小學數(shù)學思想方法的梳理（五）

1、小學數(shù)學思想方法的梳理（五）課程教材研究所 王永春五、方程和函數(shù)思想1方程和函數(shù)思想的概念。方程和函數(shù)是初等數(shù)學代數(shù)領域的主要內(nèi)容，也是解決實際問題的重要工具，它們都可以用來描述現(xiàn)實世界的各種數(shù)量關系，而且它們之間有著密切的聯(lián)系，因此，本文將二者放在一起進行討論。(1)方程思想。含有未知數(shù)的等式叫方程。判斷一個式子是不是方程，只需要同時滿足兩個條件：一個是含有未知數(shù)，另一個是必須是等式。如有些小學老師經(jīng)常有疑問的判斷題：=0 和=1是不是方程？根據(jù)方程的定義，他們滿足方程的條件，都是方程。方程按照未知數(shù)的個數(shù)和未知數(shù)的最高次數(shù)，可以分為一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等

2、，這些都是初等數(shù)學代數(shù)領域中最基本的內(nèi)容。方程思想的核心是將問題中的未知量用數(shù)字以外的數(shù)學符號（常用、y等字母）表示，根據(jù)相關數(shù)量之間的相等關系構建方程模型。方程思想體現(xiàn)了已知與未知的對立統(tǒng)一。(2)函數(shù)思想。設集合、是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系，如果對于集合中的任意一個數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)y和它對應，那么就稱y是的函數(shù)，記作y()。其中叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；y叫做函數(shù)或因變量，與相對應的y的值叫做函數(shù)值，y的取值范圍叫做值域。以上函數(shù)的定義是從初等數(shù)學的角度出發(fā)的，自變量只有一個，與之對應的函數(shù)值也是唯一的。這樣的函數(shù)研究的是兩個變量之間的對應關系，

3、一個變量的取值發(fā)生了變化，另一個變量的取值也相應發(fā)生變化，中學里學習的正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)都是這類函數(shù)。實際上現(xiàn)實生活中還有很多情況是一個變量會隨著幾個變量的變化而相應地變化，這樣的函數(shù)是多元函數(shù)。雖然在中小學里不學習多元函數(shù)，但實際上它是存在的，如圓柱的體積與底面半徑r和圓柱的高的關系：r²h。半徑和高有一對取值，體積就會相應地有一個取值；也就是說，體積隨著半徑和高的變化而變化。函數(shù)思想的核心是事物的變量之間有一種依存關系，因變量隨著自變量的變化而變化，通過對這種變化的探究找出變量之間的對應法則，從而構建函數(shù)模型。函數(shù)思想體現(xiàn)了運動變

4、化的、普遍聯(lián)系的觀點。2. 方程和函數(shù)的關系。(1)方程和函數(shù)的區(qū)別。從小學數(shù)學到中學數(shù)學，數(shù)與代數(shù)領域經(jīng)歷了從算術到方程再到函數(shù)的過程。算術研究具體的確定的常數(shù)以及它們之間的數(shù)量關系。方程研究確定的常數(shù)和未知的常數(shù)之間的數(shù)量關系。函數(shù)研究變量之間的數(shù)量關系。方程和函數(shù)雖然都是表示數(shù)量關系的，但是它們有本質的區(qū)別。如二元一次不定方程中的未知數(shù)往往是常量，而一次函數(shù)中的自變量和因變量一定是變量，因此二者有本質的不同。方程必須有未知數(shù)，未知數(shù)往往是常量，而且一定用等式的形式呈現(xiàn)，二者缺一不可，如246。而函數(shù)至少要有兩個變量，兩個變量依據(jù)一定的法則相對應，呈現(xiàn)的形式可以有解析式、圖象法和列表法等，

5、如集合為大于等于1 、小于等于10的整數(shù)，集合為小于等于20的正偶數(shù)。那么兩個集合的數(shù)之間的對應關系可以用y2表示，也可以用圖象表示，還可以用如下的表格表示。12345678910y2468101214161820人們運用方程思想，一般關注的是通過設未知數(shù)如何找出數(shù)量之間的相等關系構建方程并求出方程的解，從而解決數(shù)學問題和實際問題。人們運用函數(shù)思想，一般更加關注變量之間的對應關系，通過構建函數(shù)模型并研究函數(shù)的一些性質來解決數(shù)學問題和實際問題。方程中的未知數(shù)往往是靜態(tài)的，而函數(shù)中的變量則是動態(tài)的。方程已經(jīng)有3000多年的歷史，而函數(shù)概念的產(chǎn)生不過才300年。(2)方程和函數(shù)的聯(lián)系。方程和函數(shù)雖然

6、有本質的區(qū)別，但是它們同屬代數(shù)領域，也有密切的聯(lián)系。如二元一次不定方程abyc0和一次函數(shù)ykb，如果方程的解在實數(shù)范圍內(nèi)，函數(shù)的定義域和值域都是實數(shù)。那么方程abyc0經(jīng)過變換可轉化為y ,它們在直角坐標系里畫出來的圖象都是一條直線。因此，可以說一個二元一次方程對應一個一次函數(shù)。如果使一次函數(shù)ykb中的函數(shù)值等于0，那么一次函數(shù)轉化為kb0，這就是一元一次方程。因此，可以說求這個一元一次方程的解，實際上就是求使函數(shù)值為0的自變量的值，或者說求一次函數(shù)圖象與軸交點的橫坐標的值。一般地，就初等數(shù)學而言，如果令函數(shù)值為0，那么這個函數(shù)就可轉化為含有一個未知數(shù)的方程；求方程的解，就是求使函數(shù)值為0的

7、自變量的值，或者說求函數(shù)圖象與軸交點的橫坐標的值。3. 方程和函數(shù)思想的重要意義。16世紀以前，人們主要是應用算術和方程方法解決現(xiàn)實生活中的各種實際問題，方程與算術相比，由于未知數(shù)參與了等量關系式的構建，更加便于人們理解問題、分析數(shù)量關系并構建模型，因而方程在解決以常量為主的實際問題中發(fā)揮了重要作用。到了17世紀，隨著社會的發(fā)展，傳統(tǒng)的研究常量的算術和方程已經(jīng)不能解決以探究兩個變量之間的關系為主的經(jīng)濟、科技、軍事等領域的重要問題，這時函數(shù)便產(chǎn)生了。函數(shù)為研究運動變化的數(shù)量之間的依存、對應關系和構建模型帶來了方便，從而能夠解決比較復雜的問題。概括地說，方程和函數(shù)思想是中小學數(shù)學，尤其是中學數(shù)學的

8、重要內(nèi)容之一。方程和函數(shù)在研究和構建現(xiàn)實世界的數(shù)量關系模型方面，發(fā)揮著重要的不可替代的作用。4. 方程和函數(shù)思想的具體應用。小學數(shù)學在學習方程之前的問題，都通過算術方法解決。在引入方程之后，小學數(shù)學中比較復雜的有關數(shù)量關系的問題，都可以通過方程解決，方程思想是小學數(shù)學的重要思想，其中一元一次方程是小學數(shù)學的必學內(nèi)容。在小學數(shù)學里沒有學習函數(shù)的概念，但是有函數(shù)思想的滲透，與正比例函數(shù)和反比例函數(shù)最接近的正比例關系和反比例關系是小學數(shù)學的必學內(nèi)容。另外，在小學數(shù)學的一些知識中也會滲透函數(shù)思想，如數(shù)與數(shù)的一一對應體現(xiàn)了函數(shù)思想。方程和函數(shù)是小學數(shù)學與初中數(shù)學銜接的紐帶。小學數(shù)學中方程和函數(shù)思想的應用

9、如下表。思想方法知識點應用舉例方程思想方程用一元一次方程解決整數(shù)和小數(shù)等各種問題分數(shù)、百分數(shù)和比例用一元一次方程解決分數(shù)、百分數(shù)和比例等各種問題等量代換二(三)元一次方程組思想的滲透雞兔同籠用方程解決雞兔同籠問題函數(shù)思想加法一個加數(shù)不變，和隨著另一個加數(shù)的變化而變化，可表示為yb的形式，滲透一次函數(shù)的思想積的變化規(guī)律一個因數(shù)不變，積隨著另一個因數(shù)的變化而變化，可表示為yk，滲透正比例函數(shù)思想商的變化規(guī)律除數(shù)不變，商隨著被除數(shù)的變化而變化，可表示為y=，滲透正比例函數(shù)思想；被除數(shù)不變，商隨著除數(shù)的變化而變化，可表示為y，滲透反比例函數(shù)思想正比例關系正比例關系改寫成yk，就是正比例函數(shù)反比例關系反

10、比例關系改寫成y，就是反比例函數(shù)數(shù)列等差數(shù)列、等比數(shù)列、一般數(shù)列的每一項與序號之間的對應關系，都可以看作是特殊的函數(shù)關系?？臻g與圖形長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形的面積公式，長方體、正方體、圓柱、圓錐的體積公式，圓的周長和面積公式等都滲透了函數(shù)的思想統(tǒng)計圖表函數(shù)的列表法與統(tǒng)計表有相似之處4方程和函數(shù)思想的教學。方程和函數(shù)都是義務教育階段重要的數(shù)學思想方法，用方程和函數(shù)表示數(shù)量關系和變化規(guī)律，不僅能體現(xiàn)方程和函數(shù)思想的應用價值，也有助于學生形成模型思想。根據(jù)課程標準的理念，方程和函數(shù)思想的教學應關注以下幾點。(1)方程中的字母、y等代表具體的未知的常數(shù)，即未知數(shù)，這是代數(shù)思想和方程思想

11、的基礎。(2)正比例關系和反比例關系等函數(shù)關系式中的字母、y等代表的是變化的量，即變量，而且這兩個量是相關聯(lián)的量，一個量變化，另一個量會隨之變化，這是函數(shù)思想的基礎。要讓學生體會他們的區(qū)別。(3)結合具體情境，通過分析數(shù)量關系來理解等量關系，并用方程表示等量關系，再通過解方程解決問題，從而認識方程的作用。(4)結合簡單情境，認識成正比例的量或反比例的量，通過分析數(shù)量關系和變化規(guī)律建立比例關系式，再通過解比例解決問題。(5) 能根據(jù)給出的有正比例關系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫圖，并根據(jù)其中一個量的值估計另一個量的值。下面再結合案例談談方程和函數(shù)思想的教學。案例1：媽媽買了3千克香蕉和2千克蘋果，一共花了

12、16元。蘋果的價格是香蕉的2倍多1元，蘋果和香蕉的單價各是多少？分析：題目涉及的是商品的數(shù)量、單價和總價的關系，根據(jù)數(shù)量關系“單價×數(shù)量總價”進行分析，題中出現(xiàn)了兩種商品，總價也是兩種商品的總價。所以等量關系應為“香蕉的單價×香蕉的數(shù)量蘋果的單價×蘋果的數(shù)量總價”。再根據(jù)這個等量關系找出題中已知的量，總價16元、香蕉的數(shù)量3千克和蘋果的數(shù)量2千克。未知的是香蕉和蘋果的單價，也就是題目中要求的量。設香蕉的單價是元千克，蘋果的單價是y元千克。根據(jù)題意，可列出如下方程。32y16，y21。根據(jù)等量代換的原理，兩個方程可合并成一個方程，32(21)16。這是在小學數(shù)學中遇

13、到含有有關系的兩個未知數(shù)的方程時能夠直接列出一個方程的依據(jù)。如和倍、差倍、雞兔同籠等問題，用方程解決也是利用了這個原理。解方程，2, y5。案例2：小明家的果園供游人采摘桃，每千克10元。請寫出銷售桃的總價(總收入)y元與數(shù)量(千克數(shù)) 之間的關系式。如果某天的銷量是50千克，這天的總收入是多少？如果上個月的總收入是12000元，上個月的銷量是多少？分析：此題涉及的也是商品的單價、數(shù)量和總價的關系，仍然要根據(jù)數(shù)量關系“單價×數(shù)量總價”進行分析。根據(jù)題意，已知的量是單價，未知的量是總價和數(shù)量，題目已經(jīng)告訴我們分別用y和表示。因為桃的單價一定，所以它的總價與數(shù)量成正比例，可列關系式：y1

14、0。某天的銷量是50千克，總收入是500元。上個月的總收入是12000元，銷量是1200千克。案例2和案例1相比較，都有兩個量分別用y和表示。案例1中的y和雖然是未知的量，但是它們實際上是具體的靜止的常量，都有一個固定的值，通過解方程可以得到它們的值。案例2的兩個量y和則是相關聯(lián)的變化的量，的取值可以是一定范圍內(nèi) (果園內(nèi)桃子總質量的最大值以內(nèi)) 的任何一個數(shù)，y隨的變化而變化。只有y和中的一個量取一個具體的值時，另一個量才會相應地取一個具體的值。如案例2中的具體問題的解答。案例3：有一批捐贈的圖書分給一個班的學生，如果每人分3本，則還缺15本；如果每人分2本，則剩余25本。這個班有多少學生？分析：根據(jù)題意，這批書的數(shù)量和學生人數(shù)都是定值，那么表示書的數(shù)量的式子應該相等。題目求的是學生的數(shù)量，可設為未知數(shù)，書的數(shù)量可由學生的數(shù)量表示。設這個班有名學生，那么書的數(shù)量可分別表示為315和225，因此，可列方程315225。解方程，40。案例4:無限循環(huán)小數(shù)0.777和0.747474如何化成分數(shù)？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？分析：根據(jù)小數(shù)和分數(shù)的關系，有限小數(shù)化分數(shù)比較容易進行。由于無限循環(huán)小數(shù)具有位數(shù)無限的特點，不能直接用有限小數(shù)化分數(shù)的方法進行。根據(jù)循環(huán)小數(shù)