解不等式和數(shù)形結(jié)合解含參數(shù)不等式

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載數(shù)形結(jié)合解不等式和數(shù)形結(jié)合解含參數(shù)不等式問題教案（新授）一、 教學(xué)任務(wù)分析：教知識技能要求學(xué)生了解數(shù)形結(jié)合的基本思路、理解數(shù)形結(jié)合的含義及其與不等式的結(jié)合學(xué)數(shù)學(xué)思考深入體會抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形之間的關(guān)系目解決問題學(xué)會使用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式及含參數(shù)的不等式問題標(biāo)情感態(tài)度通過由淺入深的教學(xué)方法增加學(xué)生的求知欲重點(diǎn)抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形之間的轉(zhuǎn)化解決不等式問題難點(diǎn)利用數(shù)學(xué)結(jié)合思想分析數(shù)學(xué)問題二、教學(xué)過程設(shè)計(jì)、課題引入C<0，試比較 C,2C , 1C1、引例：已知的大小2分析 這是比較數(shù)值大小問題，用比較法會在計(jì)算中遇到一定困難，在1x同一坐標(biāo)系中，畫出三

2、個函數(shù)：y1 x, y22x , y3的圖象位于 y 軸2左側(cè)的部分，（如圖）很快就可以從三個圖象的上、下位置關(guān)系得出正確的結(jié)論：C2C 12C。2、學(xué)生思考后教師指出：數(shù)形結(jié)合是通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)助形”，把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來思考，也就是將抽象思維與形象思維有機(jī)地結(jié)合起來，解決問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。它能使抽象問題具體化、復(fù)雜問題簡單化。數(shù)形結(jié)合的基本思路是：根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的特性和規(guī)律，解決數(shù)的問題；或?qū)D形信息轉(zhuǎn)化成代數(shù)信息，使解決形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題。數(shù)形結(jié)合思想在高考中占有非常重要的地位，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題，通

3、常從以下幾個方面入手：函數(shù)與函數(shù)圖象；不等式與函數(shù)圖象；曲線與方程；參數(shù)本身的幾何意義；代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；概念自身的幾何意義；可行域與目標(biāo)函數(shù)最值。其中不等式、參數(shù)問題與最值問題是本節(jié)課的研究重點(diǎn)。、探索新知例 1 解不等式x2xx0x0解：原不等式等價(jià)于( I )x20或 ( II )，x2 x2x 20解得 (I)0x 2；(II ) 2 x 0綜上可知，原不等式的解集為 x |2x2另解： y1x 2，y2 x ，則原不等式的解就是使y1x 2 的圖象在 y2x 的上方的那段對應(yīng)的橫坐標(biāo)，故由圖象可知解集為 x |2x2.例 2若關(guān)于 x 的方程 x 解：解法一：令 f (x) = x2

4、2+ 2kx + 3k = 0 的兩根都在 - 1 和 3 之間，求 k 的取值范圍 .+ 2kx + 3k ，yB其圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程f (x) = 0 的解，由 y = f (x) 的圖f (- 1) > 0f (3) > 0象可知，要使兩根都在-1 和 3 之間，只需- 1 < - k < 3 ， k (- 1， 0.4k2 - 12k 0解法二：設(shè)函數(shù)23f (x) = x ， g(x) = - 2k(x +)，問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖2APOx學(xué)習(xí)必備歡迎下載象的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)必須在-1和3之間.畫出兩函數(shù)圖象（如圖），而PA 、PB 的斜率相等，

5、都是2， 0 - 2k < 2 ，即 k(- 1 ，0例 3 求函數(shù) u =2t + 4 +6 - t 的最值 .分析 由于等式右端根號內(nèi)同為t 的一次式，故作簡單換元，設(shè)2t + 4 = m，無法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)求最值；倘若對式子平方處理，將會把問題復(fù)雜化，因此該題用常規(guī)解法顯得比較困難，考慮到式中有兩個根號，故可采用兩步換元。解：設(shè) x =2t + 4 ， y =6 - t， u = x = y ，且 x 2 + 2y 2 = 16 (0 x 4， 0 y 2 2)，所給函數(shù)化為以u 為參數(shù)的直線方程y = - x + u ，它與橢圓 x 2 +2y 2 = 16 在第一象限的部分

6、(包括端點(diǎn) )有公共點(diǎn) (如圖 )時 u min = 22；當(dāng)直線與橢圓相切于第一象限時，u 取最大值 .由y = - x + u得 3x24ux + 2u216 = 0，x2+ 2y2= 16解 =0得 u = ± 26，取 u = 26，即 u max = 2 6.、鞏固練習(xí)練習(xí)一： 解不等式2x 5 x1（學(xué)生作答，教師總結(jié)）解法一（用代數(shù)方法求解），此不等式等價(jià)于：2x502x50 或 x10x10解得：5x1或 1 x 2222x5x1故原不等式的解集是x5x22解法二 （采用圖象法）設(shè) y2x 5， y 22 x5 ,x5 , y022對應(yīng)的曲線是以A5 ,0 為頂點(diǎn)，開

7、口向右的拋物線的上半支而函數(shù)y=x+1 的圖象是一直線2解方程 2x 5x 1可求出拋物線上半支與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，取拋物線位于直線上方的部分，故得原不等式的解集是5x2 x2借助于函數(shù)的圖象或方程的曲線，引入解不等式（或方程）的圖象法，可以有效地審清題意，簡化求解過程，并檢驗(yàn)所得的結(jié)果練習(xí)二： 已知 x， y 滿足x2y21 ，求 y3x 的最大值和最小值。1625分析：對于二元函數(shù)y3x 在x2y2161 限定條件下求最值問題，常采用構(gòu)造直線的截距的方法來求之。25令 y 3x b ，則 y3xb ，原問題轉(zhuǎn)換為：在橢圓x2y211625上求一點(diǎn)，使過該點(diǎn)的直線斜率為3，且在 y 軸上

8、的截距最大或最小。由圖形所知， 當(dāng)直線 y3x b 與橢圓 x2y21相切時， 有最大1625學(xué)習(xí)必備歡迎下載截距與最小截距。y3x bx2y 2169x296bx 16b 2400 016125由0，得 b±13，故 y 3x的最大值為 13，最小值為 13。、歸納小結(jié)1數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，使用數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡捷。所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法。數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)

9、學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合。2實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系；函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。3縱觀多年來的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”。4數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，在解不等式問題中、參數(shù)問題及最值問題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要爭取胸

10、中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。、作業(yè)1若不等式x + ax( a > 0)的解集為x|m x n ，且 |m n| = 2a，則a的值為A. 1解：畫出y =B. 2x + a及C.3D.4y = x 的圖象，依題意，m = - a， n = a，從而x + a = a =>a = 0 或 a = 2，選 B.2若 x (1，2)時，不等式 (x 1) 2 < log ax 恒成立，則 a 的取值范圍為 A. （ 0，1） B. （1， 2） C. （ 1， 2D. 1 ，2解：令 y 1= (x 1)2 ， y 2 = log ax，若 a>1，兩函數(shù)圖象如

11、圖所示，顯然當(dāng) x (1， 2)時，要使 y 1 < y 2，只需使 log a2 (2 1) 2，即 a 2，當(dāng) 1 < a 2 時，不等式 (x 1) 2 < log a x 對 x (1，2) 恒成立。若 0 < a < 1，兩函數(shù)圖象如下圖所示，顯然當(dāng)x (1，2) 時，不等式 (x 1) 2 < log ax 恒不成立，可見應(yīng)選C.3f (x) = x 2 + bx + c 對任意實(shí)數(shù) t 都有 f (2 + t) =f (2 t)，則 f (1)、f (- 3)、f (4)由小到大依次為 _。解：由 f (2 + t) = f (2 t)知，f(x) 的圖象關(guān)于直線x=2 對稱，又 f (x) = x 2 +bx + c 為二次函數(shù)，其圖象是開口向上的拋物線，由f(x) 的圖象，易知 f(1) < f (4) < f (- 3).學(xué)習(xí)必備歡迎下載4. 若 對 于 滿 足 x2y22 y0 的 一 切 實(shí) 數(shù)x 、 y ， 不 等 式x y m 0 恒成立，求實(shí)數(shù)