經濟學中的數(shù)學改2

1、河 北 科 技 大 學個性發(fā)展教育報告學生姓名： 周嘉楠 學 號： 111005130 學 院： 理學院 專 業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學 項目題目： 經濟學中的數(shù)學 2014年 11 月 10日 2014年 12 月21日經濟學中的數(shù)學個性發(fā)展教育目的通過研究數(shù)學在經濟學當中的發(fā)展，來體會數(shù)學在經濟學中廣泛與深入的的應用及其重要性，并且培養(yǎng)與鍛煉我們在日常生活中將數(shù)學應用到經濟學中的意識。個性發(fā)展教育介紹近30年來，數(shù)學作為一門“經濟學語言”興起了。今天的經濟學家在從事經濟研究的時候都會把數(shù)學作為一種必備的工具，無論他們是在用統(tǒng)計數(shù)據(jù)來表達現(xiàn)實世界的變化發(fā)展趨勢，還是在發(fā)展完全抽象的經濟制度。本文將

2、對數(shù)學在經濟學中的發(fā)展與應用進行更加深入的介紹。從最基本的層面上看，數(shù)學是我們圍繞相關的經濟變量得出經驗性命題的依據(jù)。利用統(tǒng)計技術，經濟學家把來自現(xiàn)實世界的原始數(shù)據(jù)加工成上面提到的需求函數(shù)和需求彈性那樣的抽象數(shù)學表達式。進一步講，這種統(tǒng)計關系一旦形成，就能夠與同類型的其他關系相關聯(lián)，這使經濟學家逐步構建起了一個由各種相互聯(lián)結的關系組成的整體關系網，有了這個關系網，經濟學家就能對那些相互之間只存在間接性關系的經濟變量進行推斷。通過了解經濟學在數(shù)學中的不斷發(fā)展與深入，可讓我們了解數(shù)學在經濟學中所占有的重要地位，并且培養(yǎng)我們在經濟學中使用數(shù)學的能力。一數(shù)學在經濟學中的發(fā)展自從亞當·斯密（A

3、dam Smith,17231790年）創(chuàng)立了古典政治經濟學之后，經濟學的理論名目繁多，也各有不同程度的數(shù)學化，不過占主流地位的是：1.1 古典政治經濟學時期（1776-1870,主要人物是亞當·斯密，大衛(wèi)李嘉圖和穆勒（Mill，）穆勒亞當斯密穆勒在他那本政治經濟學原理中說，就一般原理而言，價值與價格理論已完全闡明，再也沒有可增添到東西了。他的生產成本是價格的基礎，競爭的市場價格自發(fā)地調節(jié)供求關系，形成均衡，這就是所謂的“看不見的手”。在古典政治經濟學的基礎上，馬克思發(fā)展了“勞動價值理論”，而西方經濟學則發(fā)展了一句市場供求關系而產生的均衡價格理論，一次來解釋市場價格的決定和變動的問題

4、。同時，他們認為價格的調節(jié)使資源配置達到最優(yōu)化，從而市場機制是完善的。西方經濟學家一直有倡導自由放任主義的學派。但是從數(shù)學上進行定量分析以及嚴格證明則是比較近期的事。1.2 從邊際理論革命到新古典經濟學（1870-1930）1870年左右，英國數(shù)學家，邏輯學家杰方斯（Jevons，W.S.,1835-1882）,奧地利經濟學家門格爾（Menger, C. , 1840-1921），瑞士經濟學家瓦爾拉（Walras, L. , 1834-1910）大約同時發(fā)動了這場邊際理論革命，同時正式宣告數(shù)理經濟學的誕生。雖然歷史上邊際概念幾數(shù)學應用都可以追溯到更早，但正是他們第一個把經濟孤立起來使得它成為數(shù)

5、學可以處理的對象。邊際理論完全根據(jù)市場交易及貨幣交易來說明價格變動原因，而對生產及勞動的因素均不考慮自然擺脫來古典的勞動價值論，從而使問題大大簡化。這樣瓦爾拉就提出他的一般均衡理論。這不但說明來完全競爭經濟學中市場如何自動調節(jié)，而且建立來數(shù)理經濟學第一個可以獨立研究的題目。最后馬歇爾集其大成，其著作經濟學原理自1890年出版以來，多次再版，成為西方經濟學的經典，被稱為新古典經濟學，與后來的凱恩斯（Keynes, J. , 1883-1946）經濟學對比也可稱為微觀經濟學。正是馬歇爾，首先把“政治經濟學”中的政治兩個字去掉，使經濟學成為一門獨立的科學。微觀經濟學是整個經濟學的基礎，它以單個市場的

6、經濟行為以及相應的經濟變量為研究對象，主要是供給者（廠商或企業(yè)）和消費者（買方）。廠商要通過把一定量資源分配在各種商品生產上以取得最大利潤，而消費者則要把有限收入分配在各種消費上以取得最大滿足。因此供給和（消費者的）需求就是微觀經濟學的關鍵詞，而它的中心問題是價格如何決定，經濟學的答案是通過市場需求均衡，也就是需求量等于供給量時形成市場價格，這樣就給數(shù)學提供了用武之地。瓦爾拉實際上就是這么做的。他把m種商品數(shù)量，m種商品價格，n種勞務量，n種勞務價格，通過2m2n1個方程聯(lián)系起來由于2m2n個變量有一個不獨立（即可設它為1），因此有2m2n1個獨立變量，2m2n1個方程，這樣這個問題有解，瓦爾

7、拉從而證明一般均衡存在。不過，他的這種數(shù)學并不嚴格。其后百年間，通過拓撲學，首先是布勞維爾（Brouwer, Jan, 1881-1966）證明的不懂點定理才使一般均衡理論真正建立起來。1.3 凱恩斯革命（1930-1970）凱恩斯19世紀末的壟斷的發(fā)展打破了完全競爭的格局，10世紀20年代末開始的大蕭條使以往的經濟學說無法解釋。凱恩斯從理論上，政策上及方法上進行三方面的革命：理論上批駁自由主義經濟學的兩大原則，一使薩伊（Say, J.B. , 1767-1832）定律，也就是供給能自動創(chuàng)造需求，有賣的就有買的。一是利率自動調節(jié)，使社會儲蓄及投資平衡。有這兩點保證，滿足需求就可以確保充分就業(yè)并

8、避免經濟蕭條，由此自由市場經濟可以自發(fā)順利發(fā)展?？陀^事實打破了這個深化，凱恩斯承認自由市場經濟并非如此和諧，失業(yè)及生產過剩是經濟活動中常存在的問題，從而造成有效需求不足。于是他在政策上提出國家進行干預，必須有宏觀財政及貨幣政策來刺激需求以及調節(jié)經濟。在方法上就必須從國家整體上考慮，首先從國民收入總量出發(fā)研究問題，因此常稱為宏觀經濟學。第二次世界大戰(zhàn)后形成的主要經濟思想流派是新古典綜合派和新劍橋學派。前者的代表人物是薩謬爾遜他的“綜合”是綜合凱恩斯的理論及馬歇爾的微觀經濟分析方法和生產要素的分析，首先提出經濟學界現(xiàn)在通用的數(shù)學分析方法，他還最早在1955年把線性規(guī)劃引進經濟學。另外，哈羅德及多馬

9、海拔凱恩斯的靜態(tài)分析及短時分析長期分化，動態(tài)化，形成著名的經濟增長模型。新劍橋學派代表人物是羅賓遜等“凱恩斯左派”，他們自認為是凱恩斯學派的正統(tǒng)，單獨研究價值論和分配理論，為凱恩斯宏觀經濟學創(chuàng)立了微觀基礎。1.4 經濟學的多樣化20世紀60年代末遇到了前所未有的通貨膨脹以及失業(yè)同時并存的“滯漲”局面。無論是古典經濟學或是凱恩斯經濟學都不能解釋這種現(xiàn)象。于是1967年開始出現(xiàn)“貨幣主義”的經濟理論，對英語凱恩斯革命被稱為“貨幣主義反革命”。特別是“自然失業(yè)率”甲說與“合理期望”假定的結合，形成了第二代“新古典宏觀經濟學”的模型。從而得出：任何需求管理政策不會產生實際效果，任何系統(tǒng)的經濟政策將只影

10、響通貨膨脹率，而不影響實際產值增長率或失業(yè)率，但不系統(tǒng)也就是錯誤但經濟政策則會造成私營經濟部門但不確定性。因此，他開出解決通貨膨脹問題但處方：以固定年率擴大貨幣投放量，對失業(yè)率不聞不問。因按照弗里德曼假定，經過一定時期，失業(yè)率會趨于自然失業(yè)率。從60年代起一系列發(fā)展中國家經濟的起飛刺激了經濟學由靜態(tài)向動態(tài)對發(fā)展。另一方面，部門經濟學尤其是金融經濟學成為熱門，其中，數(shù)學起了決定性作用。90年代，隨著技術進步以及國際互聯(lián)網的形成，高技術經濟成為經濟發(fā)展的領頭羊，而這種情況很難用傳統(tǒng)經濟學解釋。新興產業(yè)的指數(shù)增長，國際大公司的兼并浪潮以及泡沫的出現(xiàn)等都有待遇經濟學通過數(shù)學，統(tǒng)計，計算機工具加以研究。

11、從微觀經濟學所用都數(shù)學工具來看，首先是微分法。19世紀，微分法最先應用于熱力學，同時經濟學家也注意到之一工具對經濟學的用處。但直到邊際革命后，微分及導數(shù)的概念才成為表達古典經濟學的最佳手段。其后經濟量逐步抽象，從據(jù)體量如價格到有效函數(shù)，得出邊際效用遞減規(guī)律以及序數(shù)效用理論，及無差異曲線分析。到50年代，經濟學已經成為行為與決策理論。當前到微觀經濟學主要內容如此，而數(shù)學工具則為線性規(guī)劃理論和對策論。計量經濟學是弗里希等人以統(tǒng)計學為基礎創(chuàng)立到，其主要課題是對各種經濟量指尖的關系提供分析方法，按照經濟量之間的關系，分為因果關系的分析，平衡關系的分析，相關關系的分析以及隨時間演變的分析四個范疇。到20

12、世紀60年代末開始對幾百個方程對大宏觀經濟模型進行預算，70年代初利用最優(yōu)控制方法求出經濟發(fā)展對最優(yōu)途徑。由于多數(shù)情況下預測效果及給決策者提供方案的不理想導致論數(shù)學工具的改善，特別是引進時間序列分析大大減少模型變元的數(shù)目。弗里希改進與推廣傳統(tǒng)模型，建立為發(fā)達國家短期政策所用的模型，目的是以固定收入，不定收入以及財富為獨立變元的消費函數(shù)。近十年來，各種改進都是增加變元因素，方程越來越復雜，使結果更加符合實際。在這個過程中，以前老的一些概念需要更加精微化：尤其是閔色爾等人引進的“人力資本”概念。以前勞動力只不過使經濟學中的簡單變元，爾技術進步以及生產的復雜性增高，勞動者的教育與生產率及收入大有關系

13、，教育也成為一種投資，由此教育經濟學成為重要的課題。二 金融與數(shù)學就在十年前，對于我國大多數(shù)老百姓來說，金融不過使人命幣，銀行，存款乃至通貨膨脹之類的事，十年后金融這個領域以及牽動許多人的心。1990年底，我國開辦股票交易，不過七年，股民已達兩千萬，而到1998年，更多人關心人民幣會不會貶值等。金融這個領域數(shù)學學家的作用已處于舉足輕重的地位。2.1 金融及貨幣的穩(wěn)定性金融是實行從儲蓄到投資的過程，狹義的可以理解為金融是動態(tài)的貨幣經濟學。由于商品市場的發(fā)育，導致了貨幣的發(fā)行和銀行的產生，并且產生了最早的金融交易，也就是最早的金融市場。金融交易的基礎就是貨幣價值的穩(wěn)定，而問題在于貨幣的價值很難穩(wěn)定

14、。而資本主義發(fā)展初期，就曾千方百計地使幣值穩(wěn)定。保證幣值的穩(wěn)定性的主要措施當然是用貴金屬鑄幣。16世紀西方采用兩種金屬鑄幣復本位制，即可用金，銀鑄幣。但是由于金銀比價保持固定以及鑄幣成色降低，其價值總是低于票面價值，導致了最在的金融風波。19世紀40年代起，世界各國開始實行金鑄幣本位制來代替兩種金屬的雙軌制，其實質是：1. 各國貨幣與黃金掛鉤；2. 實行固定匯率制；3. 銀行卷與黃金自由兌換；4. 黃金成為主要的儲備資產；5. 黃金自由流通，自動矯正國際收支平衡；由于金本位制度的優(yōu)越性，導致資本主義世界近半個世紀的繁榮。但是這種制度是通過固定匯率和黃金自由兌換及流動來保證的，由于第一次世界大戰(zhàn)

15、戰(zhàn)前擴軍備戰(zhàn)，戰(zhàn)后通貨膨脹，不得不讓位于金匯兌本位制，即銀行券，只能購買外匯，而去只能在國外兌換黃金。由于1931年經濟危機兌換黃金，到1933年美國不得不宣布停止兌換黃金，至此金本位制徹底瓦解。2.2 國際貨幣體系的兩次變革第二次世界大戰(zhàn)后，國際貨幣體系實行了兩次變革：第一次是1944年布雷頓森林體系，他的特點為：1. 美元與黃金有固定比價（1美元等于35盎司黃金）；2. 參與國貨幣與美元保持固定匯率；3. 國際收支逆差可向國際貨幣基金組織貸款或通過調整匯率取得平衡；由于以美元為中心的世紀貨幣體系存在，彌補黃金不足以及匯率相對穩(wěn)定使得國際貿易有了很大發(fā)展。但是美國的國際收支會對美元的供求及價

16、格產生很大的影響，從而產生美元的信任危機，尤其是大量發(fā)行美元使得各國通貨膨脹，從而導致上世紀70年代初布雷頓森體系瓦解。而后1976年便出臺來牙買加體系，其主要特點是國際儲備貨幣多元化和匯率浮動制。這樣，各國貨幣堅挺與疲軟比較敏感地反映各國經濟實力和變化趨勢。三 金融對數(shù)學的需求這樣一種多元國際貨幣體系馬上就向人們提出一系列問題，而這些問題的解決要比黃金或美元為中心的貨幣體系復雜得多，顯然數(shù)學是不可少的：對于發(fā)達國家或發(fā)展中國家，如何分配國際儲備貨幣？具體說黃金、美元、英鎊、歐元、日元等應各占多少？匯率自由浮動后，匯率等風險大大增加，如何去規(guī)避？隨著全球經濟問題變得十分復雜，；使得20世紀70

17、年代以來，金融在經濟中的地位變得舉足輕重，而且經濟形勢的變化完全超出傳統(tǒng)經濟學等預料之外。借助于數(shù)學，經濟學不但要去科學地解釋世界，而且還要通過創(chuàng)新來改造世界。人們開始主動的規(guī)避及化解風險，甚至從中漁利。3.1 金融經濟學的四大特點定量：一說到貨幣，股票不定量不行，更不用說現(xiàn)代各種金融衍生工具了。以股票為例，只說漲落無濟于事，必須說漲多少落多少，漲落的速度和頻率如何？沒有數(shù)學工具，起碼是微積分和函數(shù)很難講清楚的。隨機：金融與產品經濟不同，產品經濟還可用決定向模型，金融就得用概率模型，金融經濟需要用較為困難的概率論。動態(tài)：一般產品或整個市場的經濟，首先研究靜態(tài)也就是均衡理論，第二步才是動態(tài)，到2

18、0世紀中期才發(fā)展出成長經濟學，發(fā)展經濟學等。可是，股票市場瞬息萬變，研究它就要用隨機過程理論。這個理論到20世紀中期才定型，而且屬于當前的前沿數(shù)學。例如，隨即分析、隨機微分方程等。優(yōu)化：金融市場極為復雜多變，怎樣回避風險同時獲取最大利益，不經認真分析是不行的。二戰(zhàn)后發(fā)展的運籌學是專門研究各種情形下優(yōu)化的理論，其數(shù)學也是不簡單的，它與計算機相結合，對于金融數(shù)學的發(fā)展至關重要。由于金融的這些特點，金融經濟理論有一定難度，特別是需要比較深刻的數(shù)學。而金融經濟的發(fā)展以及宏觀財政金融政策的制定就更需要數(shù)學的支持，而且在發(fā)展金融數(shù)學的同時也需要推動數(shù)學的發(fā)展。3.2 金融理論的發(fā)展談到現(xiàn)代金融理論，那是從

19、上世紀50年代開始的。其中許多有貢獻的專家都榮獲諾貝爾經濟學獎。金融理論的一個基本定理是莫迪利亞尼和米勒在1958年得出的。例如，金融市場在完善狀態(tài)下運行并處于均衡狀態(tài)，那么一個公司的市場價值即其股本和負債的市場價值都代數(shù)和與它的債務大小和結構無關，同時也和它的融資方式無關。米勒莫迪利亞尼乍一看來，這與常識相勃，之前人們一般認為，廠商面對兩種選擇：債券融資或股票融資，而他們推翻了這個觀點。在1963年和1966年，他們證明了兩個不定性定理，后稱MM定理：MM第一不變定理：1. 資本的平均成本不受債券與股權比例的影響；2. 企業(yè)股份的期望報酬（即股權資本的成本）隨負債與股權的比例而線性增加，這是

20、所謂的的操縱效益，即杠桿效；MM第二不變定理：一個公司或企業(yè)市場價值不受其紅利政策的影響；莫迪利亞尼和米勒的理論為了金融經濟學的基礎，但“華爾街的革命”發(fā)生在資本市場中。對于資本市場的理論，有三套金融經濟與金融數(shù)學理論有重大影響。 Markowitz理論1952年馬爾科維奇還在大二時就提出所謂“文件夾”選擇理論?，F(xiàn)在這個詞多翻譯成“投資組合”，也就是像把不同的文件放在不同的文件夾一樣，投資者把不同的證券組合以求風險最小而獲得最大的收益。許多人都認為投資者買的證券品種越多，風險就分散的越小，從而大的投資組合要比小的或單個證券都投資組合收益更穩(wěn)定。實際上，馬爾科維奇發(fā)現(xiàn)，分散投資組合的風險并不僅僅

21、在于所含證券的數(shù)量，而且還和這些證券的收益的想關性有關。如果證券收益彼此高度相關，那么風險并沒有分散。只有相關性小的投資組合才能分散風險。馬爾科維奇進而通過數(shù)學來表述這個問題：1. 證券的期望收益率可用價格變化平均值來表示；2. 一個證券的風險可用價格變化都方差來表示；3. 證券的投資組合的風險還有其中任何兩種證券的相關性，這可用協(xié)方差來表示；馬爾科維奇這些都可以通過過去的數(shù)據(jù)用統(tǒng)計方法計算出來。把投資組合中各種股票之間的比列設為變量，我們的問題是，求受益一定風險最小，或者風險一定受益最大的情形。這成為一個帶參數(shù)的二次規(guī)劃問題。1956年，馬爾科維奇引進具體算法，稱為臨界線算法。但是由于當時解

22、帶參數(shù)問題的方法還不成熟，計算機功能不夠，他的理論計算起來有一定困難。到60年代，計算機可以在半個小時內算100種證券的投資組合的前言曲線。1959年馬爾科維奇出版的投資組合選擇：有效的分散化，完成他的理論系統(tǒng)，被稱為“第一次華爾街革命”。3.2.2 CAPM模型1964年夏普發(fā)表來CAPM模型。在這個模型中，他用投資組合的價格變化的回歸系數(shù)來衡量風險。這個系數(shù)通常用來表示，于是CAPM討論投資組合的與收益的關系。而可以通過市場的指數(shù)具體計算出來。這樣，比較容易得出有效的證券組合的前沿曲線。全部金融市場的1，高的證券有高效益。這樣如果知道某證券的就可以預測其長期收益，他的研究被稱為革命。按照C

23、APM，在一個有效的資本市場中，一次資產的風險和期望回報取決于。通過可用廣泛進行經驗分析，使豐富的金融統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到系統(tǒng)和有效的利用。通過，不僅可以定出產業(yè)的風險費用，而且在決策如投資或兼并時可以計算有關的資本費用。它還可以用于比較不同投資者的成功狀況，而最重要的是為金融資產定價提供依據(jù)。但是CAPM仍然存在一些問題，有些低的證券有好的受益，而高的債券卻收益較差。1977年羅爾指出，如果市場資產組合有小小的變化可能完全改變CAPM所預測的股票預期收益。實際上，CAPM模型當時只考慮來500種股票，換成5000種股票就有很大問題。因此，真正的市場資產組合誰也不知道，這樣就無從判斷CAPM模型是否成

24、立。3.2.3 APT理論對CAPM模型的攻擊導致另一種資產定價模型套利定價理論（APT）的產生。他發(fā)現(xiàn)資產收益取決于四個要素：1. 通貨膨脹；2. 工業(yè)生產；3. 投資者風險偏好；4. 利率；APT認為股票等預期收益與它對每個因素的敏感性成正比例。APT模型是CAPM的發(fā)展，它更有效的預測股票收益，并且更為真實。但是，它大量運用高深的數(shù)學。這些模型都是假定市場是有效的，但實際有許多出入。經濟學家現(xiàn)在正運用新數(shù)學工具研究一些其它因素的影響。例如，情緒，愛好，欺詐性投資。上面的投資組合理論和CAPM都可以看成是靜態(tài)的，也就是市場均衡理論。更進一步考慮動態(tài)都投資組合理論以及期間資本資產定價理論模型（ICAPM）主要會用到隨機過程理論，如擴散過程理論以及隨機微分方程理論。肖爾斯布萊克 華爾街第二次革命一般認為，“華爾街第二次革命”出現(xiàn)于1973年，這一年4月