數(shù)學(xué)建模的心得體會

1、數(shù)學(xué)建模的體會思考經(jīng)過這段時間的學(xué)習(xí)，了解了更多的關(guān)于這門學(xué)科的知識，可以說是見識了很多很多，作為一個數(shù)學(xué)系的學(xué)生，一直都有一個疑問，數(shù)學(xué)的應(yīng)用在那里。對了，就在這里，在這里，我看到了很多，也學(xué)到了很多，關(guān)于各個學(xué)科，各個領(lǐng)域，都少不了數(shù)學(xué)，都是用建模的思想，來解決實際問題，很神奇。數(shù)學(xué)建模給了我很多的感觸：它所教給我們的不單是一些數(shù)學(xué)方面的知識，更多的其實是綜合能力的培養(yǎng)、鍛煉與提高。它培養(yǎng)了我們?nèi)?、多角度考慮問題的能力，使我們的邏輯推理能力和量化分析能力得到很好的鍛煉和提高。它還讓我了解了多種數(shù)學(xué)軟件，以及運用數(shù)學(xué)軟件對模型進行求解。數(shù)學(xué)模型主要是將現(xiàn)實對象的信息加以翻譯，歸納的產(chǎn)物。通

2、過對數(shù)學(xué)模型的假設(shè)、求解、驗證，得到數(shù)學(xué)上的解答，再經(jīng)過翻譯回到現(xiàn)實對象，給出分析、決策的結(jié)果。其實，數(shù)學(xué)建模對我們來說并不陌生，在我們的日常生活和工作中，經(jīng)常會用到有關(guān)建模的概念。例如，我們平時出遠(yuǎn)門，會考慮一下出行的路線，以達到既快速又經(jīng)濟的目的；一些廠長經(jīng)理為了獲得更大的利潤，往往會策劃出一個合理安排生產(chǎn)和銷售的最優(yōu)方案這些問題和建模都有著很大的聯(lián)系。而在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練以前，我們面對這些問題時，解決它的方法往往是一種習(xí)慣性的思維方式，只知道該這樣做，卻不很清楚為什么會這樣做，現(xiàn)在，我們這種陳舊的思考方式己經(jīng)在被數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練中培養(yǎng)出的多角度、層次分明、從本質(zhì)上區(qū)分問題的新穎多維的思考方式

3、所替代。這種凝聚了許多優(yōu)秀方法為一體的思考方式一旦被你把握，它就轉(zhuǎn)化成了你自身的素質(zhì)，不僅在你以后的學(xué)習(xí)工作中繼續(xù)發(fā)揮作用，也為你的成長道路印下了閃亮的一頁。數(shù)學(xué)建模所要解決的問題決不是單一學(xué)科問題，它除了要求我們有扎實的數(shù)學(xué)知識外，還需要我們不停地去學(xué)習(xí)和查閱資料，除了我們要學(xué)習(xí)許多數(shù)學(xué)分支問題外，還要了解工廠生產(chǎn)、經(jīng)濟投資、保險事業(yè)等方面的知識，這些知識決不是任何專業(yè)中都能涉獵得到的。它能極大地拓寬和豐富我們的內(nèi)涵，讓我們感到了知識的重要性，也領(lǐng)悟到了“學(xué)習(xí)是不斷發(fā)現(xiàn)真理的過程”這句話的真諦所在，這些知識必將為我們將來的學(xué)習(xí)工作打下堅實的基礎(chǔ)。從現(xiàn)在我們的學(xué)習(xí)來看，我們都是直接受益者。就拿

4、數(shù)學(xué)建模比賽寫的論文來說。原本以為這是一件很簡單的事，但做起來才發(fā)覺事情并沒有想象中的簡單。因為要解決問題，憑我們現(xiàn)有的知識根本不夠。于是，自己必須要充分利用圖書館和網(wǎng)絡(luò)的作用，查閱各種有關(guān)資料，以盡量獲得比較全面的知識和信息。在這過程中，對自己眼界的開闊，知識的擴展無疑大有好處，各學(xué)科的交叉滲透更有利于自己提高解決復(fù)雜問題的能力。毫不夸張的說，建模過程挖掘了我們的潛能，使我們對自己的能力有了新的認(rèn)識，特別是自學(xué)能力得到了極大的提高，而且思想的交鋒也迸發(fā)出了智慧的火花，從而增加了繼續(xù)深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動性和積極性。再次，數(shù)學(xué)建模也培養(yǎng)了我們的概括力和想象力，也就是要一眼就能抓住問題的本質(zhì)所在。我

5、們只有先對實際問題進行概括歸納，同時在允許的情況下盡量忽略各種次要因素，緊緊抓住問題的本質(zhì)方面，使問題盡可能簡單化，這樣才能解決問題。其實，在我們做論文之前，考慮到的因素有很多，如果把這一系列因數(shù)都考慮的話，將會花費更多的時間和精神。因此，在我們考慮一些因素并不是本質(zhì)問題的時候，我就將這些因數(shù)做了假設(shè)以及在模型的推廣時才考慮。這就使模型更加合理和理想。數(shù)學(xué)建模還能增強我們的抽象能力以及想象力。對實際問題再進行“翻譯”，即進行抽象，要用我們熟悉的數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)公式將它們準(zhǔn)確的表達出來。下面用一個具體的實例，來介紹建模的具體應(yīng)用：傳染病問題的研究一模型假設(shè)1.在疾病傳播期內(nèi)所考察的地區(qū)范

6、圍不考慮人口的出生、死亡、流動等種群動力因素?？?cè)丝跀?shù)N(t)不變，人口始終保持一個常數(shù)N。人群分為以下三類：易感染者(Susceptibles)，其數(shù)量比例記為s(t)，表示t時刻未染病但有可能被該類疾病傳染的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例；感染病者(Infectives)，其數(shù)量比例記為i(t)，表示t時刻已被感染成為病人而且具有傳染力的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例；恢復(fù)者(Recovered)，其數(shù)量比例記為r(t)，表示t時刻已從染病者中移出的人數(shù)（這部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有傳染性，也不會再次被感染，他們已退出該傳染系統(tǒng)。）占總?cè)藬?shù)的比例。2.病人的日接觸率（每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)）

7、為常數(shù)，日治愈率（每天被治愈的病人占總病人數(shù)的比例）為常數(shù)，顯然平均傳染期為1，傳染期接觸數(shù)為=。該模型的缺陷是結(jié)果常與實際有一定程度差距，這是因為模型中假設(shè)有效接觸率傳染力是不變的。二模型構(gòu)成在以上三個基本假設(shè)條件下，易感染者從患病到移出的過程框圖表示如下：sisiri在假設(shè)1中顯然有：s(t) + i(t) + r(t) = 1對于病愈免疫的移出者的數(shù)量應(yīng)為不妨設(shè)初始時刻的易感染者，染病者，恢復(fù)者的比例分別為（0），（0），=0.SIR基礎(chǔ)模型用微分方程組表示如下：s(t) ， i(t)的求解極度困難，在此我們先做數(shù)值計算來預(yù)估計s(t) ， i(t)的一般變化規(guī)律。三數(shù)值計算在方程（3）

8、中設(shè)=1，=0.3，i（0）= 0.02，s（0）=0.98，用MATLAB軟件編程：function y=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2);ts=0:50;x0=0.20,0.98;t,x=ode45('ill',ts,x0); 四相軌線分析我們在數(shù)值計算和圖形觀察的基礎(chǔ)上，利用相軌線討論解i（t）,s（t）的性質(zhì)。D = （s，i）| s0，i0 ， s + i 1在方程（3）中消去并注意到的定義，可得 （5）所以： （6）利用積分特性容易求出方程(5)的解為： （7）在定義域D內(nèi),(6)式表示的曲線即為

9、相軌線,如圖3所示.其中箭頭表示了隨著時間t的增加s(t)和i(t)的變化趨向下面根據(jù)(3),(17)式和圖9分析s(t),i(t)和r(t)的變化情況(t時它們的極限值分別記作, 和).1. 不論初始條件s0,i0如何,病人消失將消失,即：2.最終未被感染的健康者的比例是 ,在(7)式中令i=0得到, 是方程在(0,1/)內(nèi)的根.在圖形上 是相軌線與s軸在(0,1/)內(nèi)交點的橫坐標(biāo)3.若>1/,則開始有，i(t)先增加, 令=0，可得當(dāng)s=1/時,i(t)達到最大值：然后s<1/時，有 ，所以i(t)減小且趨于零,s(t)則單調(diào)減小至,如圖3中由P1(，)出發(fā)的軌線4.若 1/,

10、則恒有，i(t)單調(diào)減小至零,s(t)單調(diào)減小至,如圖3中由P2(s0,i0)出發(fā)的軌線可以看出,如果僅當(dāng)病人比例i(t)有一段增長的時期才認(rèn)為傳染病在蔓延,那么1/是一個閾值,當(dāng)>1/(即>1/s0)時傳染病就會蔓延.而減小傳染期接觸數(shù),即提高閾值1/使得1/(即 1/),傳染病就不會蔓延(健康者比例的初始值是一定的,通?？烧J(rèn)為接近1)。并且,即使>1/,從(19),(20)式可以看出, 減小時, 增加(通過作圖分析), 降低,也控制了蔓延的程度.我們注意到在=中,人們的衛(wèi)生水平越高,日接觸率越小;醫(yī)療水平越高,日治愈率越大,于是越小,所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控制傳

11、染病的蔓延.從另一方面看, 是傳染期內(nèi)一個病人傳染的健康者的平均數(shù),稱為交換數(shù),其含義是一病人被個健康者交換.所以當(dāng) 即時必有 .既然交換數(shù)不超過1,病人比例i(t)絕不會增加,傳染病不會蔓延。五群體免疫和預(yù)防根據(jù)對SIR模型的分析,當(dāng) 時傳染病不會蔓延.所以為制止蔓延,除了提高衛(wèi)生和醫(yī)療水平,使閾值1/變大以外,另一個途徑是降低 ,這可以通過比如預(yù)防接種使群體免疫的辦法做到.忽略病人比例的初始值有,于是傳染病不會蔓延的條件 可以表為這就是說，只要通過群體免疫使初始時刻的移出者比例（即免疫比例）滿足（11）式，就可以制止傳染病的蔓延。這種辦法生效的前提條件是免疫者要均勻分布在全體人口中，實際上

12、這是很難做到的。據(jù)估計當(dāng)時印度等國天花傳染病的接觸數(shù) =5，由（11）式至少要有80%的人接受免疫才行。據(jù)世界衛(wèi)生組織報告，即使花費大量資金提高，也因很難做到免疫者的均勻分布，使得天花直到1977年才在全世界根除。而有些傳染病的更高，根除就更加困難。六模型驗證上世紀(jì)初在印度孟買發(fā)生的一次瘟疫中幾乎所有病人都死亡了。死亡相當(dāng)于移出傳染系統(tǒng)，有關(guān)部門記錄了每天移出者的人數(shù)，即有了的實際數(shù)據(jù)，Kermack等人用這組數(shù)據(jù)對SIR模型作了驗證。首先，由方程（2），（3）可以得到 ，兩邊積分得 所以： (12)再 (13)當(dāng) 時，?。?3）式右端Taylor展開式的前3項得：在初始值=0 下解高階常微分

13、方程得:其中， 從而容易由（14）式得出：然后取定參數(shù) s0, 等，畫出（15）式的圖形，如圖4中的曲線，實際數(shù)據(jù)在圖中用圓點表示，可以看出，理論曲線與實際數(shù)據(jù)吻合得相當(dāng)不錯。七被傳染比例的估計在一次傳染病的傳播過程中，被傳染人數(shù)的比例是健康者人數(shù)比例的初始值與之差，記作x,即 (16)當(dāng)i0很小，s0接近于1時，由（9）式可得 (17)取對數(shù)函數(shù)Taylor展開的前兩項有 (18)記 , 可視為該地區(qū)人口比例超過閾值的部分。當(dāng) 時（18）式給出 （19）這個結(jié)果表明，被傳染人數(shù)比例約為的2倍。對一種傳染病，當(dāng)該地區(qū)的衛(wèi)生和醫(yī)療水平不變，即不變時，這個比例就不會改變。而當(dāng)閾值提高時，減小，于是這個比例就會降低。這是一個關(guān)于傳染病方面的實例，看起來很復(fù)雜的題目，用數(shù)學(xué)建模就可以化抽象為具體，簡單的利用微分方程，圖像，以及必要的數(shù)學(xué)軟件就可以解決問題，同時把問題細(xì)化，分析了各種變量的影響。具體到七各方面的分析綜合，這樣一個問題就解決了。建?；顒颖旧砭褪墙虒W(xué)方