幾種不同增長的函數(shù)模型

1、函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的應(yīng)用第三章第三章3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用函數(shù)模型及其應(yīng)用第三章第三章3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型幾類不同增長的函數(shù)模型優(yōu)優(yōu) 效效 預(yù)預(yù) 習(xí)習(xí)1對數(shù)函數(shù)ylogax，(a0，a1)當(dāng)a1時，增區(qū)間為_，當(dāng)0a1時減區(qū)間為_ 2 函 數(shù) y ax( a 0 ， a 1 ) ， 當(dāng) a 1 時 增 區(qū) 間 為_ ，當(dāng)0a1時減區(qū)間為_3函數(shù)ylogax與yax(a0，a1)的圖象關(guān)于_對稱4yx(R)，當(dāng)0時函數(shù)在(0，)上為_函數(shù)，當(dāng)0時，函數(shù)在(0，)上為_函數(shù)知識銜接知識銜接(0，) (0，) (，) (，)yx增減5.某地的水電資源豐富，并且得到了電費y(元)與用電量x(度

2、)之間的函數(shù)關(guān)系如右圖所示：則月用電量為100度時，應(yīng)交電費_元601四種函數(shù)模型的性質(zhì)自主預(yù)習(xí)自主預(yù)習(xí)函數(shù)性質(zhì)yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)ykxb(k0)在(0，)上的增減性_函數(shù)_函數(shù)_函數(shù)_函數(shù)增長的速度 越來越_越來越_相對較快不變圖象的變化越來越陡越來越平隨n值而不同直線上升增增增增快慢2.三種增長函數(shù)模型的比較(1)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)一般地，對于指數(shù)函數(shù)yax(a1)和冪函數(shù)yxn(n0)，通過探索可以發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間(0，)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，ax會小于xn，但由于ax的增長_于xn的增長，因此總存在一個x0，當(dāng)xx0時，就會有ax_xn

3、.快(2)對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)對于對數(shù)函數(shù)ylogax(a1)和冪函數(shù)yxn(n0)，在區(qū)間(0，)上，隨著x的增大，logax增長得越來越慢，圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣，盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，logax可能會大于xn，但由于logax的增長_于xn的增長，因此總存在一個x0，當(dāng)xx0時，就會有l(wèi)ogax_xn.慢(3)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)在區(qū)間(0，)上，盡管函數(shù)yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是_函數(shù)，但它們增長的速度不同，而且不在同一個“檔次”上，隨著x的增大，yax(a1)的增長速度越來越_，會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于yxn(n0)的增長速度，而ylogax(a1

4、)的增長速度則會越來越慢，因此總存在一個x0，當(dāng)xx0時，就會有_xn_.增快logaxax1專家預(yù)測，在我國大西北某地區(qū)荒漠化土地面積每年平均比上年增長10.4%，經(jīng)過x年可能增長到原來的y倍，則函數(shù)yf(x)的圖象大致為()答案D解析由題意可知y(110.4%)x.預(yù)習(xí)自測預(yù)習(xí)自測答案C解析(排除法)當(dāng)x1時，否定B項；當(dāng)x2時，否定D，當(dāng)x3時，否定A項；故選C.3下列函數(shù)增長的速度最快的是()Ay3xBylog3xCyx3Dy3x答案A4當(dāng)x4時，a4x，blog4x，cx4，則有()AabcBbacCcabDbca答案D高高 效效 課課 堂堂四個變量y1，y2，y3，y4隨變量x變化

5、的數(shù)據(jù)如下表：關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化的變量是_考查函數(shù)模型的增長差異考查函數(shù)模型的增長差異互動探究互動探究x151015202530y1226101226401626901y22321 02432 7681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907探究1.從表格觀察函數(shù)值y1，y2，y3，y4的增加值，哪個變量的增加值最大，則該變量關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化解析以爆炸式增長的變量呈指數(shù)函數(shù)變化從表格中可以看出，四個變量y1，y2，y3，y4均是從2開始變化，變量y1，y2，y3，y4都是越來越大，但是增長速率

6、不同，其中變量y2的增長速度最快，畫出它們的圖象(圖略)，可知變量y2關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化答案y2規(guī)律總結(jié)解決本題的關(guān)鍵是如何確定變量間的關(guān)系是指數(shù)函數(shù)關(guān)系，不能僅僅根據(jù)自變量較大時對應(yīng)的函數(shù)值，還要看函數(shù)值的變化趨勢下面是f(x)隨x的增大而得到的函數(shù)值表： x2xx22x7log2x12190244111389131.5854161615253225172.32266436192.585712849212.807825664233951281253.170101 024100273.322試問：(1)隨著x的增大，各函數(shù)的函數(shù)值有什么共同的變化趨勢？(2)各函數(shù)增長速度快慢有什么不同？解析

7、(1)隨著x的增大，各函數(shù)的函數(shù)值都在增大(2)由圖表可以看出：各函數(shù)增長速度快慢不同，其中f(x)2x的增長速度最快，而且越來越快；其次為f(x)x2，增長的幅度也在變大；而f(x)2x7增長速度不變；增長速度最慢的是f(x)log2x，而且增長的幅度越來越小規(guī)律總結(jié)對于三種函數(shù)增長的幾點說明：(1)對于冪函數(shù)yxn，當(dāng)x0，n0時，yxn才是增函數(shù)，當(dāng)n越大時，增長速度越快(2)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的遞增前提是a1，又它們的圖象關(guān)于yx對稱，從而可知，當(dāng)a越大，yax增長越快；當(dāng)a越小，ylogax增長越快，一般來說，axlogax(x0，a1)(3)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)，當(dāng)x0，n0，a1時，

8、可能開始時有xnax，但因指數(shù)函數(shù)是爆炸型函數(shù)，當(dāng)x大于某一個確定值x0后，就一定有axxn.函數(shù)f(x)2x和g(x)x3的圖象如下圖所示設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，1x12,9x210，x16x2.從圖象上可以看出，當(dāng)x1xx2時，f(x)g(x)，f(6)x2時，f(x)g(x)，f(2 015)g(2 015)又g(2 015)g(6)，f(2 015)g(2 015)g(6)f(6)函數(shù)f(x)lgx，g(x)0.3x1的圖象如右圖所示(1)試根據(jù)函數(shù)的增長差異指出曲線C1，C2分別對應(yīng)的函數(shù)；(2)比

9、較兩函數(shù)的增長差異(以兩圖象交點為分界點，對f(x)，g(x)的大小進行比較)解析(1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)0.3x1，C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)lgx.(2)當(dāng)xf(x)；當(dāng)x1xg(x)；當(dāng)xx2時，g(x)f(x)某皮鞋廠今年1月份開始投產(chǎn)，并且前4個月的產(chǎn)量分別為1萬雙，1.2萬雙，1.3萬雙，1.37萬雙由于產(chǎn)品質(zhì)量好、款式新穎，前幾個月的銷售情況良好為了推銷員在推銷產(chǎn)品時，接受訂單不至于過多或過少，需要估計以后幾個月的產(chǎn)量廠里分析，產(chǎn)量的增加是由于工人生產(chǎn)熟練和理順了生產(chǎn)流程廠里也暫時不準(zhǔn)備增加設(shè)備和工人假如你是廠長，就月份x，產(chǎn)量為y給出三種函數(shù)模型：yaxb，yax2bxc，

10、yabxc，你將利用哪一種模型去估算以后幾個月的產(chǎn)量？函數(shù)模型的選擇函數(shù)模型的選擇探索延拓探索延拓探究1.本題是通過數(shù)據(jù)驗證，確定系數(shù)，然后分析確定函數(shù)變化情況，最終找出與實際最接近的函數(shù)模型比較上述四個模擬函數(shù)的優(yōu)劣，既要考慮到誤差最小，又要考慮生產(chǎn)的實際，如：增產(chǎn)的趨勢和可能性經(jīng)過篩選，以指數(shù)函數(shù)模擬為最佳，一是誤差小，二是由于廠房新建，隨著工人技術(shù)和管理效益逐漸提高，一段時間內(nèi)產(chǎn)量會明顯上升，但經(jīng)過一段時間之后，如果不更新設(shè)備，產(chǎn)量必然趨于穩(wěn)定，而指數(shù)函數(shù)模型恰好反映了這種趨勢因此選用指數(shù)函數(shù)y0.80.5x1.4模擬比較接近客觀實際規(guī)律總結(jié)本題是對數(shù)據(jù)進行函數(shù)模擬，選擇最符合客觀實際的

11、模擬函數(shù)一般思路為：先畫出散點圖，然后作出模擬函數(shù)的圖象，選擇適當(dāng)?shù)膸追N函數(shù)模型后，再加以驗證函數(shù)模型的建立是最大的難點，另外運算量較大，須借助計算器或計算機進行數(shù)據(jù)處理，函數(shù)模型的可靠性與合理性既需要數(shù)據(jù)檢驗，又必須符合實際某私立學(xué)校為了實現(xiàn)60萬元的生源利潤目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵招生人員的獎勵方案：在生源利潤達到5萬元時，按生源利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨生源利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過3萬元，同時獎金不超過利潤的20%.現(xiàn)有三個獎勵模型：y0.2x，ylog5x，y1.02x，其中哪個模型符合該校的要求？規(guī)律總結(jié)不同的函數(shù)增長模型能刻畫現(xiàn)實世界中不同的變化規(guī)律：(1)線性函數(shù)增長模型適合于描述增長速度不變的變化規(guī)律；(2)指數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度急劇的變化規(guī)律；(3)對數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度平緩的變化規(guī)律；(4)冪函數(shù)增長模型適合于描述增長速度一般的變化規(guī)律因此，需抓住題中蘊含的科學(xué)的信息，恰當(dāng)、準(zhǔn)確地建立相應(yīng)變化規(guī)律的函數(shù)模型來解決實際問題當(dāng)當(dāng) 堂堂 檢檢 測測1下列函數(shù)中，隨x的增大，增長速度最快的是()Ay2xBy1 0000 xCylog3xDyx3答案A答案D解析代入檢驗，排除A、B、C，故選