視兒童角膜前表面數(shù)學(xué)模型的建立及非球面的評(píng)價(jià)

1、視兒童角膜前表面數(shù)學(xué)模型的建立及非球面的評(píng)價(jià)    【摘要】     目的 通過二次曲線方程來描述正視兒童角膜前表面的二維空間形態(tài)，根據(jù)各子午線非球面性的變化規(guī)律推導(dǎo)出其三維形態(tài)的數(shù)學(xué)表達(dá)式及非球面性變化規(guī)律表達(dá)式。方法 隨機(jī)選取在本院進(jìn)行常規(guī)體檢的正常兒童77例（77只右眼），分別用Humphrey ALTAS和Orbscan-角膜地形圖系統(tǒng)進(jìn)行測(cè)量，并記錄前表面軸向圖36條子午線（從0°開始，每間隔10°取子午線至350°）上4.5 mm內(nèi)所有點(diǎn)的曲率值。通過建立三維座標(biāo)

2、系、座標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)、解方程組，求得各個(gè)子午線上的二次曲線表達(dá)式及Q值。根據(jù)36條子午線Q值，求得最適二次曲面方程式及Q值變化規(guī)律的函數(shù)表達(dá)式。結(jié)果 角膜前表面各截痕的Q值介于10.5之間。配對(duì)t檢驗(yàn)顯示，兩種儀器各截痕Q差值在0°、10°、20°、30°、170°、180°、190°、200°、210°、220°、350°子午線差異無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。角膜前表面的二次曲面方程為：+=1（Orbscan-）；+=1（Humphrey ALTAS）。角膜前表面Q值變化規(guī)律為：Q=-1+（Orbsca

3、n-）；Q=-1+（Humphrey ALTAS）。結(jié)論 正視兒童角膜前表面各截痕形態(tài)均為橢圓形，在水平、近水平方向上為長(zhǎng)橢圓形。正視兒童角膜前表面為長(zhǎng)軸在Z軸、短軸在Y軸的長(zhǎng)橢球面。各截痕的Q值隨角度變化呈正弦規(guī)律。     【關(guān)鍵詞】  角膜地形圖；角膜，前表面；兒童；數(shù)字模型     A mathematical model of the corneal anterior surface of emmetropic children and an evaluation of aspheri

4、city    ZHU Leru*， WANG Bo， SHI Mingguang*.    * Department of Ophthalmology， the econd Affiliated Hospital of Wenzhou Medical College， Wenzhou China， 325000    Abstract  Objective  To describe the shape of the planar space of the corneal anteri

5、or surface of children with emmetropia by using a conic section， and then to plot the changes in asphericity on 36 meridians to deduce the formulae of the three-dimensional shape of the corneal anterior surface. Methods  Seventy-seven right eyes of 77 children were measured with both the Humphr

6、ey ALTAS and Orbscan-. The curvature of all the points on 36 meridians (per 10° from 0° to 350°)， limited to a 4.5 mm zone， was collected. A coordinate was established with the horizontal， vertical and optical axis defined as the X， Y and Z axis. A circumrotation was then made. The fo

7、rmulae were calculated and the Q of 36 meridians， deduced from the formulae of the anterior surface， identified the shift rule of asphericity. Results The Q of the anterior surface was between 10.5. There was no significant difference in Q between the two instruments for the following meridians： 0&#

8、176;， 10°， 20°， 30°， 170°， 180°， 190°， 200°， 210°， 220° and 350°. The formulae of the anterior surface were：+=1（Orbscan-）；+=1（Humphrey ALTAS）.The change in Q followed the meridians： Q=-1+（Orbscan-）；Q=-1+（Humphrey ALTAS）. Conclusion The formulae of ea

9、ch meridian of the corneal anterior surface are ellipses， and the asphericity of the horizontal or near-horizontal meridians are prolate ellipses. The formulae of the anterior surface are ellipsoids， with the major axis on the Z axis and the short axis on the Y axis.The Q is related to the sine of t

10、he angles.    Key words  corneal topography； cornea，anterior surface； children； mathematical model隨著角膜地形圖系統(tǒng)的飛速發(fā)展，人們對(duì)角膜形態(tài)的研究進(jìn)入了新的階段，不斷尋找最合適的數(shù)學(xué)表達(dá)式1- 4來描述其空間形態(tài)，但至今未提出兒童角膜三維空間數(shù)學(xué)模型。同時(shí)，關(guān)于正視兒童角膜非球面性的研究，國內(nèi)外報(bào)道較少5-6。目前，計(jì)算機(jī)輔助角膜地形圖系統(tǒng)（computerized video keratography，CVK）已經(jīng)成為測(cè)量角膜形態(tài)的金標(biāo)準(zhǔn)，其種類繁多，而

11、基于Placido盤的角膜地形圖系統(tǒng)和Orbscan-是臨床研究應(yīng)用最多的兩種儀器，研究表明它們?cè)诿枋鼋悄で氨砻嫘螒B(tài)變化時(shí)既有差異又有共性7。    本研究分別使用Humphrey ALTAS（基于Placido盤的角膜地形圖系統(tǒng)）和Orbscan-對(duì)正視兒童角膜進(jìn)行測(cè)量，將兩種儀器所得數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，用二次曲面方程來反映正視兒童角膜前表面空間形態(tài)的本質(zhì)特征，并探討各子午線非球面性隨角度變化的規(guī)律。             1  資料

12、和方法    11  臨床資料    111  檢查對(duì)象  序貫選擇在本院進(jìn)行常規(guī)體檢的正常兒童77例（77只右眼），其中女30例（30眼），男47例（47眼），年齡711歲，平均（8.75±1.20）歲。    112  入選標(biāo)準(zhǔn)  遠(yuǎn)、近裸眼視力均5.0（標(biāo)準(zhǔn)五分記錄法），檢影驗(yàn)光無明顯屈光不正。既往無器質(zhì)性眼病史及全身病史者。    12  檢查儀器   ZEIZZ公司生產(chǎn)的Hum

13、phrey ATLASTM Model 991（version A12）及Salt Lake City生產(chǎn)的BAUSCH & LOMB SURGICAL（version 3.0）。    13  檢查方法  同一熟練技術(shù)人員對(duì)每位被檢查對(duì)象分別進(jìn)行兩種儀器的測(cè)量，檢查均在上午9：0011：00點(diǎn)進(jìn)行，順序隨機(jī)，檢查過程中不使用人工淚液。每種儀器分別測(cè)量3次，選擇最佳影像采集數(shù)據(jù)。    14  數(shù)據(jù)采集  分別取兩種儀器前表面軸向圖36條子午線（從0°開始，每間隔10°

14、;取子午線至350°）上4.5 mm內(nèi)所有點(diǎn)的曲率值K。記錄為（R，?茲，F(xiàn)）（R：測(cè)量點(diǎn)距離角膜頂點(diǎn)的距離，單位mm；?茲：子午線的度數(shù)，單位°；F：曲率值，單位D）。    15  建立數(shù)學(xué)模型    151  建立Cartisian坐標(biāo)系  以角膜頂點(diǎn)為坐標(biāo)軸中心，0180°為X軸，90°270°為Y軸，光軸為Z軸，建立Cartisian三維坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y，z）。    其中   

15、; x=R·cos?茲y=R·sin?茲z=z    152  計(jì)算各截痕二次曲線方程  將X-Y坐標(biāo)平面繞Z軸進(jìn)行，能使各子午線的截痕在新坐標(biāo)下的x或y為0，從而得到其二次曲線方程。假設(shè)使得這條子午線位于新坐標(biāo)系XYZ下Y的軸上，可得出式：    ()2=a1z+a2()2=0x=sin?茲-cos?茲y=cos?茲+sin?茲z=    又根據(jù)Bakers方程式8y=、曲率半徑公式r=、式、式，經(jīng)三角函數(shù)推導(dǎo)可得式n1.376（Orbscan-），n1.3375

16、（Humphrey ALTAS）：    =+(1+a2)22=R2    任取子午線上兩點(diǎn)代入式，便可求得一組a1和a2。為使所得二次曲線無限接近真實(shí)形態(tài)，需多次反復(fù)取點(diǎn)代入求平均值。如一條子午線上有n點(diǎn)，那么就取次。          153  計(jì)算各截痕Q值  根據(jù)Q=-(a2+1)，代入36條子午線上平均a2值得Q值。    154  推導(dǎo)二次曲面方程式  由于二維空間

17、各截痕的形態(tài)與三維空間形態(tài)是呈一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的（見表1），故根據(jù)36條子午線的Q值可大致判斷角膜的三維形態(tài)，在二次曲面公式中選取合適的公式進(jìn)行擬合，得到通用方程。現(xiàn)以橢球面為例，進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)：設(shè)在原坐標(biāo)系下橢球面可表示為：    +=1    由、可得式    c=(cos2?茲+sin2?茲)    將36條子午線的a1、a2值代入中便可得36個(gè)c，求其平均值并代入，然后任取兩個(gè)不同的?茲解得 a、b值，共可取630次，求平均值。    155&

18、#160; 推導(dǎo)Q值隨?茲變化的關(guān)系式  現(xiàn)以橢球面為例，說明數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程。結(jié)合式及Q與a2的關(guān)系式，可得Q=-1+，故可假設(shè)Q與?茲滿足：Q=-1+， 根據(jù)36條子午線的Q值及對(duì)應(yīng)的?茲，由最小二乘法求得x、y值。    16  數(shù)據(jù)的導(dǎo)出及處理  分別將Humphrey ALTAS及Orbscan-的原始數(shù)據(jù)導(dǎo)出，并保存為.txt格式。用maple 8軟件進(jìn)行編程，實(shí)現(xiàn)任意多次取點(diǎn)及所有計(jì)算。    17  統(tǒng)計(jì)學(xué)方法  采用SPSS 12.0統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。使用Kolmog

19、orov-Smirnov Test進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，采用配對(duì)t檢驗(yàn)來檢驗(yàn)一致性，Pearson相關(guān)系數(shù)進(jìn)行相關(guān)分析。部分?jǐn)?shù)據(jù)采取描述性統(tǒng)計(jì)分析。    2  結(jié)果    21  各子午線a1、a2值及數(shù)學(xué)表達(dá)式  兩種角膜地形圖系統(tǒng)所得各截痕的a10，a20，均服從正態(tài)分布（見表2），故其數(shù)學(xué)表達(dá)式為橢圓方程。    22  各子午線Q值  Q值均服從正態(tài)分布，介于11之間；配對(duì)t檢驗(yàn)顯示，僅11條子午線的Q值一致，余子午線差異均有非常顯著的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（見表

20、3）。    23  各子午線Q值對(duì)稱性評(píng)估  關(guān)于中心對(duì)稱的兩條子午線Q值，配對(duì) t檢驗(yàn)顯示其對(duì)稱性較差；相關(guān)性分析顯示，Orbscan-的Q值對(duì)稱性優(yōu)于Humphrey ALTAS，且集中在垂直軸向(見表4)。    24  角膜前表面二次曲面表達(dá)式  +=1（Orbscan-）；+=1（Humphrey ALTAS）。    25  角膜前表面Q值變化規(guī)律公式  Q=-1+（Orbscan-）；Q=-1+（Humphrey ALTAS）。&

21、#160;   3  討論    3.1  正視兒童角膜前表面各截痕形態(tài)均為橢圓，其中水平、近水平方向上為長(zhǎng)橢圓形。    角膜的非球面性用非球面性參數(shù)（Q值）來評(píng)價(jià)，它描述的是角膜沿子午線截面從中央到周邊變平坦或變陡峭的快慢，其與二次曲線離心率的數(shù)學(xué)關(guān)系式為：Q=-e2。不同范圍的Q值代表不同形狀的二次曲線（見表1）。Orbscan- 36條子午線中有29條子午線的Q值均數(shù)介于01之間，余7條大于0，提示36條子午線的截痕形態(tài)均為橢圓且大部分為長(zhǎng)橢圓。Humphrey ALTAS所得各截痕Q值

22、均數(shù)在01之間，提示36條子午線的截痕形態(tài)均為長(zhǎng)橢圓形。故兒童角膜前表面各截痕均為橢圓。    將兩種角膜地形圖系統(tǒng)各截痕的Q值進(jìn)行配對(duì)t檢驗(yàn)（Orbscan-和Humphrey ALTAS），結(jié)果顯示差值的均數(shù)均大于0，即Humphrey ALTAS所描述的角膜前表面形態(tài)更為長(zhǎng)橢圓一些，與既往研究一致7。同時(shí)，兩種儀器的Q值在0°、10°、20°、30°、170°、180°、190°、200°、210°、220°、350°等11條子午線上差異無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義

23、（見表3），而其他子午線Q值差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。也就是說，兩種角膜地形圖系統(tǒng)在描述水平或近水平子午線的角膜形態(tài)時(shí)是比較一致的，而在垂直子午線的描述上存在差異，究其原因，可能為：Orbscan-測(cè)量所需時(shí)間長(zhǎng)于Humphrey ALTAS，在測(cè)量的過程中眼球的水平運(yùn)動(dòng)對(duì)其準(zhǔn)確性造成影響。由于上、下眼瞼的影響，水平或近水平子午線的數(shù)據(jù)采集優(yōu)于垂直或近垂直子午線。Orbscan-測(cè)量時(shí)所投射入眼的光線亮于Humphrey ALTAS，導(dǎo)致被檢查者的不適感增強(qiáng)，影響了淚膜的穩(wěn)定性。讓被檢查者盡量開大眼裂，延長(zhǎng)重復(fù)測(cè)量的時(shí)間間隔，可能會(huì)有助于提高測(cè)量結(jié)果的一致性；同時(shí)兩種儀器在測(cè)量中央?yún)^(qū)、旁中央?yún)^(qū)的一致性

24、明顯好于周邊區(qū)7，由此考慮采用不同區(qū)域的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時(shí)其一致性將發(fā)生變化，這有待進(jìn)一步研究。本研究表明正視兒童角膜水平、近水平方向上的截痕形態(tài)為長(zhǎng)橢圓形。    3.2  正視兒童角膜前表各截痕的Q值具有一定的變化規(guī)律，可用?茲的正弦函數(shù)表示。    兩種儀器各截痕的Q值均數(shù)隨角度的變化而呈現(xiàn)一定的規(guī)律性（見圖1），按順時(shí)針方向，Orbscan-的呈現(xiàn)雙峰變化，而Humphrey ALTAS的則呈現(xiàn)余弦函數(shù)變化?；诒狙芯康臄?shù)學(xué)推導(dǎo)，Q值與sin?茲成函數(shù)關(guān)系。此關(guān)系式能推導(dǎo)出角膜前表面任意角度Q值。公式中的x、y是基于

25、36條子午線的Q值均數(shù)擬合所得，故所得任意角度的Q值是一個(gè)平均參考值。由于每個(gè)人的角膜形態(tài)各不相同，故當(dāng)要了解個(gè)體角膜的Q值時(shí)，需基于個(gè)體數(shù)據(jù)按前思路進(jìn)行推導(dǎo)。    3.3  Q值研究的臨床意義  目前研究角膜前表面Q值的文章眾多，但大多數(shù)都將角膜作為一個(gè)整體進(jìn)行研究，只提供一個(gè)Q值。一個(gè)整體的Q值只能反映形態(tài)變化的平均水平，很難顯示局部細(xì)節(jié)問題。角膜為Toric非球面，也就是說其存在曲率最大和最小子午線，那么這兩條子午線及這兩條子午線間的角膜曲率變化趨勢(shì)是否一致，單用一個(gè)平均后的Q值是很難真實(shí)再現(xiàn)形態(tài)變化細(xì)節(jié)，尤其對(duì)于散光較大的角膜而言。&

26、#160;   臨床上使用的角膜地形圖系統(tǒng)對(duì)人眼角膜前表面的測(cè)量面積可達(dá)95以上，所采集的數(shù)據(jù)點(diǎn)從600025000不等。就本研究中的兩種儀器而言，Humphrey ALTAS共可得4500個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，而Orbscan-測(cè)量點(diǎn)高達(dá)9600點(diǎn)。但令人遺憾的是兩種儀器對(duì)角膜前表面形態(tài)的描述都不完善。在Humphrey ALTAS中，一只眼只給出一個(gè)總體形狀系數(shù)（shape factor，SF），而Orbscan-雖有不同區(qū)域的Q值描述，但沒有關(guān)于各條子午線的形態(tài)評(píng)估；且由于統(tǒng)計(jì)和計(jì)算公式的不同，不能直接將SF、Q值相比較。就這點(diǎn)而言，本研究為不同儀器的Q值計(jì)算軟件的進(jìn)一步完善提供

27、了一個(gè)很好的思路。    兒童正視狀態(tài)的保持有賴于屈光介質(zhì)和眼軸的協(xié)調(diào)發(fā)展。目前國內(nèi)外對(duì)兒童角膜的非球面性研究較少，焦點(diǎn)集中于不同屈光狀態(tài)角膜形態(tài)的區(qū)別及角膜形態(tài)的改變對(duì)屈光不正的進(jìn)展、眼球形態(tài)的影響。Davis等5通過對(duì)643位不同屈光狀態(tài)的兒童的5年隨訪發(fā)現(xiàn)，正視及遠(yuǎn)視兒童的角膜比近視的更為扁長(zhǎng)，在正視兒童和遠(yuǎn)視兒童中前房深度越深則角膜的Q值越正。Horner等9通過對(duì)48位近視兒童的長(zhǎng)期隨訪發(fā)現(xiàn)，主要是眼軸的增長(zhǎng)而不是中央角膜的變陡導(dǎo)致了近視的加深，但近視兒童向近視發(fā)展時(shí)，其角膜將會(huì)向扁橢圓發(fā)展，平均每近視4.00 D，則Q值大概會(huì)改變0.2。那么角膜形態(tài)在

28、屈光狀態(tài)的改變中作用如何，各條子午線在角膜形態(tài)變化中會(huì)起到什么樣的作用，這些都有待進(jìn)一步研究。本研究為更全面而詳細(xì)地研究Q值提供了基礎(chǔ)。    34  正視兒童角膜前表面為近旋轉(zhuǎn)對(duì)稱面  二次曲面（seconddegree surface）為在三維坐標(biāo)（x，y，z）下三元二次代數(shù)方程對(duì)應(yīng)的所有圖形的統(tǒng)稱，根據(jù)形態(tài)可分為橢球面類、雙曲面類、拋物面類及橢圓柱面類等（見表1）。兩種儀器所得數(shù)學(xué)模型均顯示正視兒童角膜前表面為橢球面，且c>a>b，也就是說其最長(zhǎng)軸在X軸（視軸上），短軸在Y軸（垂直軸上）。本研究提出的數(shù)學(xué)表達(dá)式與Douthwa

29、ite等1提出二次曲面方程：x2+y2+pz2-2rZ=0不同。Douthwaite等的公式表示的是旋轉(zhuǎn)橢圓，即將橢球繞軸旋轉(zhuǎn)而成，其在平面上截痕為圓，在不同的子午線上其曲率半徑是相同的。而兒童角膜為oric面10，故Douthwaite等提出的公式不能很好地描述兒童角膜的三維形態(tài)。    值得注意的是，橢球是一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，而真實(shí)的角膜是否如此就不得而知。將關(guān)于Z軸對(duì)稱的兩條子午線的Q值進(jìn)行相關(guān)性分析及配對(duì)t檢驗(yàn)，結(jié)果顯示對(duì)稱性較差，其中Orbscan-測(cè)量和計(jì)算所得結(jié)果中，90°270°（P0.073）、100°280°

30、;(P=0.223)、110°290°(P=0.467)、120°300°(P=0.856)、130°310°(P=0.328)這五對(duì)子午線的Q值對(duì)稱，而Humphrey ALTAS僅140°320°（P0.986）這對(duì)子午線對(duì)稱(見表4)?？梢娊悄闹醒氲街苓叺淖兓厔?shì)在各子午線上不盡相同，即它不是一個(gè)完全旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形。這似乎與文中提出的數(shù)學(xué)模型有出入，其實(shí)不然，因文中提出的為一個(gè)通用公式，只能無限接近真實(shí)值，而不能完全符合。要得出更加精確的二次曲面方程必須實(shí)現(xiàn)公式的個(gè)體化，同時(shí)增多所取的點(diǎn)數(shù)及縮小取值半徑。在高

31、度散光、圓錐角膜、角膜移植術(shù)后、近視激光術(shù)后等角膜對(duì)稱性下降的情況下，二次曲面描述真實(shí)角膜的準(zhǔn)確性將下降。    綜上所述，本研究所提出的二次曲面方程式為非旋轉(zhuǎn)性的橢球面，能很好地反映兒童角膜前表面的非球面性，為角膜地形圖參考值的設(shè)立、三維空間角膜形態(tài)的描述及個(gè)體化Q值的研究提供了很好的依據(jù)，同時(shí)為個(gè)體角膜數(shù)學(xué)模型的建立提供了基礎(chǔ)。但由于其為一個(gè)通用公式，故只能無限接近真實(shí)值，在描述個(gè)體角膜真實(shí)形態(tài)時(shí)將存在一定的誤差，有待進(jìn)一步完善。    【參考文獻(xiàn)】  1 Douthwaite WA， Burek H. Mathematical models of the general corneal surfaceJ. Ophthal Physiol Opt， 1993 ，13 (1)：68-72.