鳳凰初中數(shù)學(xué)配套教學(xué)軟件_知識拓展（完整版）

1、函數(shù)概念的發(fā)展與比較摘要：函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)重要概念之一，從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變，是從函數(shù)概念的系統(tǒng)學(xué)習(xí)開始的.本文從自17世紀(jì)下半葉到現(xiàn)在300年來函數(shù)概念的縱向歷史研究，以及中西方幾種不同課程觀下函數(shù)概念的橫向比較入手， 對函數(shù)概念的教學(xué)方面提出一些觀點與看法.關(guān)鍵詞：函數(shù)函數(shù)概念數(shù)學(xué)教學(xué)函數(shù)概念是全部數(shù)學(xué)概念中最重要的概念之一，縱觀300年來函數(shù)概念的發(fā) 展，眾多數(shù)學(xué)家從集合、代數(shù)、直至對應(yīng)、集合的角度不斷賦予函數(shù)概念以新的 思想，從而推動了整個數(shù)學(xué)的發(fā)展.但正是由于函數(shù)概念的抽象性與層次性，學(xué)生往往不習(xí)慣用集合、對應(yīng)的觀點去解釋函數(shù)關(guān)系，缺乏用函數(shù)思想分析問題和 解決問題的能力.本

2、文擬通過對函數(shù)概念的發(fā)展與比較的研究，對函數(shù)概念的教 學(xué)進(jìn)行一些探索.1. 函數(shù)概念的縱向發(fā)展.1.1早期函數(shù)概念一一幾何觀念下的函數(shù)十七世紀(jì)伽俐略（G . Galileo,意，15641642在兩門新科學(xué)一書中， 幾乎從頭到尾包含著函數(shù)或稱為變量的關(guān)系這一概念，用文字和比例的語言表達(dá)函數(shù)的關(guān)系.1673年前后笛卡爾（Descartes法，1596- 165C）在他的解析幾何 中，已經(jīng)注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關(guān)系，但由于當(dāng)時尚未意識到需要提煉一般的函數(shù)概念，因此直到 17世紀(jì)后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的 時候，數(shù)學(xué)家還沒有明確函數(shù)的一般意義，絕大部分函數(shù)是被當(dāng)作曲線來研究的.1.

3、 2十八世紀(jì)函數(shù)概念代數(shù)觀念下的函數(shù)1718年約翰貝努利（BernoulliJohanr，瑞，1667- 1748）才在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，對函數(shù)概念進(jìn)行了明確定義：由任一變量和常數(shù)的任一形式所 構(gòu)成的量，貝努利把變量X和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“ x的函數(shù)”，表示為 yx,其在函數(shù)概念中所說的任一形式，包括代數(shù)式子和超越式子.18世紀(jì)中葉歐拉（L. Euler，瑞，17071783）就給出了非常形象的，一直 沿用至今的函數(shù)符號f （x）.歐拉給出的定義是：一個變量的函數(shù)是由這個變量 和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達(dá)式.他把約翰貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進(jìn)一步把它區(qū)分為代

4、數(shù)函數(shù)（只有自變量間的代數(shù)運算）和 超越函數(shù)（三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及變量的無理數(shù)幕所表示的函數(shù)），還考慮了 “隨意函數(shù)”（表示任意畫出曲線的函數(shù)），不難看出，歐拉給出的函數(shù)定義比 約翰貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義.1. 3十九世紀(jì)函數(shù)概念對應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)1822年傅里葉（Fourier，法，17681830發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可用曲線表示，也可 用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結(jié)束了函數(shù)概念是否以唯一一個式子 表示的爭論，把對函數(shù)的認(rèn)識又推進(jìn)了一個新的層次.1823年柯西（Cauchy法,1789- 1857從定義變量開始給出了函數(shù)的定義， 同時指出，雖然無窮級數(shù)是規(guī)定 函數(shù)的一種有效方法

5、，但是對函數(shù)來說不一定要有解析表達(dá)式， 不過他仍然認(rèn)為 函數(shù)關(guān)系可以用多個解析式來表示， 這是一個很大的局限，突破這一局限的是杰 出數(shù)學(xué)家狄利克雷.1837年狄利克雷（Dirichlet，德，1805- 1859）認(rèn)為怎樣去建立 x與y之間 的關(guān)系無關(guān)緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：“對于在某區(qū)間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值，那么 y叫做x的函數(shù).”狄利克雷的函數(shù)定 義，出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述，簡明精確，以完全清晰的方式為所有數(shù)學(xué)家無條件地接受至此，我們已可以說，函數(shù)概念、函 數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng)形成，這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義.等到康托爾（Canto

6、r，德，18451918）創(chuàng)立的集合論在數(shù)學(xué)中占有重要地 位之后，維布倫（Veblen,美，18801960）用“集合”和“對應(yīng)”的概念給出 了近代函數(shù)定義，通過集合概念，把函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進(jìn)一步具體 化了，且打破了“變量是數(shù)”的極限，變量可以是數(shù)，也可以是其他對象（點、 線、面、體、向量、矩陣等）.1. 4現(xiàn)代函數(shù)概念一一集合論下的函數(shù)1914年豪斯道夫（F. Hausdorff）在集合論綱要中用“序偶”來定義函 數(shù)其優(yōu)點是避開了意義不明確的“變量”“對應(yīng)”概念，其不足之處是又引入了不明確的概念“序偶” 庫拉托夫斯基（Kuratowski）于1921年用集合概念來定 義“序偶”，

7、即序偶（a, b）為集合a，b，這樣，就使豪斯道夫的定義很 嚴(yán)謹(jǐn)了. 1930年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為，若對集合 M的任意元素x，總有集合N 確定的元素y與之對應(yīng)，則稱在集合 M上定義一個函數(shù)，記為y= f（x） 元素x 稱為自變元，元素y稱為因變元.函數(shù)概念的定義經(jīng)過三百多年的錘煉、變革，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義形式， 但這并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結(jié)，20世紀(jì)40年代，物理學(xué)研究的需要 發(fā)現(xiàn)了一種叫做DiracS函數(shù)，它只在一點處不為零，而它在全直線上的積分卻 等于1,這在原來的函數(shù)和積分的定義下是不可思議的，但由于廣義函數(shù)概念的 引入，把函數(shù)、測度及以上所述的 DiracS函數(shù)等概念統(tǒng)一了起

8、來因此，隨著 以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的其他學(xué)科的發(fā)展，函數(shù)的概念還會繼續(xù)擴(kuò)展.2. 函數(shù)概念的橫向比較.函數(shù)概念，作為世界各國學(xué)生必修的內(nèi)容， 各國對其分配設(shè)置、處理方式不盡相同.下圖對中國與各個西方國家的函數(shù)概念作一橫向比較:函數(shù)概念引入學(xué)習(xí)深化的過程比較中國初三時引入函數(shù)概念，強調(diào)學(xué)生對于函數(shù)概念的形式化定義，用“變 量”來描述函數(shù)概念.高一時用“映射”來刻畫函數(shù)概念.法國四五年級學(xué)生認(rèn)識和使用小數(shù)集上定義的數(shù)值函數(shù).七年級，用圖表表示情景，通過消費、發(fā)展、環(huán)境等讓學(xué)生初步感受 函數(shù).八年級，能用圖、表或解析式等多種方式表示函數(shù)，但不給出嚴(yán)格定 義.九、十年級，用表格、圖表處理一些其他領(lǐng)域的問題，定

9、義處理十分 謹(jǐn)慎.高中時，大量增加函數(shù)內(nèi)容.日本小學(xué)四年級開始接觸函數(shù)關(guān)系的初步概念，對兩個相依變化的數(shù)量關(guān) 系進(jìn)行研究并用圖表來表示，用式子簡潔的表示數(shù)量關(guān)系.中學(xué)在數(shù)量關(guān)系領(lǐng)域把函數(shù)概念的學(xué)習(xí)劃分為三個階段，滲透函數(shù)思 想.美國九年級以上的各類代數(shù)課本中，都首先定義“有序數(shù)對”“關(guān)系”， 再將函數(shù)定義為一種特殊的關(guān)系.德國初中由機(jī)器運算寄存器的有關(guān)知識展開所熟悉的簡單算法，讓學(xué)生在 編寫簡單程序的同時開始學(xué)習(xí)變量、函數(shù).英國由實際情景得到表達(dá)式，再得到數(shù)據(jù)，描點作出圖象，利用曲線解決j實際問題，在實際問題的解決中引入函數(shù)概念.2. 1函數(shù)概念引入方式上的差異我國教材函數(shù)概念引入方式為：實際

10、例子（問題）一數(shù)學(xué)解答一從過程中提 煉出函數(shù)概念.這種方式更注重函數(shù)概念引入的系統(tǒng)性， 從兩個階段入手，多層 面，多角度地向?qū)W生介紹了以“變量”為基礎(chǔ)的函數(shù)古典定義以及以“集合”為 基礎(chǔ)的現(xiàn)代函數(shù)定義，所呈現(xiàn)的函數(shù)概念結(jié)構(gòu)較系統(tǒng)和完整， 有利于學(xué)生基礎(chǔ)知 識和基本技能的熟練掌握，但學(xué)生對“對應(yīng)關(guān)系”往往缺乏充分的理解，并且函 數(shù)概念引入時間較晚，定義方式理論性較強，比較抽象，不利于學(xué)生深入理解函 數(shù)思想的實質(zhì)，以及自身辯證思維能力的發(fā)展.西方各國函數(shù)概念的引入一般較早，函數(shù)概念引入方式為：實際例子（問題） 一數(shù)學(xué)概念一實際問題.它更注重函數(shù)概念背景知識的鋪墊，重視函數(shù)思想和方 法的掌握，淡化函

11、數(shù)的形式化定義，大多沒有給出具體的函數(shù)概念，而是將實際 應(yīng)用中的問題與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)相聯(lián)系，以問題解決的形式讓學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi) 容，應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識比較突出.2. 2函數(shù)概念與信息技術(shù)結(jié)合程度上的差異我國函數(shù)概念教學(xué)中加強了函數(shù)與其他學(xué)科知識的聯(lián)系，并且結(jié)合各種現(xiàn)代 教育技術(shù)初步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力，逐步提高學(xué)生分析問題、解決實際問題的能 力.但常常局限于用計算器進(jìn)行簡單求解， 用計算機(jī)輔助教學(xué)等內(nèi)容，沒有很好 的引導(dǎo)學(xué)生利用互聯(lián)網(wǎng)資源自主學(xué)習(xí).西方各國大部分函數(shù)概念教學(xué)都與計算機(jī) 技術(shù)教育相結(jié)合，涉及“寄儲器” “算法”等諸多計算機(jī)語言、計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)圖， 很好地培養(yǎng)了學(xué)生動手操作能力，調(diào)動學(xué)生積極思維

12、，有利于學(xué)生樹立正確的數(shù)學(xué)觀，即數(shù)學(xué)不僅是書本上呈現(xiàn)的知識， 而且是廣泛存在于我們的生活空間， 擁 有非常豐富的信息載體，學(xué)生應(yīng)通過自主的學(xué)習(xí)行為去領(lǐng)略書本以外的數(shù)學(xué)世 界.3. 函數(shù)概念教學(xué)的幾點思考3. 1注重函數(shù)概念的早期滲透函數(shù)概念的培養(yǎng)在小學(xué)已經(jīng)開始了， 進(jìn)入中學(xué)，代數(shù)式、方程的研究已滲透 了這一觀念，任何一個含有字母的代數(shù)式，就可以看作它所含字母的函數(shù).所以 教師可以在教學(xué)中，根據(jù)相關(guān)內(nèi)容向?qū)W生滲透函數(shù)的思想， 如代數(shù)式的學(xué)習(xí)，讓 學(xué)生了解到量與量之間的依存性；通過數(shù)的概念的發(fā)展 ，積累學(xué)生關(guān)于“集合” 概念的初步思想；通過數(shù)軸和坐標(biāo)的教學(xué)，滲透關(guān)于“對應(yīng)”概念的初步思想等.通 過

13、這樣的鋪墊，學(xué)生在接觸到嚴(yán)謹(jǐn)而抽象的集合函數(shù)概念時，易于接受.3. 2注重學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念的心理建構(gòu)過程建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：應(yīng)把學(xué)生看成是學(xué)生主動的建構(gòu)活動， 學(xué)習(xí)應(yīng)與一 定的知識、背景即情境相聯(lián)系；在實際情境下進(jìn)行學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生利用已有的 知識與經(jīng)驗同化和索引出當(dāng)前要學(xué)習(xí)的新知識， 這樣獲取的知識，不但易于保持， 而且易于遷移到陌生的問題情境中.在函數(shù)概念教學(xué)中，可以適當(dāng)采用引導(dǎo)討論， 注重分析、啟發(fā)、反饋，先從實際問題引入概念，然后揭示函數(shù)概念的共同特性： （1）問題中所研究的兩個變量是相互聯(lián)系的.（2）其中一個變量變化時，另一個變量也隨著發(fā)生變化.（3）對第一個變量在某一范圍內(nèi)的每一

14、個確定的值， 第二個變量都有唯一確定的值與它對應(yīng). 同時從閱讀、練習(xí)中鞏固概念，再從討 論、反饋中深化概念，讓學(xué)生自己完成從具體到抽象的過程， 避免概念教學(xué)的抽 象與枯燥，使學(xué)生深入理解函數(shù)的實質(zhì)，從而讓學(xué)生較好地完成函數(shù)概念的建構(gòu).3. 3注重函數(shù)概念與信息技術(shù)的適時性、適度性結(jié)合由初中剛進(jìn)高中的高一學(xué)生，思維較為單一，認(rèn)識比較具體，注意力不夠持 久，并且高中數(shù)學(xué)比較抽象，學(xué)生學(xué)習(xí)普遍感到困難，因此在教學(xué)過程中應(yīng)創(chuàng)設(shè) 一些知識情境，借助現(xiàn)代教學(xué)手段多媒體進(jìn)行教學(xué)， 讓學(xué)生在輕松愉快的氛圍中 進(jìn)行學(xué)習(xí).應(yīng)用信息技術(shù)時要根據(jù)教學(xué)需要，學(xué)生需求和課堂教學(xué)過程中出現(xiàn)的 情況適時使用，并且運用要適度，掌握分寸，避免過量信息鈍化學(xué)生的思維.函 數(shù)概念教學(xué)中，教師可以借助于幾何畫板、圖形計算器等現(xiàn)代教學(xué)工具輔助教學(xué)， 鼓勵學(xué)生上機(jī)操作，觀察函數(shù)圖象的變化過程，引導(dǎo)學(xué)生交流與討論，更好的學(xué) 習(xí)和理解函數(shù).3. 4注重