數(shù)學建模垃圾分類處理

1、數(shù)學建模垃圾分類處理陳女中1問題的重述在垃圾分類收集與處理中，不同類的垃圾有不同的處理方式，簡述如下：1）櫥余垃圾可以使用脫水干燥處理裝置，處理后的干物質運送飼料加工廠做原料。不同處理規(guī)模的設備成本和運行成本（分大型和小型）見附錄1說明。2）可回收垃圾將收集后分類再利用。3）有害垃圾,運送到固廢處理中心集中處理。4）其他不可回收垃圾將運送到填埋場或焚燒場處理。所有垃圾將從小區(qū)運送到附近的轉運站，再運送到少數(shù)幾個垃圾處理中心。顯然，1）和2）兩項中，經(jīng)過處理，回收和利用，產生經(jīng)濟效益，而3）和4）只有消耗處理費用,不產生經(jīng)濟效益。1）假定現(xiàn)有垃圾轉運站規(guī)模與位置不變條件下，給出大、小型設備（櫥余

2、垃圾）的分布設計，同時在目前的運輸裝備條件下給出清運路線的具體方案。以期達到最佳經(jīng)濟效益和環(huán)保效果。2）假設轉運站允許重新設計，請為問題1）的目標重新設計。2基本假設（1）假設各小區(qū)清運站每天的垃圾量是不變的；2)假設各小區(qū)清運站的垃圾都必須在當天清理完畢；3)不考慮運輸車在行駛過程中出現(xiàn)的塞車、拋錨等耽誤時間的情況；4)不允許運輸車有超載現(xiàn)象；5)每個小區(qū)清運站均位于街道旁，保證運輸車行駛順暢；6)城區(qū)人口分為不同部分，每部分人口固定，每天產生垃圾量固定；7)一天只從小區(qū)清運站收一次垃圾(晚上或下午)；8)所有運輸車均從垃圾轉運站發(fā)車最后回到垃圾轉運站；9)運輸車將垃圾一起送往大型設備處和小

3、型設備處再前往墳埋場和焚燒場；10)大型垃圾處理廠的壽命是30年。小型垃圾處理機的壽命是10年；(11)建設在運輸垃圾過程中沒有新垃圾入站。3符號(參數(shù))說明(1) Xj(j=1,2,，k)為第j個解釋變量；(2) j(j=1,2,k)為第j個未知參數(shù)；(3) 為隨機誤差項；(4) S為多元線性回歸模型的精度；(5) Pi(xi,yi)為第i個轉運站的坐標；(6) Pj(Xj,Yj)為大型廚余垃圾處理設備建在地圖上的坐標；(7) cost1為大型垃圾處理設備每日垃圾處理費用；(8) Cost2為小型垃圾處理設備每日垃圾處理費用；(9) |A|表示A點到原點的距離，恒正(10) |B|表示B點到

4、原點的距離，恒正(11) |A-B|表示A,B兩點之間的距離,恒正(12) Ta表示A點所在地的垃圾量(13) Tb表示A點所在地的垃圾量(14) cost:耗油量；(15) T為規(guī)劃使用年限；(16) Cik為第i座收集站運往第k座中轉站單位運輸量單位距離的費用(元t-1km-1);(17) Xik為第i座收集站運往第k座中轉站的日運輸垃圾量(t-d-1);(18) Lik為第i座收集站運往第k座中轉站運輸距離(km);(19) Dkj為第k座中站運往第j座處理場單位運輸量單位距離的費用(元t-1km-1);(20) Ykj為第k座中轉站運往第j座處理場日運輸垃圾量(t-d-1);(21)

5、Skj為第k座中轉站運往第j座處理場運輸距離(km);(22) Fk為規(guī)劃期內待建中轉站的固定投資(元);(23) E為中轉站的運行成本(元t-1);(24) Qmin為中轉站建設的最小控制規(guī)模(td-1);(25) Qmax為中轉站建設的最大控制規(guī)模(td-1);5模型的構建與求解5.1問題一的建模與求解5.1.1城市生活垃圾產生量的預測表一城鎮(zhèn)垃圾產生量歷年統(tǒng)計表(萬噸)可編輯年份20012002200320042005垃圾量281.8284.7290.4296302年份20062007200820092010垃圾量321361.4357383.29413假定被解釋變量Y,與多個解釋變量X

6、i,X2,X3,Xk。之間具有線性關系，即Y0iXi2X2LkXk(8)其中Xj(j=1,2,k)為k個解釋變量，j(j=1,2,k)為k+1個未知參數(shù),為隨機誤差項。被解釋變量Y的期望值與解釋變量Xi,X2,X3,Xk的線性方程為：EY。iXi2X3LkXk(9)對于n組觀測值Y,Xii,X2i,Xki(i=1,2,，n),其方程組形式為：Y0iXii2X2iLkXkii,(i1,2,Ln)(10)即01X112X12LkXk11丫201X122X22LkXk22LLYn0iXin2X2nLkXknn其矩陣形式為Yy11X11X12X21X22LLXkiXk20112MMMMMM2MM工1X

7、inX2nLXknkn即Y=X/p(11)可編輯其中YY2¥m2為被解釋變量的觀測值向量;MYnXn1X11X21LXki1Xi2X22LXk2MMMMM為被解釋變量的觀測值矩陣;1XinX2nLXkn01k112為總體回歸參數(shù)向量;Mk為隨機誤差向量總體回歸方程為：E（丫）=XB(12)可采用最小二乘法對上式中的待估回歸系數(shù)1,2,Ln進行估計，求得值后，即可利用多元線性回歸模型進行預測了我們對多元線性回歸分析進行數(shù)學檢驗，包括回歸方程和回歸系數(shù)的顯著性檢驗。a.回歸方程的顯著性檢驗，采用統(tǒng)計量：FU/mQ/nm1n2式中；UYjYj為回歸平方和，其自由度為m；(13)QYjYj為

8、剩余平方和，其自由度為(n-m-1)。i利用上式計算出F值后，再利用F分布表進行檢驗。給定顯著性水平a,在F分布表中查出自由度為m和(nm1)的值Fa,如果F>Fa,則說明Y與Xi,X2,LXm的線性相關密切；反之，則說明兩者線性關系不密切。b,回歸系數(shù)的顯著性檢驗，采用統(tǒng)計量：2b/CFtii(14)Q/nm1式中，C"為相關矩陣CA1的對角線上的元素。對于給定的置信水平，查F分布表得Finm1,若計算值RFa,則拒絕原假設，即認為Xi是重要變量，反之,則認為Xi,變量可以剔除。多元線性回歸模型的精度，可以利用剩余標準差S,Q/(nm1)(15)來衡量。S越小，則用回歸方程預

9、測Y越精確；反之亦然。采用matlab軟件編程進行城市生活垃圾量多元線性回歸模型預測(預測代碼見附錄1)0表二為訓練結束后預測值與統(tǒng)計值的對比表，精度達到要求后用訓練好的模型來預測深圳市2011-201升城市生活垃圾產生量，預測結果見表311。在matlab軟件中運行代碼后得到生活垃圾產生量的回歸方程為：Y=38.7965+0.25178xXl+0.10508xx2-0.0574xx3+O.1292xx4-00138xx5+20.8016xx6-00095xx7+0.0066xxs一3.1460xx9方差估計：S=25.7642回歸方程的顯著性檢驗F統(tǒng)計量，F(xiàn)=72.3187,所以拒絕假設，即

10、回歸模型成立。表二線性回歸模型預測值與統(tǒng)計值對比表年份20012002200320042005預測值280.12288.24291.97300.89308.02統(tǒng)計值281.80284.70290.40296.00302.00年份20062007200820092010預測值314.79359.58358.08390.34411.29統(tǒng)計值321.00361.40357.00383.29413圖一線性回歸模型預測值與統(tǒng)計值對比分析圖從表二及圖一可以看出，多元線性回歸模型對歷史值的擬合程度較高，預測精度是可以接受的，多元線性回歸模型預測值比較接近深圳市城市生活垃圾實際產生量，稍微偏局。表三201

11、1-2015年深圳市城市生活垃圾產生量多元線性回歸模型預測值年份20112012201320142015預測值（萬噸）397.3413.0429.0445.3461.85.1.2大小型廚余垃圾設備規(guī)劃5.1.2.1 模型的建立題目要求給出大、小型設備（櫥余垃圾）的分布設計。由于大型廚余垃圾處理設備處理能力為200噸/日，投資額約為4500萬元，運行成本為150元/噸。而每個轉運站的垃圾數(shù)量有限，所以大型廚余垃圾處理設備必須在圖上重新選址建設。小型餐廚垃圾處理機，處理能力為200-300斤/日，投資額約為28萬元，運行成本為200元/噸。所以小型垃圾處理機可以設置在垃圾中轉站內。根據(jù)表四用mat

12、lab6.5編程作圖二（程序見附錄三）表四中轉站坐標名稱中轉站廚余垃圾量Xy名稱中轉站廚余垃圾量xyP1立1109.8622.18P19立19164.8912.06P2立2108.0421.69P20立20257.5511.96P3立388.3420.92P21立21205.8611.43P4立M3012.4420.39P22立22359.8811.38P5立556.9719.8P23立233011.7711.67P6立6516.0817.77P24立24305.4310.85P7立71014.3317.48P25立25205.7610.17P8立81014.3417.24P26立26158.

13、1810.65P9立92010.917.43P27立273011.0810.22P10立102510.6416.51P28立28155.529.39P11立11209.8816.37P29立29208.769.15P12立12404.8912.08P30立30155.768.96P13立13159.215.06P31立31254.58.23P14立142010.8513.9P32立32307.365.28P15立1556.1514.43P33立33159.116.85P16立161512.3513.66P34立34307.074.6P17立17257.9213.12P35立357014.531

14、1.09P18立18107.8913.12P36立36156.638.72P37立37256.259.73P38立38403.394.94圖二中轉站坐標圖從圖表可知每個垃圾轉運站的坐標Pi(xi,yi),假設大型廚余垃圾處理設備建在地圖上的Pj(Xj,Yj)。所以對于每個垃圾中轉站來說有兩種情況：(1)在站內設置垃圾處理機。(2)把垃圾運往大型廚余垃圾處理廠進行處理。從中選擇最優(yōu)方案，從而確定垃圾大型垃圾處理站的位置。假設大型垃圾處理廠的壽命是30年。小型垃圾處理機的壽命是10年。大型垃圾處理設備的平均每噸耗損成本=45000000/(30*365*20。=20元/噸小型垃圾處理設備的平均每噸

15、耗損成本=280000/(10*365*0.3)=256元/噸2.5噸汽車，每車耗油20L-35L70#汽油/百公里。每升70#汽油價格為7.2元司機月薪平均3500元。如果運往大型垃圾處理設備廠，則每日垃圾處理費用(cost。=平均每日設備耗損成本+運輸費用+司機工資+垃圾處理費用。如果在垃圾轉運站設置小型垃圾處理機，則每日垃圾處理費用(cost2)=平均每日設備耗損成本+垃圾處理費用要確定大型垃圾處理廠的位置，需要計算出選擇第1種方案的點根據(jù)以上條件建立模型：s(i)Cost1=7.235J(x(j)x(i)2(y(j)y)22(s2.5)350030(15020)Cost2=(25620

16、0)s(i)Cost1<=Cost2求解Pj(Xj,Yj)的范圍。其中s(i)為第i個垃圾站的每日廚余垃圾量。5.1.3清運方案設計5.1.3.1 模型的建立垃圾運輸問題最終可以歸結為最優(yōu)路徑搜索問題，用計算模擬搜索，可以搜尋到令人滿意的可行解。先注意到兩點的情況，設兩點分別為A(x1,y1),B(x2,y2)主要有以下兩種情況：一.A,B明顯有先后次序。-遞減狀態(tài)(如圖二)不妨設x1>x2,y1>y2不難看出A在B的后方，即A比B遠。對于前方參考點O,要將A,B對應垃圾點的垃圾全部取回再返回O,一共有三種方式：1. O->A->O,O->B->O單獨

17、運輸。這種情況下，總的路程消費等于空載運行費用（20L/百公里）與裝載時運行費用（20+6*Ta）L/百公里）的總和。于是有：Cost=20*|A|+（20+6*Ta）*|A|+20*|B|+（20+6*Ta）*|B|2. O->A->B->O先遠點再近點，即先空載至最遠處，裝完A點垃圾后再返回至B,再回。點，有：Cost=20*|A|+（20+6*Ta）*|A-B|+（20+6*（Ta+Tb）*|B|=20*|A|+1.8*|A|*Ta+1.8*|B|*Tb3. O->B->A->O先近點在遠點，即先裝B點垃圾，然后載著B點的垃圾奔至A點，再回O點，有：C

18、ost=20*|B|+（20+6*Tb）*|A-B|+（20+6*（Ta+Tb）*|A|=20*|B|+（20+6*Ta）*|A|+（20+6*Tb）*|B|+（20+6*Tb）*|A-B|*2比較以上三種情況，遠近點的遍歷順序，可以看出，“先遠后近”絕對比“先近后遠在花費錢的數(shù)量上要少的多，省出（20+6*Tb）*|A-B|*2這部分的錢主要是車載著B點的垃圾奔到A點再返回B點。而又注意到兩者的時間花費是相等的。所以在其余同等的情況下選擇“先遠后近”?？紤]單獨運輸比其余的兩種運輸花費的錢仍不比“先遠后近”省，還多了20*|B|，所以一般情況下，不采用單獨運輸。二A，B兩點沒有明顯先后順序。-

19、并鄰狀態(tài)（如圖三）圖三還是一共有三種情況：1, O->A->O,O->B->O單獨運輸。這種情況下，跟A,B兩點有先后順序中的情況完全相同，即有:Cost=20*|A|+(20+6*Ta)*|A|+20*|B|+(20+6*Ta)*|B|2, O->A->B->OCost=20*|A|+(20+6*Ta)*|A-B|+(20+6*(Ta+Tb)*|B|-13.O->B->A->OCost=20*|B|+(20+6*Tb)*|A-B|+(20+6*(Ta+Tb)*|A|-<2>相比之下，清晰可見并鄰狀態(tài)下的單獨運輸所花的費用

20、最少，所以在不要求時間的情況下對于并鄰兩點，采用單獨運輸?shù)姆绞阶罟?jié)約錢。用<1>式與<2>式相減，得到如下判斷式：6*(Ta-Tb)*|A-B|+6*(Ta+Tb)*(|B|-|A|)-<3>上式<0時，選0->A->B->O;上式>0時，選O->B->A->O;3, =0時，任意選上述兩路線。兩點選擇趨勢的討論。(如圖四)圖四由圖中看到B,C兩點沒有明顯的先后順序，屬于并鄰點。因為當運輸車載重行駛時費用會成倍的增長，比其空載時所花費用要大的多，所以排除A->B->C或A->C->B這樣

21、的一次經(jīng)過3點的往返路線，僅選擇B,C中的某一點與A完成此次運輸，將另一點留到下次。那么A點選擇B還是C呢？不妨假設|B|>|C|,即B點離原點的距離比C點的更遠，因為A在B,C之后，所以也就是B點離A點更近。這樣，此次的運輸我們更趨向于選擇A->B,因為就這三點而論，A無論是選B還是C,三點的垃圾總要運完，所以花費的錢是一樣的。但選擇A->B后,下次運輸車運C點垃圾時就無需跑的更遠。綜上所述，得出搜索的基本原則：1 .在兩點遞減的情況下，不采用單獨運輸；2 .在其余同等的情況下選擇“先遠后近”；3 .不要求時間的情況下對于并鄰兩點，采用單獨運輸?shù)姆绞阶罟?jié)約錢；一般情況下用式

22、<3作判斷；4 .車在裝的足夠多的情況下應該直接返回中轉站；5 .每一次布局和每條線路的搜索不妨由剩下未搜點中的最大值開始四.關于垃圾點的垃圾是否一次清除的討論這里說的一次消除問題不是指一天，而是指當一輛運輸車已經(jīng)裝載了足夠多的垃圾，不能完全清理下一個垃圾點的時候，車在下一個站點“停還是不停”的問題。例如,一輛運輸車選擇了某段路線后，當清運完前幾個點后，未達到飽和，但下一個點的垃圾量又裝不完，那么此車是直接返回呢，還是繼續(xù)裝直至車裝滿為止呢？我們判斷前者更好，就是車在裝的足夠多的情況下應該直接返回原點。這是因為對于下一垃圾點（假設為A點）內的垃圾而言，無論是一次裝完還是分兩次裝完，將它們運回所花費用是恒定的。整體而言，兩者花費的錢是相等的，但分兩次裝要多花裝車時間,所以選擇前者。