高三復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)三角函數(shù)學(xué)案-簡單地三角恒等變換

1、實用標準文案簡單的三角恒等變換導(dǎo)學(xué)目標： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟練應(yīng)用 .2.能運用兩角和與差的三角公式進行簡單的恒等變換自主梳理1二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2 _；(2)cos 2_11_；k(3)tan 2_ ( 2且 k4)22公式的逆向變換及有關(guān)變形 sin 2(1)sin cos _? cos ； 2sin 2 2(2) 降冪公式： sin _，cos _；升冪公式： 1cos _ ，1cos _；2 2變形： 1±sin 2sincos ±2sin cos _.自我檢測1(2010 陜·西)函數(shù) f( x)2sin

2、 xcos x 是 ( )A 最小正周期為 2的奇函數(shù)B最小正周期為 2的偶函數(shù)C最小正周期為 的奇函數(shù)D最小正周期為 的偶函數(shù)2函數(shù) f(x)cos 2x2sin x 的最小值和最大值分別為 ( )A 3,1 B2,232C3，32D2，3函數(shù) f(x)sin xcos x 的最小值是 ( )A 1 B1 12 C.2 D14(2011 清·遠月考 )已知 A、B 為直角三角形的兩個銳角， 則 sin A·sin B ( )A 有最大值12，最小值 0B有最小值12，無最大值C既無最大值也無最小值D有最大值12，無最小值探究點一 三角函數(shù)式的化簡2x4cos4x 的最大值

3、和最小值 例 1 求函數(shù) y74sin xcos x4cos4cos4x2cos 2x1變式遷移 1 (2011·泰安模擬 )已知函數(shù) f(x ). x sin x sin4 4精彩文檔實用標準文案11(1) 求 f 的值；12(2) 當 x 0，時，求 g(x)412f(x)sin 2x 的最大值和最小值探究點二 三角函數(shù)式的求值例 2 已知 sin( 2) ·sin(42)1 ，( ，4 4 42tan 11 的值)，求 2sin2 tan 變式遷移 2 (1)已知 是第一象限角，且 cos 5，求13sin 4的值cos 2435(2) 已知 cos(4)， 3 &l

4、t; ，求 cos(22 24)的值探究點三 三角恒等式的證明例 3 (2011·蘇北四市模擬 )已知 sin(2 )3sin ，設(shè) tan x，tan y，記 yf(x)(1) 求證： tan( )2tan ；(2) 求 f(x)的解析表達式；(3) 若角 是一個三角形的最小內(nèi)角，試求函數(shù) f(x)的值域變式遷移 3 求證： 1cos x .sin xsin 2xsin xcos x1 sin xcos x 1轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用例 (12 分)(2010 ·江西)已知函數(shù) f(x)112xmsin xtan x sin4 sin x4 .(1) 當 m0 時，求 f(x

5、)在區(qū)間，83上的取值范圍；4(2) 當 tan 2 時，f()【答題模板】35，求 m 的值解 (1)當 m0 時， f(x) 1cos x2xsin x sin精彩文檔實用標準文案2xsin xcos xsin1cos 2xsin 2x2122sin 2x 1 ，3 分4由已知 x3，得 2x8 45 0， ，4 分4 4所以 sin 2x 42，1 ，5 分21 2從而得 f(x)的值域為 0，2.6 分(2) f(x)sin2xsin xcos xm2 cos 2x1cos 2x 1 m 2sin 2x 2 cos 2x 2 1 1 sin 2 x(1m )cos 2x ，8 分 2

6、22sin cos 2tan 由 tan 2，得 sin 2 2 2 2sin cos 1tan 2sin2 2cos 1tan 3cos 2 .10 分 2sin2 2cos 1tan 545，所以35124 35 51m 12，11 分解得 m2.12 分【突破思維障礙】三角函數(shù)式的化簡是指利用誘導(dǎo)公式、同角基本關(guān)系式、和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式等，將較復(fù)雜的三角函數(shù)式化得更簡潔、更清楚地顯示出式子的結(jié)果化簡三角函數(shù)式的基本要求是： (1)能求出數(shù)值的要求出數(shù)值； (2)使三角函數(shù)式的項數(shù)最少、次數(shù)最低、角與函數(shù)的種類最少； (3)分式中的分母盡量不含根式等1 求值中主要有三類求值問

7、題：(1) “ 給角求值 ”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看是很難的，但仔細觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解(2) “ 給值求值 ”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān) 鍵在于 “ 變角 ”，使其角相同或具有某種關(guān)系(3) “ 給值求角 ” ：實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為 “ 給值求值 ”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角2三角恒等變換的常用方法、技巧和原則： (1) 在化簡求值和證明時常用如下方法：切割化弦法，升冪降冪法，和積互化法，輔助元

8、素法， “1”的代換法等(2) 常用的拆角、拼角技巧如： 2( )( )，( )，( )，2 ， 是 2 2 2的二倍角等4(3) 化繁為簡：變復(fù)角為單角，變不同角為同角，化非同名函數(shù)為同名函數(shù)，化高次為低次，化多項式為單項式，化無理式為有理式消除差異：消除已知與未知、條件與結(jié)論、左端與右端以及各項的次數(shù)、角、函數(shù)名稱、結(jié)構(gòu)等方面的差異精彩文檔實用標準文案(滿分： 75 分) 一、選擇題 (每小題 5 分，共 25 分)1(2011 平·頂山月考 )已知 0<<，3sin 2sin ，則 cos( )等于 ( )A.13 B1 13 C.6 D1625，tan 2已知 t

9、an( )41 ，那么 tan 4 4等于 ( )A.1318B.13223C.2216D.3(2011 石·家莊模擬 )已知 cos 212 (其中 ，0 )，則 sin 的值為 ( )4A.12 B12 C.32 D322x 212sin，則 f4若 f(x)2tan x x xsin cos 2 212的值為 ( )A 4 33B8C4 3 D4 3 5(2010 福·建廈門外國語學(xué)校高三第二次月考 )在ABC 中，若 cos 2B3cos(AC)20，則 sin B 的值是 ( )A.12B.22C.32D1題號 1 2 3 4 5答案二、填空題 (每小題 4 分，

10、共 12 分)3，則 tan 2_. 6(2010 全·國 )已知 為第二象限的角，且 sin 5 27函數(shù) y2cos xsin 2x 的最小值是 _8若cos 2sin 42，則 cos sin 的值為 _2三、解答題 (共 38 分)9(12 分)化簡： (1)cos 20 co°s 40 c°os 60 c°os 80 ；°(2)34cos 2cos 4.34cos 2cos 410(12 分)(2011 南·京模擬 )設(shè)函數(shù) f(x) 3sin xcos xcos xsin(1) 求 f(x)的最小正周期；x 1.2 2(2

11、) 當 0，時，求函數(shù) f (x)的最大值和最小值211(14 分)(2010 北·京)已知函數(shù) f(x)2cos 2xsin2x4cos x. (1) 求 f( )的值；3精彩文檔實用標準文案(2) 求 f(x)的最大值和最小值答案 自主梳理 2sin2 2cos2 2sin21(1)2sin cos (2)cos(3)2tan 21tan1 1cos 22. (1)sin 2 (2)2 21cos 2222cos222sin22(sin ±cos )自我檢測1C 2.C 3.B 4.D課堂活動區(qū)例 1 解題導(dǎo)引 化簡的原則是形式簡單，三角函數(shù)名稱盡量少，次數(shù)盡量低，最好

12、不含分母，能求值的盡量求值本題要充分利用倍角公式進行降冪，利用配方變?yōu)閺?fù)合函數(shù)，重視復(fù)合函數(shù)中間變量的范圍是關(guān)鍵解 y74sin xcos x4cos2x4cos4x2x(1cos2x) 72sin 2x4cos2xsin2x 72sin 2x4cos226， 72sin 2xsin2x(1sin 2x)由于函數(shù) z( u1) max(11)26 在1,1 中的最大值為 z 2610，最小值為 zmin(11)266，故當 sin 2x1 時，y 取得最大值 10，當 sin 2x1 時， y 取得最小值 6.變式遷移 1 解 (1) f(x) 22cos 2x11cos 2x x sin x

13、 sin4 4cos22x x cos x sin4 42cos 2cos22x 22x 2cos 2x，cos 2x2x sin211f 2cos 12112cos6 3.6(2) g( x)cos 2xsin 2x 2sin 2x4 .x 0， ， 2x 4 4，43，4當 x時，g(x)max 2，8當 x0 時，g(x)min 1.例 2 解題導(dǎo)引 (1)這類問題一般是先化簡再求值；化簡后目標更明確；(2) 如果能從已知條件中求出特殊值，應(yīng)轉(zhuǎn)化為特殊角，可簡化運算，對切函數(shù)通常化為弦函數(shù) 解 由 sin( 2) ·sin( 2) 4 4 sin( 2) ·cos(

14、2) 4 41 4)sin(2 21 1 cos 4，2 4精彩文檔實用標準文案cos 41 5，又 (， )，故 ，2 4 2 121 22sin 1 tan tan 2cos2 sin cos 2 sin cos cos 22cos 2sin 2 52cos 5 6 cos 6 5sin 65 3 2 .變式遷移 2 解 (1) 是第一象限角， cos 12sin 13.5，13sin 4 cos 2422 sin cos cos 22sin cos 22 2cos sin2 22 2cos sin 513121313 2 14. sin 2sin (2)cos(2 )cos 2cos4

15、4 42(cos 2sin 2)，2 3 < ， 2 23 4 74<4. 3又 cos(4)5>0，故可知3 7 << ，2 4 4sin()445， 從而 cos 2sin(2 2)2sin(4)cos(4)2×(45)×352425.sin 2cos(22(12cos4)32 712×(5) 25.)2cos(2)42(cos 2sin 2)22×(224 7 )25 25精彩文檔實用標準文案31 2.50例 3 解題導(dǎo)引 本題的關(guān)鍵是第 (1)小題的恒等式證明， 對于三角恒等式的證明， 我們要注意觀察、 分析條件恒等

16、式與目標恒等式的異同， 特別是分析已知和要求的角之間的關(guān)系，再分析函數(shù)名之間的關(guān)系，則容易找到思路證明三角恒等式的實質(zhì)就是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡，左右歸一或變更論證對于第 (2) 小題同樣要從角的關(guān)系入手，利用兩角和的正切公式可得關(guān)系第 (3)小題則利用基本不等式求解即可(1) 證明 由 sin(2 )3sin ，得 sin( )3sin ( )，即 sin( )cos cos( )sin 3sin( )cos 3cos( )sin ，sin( )cos 2cos( )sin ，tan( )2tan .(2) 解 由(1)得tan tan 2tan ，即1tan tan xy2x

17、，1xyyx2，即 f( x)12xx2.12x(3) 解 角 是一個三角形的最小內(nèi)角，0<，0< x 3，3設(shè) g(x)2x1x，則 g(x)2x1x2 2(當且僅當 x2時取 “”)2故函數(shù) f(x)的值域為 (0，24 變式遷移 3 證明 因為左邊2sin xcos xsin x cos x1 sin x cos x1 2sin xcos xsin2x cos x1 22sin xcos xsin2xcos2x2cos x 1 2sin xcos x sin x 2x2cos x2cos1cos xsin x 1cos x1cos x 1cos xsin x 1cos x 1

18、cos x 2x 右邊sin sin x所以原等式成立課后練習(xí)區(qū)1D 0<<，3sin 2sin ，16sin cos sin ，又 sin 0，cos ，6cos( )cos( )cos 16.2C 因為 ，4 4所以 ( ) 4 .4所以 tan tan 4 4精彩文檔實用標準文案 tan tan 4 . 3 221tan tan 412 cos 212sin3B ，2sin 21214. 又 ，0 ，412sin . 2x12sin 22tan x4B f(x)2tan x12sin x2cos x sin x2 sin xcos x4sin 2xf124sin8.65C 由

19、 cos 2B3cos(AC)20 化簡變形，得 2cos2B3cos B10， 1cos B 或 cos B1(舍)2sin B3.2624 7解析 因為 為第二象限的角，又 sin 3， 5所以 cos 4 sin ，tan 5 cos 34，2tan 所以 tan 221tan24 7.71 2 2xsin 2xsin 2x1cos 2x解析 y2cossin 2xcos 2x1 2sin 2x1，4當 sin(2 x4)1 時，函數(shù)取得最小值 1 2.128. cos 2解析 sin 422cos sin2sin cos 2 2(sin cos ) 1cos sin 2.2，29解 (1)sin 22sin cos ，cos sin 2， (2 分 )2sin