數(shù)學(xué)精華教案：平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義

1、§2.4平面向量的數(shù)量積第7課時一、 平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義教學(xué)目的：1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題；4.掌握向量垂直的條件.教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積定義教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用授課類型：新授課教 具：多媒體、實物投影儀內(nèi)容分析：   本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律，然后通過概念辨析題加深學(xué)生對于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識.主要知識點(diǎn)：平面向量數(shù)

2、量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的5個重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1 向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)，使=.2平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)1，2使=1+23平面向量的坐標(biāo)表示 分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算若，則，.若，則5 (¹)的充要條件是x1y2-x2y1=06線段的定比分點(diǎn)及 P1， P2是直線l上的兩點(diǎn)，P是

3、l上不同于P1， P2的任一點(diǎn)，存在實數(shù)，使 =，叫做點(diǎn)P分所成的比，有三種情況：>0(內(nèi)分) (外分) <0 (<-1) ( 外分)<0 (-1<<0)7. 定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：若點(diǎn)P(x1，y1) ，(x2，y2)，為實數(shù)，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（），我們稱為點(diǎn)P分所成的比.8. 點(diǎn)P的位置與的范圍的關(guān)系：當(dāng)時，與同向共線，這時稱點(diǎn)P為的內(nèi)分點(diǎn).當(dāng)()時，與反向共線，這時稱點(diǎn)P為的外分點(diǎn).9.線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的向量形式：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，設(shè)，可得=.10力做的功：W = |F|×|s|cosq，q是F與s的夾角.二、講解新課：1兩個非零向量夾角

4、的概念已知非零向量與，作，則（）叫與的夾角.說明：（1）當(dāng)時，與同向；（2）當(dāng)時，與反向；（3）當(dāng)時，與垂直，記；（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的.范圍0°q180°C2平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量|a|b|cosq叫與的數(shù)量積，記作a×b，即有a×b = |a|b|cosq，（）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.×探究：兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定.（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a×b；

5、今后要學(xué)到兩個向量的外積a×b，而a×b是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴(yán)格區(qū)分.符號“· ”在向量運(yùn)算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在實數(shù)中，若a¹0，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0.因為其中cosq有可能為0.（4）已知實數(shù)a、b、c(b¹0)，則ab=bc Þ a=c.但是a×b = b×c a = c 如右圖：a×b = |a|b|cosb = |b|OA|，b×c = |b|c|c

6、osa = |b|OA|Þ a×b = b×c 但a ¹ c (5)在實數(shù)中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c ¹ a(b×c) 顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.3“投影”的概念：作圖 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時投影為正值；當(dāng)q為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時投影為0；當(dāng)q = 0°時投影為 |b|；當(dāng)q = 180°時投影為 -|b|.4向量的數(shù)量積的幾何意

7、義：數(shù)量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積.5兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量.1° e×a = a×e =|a|cosq2° ab Û a×b = 03° 當(dāng)a與b同向時，a×b = |a|b|；當(dāng)a與b反向時，a×b = -|a|b|. 特別的a×a = |a|2或4° cosq =5° |a×b| |a|b|三、講解范例：例1 已知|a|=5， |b|=4， a與b的夾角=120o，求a&

8、#183;b.例2 已知|a|=6， |b|=4， a與b的夾角為60o求(a+2b)·(a-3b).例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a與b不共線，k為何值時，向量a+kb與a-kb互相垂直. 例4 判斷正誤，并簡要說明理由.·00；0·；0；·；若0，則對任一非零有·；·，則與中至少有一個為0；對任意向量，都有（·）（·）；與是兩個單位向量，則.解：上述8個命題中只有正確；對于：兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，應(yīng)有0·；對于：應(yīng)有·0；對于：由數(shù)量積定義有···

9、;cos，這里是與的夾角，只有或時，才有··；對于：若非零向量、垂直，有·；對于：由·可知可以都非零；對于：若與共線，記.則·（）·（·）（·），（·）·（·）（·）（·）若與不共線，則(·)（·）.評述：這一類型題，要求學(xué)生確實把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律.例6 已知，當(dāng)，與的夾角是60°時，分別求·.解：當(dāng)時，若與同向，則它們的夾角°，··cos0°3×6×1

10、18；若與反向，則它們的夾角180°，·cos180°3×6×（-1）18；當(dāng)時，它們的夾角90°，·；當(dāng)與的夾角是60°時，有·cos60°3×6×9評述：兩個向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是0°，180°，因此，當(dāng)時，有0°或180°兩種可能.四、課堂練習(xí)：1.已知|a|=1，|b|=，且(a-b)與a垂直，則a與b的夾角是（ ）A.60° B.30° C.135° D.°2.已知|a|

11、=2，|b|=1，a與b之間的夾角為，那么向量m=a-4b的模為（ ）A.2 B.2 C.6 D.123.已知a、b是非零向量，則|a|=|b|是(a+b)與(a-b)垂直的（ ）A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知向量a、b的夾角為，|a|=2，|b|=1，則|a+b|·|a-b|= .5.已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向上的單位向量，那么a·b= .6.已知ab、c與a、b的夾角均為60°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，則(a+2b-c)_.7.已知|a|=1，|b|=，(