數(shù)列中包含的數(shù)學(xué)文化

1、數(shù)列中包含的數(shù)學(xué)文化數(shù)學(xué)家的故事———數(shù)學(xué)王子高斯高斯(Carl Fried rich Gauss 1777 1855)德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué) 家和物理學(xué)家，被譽(yù)為歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，和阿基米德、牛頓 并列，同享盛名。1777年4月30日生于不倫瑞克的一個(gè)工匠家庭，1855年2 月23日卒于格丁根。幼時(shí)家境貧困，但聰敏異常，受一貴族資助才 進(jìn)學(xué)校受教育。17951798年在格丁根大學(xué)學(xué)習(xí)1798年轉(zhuǎn)入黑爾姆 施泰特大學(xué)，翌年因證明代數(shù)基本定理獲博士學(xué)位。從 1807年起擔(dān) 任格丁根大學(xué)教授兼格丁根天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)直至逝世。高斯是近代數(shù)學(xué)奠基

2、者之一，在歷史上影響之大，可以和阿基米德、牛頓、歐拉并列， 有“數(shù)學(xué)王子”之稱。高斯的成就遍及數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域， 在數(shù)論、非歐幾何、微分幾何、超幾何級(jí)數(shù)、復(fù)變函數(shù)論以及橢圓函 數(shù)論等方面均有開(kāi)創(chuàng)性貢獻(xiàn)。他十分注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用，并且在對(duì)天文 學(xué)、大地測(cè)量學(xué)和磁學(xué)的研究中也偏重于用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行研究。幼年時(shí)，他在數(shù)學(xué)方面就顯示出了非凡的才華。3歲能糾正父親計(jì)算中的錯(cuò)誤；10歲便獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了算術(shù)級(jí)數(shù)的求和公式；11歲 發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理。少年高斯的聰穎早慧，得到了很有名望的布瑞克 公爵的垂青與資助，使他得以不斷深造。19歲的高斯在進(jìn)大學(xué)不久， 就發(fā)明了只用圓規(guī)和直尺作出

3、正 17邊形的方法，解決了兩千年來(lái)懸 而未決的幾何難題。1801年，他發(fā)表的算術(shù)研究，闡述了數(shù)論和高等代數(shù)的某些問(wèn)題。他對(duì)超幾何級(jí)數(shù)、復(fù)變函數(shù)、統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)、橢圓 函數(shù)論都有重大貢獻(xiàn)。作為一個(gè)物理學(xué)家，他與威廉.韋伯合作研究電磁學(xué)，并發(fā)明了電極。為了進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，高斯還發(fā)明了雙線磁力計(jì)， 這是他對(duì)電磁學(xué)問(wèn)題研究的一個(gè)很有實(shí)際意義的成果。高斯 30歲時(shí) 擔(dān)任了德國(guó)著名高等學(xué)府天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)，并一直在天文臺(tái)工作到逝世。他平生還喜歡文學(xué)和語(yǔ)言學(xué)，懂得十幾門外語(yǔ)。他一生共發(fā)表323篇 （種）著作，提出了 404項(xiàng)科學(xué)創(chuàng)見(jiàn)，完成了 4項(xiàng)重要發(fā)明。高斯去世后，人們?cè)谒錾某鞘胸Q起了他的雕像。為了紀(jì) 念他發(fā)現(xiàn)做出17

4、邊形的方法，雕像的底座修成17邊形。世人公認(rèn)他 是一位和牛頓、阿基米德、歐拉齊名的數(shù)學(xué)家。他八歲時(shí)進(jìn)入鄉(xiāng)村小 學(xué)讀書。教數(shù)學(xué)的老師是一個(gè)從城里來(lái)的人，覺(jué)得在一個(gè)窮鄉(xiāng)僻壤教書真是大材小用。而他又有些偏見(jiàn)：窮人的孩子天生都是笨蛋，教這 些蠢笨的孩子念書不必認(rèn)真。這一天正是數(shù)學(xué)教師情緒低落的一天。同學(xué)們看到老師那抑 郁的臉孔，心里畏縮起來(lái)。“你們今天替我算從1加2加3 一 直到100的和。誰(shuí)算不出來(lái)就罰他不能回家吃午飯。”老師講了這句話后就一言不發(fā)。教室里的小朋友們拿起石板開(kāi)始計(jì)算： “1 力口2等于 3,3力口3等于 6,6力口4等于 1

5、0……” 一些小朋友加到一個(gè)數(shù)后就擦掉石板上的結(jié)果，再加下去，數(shù)越來(lái)越大，很不好算。有些孩子的小臉孔漲紅了，有些手心、額上滲出了汗 來(lái)。還不到半個(gè)小時(shí)，小高斯拿起了他的石板走上前去。“ 老師，答案是不是這樣？”老師頭也不抬，說(shuō)“:去，回去 再算!錯(cuò)了。”他想不可能這么快就會(huì)有答案了?？墒歉咚箙s站 著不動(dòng)，把石板伸向老師面前：“老師!我想這個(gè)答案是對(duì)的。 ”數(shù)學(xué)老師本來(lái)想怒吼起來(lái)，可是一看石板上整整齊齊寫了這 樣的

6、數(shù)：5050,他驚奇起來(lái)，因?yàn)樗约涸?jīng)算過(guò)，得到的數(shù)也是 5050,這個(gè)8歲的小孩怎么這樣快就得到了這個(gè)數(shù)值呢 ？高斯解釋他 發(fā)現(xiàn)的一個(gè)方法，這個(gè)方法就是古時(shí)希臘人和中國(guó)人用來(lái)計(jì)算級(jí)數(shù) 1+2+3+4+5…+n的方法。高斯的發(fā)現(xiàn)使老師覺(jué)得羞愧，覺(jué)得自己 以前目空一切和輕視窮人家的孩子的觀點(diǎn)是不對(duì)的。他以后也認(rèn)真教起書來(lái)，并且還常從城里買些數(shù)學(xué)書自己進(jìn)修并借給高斯看。在他的鼓勵(lì)下，高斯以后便在數(shù)學(xué)上作了一些重要的研究了。夢(mèng)想與現(xiàn)實(shí)———谷神星的發(fā)現(xiàn)1766年，德國(guó)有一位名叫提丟斯（J.D.Titius,1729-

7、1796）的 中學(xué)數(shù)學(xué)教師，把下面的數(shù)列：3,6,12,24,48,96,192…… 在這個(gè)數(shù)列的前面加上 0,即：0,3,6, 12,24,48,96, 192…… 然后再把每個(gè)數(shù)字都加上 4,就得到了下面的數(shù)列：4, 7, 10, 16, 28, 52, 100, 196……再把每個(gè)數(shù)都除以10,最后得到：0.4, 0.7, 1, 1.6, 2.8, 5.2, 10, 19.6……令提丟斯驚奇的 是，他發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)列的

8、每一項(xiàng)與當(dāng)時(shí)已知的六大行星（即水星、金星、地球、火星、木星、土星）到太陽(yáng)的距離比例（地球到太陽(yáng)的距離定 為1個(gè)單位）有著一定的聯(lián)系。1772年，德國(guó)柏林天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)波德 (JohannElertBode,174人1826)深知這一發(fā)現(xiàn)的重要意義，就于 1772年公布了提丟斯的這一 發(fā)現(xiàn)，這串?dāng)?shù)從此引起了科學(xué)家的極大重視；并被稱為提丟斯 ———波得定貝U (Titius-Bodelaw)。數(shù)歹!J: 0.4, 0.7, 1, 1.6, 2.8, 5.2, 10, 19.6……即太陽(yáng)系行星與太陽(yáng)的

9、平 均距離。當(dāng)時(shí)，人們還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)天王星、海王星，以為土星就是距太 陽(yáng)最遠(yuǎn)的行星。1781年，英籍德國(guó)人赫歇爾在接近19.6的位置上(即 數(shù)列中的第八項(xiàng))發(fā)現(xiàn)了天王星，從此，人們就對(duì)這一定則深信不疑 了。根據(jù)這一定則，在數(shù)列的第五項(xiàng)即 2.8的位置上也應(yīng)該對(duì)應(yīng)一顆 行星，只是還沒(méi)有被發(fā)現(xiàn)。于是，許多天文學(xué)家和天文愛(ài)好者便以極 大的熱情，踏上了尋找這顆新行星的征程。1801年新年的晚上，意大利天文學(xué)家皮亞齊還在聚精會(huì)神地觀察著星空。突然，他從望遠(yuǎn)鏡 里發(fā)現(xiàn)了一顆非常小的星星，正好在提丟斯——— 波得定則中2.8的位置上?？墒?，當(dāng)皮亞齊再想

10、進(jìn)一步觀察這顆小行 星時(shí)，他卻病倒了。等到他恢復(fù)健康，再想尋找這顆小行星時(shí)，它卻 不知去向了。皮亞齊沒(méi)有放棄這一偶然的機(jī)會(huì)，他認(rèn)為這可能就是人 們一直沒(méi)有發(fā)現(xiàn)的那顆行星，并把它命名為“谷神星”。天文學(xué)家對(duì)皮亞齊的這一發(fā)現(xiàn)持有不同的看法。有人認(rèn)為皮亞齊是正確的；也有人認(rèn)為這可能是一顆彗星，不然的話，為什么它只露了一 面就不見(jiàn)了呢？幾個(gè)月過(guò)去了，人們的爭(zhēng)論也沒(méi)見(jiàn)分曉?？墒牵@場(chǎng)爭(zhēng)論卻引起了德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯的注意。高斯想，既然天文學(xué)家通過(guò)觀察找不 到谷神星，那么，是否可以通過(guò)數(shù)學(xué)方法找到它呢 ？許多天文學(xué)家對(duì) 高斯的這一提法不以為然。天文學(xué)家都找不到谷神星，難道

11、高斯還能 把它算出來(lái)嗎？朋友們也勸他不要把自己的時(shí)間和才智浪費(fèi)在這一毫 無(wú)希望的問(wèn)題上。年輕的高斯卻有自己的看法。他認(rèn)為，天文學(xué)是離 不開(kāi)數(shù)學(xué)的。如果沒(méi)有雄厚的數(shù)學(xué)知識(shí)，是不可能成為一個(gè)出色的天 文學(xué)家的。在天文學(xué)發(fā)展史上，情況也正是如此。開(kāi)普勒正是憑借著 自己的數(shù)學(xué)才能，才發(fā)現(xiàn)了行星運(yùn)動(dòng)的三大定律。牛頓也是憑著淵博 的數(shù)學(xué)知識(shí)，才發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律。在高斯之前，著名數(shù)學(xué)家歐拉 曾經(jīng)研究出了一種計(jì)算行星軌道的方法?？墒?，這個(gè)方法太麻煩。高 斯決心去尋找一種簡(jiǎn)便易行的方法。 在前人的基礎(chǔ)上，高斯經(jīng)過(guò)艱苦 的運(yùn)算，以其卓越的數(shù)學(xué)才能創(chuàng)立了一種嶄新的行星軌道計(jì)算理論。他根據(jù)皮亞齊的觀測(cè)資料，利用這種

12、方法，只用了一個(gè)小時(shí)就算出了 谷神星的軌道形狀，并指出它將于何時(shí)出現(xiàn)在哪一片天空里。1801年12月31日夜，德國(guó)天文愛(ài)好者奧伯斯，在高斯預(yù)言 的時(shí)間里，用望遠(yuǎn)鏡對(duì)準(zhǔn)了這片天空。果然不出所料，谷神星出現(xiàn)了！高斯的計(jì)算方法成功了。高斯從筆尖上尋找到的這顆行星，在隱 藏了整整一年后，卻又成為人類的最好的新年禮物。 這一禮物向人們 顯示了數(shù)學(xué)在科學(xué)研究中的巨大作用。這一故事告訴我們：谷神星在比亞茲發(fā)現(xiàn)前就已客觀存在的； 太陽(yáng)到行星的距離分布是有規(guī)律的，太陽(yáng)與行星之間是和諧的。數(shù)列中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法數(shù)列這一章蘊(yùn)含著多種數(shù)學(xué)思想及方法，如函數(shù)思想、方程 思想，而且在基本概念、公式的教學(xué)本身也包含著豐富的數(shù)

13、學(xué)方法， 掌握這些思想方法不僅可以增進(jìn)對(duì)數(shù)列概念、公式的理解，而且運(yùn)用 數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的過(guò)程，往往能誘發(fā)知識(shí)的遷移，舉一反三、 融會(huì)貫通的解決多數(shù)列問(wèn)題。在這一章主要用到了以下幾中數(shù)學(xué)方法：不完全歸納法。不完全歸納法不但可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀， 而且可以幫助學(xué)生有效的解決問(wèn)題，在等差數(shù)列以及等比數(shù)列通項(xiàng)公 式推導(dǎo)的過(guò)程就用到了不完全歸納法。倒敘相加法。等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程中，就根據(jù) 等差數(shù)列的特點(diǎn)，很好地應(yīng)用倒敘相加法，而且在這一章的很多問(wèn)題 都直接或間接地用到了這種方法。錯(cuò)位相減法。錯(cuò)位相減法是另一類數(shù)列求和的方法，它主要 應(yīng)用于求和的項(xiàng)之間通過(guò)一定的變形可以相互轉(zhuǎn)化，并且是多個(gè)數(shù)求 和的問(wèn)題。等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)就用到了這種思想方法函 數(shù)的思想方法。數(shù)列本身就是一個(gè)特殊的函數(shù)，而且是離散的函數(shù)， 因此在解題過(guò)程中，尤其在遇到等差數(shù)列與等比數(shù)列這兩類特殊的數(shù) 列時(shí)，可以將它們看成一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)來(lái)解決 問(wèn)題。方程的思想方法。數(shù)列這一章涉及了多個(gè)關(guān)于首項(xiàng)、末項(xiàng)、 項(xiàng)