高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用ppt教學(xué)文稿

1、第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用ppt第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 一、函數(shù)的單調(diào)性一、函數(shù)的單調(diào)性第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 定理定理3.2.1（函數(shù)單調(diào)性的判定法）（函數(shù)單調(diào)性的判定法）設(shè)設(shè)y=f(x)在在a,b上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則內(nèi)可導(dǎo)，則（1)如果在如果在(a,b)內(nèi)內(nèi)f (x)0 ，那么函數(shù)，那么函數(shù)y=f(x)在在a,b上單上單調(diào)增加；調(diào)增加；（2)如果在如果在(a,b)內(nèi)內(nèi)f (x)0 由函數(shù)圖像可知函數(shù)在由函數(shù)

2、圖像可知函數(shù)在(- ,+ )上是單調(diào)遞增的上是單調(diào)遞增的當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)，時(shí)， y =0 當(dāng)當(dāng)f(x)在某區(qū)間內(nèi)僅在個(gè)別點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為在某區(qū)間內(nèi)僅在個(gè)別點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0或不存在，或不存在，而在其余各點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)均為正（或負(fù)）時(shí)，而在其余各點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)均為正（或負(fù)）時(shí)，f(x)在該區(qū)在該區(qū)間仍是單增（或單減）的。間仍是單增（或單減）的。 解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 例例2 討論函數(shù)討論函數(shù)f(x)=ex-x-1的單調(diào)性的單調(diào)性.函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?- ,+ )；當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，時(shí)， y 0 ,函數(shù)在函數(shù)在( 0,+ )上單調(diào)增加上單調(diào)增加當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，時(shí)， y

3、0時(shí)，時(shí)， y 0 ,函數(shù)在函數(shù)在( 0,+ )上單調(diào)增加上單調(diào)增加當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，時(shí)， y 0時(shí)，時(shí)，ex1+x f (x)= ex-1所以所以 x 0,+ ),有有f(x)f(0)=0，即，即ex-1-x0 令令f(x)=ex-1-x ，則，則f(x)在在0,+ )上連續(xù)、可導(dǎo)上連續(xù)、可導(dǎo),且且當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，時(shí)， y 0 ,函數(shù)在函數(shù)在0,+ )上單調(diào)增加上單調(diào)增加所以所以當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，時(shí)， ex1+x 利用單調(diào)性證明不等式利用單調(diào)性證明不等式證明證明第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 又因?yàn)椋河忠驗(yàn)椋?f(0)=0，所以：當(dāng)所以：當(dāng)x0時(shí)，時(shí)， y 0 ,函數(shù)在

4、函數(shù)在0,+ )上單調(diào)增加上單調(diào)增加所以所以 x 0,+ ),有有f(x)f(0)，即不等式成立，即不等式成立.例例7 證明：證明：).0(1)1ln(122 xxxxx22( )1ln(1)1f xxxxx令令則則2( )ln(1)fxxx 0 )0( x證明證明第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) oxyy= (x)Mm12ab設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = (x)在在(a b)內(nèi)圖形如下圖內(nèi)圖形如下圖: 在在 1處的函數(shù)值處的函數(shù)值f( 1) 比它附近各點(diǎn)的函數(shù)值都要小比它附近各點(diǎn)的函數(shù)值都要小;而在而在 2處的函數(shù)值處的函數(shù)值f( 2)比它附近各點(diǎn)的函數(shù)值都要大比

5、它附近各點(diǎn)的函數(shù)值都要大;但它們又不是整個(gè)定義區(qū)間上的最小、最大值但它們又不是整個(gè)定義區(qū)間上的最小、最大值,為此為此,我我們引入極值與極值點(diǎn)的概念們引入極值與極值點(diǎn)的概念. 二、函數(shù)的極值二、函數(shù)的極值第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 定義定義3.2.1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在在x0的某領(lǐng)域的某領(lǐng)域N(x0, )內(nèi)有內(nèi)有定義，定義， ，都有，都有（1）f(x)f(x0)成立，則稱成立，則稱f(x0)為函數(shù)為函數(shù)f(x)的的極小值極小值函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值極值，使函數(shù)取，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)

6、極值點(diǎn)0(, )xN x 第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) xyoab1x2x3x4x5x)(xfy f(x)的極小值點(diǎn)的極小值點(diǎn):f(x)的極大值點(diǎn)的極大值點(diǎn):1x2x3x4x5x第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 定理定理3.2.2（極值的必要條件）（極值的必要條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處處可導(dǎo)，且在點(diǎn)可導(dǎo)，且在點(diǎn) x0處取得極值，那么函數(shù)處取得極值，那么函數(shù) f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的處的導(dǎo)數(shù)為零，即導(dǎo)數(shù)為零，即 f (x0) =0極值的必要條件極值的必要條件第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函

7、數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 1、可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必是它的駐點(diǎn)、可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必是它的駐點(diǎn).從而有幾何意義從而有幾何意義: 可導(dǎo)函數(shù)的圖形在極值點(diǎn)處的切線是可導(dǎo)函數(shù)的圖形在極值點(diǎn)處的切線是與與 x 軸平行的軸平行的 (羅爾定理羅爾定理) .2、對(duì)可導(dǎo)函數(shù)來(lái)說(shuō)、對(duì)可導(dǎo)函數(shù)來(lái)說(shuō), 駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).即曲線上有水平切線的地方即曲線上有水平切線的地方, 函數(shù)不一定有極值函數(shù)不一定有極值. 如如3( ),f xx ox3yx y(0)0f 2( )3fxx , ,則則x =0 為為 f (x) = x3 的駐點(diǎn)的駐點(diǎn).如圖：如圖：x =0 不是不是f (x) = x3 的極值點(diǎn)的極值點(diǎn).說(shuō)明

8、：說(shuō)明：第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 3、對(duì)于函數(shù)、對(duì)于函數(shù)y = |x| , 我們已知我們已知 x = 0 是函數(shù)的連續(xù)不是函數(shù)的連續(xù)不可導(dǎo)點(diǎn)可導(dǎo)點(diǎn). 但但x = 0是函數(shù)的極小值點(diǎn)是函數(shù)的極小值點(diǎn). 如圖如圖.oxy=|x|實(shí)際上實(shí)際上, 連續(xù)不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)連續(xù)不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn). 因而函數(shù)還可能在連續(xù)不可導(dǎo)點(diǎn)處取得極值因而函數(shù)還可能在連續(xù)不可導(dǎo)點(diǎn)處取得極值.第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 定理定理3.2.3（極值的第一充分條件）（極值的第一充分條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0某個(gè)空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)

9、（某個(gè)空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)（ f (x0)可以不存在），可以不存在），x為該為該鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)，鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)，（1）當(dāng)）當(dāng)x0 ，當(dāng)，當(dāng)xx0時(shí)時(shí)f (x)0 ，則，則f(x0)為為函數(shù)函數(shù)f(x)的極大值；的極大值；（2）當(dāng)）當(dāng)xx0時(shí)時(shí) f (x)x0時(shí)時(shí)f (x)0 ，則，則f(x0)為為函數(shù)函數(shù)f(x)的極小值；的極小值；（3）當(dāng)）當(dāng)xx0時(shí)時(shí)f (x)的符號(hào)相同，則的符號(hào)相同，則f(x0)不是函不是函數(shù)數(shù)f(x)的極值的極值極值的充分條件極值的充分條件第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) xyoxyo0 x0 x (是極值點(diǎn)情形是極值點(diǎn)情形)xyoxyo0

10、 x0 x (不是極值點(diǎn)情形不是極值點(diǎn)情形)第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 定理定理3.2.4（極值的第二充分條件）（極值的第二充分條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處二階可導(dǎo)，且處二階可導(dǎo)，且 f (x0)=0， f (x0) 0 ，則則（1）當(dāng)）當(dāng)f (x0) 0時(shí)，函時(shí)，函 f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0 處取得極小值處取得極小值第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) （1）確定函數(shù)）確定函數(shù)f(x)的考察范圍，（除指定范圍外，考的考察范圍，（除指定范圍外，考察范圍一般是指函數(shù)定義域）；察范圍一般是指函數(shù)定義域）；（2）求出函

11、數(shù)）求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) f (x)；求出函數(shù)求出函數(shù) f(x)的所有的所有駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)，即求出駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)，即求出f (x)=0的根和的根和 f (x)不存在的不存在的點(diǎn)；點(diǎn)； （3）列表，利用第一充分條件或第二充分條件，判）列表，利用第一充分條件或第二充分條件，判定上述駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)是否為函數(shù)的極值點(diǎn)，并求出定上述駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)是否為函數(shù)的極值點(diǎn)，并求出相應(yīng)的極值相應(yīng)的極值 求極值的方法：求極值的方法：第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 例例8 求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值23( )(2)(1)f xxx（3）列表）列表（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋┖瘮?shù)

12、的定義域?yàn)?- ,+ )；x( )fx ( )f x(- ,-2) 0(-2,-4/5) -4/5(1,+ )+極大值極大值 0-0+所以所以f(x)在在x=0處取得極大值為處取得極大值為0，在，在x=-4/5 處取得極小處取得極小值為值為-8.4（2） ,無(wú)不可導(dǎo)點(diǎn)無(wú)不可導(dǎo)點(diǎn)2( )(2)(1) (54)fxxxx 令令f (x)=0 ，得，得12342,15xxx 0極小值極小值 -8.4(-4/5，1)+10無(wú)極值無(wú)極值解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 例例9 求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值32( )26187f xxxx令令f (x)=0 ，得，得（

13、1）函數(shù)的定義域?yàn)椋┖瘮?shù)的定義域?yàn)?- ,+ )； 所以所以f(x)在在x=-1處取得極大值為處取得極大值為17，在，在x=3 處取得處取得極小值為極小值為-47（2） ,無(wú)不可導(dǎo)點(diǎn)無(wú)不可導(dǎo)點(diǎn)( )6(3)(1)fxxx 121,3xx （3）22( )6(1)(51)fxxx 因?yàn)橐驗(yàn)? 1)240f (3)240f 解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 定義定義3.2.2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間I上有定義，上有定義，x1,x2 I ， （1）若）若 x I ，都有，都有f(x) f(x1) 成立，則稱成立，則稱f(x1)為函數(shù)為函數(shù) f(x)的

14、的最大值最大值， x1為函數(shù)為函數(shù)f(x)的的最大值點(diǎn)最大值點(diǎn)；（2）若）若 x I ，都有，都有f(x) f(x2)成立，則稱成立，則稱f(x2)為函數(shù)為函數(shù)f(x)的的最小值最小值，x2為函數(shù)為函數(shù)f(x)的的最小值點(diǎn)最小值點(diǎn) 函數(shù)的最大值與最小值統(tǒng)稱為函數(shù)的函數(shù)的最大值與最小值統(tǒng)稱為函數(shù)的最值最值，使函，使函數(shù)取得最值的點(diǎn)稱為數(shù)取得最值的點(diǎn)稱為最值點(diǎn)最值點(diǎn)三、函數(shù)的最值三、函數(shù)的最值第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) oxyoxybaoxyabab第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 1. 最值是一個(gè)整體概念，在某一范圍內(nèi)

15、，最值若存在，最值是一個(gè)整體概念，在某一范圍內(nèi)，最值若存在，只能是唯一的；只能是唯一的；2. 最值點(diǎn)可以是最值點(diǎn)可以是 I 內(nèi)部的點(diǎn)，也可以是端點(diǎn)；內(nèi)部的點(diǎn)，也可以是端點(diǎn)；3. 如果最值點(diǎn)不是如果最值點(diǎn)不是I 的端點(diǎn)，那么它必定是極值點(diǎn)；極的端點(diǎn)，那么它必定是極值點(diǎn)；極值點(diǎn)不一定是最值點(diǎn)值點(diǎn)不一定是最值點(diǎn)4. 當(dāng)函數(shù)存在當(dāng)函數(shù)存在唯一唯一的極值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)的極大（?。┲档臉O值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)的極大（?。┲稻褪呛瘮?shù)的最大（?。┲稻褪呛瘮?shù)的最大（小）值. .說(shuō)明：說(shuō)明：第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) （2）求出函數(shù)）求出函數(shù) f (x)在內(nèi)的所有可能極值點(diǎn)：駐點(diǎn)及不在

16、內(nèi)的所有可能極值點(diǎn)：駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)，即求出可導(dǎo)點(diǎn)，即求出 f (x)=0的根和的根和 f (x)不存在的點(diǎn)；不存在的點(diǎn)； （3）計(jì)算函數(shù)）計(jì)算函數(shù)f (x)在駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)處及端點(diǎn)在駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)處及端點(diǎn)a，b處處的函數(shù)值；的函數(shù)值； （4）比較這些函數(shù)值，其中最大者的即為函數(shù)的最）比較這些函數(shù)值，其中最大者的即為函數(shù)的最大值，最小者的即為函數(shù)的最小值大值，最小者的即為函數(shù)的最小值 （1）確定函數(shù)確定函數(shù)f(x)的考察范圍（除指定范圍外，考察范的考察范圍（除指定范圍外，考察范圍一般是指函數(shù)定義域）；圍一般是指函數(shù)定義域）；求最值的方法（一）：求最值的方法（一）：第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)

17、用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 例例10 求函數(shù)求函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間0,4 上的最值上的最值.32231225yxxx （3）計(jì)算得）計(jì)算得f(-1)=32,f(2)=5,又又f(0)=25,f(4)=57（1）考察區(qū)間為）考察區(qū)間為0,4 ； 所以所以f(x)在區(qū)間在區(qū)間 0,4上的最大值是上的最大值是f(4)=57 ,最小值最小值是是 f(2)=5 （2） ,無(wú)不可導(dǎo)點(diǎn)無(wú)不可導(dǎo)點(diǎn)2( )6612fxxx 令令f (x)=0 ，得，得121,2xx 解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) （1）當(dāng)）當(dāng)f (x0) 是極大值時(shí)，是極大值時(shí)， f (x0)

18、 就是區(qū)間就是區(qū)間I上的最大值上的最大值； （2）當(dāng)）當(dāng)f (x0) 是極小值時(shí)，是極小值時(shí)， f (x0) 就是區(qū)間就是區(qū)間I上的最小值上的最小值. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)，且只有唯一駐點(diǎn)內(nèi)可導(dǎo)，且只有唯一駐點(diǎn)x0，又又x0是是f(x)的極值點(diǎn)，則的極值點(diǎn)，則xyo0 x（）I)(0 xf)(xfy xyo0 x（）I)(0 xf)(xfy 求最值的方法（二）：求最值的方法（二）：第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) x R,有有2( )4(21)(1)fxxxx 令令 f (x)=0有唯一駐點(diǎn)有唯一駐點(diǎn)1,2x 假設(shè)假設(shè)441( )(1)8

19、f xxx 例例11 證明：證明： x R,有有441(1)8xx 22( )1212(1) ,fxxx 1( )60,2f 又又1( )02f 所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)在在x=1/2 處取得極小值，即最小值處取得極小值，即最小值441(1)8xx 因而因而 x R,有有f(x)0即即證明證明第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 在在實(shí)際問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題中中,往往根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)就可以斷定可往往根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)就可以斷定可導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x) 必存在最大值必存在最大值(或最小值或最小值),而且一定在定義區(qū)而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取到間內(nèi)部取到.這時(shí)這時(shí),如果如果f(x)在

20、定義區(qū)間在定義區(qū)間內(nèi)部?jī)?nèi)部只有只有唯一唯一駐駐點(diǎn)點(diǎn)x0,那么那么,可以斷定可以斷定f(x0)就是最大值就是最大值(或最小值或最小值). (不必討不必討論論f(x0)是否為極值是否為極值).求最值的方法（三）：求最值的方法（三）：第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 例例12 要做一個(gè)容積為要做一個(gè)容積為V的有蓋圓柱形水桶，問(wèn)半的有蓋圓柱形水桶，問(wèn)半徑徑r與桶高與桶高h(yuǎn)如何確定，可使所用材料最省？如何確定，可使所用材料最省？假設(shè)水桶表面積為假設(shè)水桶表面積為S，則，則容積容積要使所用材料最省，就要使水桶表面積最小要使所用材料最省，就要使水桶表面積最小222 (0)S

21、rr hr 2Vr h 2Vhr 222VSrr 224VSrr 解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 令令S (r)=0,得唯一的駐點(diǎn)得唯一的駐點(diǎn)302Vr 此時(shí)此時(shí)h=2r0 ，所以當(dāng)半徑，所以當(dāng)半徑r為為 ，桶高，桶高h(yuǎn)為為 時(shí)，可使所用材料最省時(shí)，可使所用材料最省322V 32V 第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) (1)根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)；(2)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定函數(shù)的定義域；根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定函數(shù)的定義域；(3) 求出駐點(diǎn)；若定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間且駐點(diǎn)只有一個(gè)，則求出駐點(diǎn)；若定義域?yàn)殚_(kāi)

22、區(qū)間且駐點(diǎn)只有一個(gè)，則該駐點(diǎn)所對(duì)應(yīng)函數(shù)值就是所求該駐點(diǎn)所對(duì)應(yīng)函數(shù)值就是所求. 如果駐點(diǎn)有多個(gè)，且函數(shù)既存在最大值也存在最小如果駐點(diǎn)有多個(gè)，且函數(shù)既存在最大值也存在最小值，則需比較這幾個(gè)駐點(diǎn)處的函數(shù)值，其中最大值即值，則需比較這幾個(gè)駐點(diǎn)處的函數(shù)值，其中最大值即為所求最大值，其中最小值即為所求最小值為所求最大值，其中最小值即為所求最小值.實(shí)際問(wèn)題求最值實(shí)際問(wèn)題求最值第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 曲線的凹凸性是描述函數(shù)性狀的一個(gè)更深入的概念曲線的凹凸性是描述函數(shù)性狀的一個(gè)更深入的概念. .例如：例如：2.yxyx , ,yxo2xy21xy 四、曲線的凹凸性四

23、、曲線的凹凸性第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) xy)2(21xxf)(2xf)(1xf1x221xx 2xoxy)(1xf)(2xf1x221xx )2(21xxf2xo曲線曲線(1)(1)上任意兩點(diǎn)上任意兩點(diǎn)(x1,f(x1),(x2,f(x2)之間的弦上的點(diǎn)之間的弦上的點(diǎn)位于曲線相應(yīng)點(diǎn)的下面，即位于曲線相應(yīng)點(diǎn)的下面，即曲線在弦之上曲線在弦之上；曲線；曲線(2)則則相反，相反，曲線在弦之下曲線在弦之下.幾何解釋幾何解釋第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 定義定義3.2.3 設(shè)設(shè)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上連續(xù)上連續(xù) 如果

24、對(duì)如果對(duì)(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1 x2 恒有恒有 那么稱那么稱f(x)在在a,b上的圖形是上的圖形是凹凹的（記為的（記為“ ”）；如）；如果恒有果恒有那么稱那么稱f(x)在在a,b上的圖形是上的圖形是凸凸的（記為的（記為“ ”）；）；1212()()()22xxf xf xf 1212()()()22xxf xf xf 第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) (1)(1)觀察切線與曲線的位置關(guān)系觀察切線與曲線的位置關(guān)系. .xyo)(xfy abABxyo)(xfy abBA(1) 凹凹曲線位于其任一點(diǎn)切線的上方；凸曲線位于其任一點(diǎn)切線的上方；凸曲線曲線

25、位于其任一點(diǎn)切線的下方位于其任一點(diǎn)切線的下方(2)(2)觀察切線斜率的變化與曲線凹凸性的關(guān)系觀察切線斜率的變化與曲線凹凸性的關(guān)系. .(2) 凹凹切線斜率單調(diào)遞增切線斜率單調(diào)遞增；凸；凸切線斜率單調(diào)遞切線斜率單調(diào)遞減減觀察與思考觀察與思考第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 定義定義3.2.4 曲線凹與凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)曲線凹與凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)如果如果(x0, f(x0)是拐點(diǎn)且是拐點(diǎn)且f (x0)存在存在, 問(wèn)問(wèn)f (x0)=？如何找可能的拐點(diǎn)？如何找可能的拐點(diǎn)？如何確定曲線如何確定曲線y f(x)的拐點(diǎn)？的拐點(diǎn)？oxyy= (x)aABbcC討

26、論討論第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) (1)在拐點(diǎn)在拐點(diǎn)(x0, f(x0)處處f (x0)=0或或f (x0)不存在不存在. (2)只有只有f (x0)等于零或不存在等于零或不存在, (x0, f(x0)才可能是拐點(diǎn)才可能是拐點(diǎn).(3) 如果在如果在x0的左右兩側(cè)的左右兩側(cè)f (x)異號(hào)異號(hào), 則則(x0, f(x0)是拐點(diǎn)是拐點(diǎn). (2)拐點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)拐點(diǎn)是曲線上的點(diǎn), 從而拐點(diǎn)的坐標(biāo)需用從而拐點(diǎn)的坐標(biāo)需用橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)同時(shí)表示縱坐標(biāo)同時(shí)表示, 不能僅用橫坐標(biāo)表示不能僅用橫坐標(biāo)表示. 這與駐點(diǎn)及極這與駐點(diǎn)及極值點(diǎn)的表示方法不一樣值點(diǎn)的表示方法

27、不一樣.(1)拐點(diǎn)一定是拐點(diǎn)一定是f (x)=0或不存在的點(diǎn)，但是或不存在的點(diǎn)，但是f (x)=0或或不存在的點(diǎn)不一定都是拐點(diǎn)不存在的點(diǎn)不一定都是拐點(diǎn).結(jié)論結(jié)論注意注意第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 定理定理3.2.5 設(shè)設(shè)f(x)在在a b上連續(xù)上連續(xù) 在在(a b)內(nèi)具有二內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù). 若在若在(a b)內(nèi)內(nèi)f (x)0 則則f(x)在在a b上的圖形是凹的上的圖形是凹的 若在若在(a b)內(nèi)內(nèi)f (x)0 則則f(x)在在a b上的圖形是凸的上的圖形是凸的 曲線凹凸性判定定理曲線凹凸性判定定理第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié)

28、函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 若曲線若曲線y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0連續(xù)，連續(xù)， f (x0)=0或不存在，或不存在， f (x)在在x0兩側(cè)異號(hào)，則點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，則點(diǎn)(x0, f(x0)是曲線的一個(gè)拐點(diǎn)是曲線的一個(gè)拐點(diǎn)(1)確定函數(shù)的定義域；確定函數(shù)的定義域；(2)在定義域內(nèi)求在定義域內(nèi)求 f (x)=0的點(diǎn)和的點(diǎn)和f (x)不存在的點(diǎn)；不存在的點(diǎn)；(3)用上述點(diǎn)劃分定義域，并用上述點(diǎn)劃分定義域，并列表列表判別函數(shù)的凹凸性判別函數(shù)的凹凸性拐點(diǎn)的判定：拐點(diǎn)的判定：求曲線凹向區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟：求曲線凹向區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟：第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) f (x) 沒(méi)有為

29、沒(méi)有為0的點(diǎn)，但是的點(diǎn)，但是x=4時(shí)，時(shí)， f (x)不存在，不存在，253312(4),(4)39yxyx 例例13 討論曲線討論曲線 的凹向區(qū)間與拐的凹向區(qū)間與拐點(diǎn)點(diǎn)132(4)yx xf (x)f (x)(- ,4)4(4 ,+ )+-不存在不存在 拐點(diǎn)拐點(diǎn)(4,2)（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋┖瘮?shù)的定義域?yàn)?- ,+ )；解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 定義定義3.2.5 若曲線若曲線L上的動(dòng)點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn)P沿著曲線無(wú)限地遠(yuǎn)沿著曲線無(wú)限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)離原點(diǎn)時(shí),點(diǎn)點(diǎn)P與一條定直線與一條定直線C的距離趨于零的距離趨于零,則稱直線則稱直線 C為曲線為曲線L的的漸

30、近線漸近線當(dāng)當(dāng)C垂直于垂直于x軸時(shí)軸時(shí),稱稱C為曲線為曲線L的的垂直漸近線垂直漸近線; 當(dāng)當(dāng)C垂直于垂直于y軸時(shí)軸時(shí),稱稱C為曲線為曲線L的的水平漸近水平漸近線線五、曲線的漸近線五、曲線的漸近線第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 11 xy例如，對(duì)于曲線例如，對(duì)于曲線 來(lái)說(shuō)，來(lái)說(shuō)，, 011lim xx所以直線所以直線 y = 0 是曲線是曲線11 xy的水平漸近線的水平漸近線lim( ),xf xb lim( ),xf xb 若若 或或 則稱直線則稱直線 y = b 為曲線為曲線 y = f (x) 的水平漸近線的水平漸近線 .yxO11 xyy = 0（1

31、）水平漸近線）水平漸近線第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 所以直線所以直線2 2 yy與與都是該曲線的水平漸近線都是該曲線的水平漸近線 .又如，曲線又如，曲線，2arctanlim xx,2arctanlim xx2 yxO2 y = arctan xarctanyx 第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 例如，對(duì)于曲線例如，對(duì)于曲線y = ln x來(lái)說(shuō)，來(lái)說(shuō)，0lim lnxx ，所以直線所以直線 x = 0 是曲線是曲線y = ln x的垂直漸近線的垂直漸近線0lim( )xxf x 0lim( )xxf x ，若若 ,或

32、或 或或 則稱直線則稱直線 x = x0 為曲線為曲線 y = f (x) 的垂直漸近線的垂直漸近線.0lim( ),xxf x yxOy = ln x（2）垂直漸近線）垂直漸近線第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 所以直線所以直線x=1是該曲線的水平漸近線是該曲線的水平漸近線 .又如，曲線又如，曲線11lim,1xx 11yx 1yxO11 xy第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 所以，所以，y=2為水平漸近線為水平漸近線;1lim(2)21xx 例例14 求曲線求曲線 的漸近線的漸近線.121yx 11lim(2),1xx 所以，所以，x=1為垂直漸近線為垂直漸近線.21解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 所以，所以，x=0為垂直漸近線為垂直漸近線; 204(1)lim2xx,x - -例例15 求曲線求曲線 的