浙江工商大學2011年希望杯大學生數學建模競賽

1、浙江工商大學2011年“希望杯”大學生數學建模競賽模擬練習題一、金融投資方案某公司在金融投資中，需要考慮如下兩個問題：1）準備用數額為1000萬元的資金投資某種金融資產（如股票，外匯等）。它必須根據歷史數據估計在下一個周期（如1天）內的損失的數額超過10萬元的可能性有多大，以及能以95%的置信度保證損失的數額不會超過多少。2）如果要求在一個周期內的損失超過10萬元的可能性不大于5%，那么初始投資額最多應為多少。下面是該公司在過去一年255個交易日的日收益額（單位為萬元）的統(tǒng)計數據, 假定每天結算一次，保持每天在市場上的投資額為1000萬元：收益額333231302928272625242322

2、21201918天數1111121214026347收益額171615141312111098765432天數58571014819911111410668收益額10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14天數9593741625532210收益額-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30天數1000000100100000要求：1） 參考以上數據，建立模型來解決前述的兩個問題；2） 討論二周期情形（如今后兩天內）上述兩個問題的答案。陳述上述兩個問題的一般形式（即初始投資額為M, 限定損失額為L, 置信度為 1-,

3、 T 個周期）及其解決方案。二、郵票面值系統(tǒng)英國皇家郵局將信分為兩類，第一類信件要求在收信后的第二個工作天投到，第二類信件要求在收信后的第三個工作天投到，最近一次郵資調整以后，兩類信件的郵資如下表所示。 英國傳統(tǒng)使用的郵票有以下面值：1便士，2便士，3便士，4便士，5便士，6便士，10便士，19便士，20便士，25便士，29便士，30便士，35便士，36便士，38便士，41便士，50便士，1鎊，1.5鎊,2鎊,5鎊,10鎊。 給出郵資表中每一種郵資所需的最少郵票張數。能否去掉當前銷售的郵票中的任何一張而比增加所需郵票的張數？你能否建議一種更好的郵票面值系統(tǒng)？重量不超過第一類郵資第二類郵資60g

4、27便士19便士100g41便士33便士150g57便士44便士200g72便士54便士250g84便士66便士300g96便士76便士350g109鎊87便士400g130鎊105鎊450g148鎊119鎊500g166鎊135鎊600g200鎊160鎊700g251鎊183鎊750g269鎊194鎊800g291鎊900g320鎊1000g349鎊每超過250g再加85便士，不到250g按250g算不能超過750g三、牧羊人的希望一個牧羊人擁有x m2的牧場，牧場中長著多年生黑麥草。他期望今后幾年通過養(yǎng)羊獲得滿意的收益。請你建立數學模型幫助他解決以下問題：1、 他應該飼養(yǎng)多少只羊？2、 夏

5、季應存儲多少干草用作冬季飼料？3、 為了繁殖，每年保留多大比例的母羊？黑麥草的平均生長率：季節(jié)冬季春季夏季秋季日生長率（g）0374一般母羊的生育期是5至8年，每年產一頭、兩頭或三頭。假定每只母羊僅喂養(yǎng)5年就出售。一只母羊在每個年齡段生產的平均羊羔數：年齡（年）0112233445產羊羔（頭）018242018每頭羊日平均所需飼料：日需草量（kg）羔羊母羊冬季0210春季100240夏季165115秋季0135四、電子游戲中的數學近年來，隨著電子游戲的日益普及，電子游戲業(yè)已成為橫跨信息技術和文化的重要產業(yè)。對電子游戲中的一些數學問題進行研究，成為數學界和相關人士的一個熱門話題。在某電子游戲中，

6、玩家每次下注一元，由機器隨機分配給玩家五張撲克牌，然后允許玩家有一次換牌的機會，即可以放棄其中的某幾張牌，放棄的牌留下的空缺由機器在剩下的47張牌中再次隨機分配。玩家的獎金依據其最后所持有的牌型而定。下面是一份典型的獎金分配表：牌型獎金（元）同花大順（10到A）800同花順50四張相同點數的牌25滿堂紅（三張同點加一對）8同花5順子4三張相同點數的牌3兩對2一對高分對（J及以上）1其它0在上表中，玩家的牌型屬于某一類型且不屬于任何更高的類型，則贏得該牌型相應的獎金。1、若某玩家采取以下策略，當原始的牌型構成一個順子或更高的牌型時，則放棄換牌的機會；否則，除保留對子或三張相同點數的牌外，將手中其

7、余的牌放棄，由機器再次隨機分配。根據上述游戲規(guī)則和策略，分析各類牌型出現的可能性，計算采取該策略能獲得的期望獎金金額。2、對上述策略進行評價。3、是否存在更好的策略。若有，請與上述策略進行比較。五、導彈發(fā)射問題1、我防空指揮部的雷達發(fā)現有一架來路不明的飛機，經分析確認是一架敵機后，即命令正處在指揮部上空處于同一高度進行巡邏的我方戰(zhàn)斗機發(fā)射I型空對空追蹤導彈將其擊毀（追蹤導彈可針對目標隨時自動調節(jié)追蹤方向）。假定雷達發(fā)現敵機時，該機正位于我防空指揮部正東N公里高空處，并欲在同一高度上向位于其正北方向M公里處的安全區(qū)逃竄（由于電子干擾的作用,敵機一旦進入安全區(qū)后.導彈將失去追蹤目標，無法將其擊毀）

8、。在適當的假設下，確定導彈追蹤敵機的軌跡及發(fā)射I型空對空導彈擊毀敵機的條件。2、若當時命令設在防空指揮部的地面導彈基地發(fā)射II型地對空追蹤導彈截擊敵機，假定敵機始終距地面高度為h公里飛行，其他假定同情況1中所述，重新確定此時II型地對空導彈追蹤敵機的軌跡及擊毀敵機的條件。3、若敵機的飛行速度 v 、其位置 N 和追蹤導彈速度 u 均為給定的常數；針對情況1中敵機被導彈擊中的條件下，給出一個計算機編程的算法及相關程序，以計算出敵機被擊中的時刻以及當時敵機的位置。 據此，在 v = 1 馬赫數 ， N = 100公里 , u = 2馬赫數 時，利用上述的程序算出具體敵機被擊中的時刻以及當時敵機被擊

9、毀的位置。 4、若追蹤軌跡確定時，導彈擊毀敵機還存在隨機性，導彈飛行的路程越長，其擊毀敵機的概率越小，試重新討論情況1中的問題。六、確定學術論文重要性排序AB隨著現代科學技術的發(fā)展，每年都有大量的學術論文發(fā)表。如何衡量學術論文的重要性，成為學術界和科技部門普遍關心的一個問題。有一種確定學術論文重要性的方法是考慮論文被引用的狀況，包括被引用的次數以及引用論文的重要性程度。假如我們用有向圖來表示論文引用關系，“A引用B”可用下圖表示：ABCD丁EF現在有A、B、C、D、E、F六篇學術論文，它們的引用關系如下：要求：1）設計一個依據上述引用關系排出六篇論文重要性順序的算法，并給出用該算法排得的結果。2）將算法推廣到任意N篇論文的情況。七兩種房貸還款方式有無好壞之分最近，關于個人購房按揭貸款的還款方式引起了社會各界的關注。銀行目前有等額本息還款法和等本不等息遞減還款法兩種還款方式，且一般推薦提供等額本息還款法。有人認為一筆20萬元、20年的房貸，兩種還款方式的差額有1萬多元，認為銀行在隱瞞信息，賺消費者的錢。所謂等額本息還款法，即每