數(shù)學(xué)建模國家一等獎 A、B兩城氣候研究匯編

1、A、B兩城的氣候規(guī)律統(tǒng)計分析摘要本文針對A、B兩城氣候規(guī)律這一問題，采用了滑動平均法對A、B氣候數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理與分析，建立了Z指數(shù)模型與灰色預(yù)測模型，得出了兩城的氣候規(guī)律及周期，并對預(yù)測值與真實值進(jìn)行了對比，得出了旱澇災(zāi)情受國家政策與大氣環(huán)境的影響這一結(jié)論。問題一：由于所給數(shù)據(jù)過多，不易處理，本文運用了滑動平均差法對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，處理后的數(shù)據(jù)反應(yīng)現(xiàn)實的程度不高，故再利用二三次加權(quán)處理使數(shù)據(jù)的周期性規(guī)律更加明顯，運用MATLAB分別表示出降水和氣溫的擬合圖像，得出了其大概的周期性變化，A、B兩城的氣溫周期基本上都在10年左右，而降水量周期為15年。問題二：本文先分析旱澇特點，對數(shù)據(jù)處理，所以選取

2、了1951年到2011年兩城的年降水量，建立了Z指數(shù)模型，運用Z指數(shù)法計算出了這61年里每年的旱澇程度，經(jīng)分析得出AB兩城旱澇規(guī)律，并利用SPSS分析了A、B兩座城市之間旱澇的相關(guān)性，得出了兩城相關(guān)性較大的結(jié)論問題三：由于收據(jù)繁多，我們選取了1991年至2011年的降水量數(shù)據(jù)，并以每年的平均降水量為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，建立了灰色預(yù)測模型 ，引入一個災(zāi)變異常值p，通過給出一個具體的災(zāi)變異常值，并結(jié)合灰色預(yù)測模型，對2013到2015年的旱澇進(jìn)行了預(yù)測，得出了A城市2013到2015年每年的6,7,8月份都有一定程度上的澇災(zāi)，而B城市2013年到2015年沒有明顯的旱澇災(zāi)害。對于所得到的結(jié)果，我們與現(xiàn)實情況

3、作了對比，發(fā)現(xiàn)了預(yù)測的結(jié)果與實際情況差距并不是很大，基于此情況分析了A、B兩座城市的氣候規(guī)律，并給出了大氣破壞加劇，溫室效應(yīng)產(chǎn)生差異的結(jié)論。關(guān)鍵詞：滑動平均法 指數(shù) 主成分分析 灰色預(yù)測 一、問題的重述氣候變化是指除在類似時期內(nèi)所觀測氣候的自然變異之外,由于直接 或間接的人類活動改變了地球大氣的組成而造成的氣候變化。在全球氣候增暖的背景下和新興城市的快速發(fā)展過程中,氣候已發(fā)生了變化。氣象資料分析表明,多地氣候呈現(xiàn)出氣溫升高、降水和日照減少、大霧日數(shù)趨于增多導(dǎo)致能見度降低的顯著趨勢,從而導(dǎo)致了極端天氣氣候事件頻繁發(fā)生,如高溫酷熱增多、強(qiáng)雷暴不斷顯現(xiàn),對經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展和人民生活產(chǎn)生了較大影響,因此,

4、對氣候變化的規(guī)律進(jìn)行探討, 并采取綜合措施以減緩和適應(yīng)氣候變化的影響有著重大的意義。根據(jù)所給的數(shù)據(jù)信息，分別分析A,B兩城市的氣候規(guī)律，并回答以下的問題：問題1.計算出A,B兩城的降水周期和氣溫周期；問題2.探究A,B兩城的旱澇1規(guī)律，和二者之間的相關(guān)性；問題3.對2013-2015年的旱澇進(jìn)行預(yù)測，并與現(xiàn)實情況做對比，分析產(chǎn)生這種差異的原因。二、模型的假設(shè)1.假設(shè)所給數(shù)據(jù)能準(zhǔn)確無誤地反映A,B城市的氣候規(guī)律變化；2.假設(shè)所給數(shù)據(jù)本身具有一定的相關(guān)性，具有明顯的周期性；3.假設(shè)氣溫和降雨量服從正態(tài)分布；三、符號的說明符號含義月份降水量周期角速度尺度參數(shù)形狀參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化變量標(biāo)準(zhǔn)偏差序列長度閥值年平

5、均降水量標(biāo)準(zhǔn)差旱年降水量序列澇年降水量序列災(zāi)變?nèi)掌诩珣B(tài)系數(shù) 四、問題的分析本題所給的數(shù)據(jù)信息具有不完全性和隨機(jī)性，因此，考慮在信息提取上做適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)統(tǒng)計處理，通過對有用數(shù)據(jù)的分析，來進(jìn)行模型的建立與求解。針對問題一：本題要求計算A,B兩城的降水量與氣溫周期。通過對所給數(shù)據(jù)的分析，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)據(jù)較多，不好處理，所以可以考慮選取幾年的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并以所選的數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，利用軟件分別擬合出這幾年里每個月份降水量和氣溫的變化圖，來大概了解數(shù)據(jù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。對數(shù)據(jù)進(jìn)行具體處理時，可以利用軟件和滑動平均法所具有的數(shù)據(jù)處理功能進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，進(jìn)而得出兩城的降雨量與氣溫周期。針對問題二：本題要求給出A,B兩城

6、的旱澇規(guī)律，并就兩者之間的相關(guān)性進(jìn)行分析。常見的旱澇等級判斷有降水距平百分率，Z指數(shù)和旱澇指數(shù)，可以考慮應(yīng)用一種或幾種方法進(jìn)行旱澇等級的判斷。在進(jìn)行A,B兩城旱澇之間的相關(guān)性分析時，先查閱資料對影響因素進(jìn)行選擇并利用所給數(shù)據(jù)初步判斷A,B兩城具體所屬。在就其相關(guān)性進(jìn)行分析。針對問題三：本題是要對20132015年的旱澇進(jìn)行預(yù)測，并與實際數(shù)據(jù)進(jìn)行對此，分析產(chǎn)生差異的原因。我們考慮建立灰色預(yù)測模型2對2013到2015年的旱澇進(jìn)行預(yù)測，并將預(yù)測結(jié)果與實際查詢所得的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較分析，初步判斷預(yù)測結(jié)果與實際情況之間產(chǎn)生差異的原因。五、模型的建立與求解5.1模型的建立與求解5.1.1模型的準(zhǔn)備本題要求得

7、出A,B兩城的降水周期和氣溫周期。由與數(shù)據(jù)之間的沒有明顯的規(guī)律性，而應(yīng)用滑動平均法可以影響數(shù)據(jù)的平滑效果，但不改變數(shù)據(jù)本身的一些規(guī)律。為了數(shù)據(jù)更便于分析，所以采用了二三次滑動加權(quán)法進(jìn)行數(shù)據(jù)的處理，并作出圖像進(jìn)行對比。5.1.2模型的建立和求解（1）利用滑動平均法對A城的平均氣溫和降水量進(jìn)行處理，并利用MATLAB軟件進(jìn)行曲線的擬合，擬合結(jié)果見圖1，圖2。圖1 A城1951年到2011年的變化擬合圖從圖1可以看出A城氣溫整體呈現(xiàn)上升趨勢但有一定的上升周期。由平滑處理后數(shù)據(jù)（見附錄1）可得A城氣溫上升的波峰值周期為4年而處于波谷的最小值周期為8年。圖2 A城1951年到2011年降水量的變化擬合圖

8、從圖2的擬合圖中，可以看出降水量呈現(xiàn)周期性變化，有3個波峰6個波谷，根據(jù)周期為兩波峰或兩波谷的間距我們可以得出周期的大小，而根據(jù)滑動平均法5處理后，1951年到2011年降水量的數(shù)據(jù)（見附錄一），分析數(shù)據(jù)可以得出A城降水量兩波峰之間相隔15年左右，而兩波谷之間相隔10年。即降水量最高值周期為15年而最小值周期為10年。（2）同理作圖（見附錄1）并計算B城的降水周期和氣溫周期如下：由圖3的擬合圖可以看出B城的氣溫也呈現(xiàn)周期性的上升趨勢，峰值周期為8年，而波谷周期為10年。圖4可以看出B城降水量存在6個高峰4個波谷，結(jié)合平滑處理后的數(shù)據(jù)可以得出降水量的波峰周期為10年波谷周期為15年。5.2模型的

9、建立與求解5.2.1 A,B城市具體判斷由于題中要求分析兩城之間旱澇4的相關(guān)性。所以先大致判斷出A,B所處地理位置。經(jīng)過上網(wǎng)查詢分別確定影響A,B兩城市影響旱澇的六個因素：降水量、平均風(fēng)速、平均氣溫、平均水汽壓、平均相對濕度及日照時數(shù)。利用地理分析結(jié)合題中所給數(shù)據(jù)，確定對A,B兩城市旱澇起主要影響作用的因素是：降水量、平均氣溫、平均水氣壓。根據(jù)所給數(shù)據(jù)對比可知A,B兩城市的降雨量、平均風(fēng)速、平均氣溫等因素數(shù)據(jù)值相近，經(jīng)計算降雨量大致位于600毫升左右，A,B兩城市的降雨量集中于6,7,8月份，高溫多熱，12,1,2月降雨量稀少，水汽壓小，溫度較低，寒冷干燥，氣溫年較差也比較大。根據(jù)這些因素分析

10、可知，A,B兩城市和溫帶季風(fēng)氣候吻合度較高。全世界僅亞洲有溫帶季風(fēng)氣候，溫帶季風(fēng)氣候出現(xiàn)在亞歐大陸東岸緯度3555度之間，其中包括中國的華北和東北，朝鮮大陸，日本北部及俄羅斯東部分地區(qū)。為了驗證對于A,B城市的所屬區(qū)域推斷的可信性，在此選取屬于溫帶季風(fēng)氣候的典型臺站作對比。通過比較， A城市降雨量，溫度略高于B；A氣溫變化波動小于B,可以確定B城市比A城市更接近海邊，且A,B兩城市距離相近。5.2.2模型的建立與求解通過對題目的分析，以及查閱大量的資料，發(fā)現(xiàn)利用Z指數(shù)判斷旱澇等級具有計算容易，結(jié)果準(zhǔn)確的優(yōu)點，所以建立了Z指數(shù)模型對A,B兩城旱澇等級進(jìn)行劃分。由于在某一段的降水量一般并不服從正態(tài)

11、分布，現(xiàn)假設(shè)所選取的降水量數(shù)值服從正態(tài)型分布，其概率密度分布為：對降水量進(jìn)行正態(tài)化處理，可將概率密度函數(shù)正態(tài)型分布轉(zhuǎn)換為以Z變量的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其轉(zhuǎn)化公式為： 其中，為偏態(tài)系數(shù)，為標(biāo)準(zhǔn)變量，均可由降水資料序列計算求得，即 根據(jù)上述公式通過Excle計算出A城的年旱澇指數(shù)等級與月旱澇指數(shù)等級如表1、表2。表1 A城1951-2011年旱澇的Z指數(shù)等級1951-1961564243326641962-1972431663744441973-1983224444446411984-1994237465264431995-2005547344741332006-2011444344表2A城2003-2

12、012每月旱澇的Z指數(shù)等級2003年1-12月Z值-0.69 -0.21 -0.05 -0.41 -0.02 1.34 1.07 2.23 1.05 1.47 -0.03 -0.44 等級4444433132442004年1-12月Z值-0.91 -0.39 -0.78 -0.56 0.68 1.00 2.23 1.15 0.93 -0.84 0.10 -0.47 等級5444431334442005年1-12月Z值-1.01 -0.67 -0.63 -0.52 0.37 1.26 1.91 1.12 1.26 0.01 -0.80 -0.90 等級5444432334452006年1-12月

13、Z值-0.19 -0.39 -0.78 0.04 0.50 0.73 1.67 1.51 0.27 -1.01 0.40 -0.77 等級4444442245442007年1-12月Z值-1.01 -0.51 0.49 -0.44 -0.22 0.36 1.44 2.00 -0.81 -0.37 -0.65 -0.67 等級5444443144442008年1-12月Z值-0.41 -0.90 -0.92 0.82 0.41 -0.22 2.49 0.40 0.49 -0.52 -0.53 -0.87 等級4554441444452009年1-12月Z值-1.01 -0.10 -0.40 0.

14、25 0.73 0.26 1.19 2.26 0.70 -0.63 0.21 -0.96 等級5444443144452010年1-12月Z值-1.00 -0.52 -0.45 0.34 -0.29 -0.37 1.44 1.65 1.33 -0.88 -0.94 -1.01 等級5444443235552011年1-12月Z值-1.01 -0.16 -0.88 -0.45 0.01 -0.85 0.55 1.30 2.16 0.08 1.11 -0.76 等級5454454314342012年1-12月Z值-0.93 -1.01 -0.41 0.32 -0.54 -0.71 0.80 1.6

15、1 0.99 等級554444235表3 Z指數(shù)等級判斷標(biāo)準(zhǔn)等級值類型1重澇2大澇3偏澇4正常5偏旱6大旱7重旱將表1、表2的指數(shù)等級數(shù)據(jù)與表3的等級判斷標(biāo)準(zhǔn)相對應(yīng)有如下分析：A城在1951年到2011年間共發(fā)生3次重澇，分別在1964年，1983年和2003年；6次大澇，分別在1954年，1958年，1973年，1974年，1984年，1990年。4次重旱，分別為1968年，1986年，1997年，2001年；8次大旱分別為1952年，1959年，1960年，1965年，1966年，1981年，1988年，1991年。由此可以看出A城旱災(zāi)比澇災(zāi)嚴(yán)重，但21世紀(jì)后則幾乎沒有大的旱澇情況出現(xiàn)，這

16、有可能與近10年的天氣與國家政策有關(guān)系。在近十年內(nèi)A城在秋季多為偏澇而冬季則偏旱，但旱澇災(zāi)情并不是很嚴(yán)重，這有利于國家發(fā)展與人民安居樂業(yè)的實現(xiàn)。 表4（見附錄3）為B城的旱澇情況：5次重澇，6次大澇，3次 重旱，6次大旱。和A城不同的是B城的澇災(zāi)多于旱災(zāi)，而相同的是B城在近10年內(nèi)也無大型的旱澇災(zāi)發(fā)生。5.2.3A,B兩城的相關(guān)性分析根據(jù)上述步驟利用Z值法得出A,B兩城市的旱澇等級，用SPSS軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)性分析，得出A,B兩城市的旱澇相關(guān)性為0.789。即A,B兩城市的相關(guān)性較高。即如果旱澇災(zāi)情不止與天氣有關(guān)，則A、B兩城極有可能在同一國家受同一政策影響。而根據(jù)A城旱災(zāi)比澇災(zāi)嚴(yán)重B城的澇

17、災(zāi)多于旱災(zāi)可以得出結(jié)論：A城地處內(nèi)陸而B城靠海。但根據(jù)月份的旱澇情況來看A、B兩城均為秋季澇冬季旱。下圖為一年中A、B兩城旱澇指數(shù)對比圖圖6 A、B旱澇等級由圖6可以看出A,B兩城市的旱澇程度在同一時間較相近，其中6, 7,8月都較澇，12,1月都較澇，這與數(shù)據(jù)分析所得結(jié)論一致，即AB兩城旱澇情況具有較高的相關(guān)性。 5.3模型的建立與求解5.3.1模型的建立題中要求用已知數(shù)據(jù)預(yù)測2013年到2015年兩城的旱澇，由于數(shù)據(jù)過多所以選取1991年2011年的年均降水量作為旱澇判斷標(biāo)準(zhǔn)。建立灰色預(yù)測模型，根據(jù)城1991至2011年21年的年均降水量，引入一個災(zāi)變異常值,簡稱為閥值（閥值即為臨界值），

18、本文設(shè)定旱年標(biāo)準(zhǔn)為年降水量小于年均降水量與標(biāo)準(zhǔn)差之差（即），澇年標(biāo)準(zhǔn)為降水量大于年均降水量與標(biāo)準(zhǔn)差之和(即)。把符合標(biāo)準(zhǔn)的年代挑選出來，分別定為旱年和澇年，組成序列和，建立映射則會得到這樣的一個數(shù)列：,作到的映射，當(dāng)時，令得災(zāi)變?nèi)掌诩瑢Υ诵蛄幸淮卫奂?，組成新序列，累加公式為：新序列為：此數(shù)列模型為一個變量做次累加，記為模型。用序列建立白化方程：其中，為發(fā)展灰數(shù)，為內(nèi)生控制灰數(shù)。上述一階微分方程的解（離散響應(yīng)）為：還原模型為：5.3.2模型的求解A城市近21年的平均降水量為，標(biāo)準(zhǔn)差為，本文設(shè)定旱年標(biāo)準(zhǔn)為年降水量小于，閥值為，澇年標(biāo)準(zhǔn)為降水量大于，閥值為，平A城1991年到2011年降雨量數(shù)據(jù)見

19、表5表5年份1991199219931994199519961997年均降雨量388.583565.916465.833599.083457.166523.583317.166年份1998199920002001200220032004年均降雨量651.5514.0833530.916334.833499.416794.916642.5年份2005200620072008200920102011年均降雨量607.333577.166497548.5635.416500.25588.75 作下述映射：那么，就有：作到的映射，的災(zāi)變?nèi)掌诩鶕?jù)對建立的模型，對進(jìn)行一次累加可以得到：顯然為非負(fù)單調(diào)遞增

20、，且呈現(xiàn)指數(shù)規(guī)律，設(shè)它滿足方程：設(shè)發(fā)展系數(shù)向量為，按最小二乘法求得式中： 計算出, ,因此以為初始條件，求得該微分方程的時間響應(yīng)式為：為災(zāi)變?nèi)掌诩哪Ｐ椭?，而實際預(yù)測值對做一次累減：已有的災(zāi)變?nèi)掌诩袨?個數(shù)據(jù)，下一個災(zāi)變?nèi)掌跒榈?個數(shù)據(jù)，即：已有的災(zāi)變?nèi)掌诩凶詈笠粋€數(shù)為11，則與11的差即為與11對應(yīng)的那一年即2001年的下一個旱年的時間差，也就是與2001年相隔5.67年，由于2001年是整年平均為干旱，但其中也有澇月，所以在進(jìn)行年旱澇推斷時，以起始年即2001年中干旱出現(xiàn)頻率較高的月份即12,1,2月開始算起，進(jìn)行下一個旱年的推斷起點。同樣的道理，我們也可以做作下述映射：那么，就有：作

21、到的映射，的災(zāi)變?nèi)掌诩鶕?jù)對建立的模型，對進(jìn)行一次累加可以得到：同樣運用最小二乘法，可以計算出澇年的時間響應(yīng)方程為：為災(zāi)變?nèi)掌诩哪Ｐ椭担鴮嶋H預(yù)測值對做一次累減：已有的災(zāi)變?nèi)掌诩凶詈笠粋€數(shù)為3個數(shù)據(jù)，下一個災(zāi)變?nèi)掌跒榈?個數(shù)據(jù)，即：已有的災(zāi)變?nèi)掌诩凶詈笠粋€數(shù)為14，則與14的差即為與14對應(yīng)的那一年，即2004年的下一個旱年的時間差，也就是與2004年相隔1.07年，由于2004年是整年平均為澇年，但其中也有旱月，所以在進(jìn)行年旱澇推斷時，以起始年即2004年中水澇出現(xiàn)頻率較高的月份即6,7,8月開始算起，進(jìn)行下一個澇年的推斷起點。由上述的預(yù)測中得出，天津市在2013年到2015年間6,7

22、,8月份有少許的澇災(zāi)，而無明顯的旱災(zāi)。北京市在2013年到2015年間沒有明顯的旱澇災(zāi)害。5.3.3模型的檢驗對城旱年建立的模型進(jìn)行檢驗，見表6表6 原始數(shù)據(jù)與預(yù)測數(shù)據(jù)對比原始的數(shù)據(jù)預(yù)測的數(shù)據(jù)11.395676.85521111.2508殘差：相對誤差：的均值：的方差：殘差的均值： 殘差的方差: 后檢驗差比值：由于，且通過查表可知，此模型的預(yù)測等級好，故所建灰色模型可用于本題的預(yù)測。同樣，可以分別得到A城澇年,B城旱年,B城澇年的檢驗結(jié)果：;所以灰色模型可用于本題的預(yù)測。5.3.4 結(jié)果分析預(yù)測中得出，天津市在2013年到2015年間6,7,8月份有少許的澇災(zāi)，而無明顯的旱災(zāi)。北京市在2013

23、年到2015年間沒有明顯的旱澇災(zāi)害。經(jīng)過實際數(shù)據(jù)的查找，天津：2013年降雨量411.5,2014年降雨量442.5,2015年降雨量574.4。北京：2013年降雨量578.9,2014年降雨量535.9,2015年降雨量598.1。 將預(yù)測出的結(jié)果與查詢所得實際數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)差距不是很大，所以預(yù)測結(jié)果可以較為準(zhǔn)確的反應(yīng)實際。而預(yù)測出的結(jié)果與實際數(shù)據(jù)進(jìn)行對比后出現(xiàn)了一些誤差，我們對其出現(xiàn)的原因進(jìn)行了分析。由內(nèi)部而言，可能是由于數(shù)據(jù)處理過程中處理的一些偏差，而A,B兩城的具體范圍也不是特別精確，是一個地理上的大致判斷。由外部而言，近幾年來，大氣破壞加劇，溫室效應(yīng)等的具體影響都有可能導(dǎo)致降水

24、量的變化。六、模型的評價6.1模型的優(yōu)點1.用了滑動平均法對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，去掉了不適合的點，使數(shù)據(jù)具有更高的連續(xù)性。2.根據(jù)A,B城市所給的數(shù)據(jù)推斷出其所屬的氣候帶在全球中的地理位置，進(jìn)一步具體分析出A,B具體的位置，及二者之間所具有的相關(guān)性。3.利用Z值法，給出A,B兩城的Z指數(shù)，并判斷出具體等級。4.利用灰色預(yù)測法并引入閥值進(jìn)行2013年到2015年兩城的旱澇，并根據(jù)判斷出的A,B兩城的具體位置查詢數(shù)據(jù)進(jìn)行模型的進(jìn)一步檢驗。6.2模型的缺點1.由于數(shù)據(jù)過多，所以在處理數(shù)據(jù)時經(jīng)常選用其中一部分進(jìn)行分析，使得分析結(jié)果可能在一定程度上有些誤差。2.灰色預(yù)測法中只能判斷出旱澇，而不能給出具體的數(shù)值

25、。6.3模型的推廣該類模型的計算具有很高的準(zhǔn)確性，主要可以推廣到未來天氣的預(yù)測中，提前對天氣進(jìn)行預(yù)測，發(fā)布具有一定準(zhǔn)確度的降雨信息，對于人們提前在在農(nóng)作物生產(chǎn)中，人們的生活、出行方面提供大大的便利。關(guān)注天氣變化，適當(dāng)?shù)募訙p衣物可以預(yù)防感冒，尤其在外出差，更應(yīng)該關(guān)注當(dāng)?shù)氐奶鞖鉅顩r。對于預(yù)測的雨天到來，人們可以實行一些預(yù)防性的措施，減少自然災(zāi)害對個人經(jīng)濟(jì)的損失，提前做好預(yù)防性措施。我們的出行與天氣存在密切的關(guān)系，隨時關(guān)注天氣將大大的利于我們。七、參考文獻(xiàn)1楊世剛，楊德保，趙桂香，付亞平，武捷，三種干旱指數(shù)在山西省干旱分析中的比較，高原氣象，2011,10。2謝龍生，灰色預(yù)測模型在梅州旱澇年預(yù)測中的應(yīng)用，廣東水利水電，2010,4。3 4劉強(qiáng)軍，宋方超，徐建文，候進(jìn)