第四章 圖像變換

1、遙感數(shù)字圖像處理基礎(chǔ)北京大學(xué)遙感所1 第四章圖像變換第4章圖像變換北京大學(xué)遙感所2 圖像變換問(wèn)題的提出 傅立葉變換 離散傅立葉變換 傅立葉變換的性質(zhì) 快速傅立葉變換 離散余弦變換（DCT）4.1 問(wèn)題的提出 圖像變換的意義簡(jiǎn)化問(wèn)題、解決問(wèn)題和利于圖像壓縮。以對(duì)數(shù)變換、降噪為例：原圖像：頻譜圖：傅氏變換北京大學(xué)遙感所34.1 問(wèn)題的提出北京大學(xué)遙感所4正交變換的提出實(shí)現(xiàn)任意信號(hào)的分解。將函數(shù)寫(xiě)成下式：f (x) c00 (x) c11 (x) c22 (x) . cnn (x) . cnn (x)n0返回4.1 問(wèn)題的提出。數(shù)學(xué)中有“按正交函數(shù)展開(kāi)”的方法，可以圓滿(mǎn)地解決這個(gè) 問(wèn)題。基底函數(shù)：例

2、如三角函數(shù)、復(fù)指數(shù)函數(shù)。 離散正交函數(shù) 系有沃爾什（Walsh）函數(shù)實(shí)現(xiàn)任意信號(hào)的分解方法：正交函數(shù)展開(kāi)。問(wèn)題能否選擇一種合適的基底函數(shù) n (x)能否很方便地求出系數(shù)cn。北京大學(xué)遙感所54.1 問(wèn)題的提出是 ：振幅。利用三角函數(shù)系或復(fù)指數(shù)函數(shù)系展開(kāi)的函數(shù)級(jí)數(shù)，是傅立 葉級(jí)數(shù)；2n 1af ( x ) 0 (a ncos n x bnsin n x )式中 an ，bn 是傅立葉系數(shù)， 為基頻，與周期 l或頻率 的關(guān)系 2 / l 2。an cos 2nx bn sin 2nx An cos(2nx n )2北京大學(xué)遙感所6An an bn2 ,相位 n arctg (bn / an ),

3、諧波分量 4.1 問(wèn)題的提出北京大學(xué)遙感所7總結(jié)：傅立葉級(jí)數(shù)是研究周期信號(hào)的重要數(shù)學(xué)工具； 意義：將一個(gè)復(fù)雜的周期性信號(hào)分解成簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)諧波。并可 以利用頻譜圖直觀(guān)地對(duì)信號(hào)各諧波分量的組成以及占有的比 重進(jìn)行分析。4.1 問(wèn)題的提出 頻譜圖：頻率是信號(hào)所固有的。北京大學(xué)遙感所84.2 傅立葉變換對(duì)非周期函數(shù)的傅立葉展開(kāi)式，采用傅立葉積分，周期無(wú)限大。傅立葉積分是傅立葉級(jí)數(shù)取極限得到的。得出傅立葉變換公式。北京大學(xué)遙感所94.2 傅立葉變換北京大學(xué)遙感所101、一維連續(xù)傅立葉變換設(shè)f(x)為x的函數(shù)，如果f(x)滿(mǎn)足下面的狄里 赫利條件:1）具有有限個(gè)間斷點(diǎn)；2）具有有限個(gè)極值點(diǎn)；3）絕對(duì)可積。

4、則有下式成立：其中j2= -1 傅立葉變換是一個(gè)線(xiàn)性積分變換f (x)e j 2 uxdx f (x) F (u) 4.2 傅立葉變換北京大學(xué)遙感所11F (s)e j 2 uxdu1f (x) F (u) 傅立葉反變換：傅立葉變換對(duì)：f (x) F (u)傅立葉變換是互逆的，唯一的。如果沒(méi)有這一性質(zhì)，就不能將一個(gè)時(shí)域的函數(shù)變換為頻域進(jìn)行分析， 再變換回時(shí)域。4.2 傅立葉變換f(x) 傅立葉變換的復(fù)函數(shù)表示F（u） R（u） jI（u）式中R(u)和I(u)分別是F(u)的實(shí)部和虛部 寫(xiě)成指數(shù)形式：F（u） F （u） e j（u）其中：F （u）R（2u） I （2u）F （u）是f（x）

5、傅里葉譜或稱(chēng)變換的幅值（u）是傅里葉變換的相角北京大學(xué)遙感所12 R（u）（u） tg 1 I（u） 4.2 傅立葉變換函數(shù)的能量譜u） I （2u）北京大學(xué)遙感所13E（u） F （u）2 R（2變量 x的變化范圍稱(chēng)為空間域或者空域. 變量 u 的變化范圍稱(chēng)為頻率域或者頻域。例如：高斯函數(shù)的傅立葉變換：2高斯函數(shù)為： f (t) et4.2 傅立葉變換北京大學(xué)遙感所142222222du進(jìn)行傅立葉變換2e t e j 2 ut dte u u2e (t ju ) dte ue u 1F (u) e uF (u) e uF (u) 等式右邊乘以e u則可得F (u) e進(jìn)行變量替換u t ju

6、, du dt因?yàn)閐u1所以即高斯函數(shù)的傅立葉變換也是 一個(gè)高斯函數(shù)4.2 傅立葉變換北京大學(xué)遙感所15二維傅立葉變換：連續(xù)傅立葉變換：二維函數(shù)的傅立葉變換和反變換分別定義為：f (x, y)e j 2 (uxvy ) dxdyF (u, v) f (x, y) F (u, v)e j 2 (uxvy ) dudv其中f (x, y)是一幅圖像，F(xiàn) (u, v)是它 的傅立葉變換。u、v是傅立葉變換的 空間頻率。4.2 傅立葉變換二維函數(shù)傅立葉變換的指數(shù)形式：F （u，） 其中，振幅譜F （u，） R（2 u，） I（2 u,）F （u，） e j（u，）相角北京大學(xué)遙感所161R(u,) I

7、(u,) (u,) tg能量譜u，）u，） I （2E（u，） R（24.2 傅立葉變換傅立葉變化的幅度譜和相位譜相位譜圖北京大學(xué)遙感所17原圖幅度圖4.2 傅立葉變換傅立葉變化的頻譜圖原圖像北京大學(xué)遙感所18頻譜圖4.2 傅立葉變換傅立葉傅立葉變換中的幅度譜與相位的圖例經(jīng)典位圖幅度譜圖幅度譜復(fù)原圖（相位為零）北京大學(xué)遙感所194.2 傅立葉變換傅立葉變換經(jīng)典位圖相位譜圖相位復(fù)原圖（幅度設(shè)為常數(shù)）北京大學(xué)遙感所204.2 傅立葉變換北京大學(xué)遙感所21可以總結(jié)兩條結(jié)論：（1）幅度譜決定了一幅圖像中含有的各種頻率分量的多少（2）相位譜決定了每一種頻率分量在圖像中的位置。 只要每一種頻率分量保持在圖

8、像中的正確位置，那么圖 像的完整性就能得到很好的保持，這也就是為什么在信號(hào) 或圖像處理中通常只對(duì)幅度譜進(jìn)行處理的原因。4.3 離散傅立葉變換北京大學(xué)遙感所22f(x)中取出N個(gè)等間隔點(diǎn)作為取樣點(diǎn)，將f(x)離散化為一 個(gè)序列： f (x0 ), f (x0 x, f (x0 2x) f (x0 N 1x)定義：x可以看作是離散變量f (x) f (x0 xx)則序列 f (0), f (1), f (2), f (N 1)可以用來(lái)表示連續(xù)函數(shù)的任意N個(gè)等間隔的取樣值.4.3 離散傅立葉變換離散傅立葉變換示意圖0f(x)xNxF(u)01/ xx.s(x).1/ u1/ u0u.S(u)u0北京

9、大學(xué)遙感所234.3 離散傅立葉變換離散傅立葉變換示意圖0f(x)*s(x)N1/ux.u.0F(u) s(u)Nu1/x北京大學(xué)遙感所24.4.3 離散傅立葉變換離散傅立葉變換對(duì)1北京大學(xué)遙感所25N j 2 ux / NF (u) N 1 f (x)ex0式中N 1f (x) F (u)e j 2 ux / Nu 0u 0,1, 2, N 1.x 0,1, 2, .4.3 離散傅立葉變換1N二維離散變換對(duì):如果f(x,y)是一個(gè)NN的（就像用等間距的矩形網(wǎng)格,對(duì)一個(gè)二維 連續(xù)函數(shù)采樣所得的）數(shù)組，則它的二維離散傅立葉變換為：N 1 N 1 j 2 (uxvy ) / Nx0 y0F (u,

10、 v) f (x, y)e式中：離散傅立葉反變換為：式中：u 0,1, 2, N 1. v 0,1, 2, N 1.x 0,1, 2, N 1. y 0,1, 2, N 1.1北京大學(xué)遙感所26Nj 2 (uxuy ) / Nf (x, y) N 1 N 1 F (u, v)eu 0 v04.3 離散傅立葉變換f(x,y)xy北京大學(xué)遙感所27xy4.3 離散傅立葉變換V2WVU2Wu1/x圖像采樣的頻域示意圖北京大學(xué)遙感所284.4 傅立葉變換的性質(zhì)北京大學(xué)遙感所29傅立葉共扼表示可以證明下式成立：u）e j 2uxdxF（F（u）ej 2uxdu j 2 uxf（ x） F （ u ） e

11、du u） e j 2ux duF（f（x） 逆變換可以看成是 f（ x）的正變換傅立葉共扼表達(dá)式的意義：解決 計(jì)算機(jī)處理傅立葉逆變換的問(wèn)題先做傅立葉正變換 然后求共扼，即可得出原函數(shù)。簡(jiǎn)化傅立葉逆變換的程序編制。4.4 傅立葉變換的性質(zhì)北京大學(xué)遙感所30可分離性：二維離散傅里葉變換可表示它的分離形式同理，反變換也可以寫(xiě)成分離形式 1N 1 N y0j 2vy/ Nf（x，y）eF（x,v） NN 1x 0F ( x , v )e 1NF (u , v ) j 2 ux / N4.4 傅立葉變換的性質(zhì)北京大學(xué)遙感所31線(xiàn)性性質(zhì)：f （1x, y） f （21x, y）的傅里葉變換分別為 F （

12、 u , ） F2 (u ,） , a, b是兩個(gè)標(biāo)量，則a（f1x, y ) bf 2 ( x, y ) aF1 (u , ) bF2 (u , )所以，傅立葉變換是線(xiàn)性積分變換，滿(mǎn)足線(xiàn)性疊加原理 也可以稱(chēng)為加法原理，但對(duì)乘法一般不滿(mǎn)足。4.4 傅立葉變換的性質(zhì)北京大學(xué)遙感所324.4 傅立葉變換的性質(zhì)北京大學(xué)遙感所33位移定理000 f (x x ) f (x x )e j2uxdx進(jìn)行變量替換S x x0 , ds dx,可得： f (x x )空間位移變化：已知 f（x） F(u)如果自變量x在空間有一位移（x x0）,0 F (u ) j 2 uxf (s)e j 2u(sx0 )d

13、s e4.4 傅立葉變換的性質(zhì)幅值不變幅角變化F 2 (u)F （u）e j 2ux0同樣適用于二維傅立葉變換平移特性可以看出：時(shí)（空）域的信號(hào)平移不改變其頻率成分 及幅度，而只改變了相位譜，再一次證明了以上的結(jié)論：相位譜決定了圖像信號(hào)中各頻率分量的位置。0 j 2ux則有f（x x0） F (u)eF(u)e j2ux0 F(u) e j (u)2ux0 北京大學(xué)遙感所344.4 傅立葉變換的性質(zhì)北京大學(xué)遙感所35對(duì)于二維離散傅立葉變換，有下式成立：y0 ) / N j 2 (ux0 f（x x0 , y y0） F (u,)e應(yīng)用:f(x)在空間平面的原點(diǎn)移位到(x0,y0),求其傅立葉變

14、換時(shí),只需在原傅氏變換結(jié)果后乘以4.4 傅立葉變換的性質(zhì)北京大學(xué)遙感所36則有二 維相當(dāng)于在時(shí)域乘上一個(gè)周期信號(hào)，所以頻率特性又稱(chēng)為調(diào)制特性.頻率位移變化如果 F （ u ）的頻率變量u移動(dòng)了一個(gè)距離 u 00 F (u u0 )j 2u xf（x）e F (u u0 , 0 )j 2 (u0 x0 y ) / Nf（x, y）e4.4 傅立葉變換的性質(zhì)北京大學(xué)遙感所37應(yīng)用利用頻移方法,消除圖像背景上觀(guān)測(cè)到的周期性干擾 信號(hào);e j 2 (u0 x0 y ) / N ej (x y)（1 ）( x y )（1 ）( x y )可簡(jiǎn)單的用乘以f（x, y）當(dāng) u0 N / 2 時(shí),有下式: v

15、0則f（x, y） 的傅氏變換的原點(diǎn)就移到屏幕中央了4.4 傅立葉變換的性質(zhì) 1北京大學(xué)遙感所38a即： f (ax) 1 F ( u )aa f (ax) 令u ax, du adx,可得：相似性定理 相似性定理描述了函數(shù)自變量的尺度變化對(duì)其傅立葉變換的作用。改變一個(gè)函數(shù)的自變量會(huì)將一個(gè)函數(shù)展寬或壓 縮。f (u)e j 2u (u / a ) du f (ax) f (ax)e j 2uxdx，作變量替換4.4 傅立葉變換的性質(zhì)由上面相似性定理可得：北京大學(xué)遙感所394.4 傅立葉變換的性質(zhì)北京大學(xué)遙感所40幾點(diǎn)說(shuō)明此定理說(shuō)明為什么圖像細(xì)節(jié)和邊緣是高頻分量；也稱(chēng)為時(shí)間尺度改變特性時(shí)間尺度壓

16、縮，頻譜的頻帶加寬，幅值壓低時(shí)間尺度擴(kuò)展，頻帶變窄，幅度增高，N為周期,按傅里葉變換的定北京大學(xué)遙感所414.4 傅立葉變換的性質(zhì)周期與共軛對(duì)稱(chēng)性以（ u N）代替 u（,義，有下式： N）代替 F（u N, N） F（u,）表明 f(x,y) 振幅譜具有周期性，從而導(dǎo)出共扼對(duì)稱(chēng)性。 上式取共扼：N 1 N 1x 0 y 0f ( x, y)e 1Nj 2 (ux y ) / NF（u N , N） 可以用于圖像數(shù)據(jù)壓縮N u, N ） F (u,)則有 F（4.5 快速傅立葉變換前面的討論可知，離散傅立葉變換的直接計(jì)算量是很大的，需要N*N次復(fù)數(shù)乘法和N（N-1）次復(fù)數(shù)加法。近半個(gè)世紀(jì) 來(lái)，

17、人們研究了很多有效的快速計(jì)算方法，稱(chēng)為FFT（Fast Fourier Transform）而對(duì)于圖像處理而言，我們用到最多的是二維傅立葉變換1 12 2北京大學(xué)遙感所421212NNf (n , n )eN j 2 ( k n k n )n1 0 n2 0N 1F (k , k ) 1N 1 0 N 1 N 1 1 N 01 （，） NN4.5 快速傅立葉變換北京大學(xué)遙感所43圖像的快速傅立葉變換的算法步驟：求出每個(gè)點(diǎn)的灰度值求出每一行的一維FFT，并存儲(chǔ)在中間矩陣數(shù)組里求出中間數(shù)組的每一列的FFT，得到的結(jié)果就是二維的FFT為了顯示二維圖像的幅值，可以求出每一個(gè)圖像點(diǎn)的復(fù)數(shù) 的幅值|H(u

18、,v)|將幅值做對(duì)數(shù)變換D(u,v)=Lg(1+|H(u,v)|),最后量化成可顯 示的0255之間的數(shù)值。輸入NN1=N-1I=1 J=1I=J?T=A(J) A(J)=A(I) A(I)=TK=N/2K=J?J=J+K I=I+1I=N1J=J-K K=K/2YES北京大學(xué)遙感所44NONOYESYESNO4.5 快速傅立葉變換算法流程圖4.6 離散余弦變換根據(jù)傅立葉變換的性質(zhì)，若變換函數(shù)是連續(xù)的實(shí)的偶函數(shù)，則可用離 散余弦變換。為構(gòu)成偶函數(shù)，首先將原始圖象變換為圖3-10所示的圖象（原圖象翻 折）：北京大學(xué)遙感所454.6 離散余弦變換將上述圖象進(jìn)行傅立葉變換可得到離散余弦變換：這里:考慮到偶函數(shù)的性質(zhì)，上述表達(dá)式可寫(xiě)成：12 N2 22NN 1N 1 j 2 u ( x 1 )v( y 1 )F (u, v) f (x, y)ex N y Nu, v N , 1, 0,1, N 1.2北京大學(xué)