(1)一樣，同樣用觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的方法來解決為此，可列出表182由表182容易發(fā)現(xiàn)a11，a2-a11，a3-a22，a4-a33，a5-a44，an-1-an-2n-2，an-an-1n-1n個(gè)式子相加注意 請(qǐng)讀者說明an=an-1(n-1)的正確性例3 設(shè)a，b，c表示三角形三邊的長(zhǎng)，它們都是自然數(shù)，其中abc，如果 b=n(n是自然數(shù))，試問這樣的三角形有多少個(gè)？分析與解 我們先來研究一些特殊情況：(1)設(shè)b=n=1，這時(shí)b=1，因?yàn)閍bc，所以a=1，c可取1，2，3，假設(shè)c=

44、1，那么得到一個(gè)三邊都為1的等邊三角形；假設(shè)c2，由于ab=2，那么ab不大于第三邊c，這時(shí)不可能由a，b，c構(gòu)成三角形，可見，當(dāng)b=n=1時(shí)，滿足條件的三角形只有一個(gè)(2)設(shè)b=n=2，類似地可以列舉各種情況如表183這時(shí)滿足條件的三角形總數(shù)為：1+2=3(3)設(shè)b=n=3，類似地可得表184這時(shí)滿足條件的三角形總數(shù)為：123=6通過上面這些特例不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)b=n時(shí)，滿足條件的三角形總數(shù)為：這個(gè)猜想是正確的因?yàn)楫?dāng)b=n時(shí)，a可取n個(gè)值(1，2，3，n)，對(duì)應(yīng)于a的每個(gè)值，不妨設(shè)a=k(1kn)由于bcab，即ncnk，所以c可能取的值恰好有k個(gè)(n，n1，n2，nk-1)所以，當(dāng)b=n時(shí)，滿

45、足條件的三角形總數(shù)為：例4 設(shè)1×2×3××n縮寫為n！(稱作n的階乘)，試化簡(jiǎn)：1！×12！×23！×3n！×n. 分析與解 先觀察特殊情況：(1)當(dāng)n=1時(shí)，原式=1=(11)！-1；(2)當(dāng)n=2時(shí)，原式=5=(21)！-1；(3)當(dāng)n=3時(shí)，原式=23=(31)！-1；(4)當(dāng)n=4時(shí)，原式=119=(41)！-1由此做出一般歸納猜想：原式=(n+1)！-1. 下面我們證明這個(gè)猜想的正確性1+原式=1+(1！×12！×23！×3+n！×n)=1！×22！&#

46、215;23！×3+n！×n=2！+2！×23！×3+n！×n=2！×3+3！×3+n！×n=3！+3！×3+n！×n=n！+n！×n=(n1)！，所以原式=(n+1)！-1. 例5 設(shè)x0，試比較代數(shù)式x3和x2+x+2的值的大小分析與解 此題直接觀察，不好做出歸納猜想，因此可設(shè)x等于某些特殊值，代入兩式中做試驗(yàn)比較，或許能啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)解題思路為此，設(shè)x=0，顯然有x3x2+x+2設(shè)x=10，那么有x3=1000，x2+x2=112，所以x3x2+x+2設(shè)x=100，那么有x3x2+

47、x+2觀察、比較，兩式的條件和結(jié)論，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x值較小時(shí)，x3x2+x+2；當(dāng)x值較大時(shí)，x3x2+x+2那么自然會(huì)想到：當(dāng)x=？時(shí)，x3=x2+x+2呢？如果這個(gè)方程得解，那么它很可能就是此題得解的“臨界點(diǎn)為此，設(shè)x3=x2x2，那么x3-x2-x-20，(x3-x2-2x)(x-2)=0，(x-2)(x2+x+1)=0因?yàn)閤0，所以x2+x+10，所以x-2=0，所以x=2這樣(1)當(dāng)x=2時(shí)，x3=x2+x+2；(2)當(dāng)0x2時(shí)，因?yàn)閤-20，x2+x+20，所以 (x-2)(x2x+2)0，即x3-(x2x+2)0，所以 x3x2x2. (3)當(dāng)x2時(shí)，因?yàn)閤-20，x2+x+20，

48、所以 (x-2)(x2+x+2)0，即x3-(x2x2)0，所以 x3x2x2綜合歸納(1)，(2)，(3)，就得到此題的解答練習(xí)七1試證明例7中：2平面上有n條直線，其中沒有兩條直線互相平行(即每?jī)蓷l直線都相交)，也沒有三條或三條以上的直線通過同一點(diǎn)試求：(1)這n條直線共有多少個(gè)交點(diǎn)？(2)這n條直線把平面分割為多少塊區(qū)域？然后做出證明.)3求適合x5=656356768的整數(shù)x(提示：顯然x不易直接求出，但可注意其取值范圍：505656356768605，所以502x602)第五章 生活中的數(shù)學(xué)儲(chǔ)蓄、保險(xiǎn)與納稅儲(chǔ)蓄、保險(xiǎn)、納稅是最常見的有關(guān)理財(cái)方面的數(shù)學(xué)問題，幾乎人人都會(huì)遇到，

49、因此，我們?cè)谶@一講舉例介紹有關(guān)這方面的知識(shí)，以增強(qiáng)理財(cái)?shù)淖晕冶Ｗo(hù)意識(shí)和處理簡(jiǎn)單財(cái)務(wù)問題的數(shù)學(xué)能力 1儲(chǔ)蓄銀行對(duì)存款人付給利息，這叫儲(chǔ)蓄存入的錢叫本金一定存期(年、月或日)內(nèi)的利息對(duì)本金的比叫利率本金加上利息叫本利和利息=本金×利率×存期，本利和=本金×(1+利率經(jīng)×存期)如果用p，r，n，i，s分別表示本金、利率、存期、利息與本利和，那么有i=prn，s=p(1+rn)例1 設(shè)年利率為0.0171，某人存入銀行2000元，3年后得到利息多少元？本利和為多少元？解 i=2000×0.0171×3=102.6(元)s=2000×

50、(1+0.0171×3)=2102.6(元)答 某人得到利息102.6元，本利和為2102.6元以上計(jì)算利息的方法叫單利法，單利法的特點(diǎn)是無論存款多少年，利息都不參加本金相對(duì)地，如果存款年限較長(zhǎng)，約定在每年的某月把利息參加本金，這就是復(fù)利法，即利息再生利息目前我國(guó)銀行存款多數(shù)實(shí)行的是單利法不過規(guī)定存款的年限越長(zhǎng)利率也越高例如，1998年3月我國(guó)銀行公布的定期儲(chǔ)蓄人民幣的年利率如表221所示用復(fù)利法計(jì)算本利和，如果設(shè)本金是p元，年利率是r,存期是n年，那么假設(shè)第1年到第n年的本利和分別是s1，s2,，sn，那么s1=p(1+r)，s2=s1(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r

51、)2，s3s2(1+r)=p(1+r)2(1+r)=p(1+r)3，sn=p(1+r)n例2 小李有20000元，想存入銀行儲(chǔ)蓄5年，可有幾種儲(chǔ)蓄方案，哪種方案獲利最多？解 按表221的利率計(jì)算(1)連續(xù)存五個(gè)1年期，那么5年期滿的本利和為20000(1+0.0522)525794(元)(2)先存一個(gè)2年期，再連續(xù)存三個(gè)1年期，那么5年后本利和為20000(1+0.0558×2)·(1+0.0522)325898(元)(3)先連續(xù)存二個(gè)2年期，再存一個(gè)1年期，那么5年后本利和為20000(1+0.0558×2)2·(1+0.0552)26003(元)(4

52、)先存一個(gè)3年期，再轉(zhuǎn)存一個(gè)2年期，那么5年后的本利和為20000(10.0621×3)·(1+0.0558×2)26374(元)(5)先存一個(gè)3年期，然后再連續(xù)存二個(gè)1年期，那么5年后本利和為20000(1+0.0621×3)·(1+0.0522)226268(元)(6)存一個(gè)5年期，那么到期后本利和為20000(1+0.0666×5)26660(元)顯然，第六種方案，獲利最多，可見國(guó)家所規(guī)定的年利率已經(jīng)充分考慮了你可能選擇的存款方案，利率是合理的2保險(xiǎn)保險(xiǎn)是現(xiàn)代社會(huì)必不可少的一種生活、生命和財(cái)產(chǎn)保護(hù)的金融事業(yè)例如，火災(zāi)保險(xiǎn)就是由于

53、火災(zāi)所引起損失的保險(xiǎn)，人壽保險(xiǎn)是由于人身意外傷害或養(yǎng)老的保險(xiǎn)，等等下面舉兩個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例例3 假設(shè)一個(gè)小城鎮(zhèn)過去10年中，發(fā)生火災(zāi)情況如表222所示試問：(1)設(shè)想平均每年在1000家中燒掉幾家？(2)如果保戶投保30萬元的火災(zāi)保險(xiǎn)，最低限度要交多少保險(xiǎn)費(fèi)保險(xiǎn)公司才不虧本？解 (1)因?yàn)?+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11(家)，365+371+385+395+412+418+430+435+440445=4096(家)11÷40960.0026(2)300000×0.0026=780(元)答(1)每年在1000家中，大約燒掉2.6家(2)投保30萬元的保險(xiǎn)費(fèi)，至少需交780元的保險(xiǎn)費(fèi)例4 財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)是常見的保險(xiǎn)假定A種財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)是每投保1000元財(cái)產(chǎn)，要交3元保險(xiǎn)費(fèi)，保險(xiǎn)期為1年，期滿后不退保險(xiǎn)費(fèi)，續(xù)保需重新交費(fèi)B種財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)是按儲(chǔ)蓄方式，每1000元財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)交儲(chǔ)蓄金25元，保險(xiǎn)一年期滿后不管是否得到賠款均全額退還儲(chǔ)蓄金，以利息作為保險(xiǎn)費(fèi)今有兄弟二人，哥哥投保8萬元A種保險(xiǎn)一年，弟弟投保8萬元B種保險(xiǎn)一年試問兄弟二人誰投的保險(xiǎn)更合算些？(假定定期存款1年期利率為5.22)解 哥哥投保8萬元A種財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)，需交保險(xiǎn)費(fèi)80000