數(shù)學(xué)奧林匹克專題講座

1、數(shù)學(xué)奧林匹克專題講座一、立體圖形 空間形體的想象能力是小學(xué)生的一種重要的數(shù)學(xué)能力，而立體圖形的學(xué)習(xí)對培養(yǎng)這種能力十分有效。我們雖然在課本上已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些簡單的立體圖形，如正方體、長方體、圓柱體、圓錐體，但有關(guān)立體圖形的概念還需要深化，空間想象能力還需要提高。將空間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化成平面的位置關(guān)系來處理，是解決立體圖形問題的一種常用思路。（一）立體圖形的表面積和體積計算例1：一個圓柱形的玻璃杯中盛有水，水面高2.5cm，玻璃杯內(nèi)側(cè)的底面積是72cm2，在這個杯中放進棱長6cm的正方體鐵塊后，水面沒有淹沒鐵塊，這時水面高多少厘米？解：水的體積為72×2.5=180（cm3），放入鐵塊后可以

2、將水看做是底面積為72-6×6=32（cm2）的柱體，所以它的高為180÷32=5（cm）。例2：右圖表示一個正方體，它的棱長為4cm，在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一個棱長為1cm的正方體，問：此圖的表面積是多少？分析：正方體有6個面，而每個面中間有一個正方形的孔，在計算時要減去小正方形的面積。各面又挖去一個小正方體，這時要考慮兩頭小正方體是否接通，這與表面積有關(guān)系。由于大正方體的棱長為4cm，而小正方體的棱長為1cm，所以沒有接通。每個小正方體孔共有5個面，在計算表面積時都要考慮。解：大正方體每個面的面積為4×4-1×1=15（cm2），6個

3、面的面積和為15×6=90（cm2）。小正方體的每個面的面積為1×1=1（cm2），5個面的面積和為1×5=5（cm2），6個小正方體孔的表面積之和為5×6=30（cm2），因此所求的表面積為9030=120（cm2）。想一想，當(dāng)挖去的小正方體的棱長是2cm時，表面積是多少？請同學(xué)們把它計算出來。例3：正方體的每一條棱長是一個一位數(shù)，表面的每個正方形面積是一個兩位數(shù)，整個表面積是一個三位數(shù)。而且若將正方形面積的兩位數(shù)中兩個數(shù)碼調(diào)過來則恰好是三位數(shù)的十位與個位上的數(shù)碼。求這個正方體的體積。解：根據(jù)“正方體的每一條棱長是一個一位數(shù)，表面的每個正方形面積是一個

4、兩位數(shù)，整個表面積是一個三位數(shù)”的條件，可知正方體的棱長有5，6，7，8，9這五種可能性。根據(jù)“將正方形面積的兩位數(shù)中兩個數(shù)碼調(diào)過來恰好是三位數(shù)的十位上與個位上的數(shù)碼”，可知這個正方體的棱長是7(如下表)。因此這個正方體的體積是7×7×7=343。例4：一個長、寬和高分別為21cm，15cm和12cm的長方體，現(xiàn)從它的上面盡可能大地切下一個正方體，然后從剩余的部分再盡可能大地切下一個正方體，最后再從第二次剩余的部分盡可能大地切下一個正方體，剩下的體積是多少立方厘米？解：根據(jù)長方體的長、寬和高分別為21cm，15cm和12cm的條件，可知第一次切下盡可能大的正方體的棱長是12

5、cm，其體積是12×12×12=1728（cm3）。這時剩余立體圖形的底面形狀如圖1，其高是12cm。這樣，第二次切下盡可能大的正方體的棱長是9cm，其體積是9×9×9=729（cm3）。這時剩余立體圖形可分割為兩部分：一部分的底面形狀如圖2，高是12cm；另一部分的底面形狀如圖3，高是3cm。這樣，第三次切下盡可能大的正方體的棱長是6cm，其體積是6×6×6=216（cm3）。因此，剩下的體積是21×15×12-（1728729216）=3780-2673=1107（cm3）。說明：如果手頭有一個泥塑的長方體和小

6、刀，那么做出這道題并不難。但實際上，我們并沒有依賴于具體的模型和工具，這就是想象力的作用。我們正是在原有感性經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，想象出切割后立體的形狀，并通過它們各個側(cè)面的形狀和大小表示出來。因此，對一個立體圖形，應(yīng)該盡可能地想到它的原型。例5：下圖是一個長27cm，寬8cm，高8cm的長方體?，F(xiàn)將它分為4部分，然后將這4部分重新組拼，能重組為一個棱長為12cm的正方體。請問應(yīng)該怎么分？解：重組成的正方體的棱長是12cm，而已知長方體的寬是8cm，所以要把寬增加4cm，為此可按下圖1中的粗線分開，分開后重組成圖2的形狀；圖2的高是8cm，也應(yīng)增加4cm，為此可按圖2中的虛線分開，分開后重組成圖3的形

7、狀。圖3就是所組成的棱長為12cm的正方體。說明：這里有一個樸素的思想，就是設(shè)法把不足12cm的寬和高補成12cm的棱長，同時按照某種對稱的方式分割。在解關(guān)于立體圖形的問題時，需要有較豐富的想象力，要能把平面圖形在頭腦中“立”起來，另外還應(yīng)有一定的作圖本領(lǐng)和看圖能力。例6：雨嘩嘩地不停地下著，如在雨地里放一個如右圖那樣的長方體的容器（單位：cm），雨水將它下滿要用1時。有下列（1）（5）不同的容器，雨水下滿各需多長時間？解：根據(jù)題意知雨均勻地下，即單位面積內(nèi)的降雨量相同。所以雨水下滿某容器所需的時間與該容器的容積和接水面（敞開部分）的面積之比有關(guān)。因為在例圖所示容器中需1時接滿，所以：（二）立

8、體圖形的側(cè)面展開圖例7：右上圖是一個立體圖形的側(cè)面展開圖（單位：cm），求這個立體圖形的表面積和體積。解：這個立體圖形是一個圓柱的四分之一，圓柱底面半徑為10cm，高為8cm。它的表面積為例8：右上圖是一個正方體，四邊形APQC表示用平面截正方體的截面。請其展開圖中畫出四邊形APQC的四條邊。解：把空間圖形表面的線條畫在平面展開圖上，只要抓住四邊形APQC四個頂點所在的位置這個關(guān)鍵，再進一步確定四邊形的四條邊所在的平面就可容易地畫出。（1）考慮到展開圖上有六個頂點沒有標(biāo)出，可想象將展開圖折成立體形，并在頂點上標(biāo)出對應(yīng)的符號。（2）根據(jù)四邊形所在立體圖形上的位置，確定其頂點所在的點和棱，以及四條

9、邊所在的平面：頂點：AA，CC，P在EF邊上，Q在GF邊上。邊AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上。（3）將上面確定的位置標(biāo)在展開圖上，并在對應(yīng)平面上連線。需要注意的是，立體圖上的A，C點在展開圖上有三個，B，D點在展開圖上有二個，所以在標(biāo)點連線時必須注意連線所在的平面。連好線的圖形如上圖。例9：如右圖所示，剪一塊硬紙片可以做成一個多面體的紙模型（沿虛線折，沿實線粘）。這個多面體的面數(shù)、頂點數(shù)和棱數(shù)的總和是多少？解：從展開圖可以看出，粘合后的多面體有12個正方形和8個三角形，共20個面。這個多面體上部的中間是一個正三角形，這個正三角形的三邊與三個正方形

10、相連，這樣上部共有9個頂點，下部也一樣。因此，多面體的頂點總數(shù)為 9×2=18（個）。在20個面的邊中，虛線有19條，實線有34條。因為每條虛線表示一條棱，兩條實線表示一條棱，所以多面體的總棱數(shù)為1934÷2=36（條）。綜上所述，多面體的面數(shù)、頂點數(shù)和棱數(shù)之和為20+183674。說明：數(shù)學(xué)家歐拉曾給出一個公式：VF-E2。公式中的V表示頂點數(shù)，E表示棱數(shù)，F(xiàn)表示面數(shù)。根據(jù)歐拉公式，知道上例多面體的面數(shù)和頂點數(shù)之后，棱數(shù)便可求得：E=VF-2=2018-2=36（條）。（三）立體圖形的截面與投影例10：用一個平面去截一個正方體，可以得到幾邊形？解：如圖，可得到三角形、四邊

11、形、五邊形和六邊形。例11：一個棱長為6cm的正方體，把它切開成49個小正方體。小正方體的大小不必都相同，而小正方體的棱長以厘米作單位必須是整數(shù)。問：可切出幾種不同尺寸的正方體？每種正方體的個數(shù)各是多少？解：13=1，23=8，33=27，43=64，53=125，63=216。如果能切出1個棱長為5cm的正方體，那么其余的只能是棱長為1cm的正體體，共切出小正方體1（63-53）÷1=92（個）。因為9249，所以不可能切出棱長為5cm的正方體。如果能切出1個棱長為4cm的正方體，那么其余的只能是棱長為1cm或2cm的正方體。設(shè)切出棱長為1cm的正方體有a個，切出棱長為2cm的正方

12、體有b個，則有設(shè)切出棱長為1cm的正方體有a個，棱長為2cm的正方體有b個，棱長為3cm的正方體有c個，則解之得a=36，b=9，c=4。所以可切出棱長為1cm、2cm和3cm的正方體各為36、9和4個。例12：現(xiàn)有一個棱長1cm的正方體，一個長寬1cm、高2cm的長方體，三個長寬1cm、高3cm的長方體。下列圖形是把這五個圖形合并成某一立體圖形時，從上面、前面、側(cè)面所看到的圖形。試?yán)孟旅嫒齻€圖形把合并成的立體圖形（如例）的樣子畫出來，并求出其表面積。解：立體圖形的形狀如右圖所示。從上面和下面看到的形狀面積都為9cm2，共18cm2；從兩個側(cè)面看到的形狀面積都為7cm2，共14cm2；從前面

13、和后面看到的形狀面積都為6cm2，共12cm2；隱藏著的面積有2cm2。一共有181612246（cm2）。練習(xí)：1一個長方體水箱，從里面量得長40cm、寬30cm、深35cm，里面的水深10cm。放進一個棱長20cm的正方體鐵塊后，水面高多少厘米？2王師傅將木塊刨成橫截面如右圖（單位：cm）那樣的高40cm的一個棱柱。虛線把橫截面分成大小兩部分，較大的那部分的面積占整個底面的60。這個棱柱的體積是多少立方厘米？3在底面為邊長60cm的正方形的一個長方體的容器里，直立著一根高1m，底面為邊長15cm的正方形的四棱柱鐵棍。這時容器里的水半米深?，F(xiàn)在把鐵棍輕輕地向正上方提起24cm，露出水面的四棱

14、柱鐵棍浸濕部分長多少厘米？4右邊各圖形中，有的是正方體的展開圖，寫出這些圖形的編號。5小玲有兩種不同形狀的紙板，一種是正方形，一種是長方形。正方形紙板的總數(shù)與長方形紙板的總數(shù)之比是12。她用這些紙板做成一些豎式和橫式的無蓋紙盒（如下圖），正好將紙板用完。在小玲所做的紙盒中，豎式紙盒的總數(shù)與橫式紙盒的總數(shù)之比是多少？6請你在下面圖（2）中畫出3種和圖（1）不一樣的設(shè)計圖，使它們折起來后都成為右圖所示的長方形盒子（直線段與各棱交于棱的中點）。7在桌面上擺有一些大小一樣的正方體木塊，從正南方向看如下左圖，從正東方向看如下右圖，要擺出這樣的圖形至多用多少塊正方體木塊？至少需要多少塊正方體木塊？8有一個

15、正方體，它的6個面被分別涂上了不同的顏色，并且在每個面上至少貼有一張紙條。用不同的方法來擺放這個正方體，并從不同的角度拍下照片。（1）洗出照片后，把所拍攝的面的顏色種類不同的照片全部挑選出來，最多可以選出多少張照片？（2）觀察（1）中選出的照片，發(fā)現(xiàn)各張照片里的紙條數(shù)各不相同。問：整個正方體最少貼有多少張紙條？答案：1. （15cm）。解：若鐵塊完全浸入水中，則水面將提高此時水面的高小于20cm，與鐵塊完全浸入水中矛盾，所以鐵塊頂面仍然高于水面。此時水深與容器底面積的乘積應(yīng)等于原有水量的體積與鐵塊浸入水中體積之和。設(shè)放進鐵塊后，水深為xcm，則40×30×x40×

16、30×10+20×20×x，解得x=15，即放進鐵塊后，水深15cm。2. （19200cm3）。解得x=16。這個棱柱的體積是（12+24）×16÷2÷60×4019200（cm3）。3. （25.6 cm）。解：容器里的水共有（60×60-15×15）×50168750（cm3）。當(dāng)把鐵棍提起24cm時，鐵棍仍浸在水中的部分的長是（168750-60×60×24）÷（60×60-15×15）=24.4（cm），所以露出水面的浸濕部分長50-2

17、4.4=25.6（cm）。4.（2）（3）（6）（8）（9）（12）（14）（16）（17）（19）（20）共11個。5. （12）。解：設(shè)一共做了x個豎式紙盒，y個橫式紙盒。注意到這兩種紙盒都是無蓋的，x個豎式紙盒共用x個正方形和4x個長方形紙板； y個橫式紙盒共用2y個正方形和3y個長方形紙板。根據(jù)題意，得2（x+2y）=4x+3y，化簡為2x=y，即 xy=12。6.如右圖所示：7.至少要6塊正方體木塊（右圖），至多需要20塊正方體木塊（右圖）。圖中的數(shù)字表示放在這一格上的正方體木塊的層數(shù)。8.（1）26張；（2）39張。解：（1）1個面的6種，2個面（即1個棱）的12種，3個面的 8種

18、，共6+12+8=26（張）。（2）因為26張照片上紙條數(shù)各不相同，所以紙條數(shù)至少也得有1+2+3+26=351（張）。但在這26張照片中，很多紙條是被重復(fù)計算的。每個面上的紙條在單獨面拍攝時出現(xiàn)1次，在2個面拍攝時出現(xiàn)4次，在3個面拍攝時出現(xiàn)4次，共被計數(shù)9次。所以實際紙條數(shù)至少為351÷939（張）。二、列方程解應(yīng)用題 在小學(xué)數(shù)學(xué)中介紹了應(yīng)用題的算術(shù)解法及常見的典型應(yīng)用題。然而算術(shù)解法往往局限于從已知條件出發(fā)推出結(jié)論，不允許未知數(shù)參加計算，這樣，對于較復(fù)雜的應(yīng)用題，使用算術(shù)方法常常比較困難。而用列方程的方法，未知數(shù)與已知數(shù)同樣都是運算的對象，通過找出“未知”與“已知”之間的相等關(guān)

19、系，即列出方程（或方程組），使問題得以解決。所以對于應(yīng)用題，列方程的方法往往比算術(shù)解法易于思考，易于求解。列方程解應(yīng)用題的一般步驟是：審題，設(shè)未知數(shù)，找出相等關(guān)系，列方程，解方程，檢驗作答。其中列方程是關(guān)鍵的一步，其實質(zhì)是將同一個量或等量用兩種方式表達出來，而要建立這種相等關(guān)系必須對題目作細(xì)致分析，有些相等關(guān)系比較隱蔽，必要時要應(yīng)用圖表或圖形進行直觀分析。（一）列簡易方程解應(yīng)用題10x+1，從而有3（105+x）=10x+1，7x299999，x42857。答：這個六位數(shù)為142857。說明：這一解法的關(guān)鍵有兩點： 示出來，這里根據(jù)題目的特點，采用“整體”設(shè)元的方法很有特色。一是善于分析問題中

20、的已知數(shù)與未知數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系；二是一般語言與數(shù)學(xué)的形式語言之間的相互關(guān)系轉(zhuǎn)化。因此，要提高列方程解應(yīng)用題的能力，就應(yīng)在這兩方面下功夫。例2：有一隊伍以1.4米/秒的速度行軍，末尾有一通訊員因事要通知排頭，于是以2.6米/秒的速度從末尾趕到排頭并立即返回排尾，共用了10分50秒。問：隊伍有多長？分析：這是一道“追及又相遇”的問題，通訊員從末尾到排頭是追及問題，他與排頭所行路程差為隊伍長；通訊員從排頭返回排尾是相遇問題，他與排尾所行路程和為隊伍長。如果設(shè)通訊員從末尾到排頭用了x秒，那么通訊員從排頭返回排尾用了（650-x）秒，于是不難列方程。解：設(shè)通訊員從末尾趕到排頭用了x秒，依題意得2.6x-

21、1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）。解得x500。推知隊伍長為（）×500=600（米）。答：隊伍長為600米。說明：在設(shè)未知數(shù)時，有兩種辦法：一種是設(shè)直接未知數(shù)，求什么、設(shè)什么；另一種設(shè)間接未知數(shù)，當(dāng)直接設(shè)未知數(shù)不易列出方程時，就設(shè)與要求相關(guān)的間接未知數(shù)。對于較難的應(yīng)用題，恰當(dāng)選擇未知數(shù)，往往可以使列方程變得容易些。例3：鐵路旁的一條與鐵路平行的小路上，有一行人與騎車人同時向南行進，行人速度為3.6千米/時，騎車人速度為10.8千米/時，這時有一列火車從他們背后開過來，火車通過行人用22秒，通過騎車人用26秒，這列火車的車身總長是多少？分析：本題屬于追及問題，行人

22、的速度為3.6千米/時=1米/秒，騎車人的速度為10.8千米/時=3米/秒?；疖嚨能嚿黹L度既等于火車車尾與行人的路程差，也等于火車車尾與騎車人的路程差。如果設(shè)火車的速度為x米/秒，那么火車的車身長度可表示為（x-1）×22或（x-3）×26，由此不難列出方程。解：設(shè)這列火車的速度是x米/秒，依題意列方程，得（x-1）×22=（x-3）×26。解得x=14。所以火車的車身長為（14-1）×22=286（米）。答：這列火車的車身總長為286米。例4：如圖，沿著邊長為90米的正方形，按逆時針方向，甲從A出發(fā)，每分鐘走65米，乙從B出發(fā)，每分鐘走72米

23、。當(dāng)乙第一次追上甲時在正方形的哪一條邊上？分析：這是環(huán)形追及問題，這類問題可以先看成“直線”追及問題，求出乙追上甲所需要的時間，再回到“環(huán)行”追及問題，根據(jù)乙在這段時間內(nèi)所走路程，推算出乙應(yīng)在正方形哪一條邊上。解：設(shè)追上甲時乙走了x分。依題意，甲在乙前方3×90=270（米），故有72x65x+270。由于正方形邊長為90米，共四條邊，故由可推算出這時甲和乙應(yīng)在正方形的DA邊上。答：當(dāng)乙第一次追上甲時在正方形的DA邊上。例5：一條船往返于甲、乙兩港之間，由甲至乙是順?biāo)旭?，由乙至甲是逆水行駛。已知船在靜水中的速度為8千米/時，平時逆行與順行所用的時間比為21。某天恰逢暴雨，水流速度為

24、原來的2倍，這條船往返共用9時。問：甲、乙兩港相距多少千米？分析：這是流水中的行程問題：順?biāo)俣?靜水速度+水流速度，逆水速度=靜水速度-水流速度。解答本題的關(guān)鍵是要先求出水流速度。解：設(shè)甲、乙兩港相距x千米，原來水流速度為a千米/時。根據(jù)題意可知，逆水速度與順?biāo)俣鹊谋葹?2，即（8-a）（8a）12，再根據(jù)暴雨天水流速度變?yōu)?a千米/時，則有解得x=20。答：兩港相距20千米。例6：某校組織150名師生到外地旅游，這些人5時才能出發(fā)，為了趕火車，6時55分必須到火車站。他們僅有一輛可乘50人的客車，車速為36千米/時，學(xué)校離火車站21千米，顯然全部路程都乘車，因需客車多次往返，故時間來不及

25、，只能乘車與步行同時進行。如果步行每小時能走4千米，那么應(yīng)如何安排，才能使所有人都按時趕到火車站？趕到火車站，每人步行時間應(yīng)該相同，乘車時間也相同。設(shè)每人步行x時，客車能否在115分鐘完成。解：把150人分3批，每批50人，步行速度為4千米/時，汽車速度解得x1.5（時），即每人步行90分，乘車25分。三批人5時同時出發(fā)，第一批人乘25分鐘車到達A點，下車步行；客車從A立即返回，在B點遇上步行的第二批人，乘25分鐘車，第二批人下車步行，客車再立即返回，又在C點遇到步行而來的第三批人，然后把他們直接送到火車站。如此安排第一、二批人按時到火車站是沒問題的，第三批人是否正巧可乘25分鐘車呢？必須計算

26、。次返回的時間是20分，同樣可計算客車第二次返回的時間也應(yīng)是20分，所以當(dāng)客車與第三批人相遇時，客車已用25×220×2=90（分），還有115-90=25（分），正好可把第三批人按時送到。因此可以按上述方法安排。說明：列方程，解出需步行90分、乘車25分后，可以安排了，但驗算不能省掉，因為這關(guān)系到第三批人是否可以按時到車站的問題。通過計算知第三批人正巧可乘車25分，按時到達。但如果人數(shù)增加，或者車速減慢，雖然方程可以類似地列出，卻不能保證人員都按時到達目的地。(二)引入?yún)?shù)列方程解應(yīng)用題對于數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜或已知條件較少的應(yīng)用題，列方程時，除了應(yīng)設(shè)的未知數(shù)外，還需要增設(shè)一

27、些“設(shè)而不求”的參數(shù)，便于把用自然語言描述的數(shù)量關(guān)系翻譯成代數(shù)語言，以便溝通數(shù)量關(guān)系，為列方程創(chuàng)造條件。例7:某人在公路上行走，往返公共汽車每隔4分就有一輛與此人迎面相遇，每隔6分就有一輛從背后超過此人。如果人與汽車均為勻速運動，那么汽車站每隔幾分發(fā)一班車？分析：此題看起來似乎不易找到相等關(guān)系，注意到某人在公路上行走與迎面開來的車相遇，是相遇問題，人與汽車4分所行的路程之和恰是兩輛相繼同向行駛的公共汽車的距離；每隔6分就有一輛車從背后超過此人是追及問題，車與人6分所行的路程差恰是兩車的距離，再引進速度這一未知常量作參數(shù)，問題就解決了。解：設(shè)汽車站每隔x分發(fā)一班車，某人的速度是v1，汽車的速度為

28、v2，依題意式得由，得將代入，得 說明：此題引入v1，v2兩個未知量作參數(shù)，計算時這兩個參數(shù)被消去，即問題的答案與參數(shù)的選擇無關(guān)。例8:整片牧場上的草長得一樣密，一樣地快。已知70頭牛在24天里把草吃完，而30頭牛就得60天。如果要在96天內(nèi)把牧場的草吃完，那么有多少頭牛？分析：本題中牧場原有草量是多少？每天能生長草量多少？每頭牛一天吃草量多少？若這三個量用參數(shù)a，b，c表示，再設(shè)所求牛的頭數(shù)為x，則可列出三個方程。若能消去a，b，c，便可解決問題。解：設(shè)整片牧場的原有草量為a，每天生長的草量為b，每頭牛一天吃草量為c，x頭牛在96天內(nèi)能把牧場上的草吃完，則有-，得36b=120C。 -，得9

29、6xc=1800c36b。 將代入，得96xc1800c+120c。解得x=20。答：有20頭牛。例9:從甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，沒有平路。一輛汽車上坡時每小時行駛20千米，下坡時每小時行駛35千米。車從甲地開往乙從甲地到乙地須行駛多少千米的上坡路？，得解：從甲地到乙地的上坡路，就是從乙地到甲地的下坡路；從甲地到乙地下坡路，就是從乙地到甲地的上坡路。設(shè)從甲地到乙地的上坡路為x千米，下坡路為y千米，依題意得將y=210x代入式，得解得x140。答：甲、乙兩地間的公路有210千米，從甲地到乙地須行駛140千米的上坡路。(三)列不定方程解應(yīng)用題有些應(yīng)用題，用代數(shù)方程求解，有時會出現(xiàn)所設(shè)

30、未知數(shù)的個數(shù)多于所列方程的個數(shù)，這種情況下的方程稱為不定方程。這時方程的解有多個，即解不是唯一確定的。但注意到題目對解的要求，有時，只需要其中一些或個別解。例10:六（1）班舉行一次數(shù)學(xué)測驗，采用5級計分制（5分最高，4分次之，以此類推）。男生的平均成績?yōu)?分，女生的平均成績?yōu)?.25分，而全班的平均成績?yōu)?.6分。如果該班的人數(shù)多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生參加了測驗？解：設(shè)該班有x個男生和y個女生，于是有4x+3.25y=3.6（x+y），化簡后得8x=7y。從而全班共有學(xué)生在大于30小于50的自然數(shù)中，只有45可被15整除，所以推知x21，y=24。答：該班有21個男生

31、和24個女生。例11:小明玩套圈游戲，套中小雞一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。小明共套了10次，每次都套中了，每個小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分。問：小明至多套中小雞幾次？解：設(shè)套中小雞x次，套中小猴y次，則套中小狗（10-x-y）次。根據(jù)得61分可列方程9x+5y+2（10-x-y）=61，化簡后得7x=413y。顯然y越小，x越大。將y=1代入得7x=38，無整數(shù)解；若y=2，7x=35，解得x=5。答：小明至多套中小雞5次。例12:某縫紉社有甲、乙、丙、丁4個小組，甲組每天能縫制8件上衣或10條褲子；乙組每天能縫制9件上衣或12條褲子；丙組每天能縫制7件上衣或

32、11條褲子；丁組每天能縫制6件上衣或7條褲子。現(xiàn)在上衣和褲子要配套縫制（每套為一件上衣和一條褲子）。問：7天中這4個小組最多可縫制多少套衣服？分析：不能僅按生產(chǎn)上衣或褲子的數(shù)量來安排生產(chǎn)，應(yīng)該考慮各組生產(chǎn)上衣、褲子的效率高低，在配套下安排生產(chǎn)。我們首先要說明安排做上衣效率高的多做上衣，做褲子效率高的多做褲子，才能使所做衣服套數(shù)最多。一般情況，設(shè)A組每天能縫制a1件上衣或b1條褲子，它們的比為在安排A組盡量多做上衣、B組盡量多做褲子的情況下，安排配套生產(chǎn)。這的效率高，故這7天全安排這兩組生產(chǎn)單一產(chǎn)品。設(shè)甲組生產(chǎn)上衣x天，生產(chǎn)褲子（7-x）天，乙組生產(chǎn)上衣y天，生產(chǎn)褲子（7-y）天，則4個組分別共

33、生產(chǎn)上衣、褲子各為6×78x+9y（件）和11×710（7x）12（7-y）（條）。依題意，得428x9y7770-10x84-12y，令u428x9y，則顯然x越大，u越大。故當(dāng)x=7時，u取最大值125，此時y的值為3。答：安排甲、丁組7天都生產(chǎn)上衣，丙組7天全做褲子，乙組3天做上衣，4天做褲子，這樣生產(chǎn)的套數(shù)最多，共計125套。說明：本題仍為兩個未知數(shù)，一個方程，不能有確定解。本題求套數(shù)最多，實質(zhì)上是化為“一元函數(shù)”在一定范圍內(nèi)的最值，注意說明取得最值的理由。練習(xí):1甲用40秒可繞一環(huán)形跑道跑一圈，乙反方向跑，每隔15秒與甲相遇一次。問：乙跑完一圈用多少秒？2小明在3

34、60米長的環(huán)形跑道上跑了一圈，已知他前一半時間每秒跑5米，后一半時間每秒跑4米，那么小明后一半路程跑多少秒？3如下圖，甲、乙兩人分別位于周長為400米的正方形水池相鄰的兩個頂點上，同時開始沿逆時針方向沿池邊行走。甲每分鐘走50米，乙每分鐘走44米，求甲、乙兩人出發(fā)后幾分鐘才能第一次走在正方形的同一條邊上（不含甲、乙兩人在正方形相鄰頂點的情形）。4農(nóng)忙假，一組學(xué)生下鄉(xiāng)幫郊區(qū)農(nóng)民收割水稻，他們被分配到甲、乙兩塊稻田去，甲稻田面積是乙稻田面積的2倍。前半小時，全隊在甲田；后半小時一半人在甲田，一半人在乙田。割了1時，割完了甲田的水稻，乙田還剩下一小塊未割，剩下的這一小塊需要一個人割1時才能割完。問：

35、這組學(xué)生有幾人？5若貨價降低8，而售出價不變，則利潤（按進貨價而定）可由目前的P增加到（P10），求P。6甲、乙二人做同一個數(shù)的帶余除法，甲將其除以8，乙將其除以9，甲所得的商數(shù)與乙所得的余數(shù)之和為13。試求甲所得的余數(shù)。7某公共汽車線路中間有10個站。車有快車及慢車兩種，快車的車速是慢車車速的1.2倍。慢車每站都停，快車則只?？恐虚g1個站。每站停留時間都是3分鐘。當(dāng)某次慢車發(fā)出40分鐘后，快車從同一始發(fā)站開出，兩車恰好同時到達終點。問：快車從起點到終點共需用多少時間？8甲車以160千米/時的速度，乙車以20千米/時的速度，在長為210千米的環(huán)形公路上同時、同地、同向出發(fā)。每當(dāng)甲車追上乙車1次

36、，甲車減問：在兩車的速度恰好相等的時刻，它們分別行駛了多少千米？答案：1.(24秒)。2.(44秒)。推知小明前40秒跑了5×40=200（米），后40秒跑了4×40=160（米）。因為小明后180米中有20米是以5米/秒的速度行進的，其余160米是以4米/秒的速度行進的，所以，小明后一半路程共用20÷5+160÷444（秒）。3.(34分)。提示：仿例4。4.(8人)。 解：設(shè)學(xué)生共x人，甲田面積為2a，乙田面積為a，則解出x=8。5. (15) 。解：設(shè)原進貨價為x，則下降8后的進價為0.92x，依題意有x（1+0.01P）0.92x1+0.01（P

37、+10），解得P15。6.(4)。 解：設(shè)甲所得的商和余數(shù)分別為x和y，乙所得的商為z，則乙所得的余數(shù)為13-x。依題意得8x+y=9z+（13-x），即9（x-z）=13-y，推知13-y是9的倍數(shù)。因為y是被8除的余數(shù)，所以只能在0至7之間，所以y=4。共需65+3=68（分）。7.（68分）。8.（940km，310km）。時刻，兩車速度相等，則應(yīng)有所以n=3。設(shè)甲車第1次追上乙車用了t1時。因為甲比乙車多跑1圈，所以有設(shè)甲車從第1次追上乙車到第2次追上乙車用了t2時，仿上可知時。從而甲行駛了乙車行駛了三、應(yīng)用問題選講我們知道，數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科。我們在學(xué)校中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的，一方面是為學(xué)

38、習(xí)其它學(xué)科和學(xué)習(xí)更深的數(shù)學(xué)知識打下一個基礎(chǔ)，更重要的是為了現(xiàn)在和將來運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識去解決一些日常生活、科學(xué)實驗、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)以及經(jīng)濟活動中所遇到的實際問題。運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的基本思路是：先將這個實際問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題（我們稱之為建立數(shù)學(xué)模型），然后解答這個數(shù)學(xué)問題，從而解決這個實際問題。即：這里，建立數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵的一步。也就是說，要通過審題，將實際問題與自己學(xué)過的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法聯(lián)系起來，將其歸結(jié)到某一類型的數(shù)學(xué)問題，然后解答這個數(shù)學(xué)問題。下面介紹一些典型的數(shù)學(xué)模型。（一）兩個量變化時，和一定的問題兩個變化著的量，如果在變化的過程中，它們的和始終保持不變，那么它們的差與積之間

39、有什么關(guān)系呢？觀察左表，我們不難得出如下的規(guī)律：兩個變化著的量，如果在變化的過程中，和始終保持不變，那么它們的差越小，積就越大。若它們能夠相等，則當(dāng)它們相等時，積最大。這個規(guī)律對于三個和三個以上的變量都是成立的。例1：農(nóng)民叔叔阿根想用20塊長2米、寬1.2米的金屬網(wǎng)建一個靠墻的長方形雞窩。為了防止雞飛出，所建雞窩的高度不得低于2米，要使雞窩面積最大，長方形的長和寬分別應(yīng)是多少？解：如上圖，設(shè)長方形的長和寬分別為x米和y米，則有x2y1.2×2024。長方形的面積為因為x和2y的和等于24是一個定值，故它們的乘積當(dāng)它們相等時最大，此時長方形面積S也最大。于是有x=12，y6。例2：如果

40、將進貨單價為40元的商品按50元售出，那么每個的利潤是10元，但只能賣出500個。當(dāng)這種商品每個漲價1元時，其銷售量就減少10個。為了賺得最多的利潤，售價應(yīng)定為多少？解：設(shè)每個商品售價為（50+x）元，則銷量為（500-10X）個。總共可以獲利（50x-40）×（500-10x）=10×（10+X）×（50-X）（元）。因（10+x）+（50x）=60為一定值，故當(dāng)10+X=50X即X=20時，它們的積最大。此時，每個的銷售價為5020=70（元）。例3：若一個長方體的表面積為54厘米2，為了使長方體的體積最大，長方體的長、寬、高各應(yīng)為多少厘米？解：設(shè)長、寬、高分

41、別為x，y，z厘米，體積為V厘米3。2（xyyz+zx）=54，xyyz+zx=27。因為V2=（xyz）2=（xy）（yz）（zx），故當(dāng) xy=yz=zx即 x=y=z=3時，V2有最大值，從而V也有最大值。例4：有一塊長24厘米的正方形厚紙片，在它的四個角各剪去一個小正方形，就可以做成一個無蓋的紙盒，現(xiàn)在要使做成的紙盒容積最大，剪去的小正方形的邊長應(yīng)為幾厘米？解：如右圖，設(shè)剪去的小正方形的邊長為x厘米，則紙盒的容積為V=x（24-2x）（24-2x）=2×2x（12-x）（12-x）。因為2x+（12-x）+（12-x）=24是一個定值，故當(dāng)2x=12-x12-x，即x=4時，

42、其乘積最大，從而紙盒的容積也最大。（二）兩個量變化時，積一定的問題兩個變化著的量，如果在變化的過程中，它們的乘積始終保持不變，那么它們的差與和之間有什么關(guān)系呢？觀察下面的表：我們不難得出這樣的規(guī)律：兩個變化著的量，如果在變化的過程中，乘積始終保持不變，那么它們的差越小，和就越小。若它們能夠相等，則當(dāng)它們相等時，和最小。例5：長方形的面積為 144 cm2，當(dāng)它的長和寬分別為多少時，它的周長最短？解：設(shè)長方形的長和寬分別為 xcm和 ycm，則有xy144。故當(dāng)x=y=12時，x+y有最小值，從而長方形周長2（xy）也有最小值。例6：用鐵絲扎一個空心的長方體，為了使長方體的體積恰好是216cm3

43、，長方體的長、寬、高各是多少厘米時，所用的鐵絲長度最短？解：設(shè)長方體的長、寬、高分別為xcm，ycm，zcm，則有xyz216。鐵絲長度的和為 4（x y z），故當(dāng) xy=z6時，所用鐵絲最短。例7：農(nóng)場計劃挖一個面積為432 m2的長方形養(yǎng)魚池，魚池周圍兩側(cè)分別有3m和4m的堤堰如下圖所示，要想占地總面積最小，水池的長和寬應(yīng)為多少？解：如圖所示，設(shè)水池的長和寬分別為xm和ym，則有xy432。占地總面積為 S=（x6）（y8）cm2。于是S=Xy+6y+8X486y+8X+480。我們知道6y ×8X=48×432為一定值，故當(dāng)6y=8X時，S最小，此時有6y=8X=1

44、44，故y=24，x=18。例8：某游泳館出售冬季學(xué)生游泳卡，每張240元，使用規(guī)定：不記名，每卡每次只限一人，每人只限一次。某班有48名學(xué)生，老師打算組織學(xué)生集體去游泳，除需購買若干張游泳卡外，每次游泳還需包一輛汽車，無論乘坐多少名學(xué)生，每次的包車費均為40元。若要使每個同學(xué)游8次，每人最少交多少錢？解：設(shè)一共買了X張卡，一共去游泳y次，則共有Xy=48×8=384（人次），總用費為（240x40y）元。因為 240x ×40y=240×40×384是一定值，故當(dāng) 240x=40y，即y=6x時，和最小。易求得x=8，y=48。此時總用費為240

45、15;840×48=3840（元），平均每人最少交 3840÷48=80（元）。（三）利用不等關(guān)系來解答的應(yīng)用題例9：某公司在A，B兩地分別庫存有某機器16臺和12臺，現(xiàn)要運往甲、乙兩家客戶的所在地，其中甲方15臺，乙方13臺。已知從A地運一臺到甲方的運費為500元，到乙方的運費為400元，從B地運一臺到甲方的運費為300元，到乙方的運費為600元。已知運費由公司承擔(dān)，公司應(yīng)設(shè)計怎樣的調(diào)運方案，才能使這些機器的總運費最??？解：設(shè)由A地運往甲方x臺，則A地運往乙方（16-x）臺，B地運往甲方（15-x）臺，B地運往乙方（x3）臺。于是總運價為：S=500x+400（16-x）

46、300（15-x）+600（x-3）400x+9100。顯然，x要滿足不等式3x15，于是當(dāng)x=3時，總運價最省，為 400× 3 9100=10300（元）。調(diào)運方案為：由A地運往甲方3臺，A地運往乙方13臺，B地運往甲方12臺，B地運往乙方0臺。例10：某校決定出版“作文集”，費用是30冊以內(nèi)為80元，超過30冊的每冊增加1.20元。當(dāng)印刷多少冊以上時，每冊費用在1.50元以內(nèi)？以內(nèi)。解：顯然印刷的冊數(shù)應(yīng)該大于30。設(shè)印刷了（30x）冊，于是總用費為（80+1.2x）元。故有80+1.2x1.5 ×（30+x），例11：現(xiàn)有三種合金：第一種含銅60，含錳40；第二種含錳

47、10，含鎳90；第三種含銅20，含錳50，含鎳30?，F(xiàn)各取適當(dāng)數(shù)量的這三種合金，組成一塊含鎳45的新合金，重量為1千克。（1）求新合金中第二種合金的重量的范圍；（2）求新合金中含錳的重量的范圍。解：設(shè)第一種合金用量為x千克，第二種合金用量為y千克，第三種合金用量為z千克，依題意有（1）如果不取第一種合金，即x=0，那么新合金中第二種合金重量最小。解得y=0.25。如果不取第三種合金，即z=0，那么新合金中第二種合金重量最大。解得y0.5。新合金中第二種合金的重量范圍是0.25克到0.5克。（2）由可得z1.5-3y，x=2y0.5。故新合金中含錳的重量為S40x+10y+50z=40（2y-0

48、.5）10y50（1.5-3y）。因為0.25y0.5，所以0.25S0.4，即新合金中含錳的重量范圍是0.25克到0.4克。例12：某商店需要制作如下圖所示的工字形架100個，每個由三根長為2.3米、1.7米、1.3米的鋁合金材料組裝而成。市場上可購得該鋁合金材料的原料長為6.3米。問：至少要買回多少根原材料，才能滿足要求（不計損耗）？ 解：每根原材料的切割有下表的七種情況：顯然，三種方案損耗較小。方案依次切割原材料42根、14根、29根、1根，可得2.3米、1.7米、1.3米的材料各100根，共用原材料 4214291=86（根）。練習(xí):1銷售某種西服，當(dāng)每件售價為100元時可售出1000

49、件。如果定價每下降1，那么銷售量將提高0.5，又知道這批西服是每件80元成本購進的。問：應(yīng)如何定價才能使獲利最大？2下圖是一個面積為4m2的窗戶，當(dāng)ab的值是多少時，窗戶的框架所用的材料最??？3有一個長為 80cm、寬為40cm的木板，要以它為原材料做一個無蓋的木盒，應(yīng)該如何制作才能使木盒的容積最大？最大的容積是多少？4某廠要建造一個無蓋的露天水槽，其底為正方形，容量為64000m3。在建造時，槽底的造價是四壁的2倍，這個水槽的底面邊長和高的比例是多少時，造價最省？5A城有化肥 200噸，B城有化肥 300噸，現(xiàn)要將化肥運往C，D兩村。已知從A城運往C，D兩村的運價分別是每噸20元和25元，從

50、B城運往C，D兩村的運價分別是每噸15元和22元。某個體戶承包了這項運輸任務(wù)，請你幫他算一算，如何調(diào)運才能使運費最?。?有兩個學(xué)生參加4次數(shù)學(xué)測驗，他們的平均分?jǐn)?shù)不同，但都是低于90分的整數(shù)。他們又參加了第5次測驗，這樣5次的平均分?jǐn)?shù)都提高到了90分，求第5次測驗二人的得分（滿分為100分）。7某機械廠要把一批長7300毫米的鋼筋截成長290毫米、210毫米和150毫米的鋼筋各一段組成一套鋼筋架子?，F(xiàn)在做100套鋼筋架子，至少要用去長為7300毫米的鋼筋多少根？8下表所示為X，Y，Z三種食品原料的維生素含量（單位：單位/千克）及成本：現(xiàn)在要將三種食物混合成100千克的混合物，要求混合物至少需含

51、44000單位的維生素A及48000單位的維生素B0如果所用的食物中x，Y，Z的重量依次為X千克、y千克、Z千克，那么請定出X，y，Z的值，使得成本為最少。答案：1.（91元）。解：設(shè)定價為每件（100-x）元，則銷售量為1000（1+0.5x）件。利潤為（100-x-80）×1000（1+0.5x）=500×（20-x）（2+x）。因為（20-x）+（2+x）=22為一定值，故當(dāng)20-x=2+x即x=9時利潤最高。此時每件定價為100-9=91（元）。2.（23）。解：窗戶的框架長為 3a+2b，而 ab=4是一個定值，從而3a×2b=6ab=24也是一個定值，

52、故當(dāng)3a=2b即ab=23時窗戶框架所用材料最省。3.（32000cm3）。解：設(shè)木盒的長、寬、高分別為xcm，ycm，zcm，則它的容積為V=xyzcm3。因為xy+2xz+2yz=40×80=3200為一定值，故它們的積xy×2xz×2yz=4（xyz）2=4V2，在xy=2xz=2yz時最大，從而V也最大，此時有x=y=2z。經(jīng)計算得x=40，y=40，z=20。具體制作方式如下：先取原木板的一半（40cm×40cm）作為木盒的底面，再將剩下的一半分成 20 cm×40 cm大小的四等份，每份作為木盒的一個側(cè)面就可以了。4.（11）。解：

53、設(shè)四壁的造價是a元/m2，則底面造價為2a元/m2。又設(shè)其底面邊長為xm，高為ym，則有x2y=64000。總造價為a×4xy+2a×x2=2a（2xy+x2）=2a（xy+xy+x2）。因為xy×xy×x2=（x2y）2=640002為一定值，故當(dāng)xy=xy=x2即xy=11時，總造價最省。5.解：設(shè)A城化肥運往C村x噸，則運往D村（200-x）噸；B城化肥運往C村（220-x）噸，運往D村（80+x）噸，總運費y元，則y=20x+25（200-x）+15（220-x）+22（80+x）=2x+10060。又易知0x200，故當(dāng)x=0時，運費最省，為1

54、0060元。運輸方案如下：A城化肥運往C村0噸，運往D村200噸；B城化肥運往C村220噸，運往D村80噸。6.（98，94）。解：設(shè)某一學(xué)生前4次的平均分為x分，第5次的得分為y分，則其5次總分為4x+y=5×90=450。于是y=450-4x。顯然90y100，故90450-4x100，解得87.5x90。于是兩個學(xué)生前4次的平均分分別為88分和89分。第5次得分分別為 450-4×88=98（分）和450-4×89=94（分）。7.（90根）。解：每一根7300毫米的鋼筋有如下三種損耗較小的截法：290×2+150×1=7300， 210

55、×2+150×2=7200， 210×2+290×2=7100。 設(shè)按方案截得的鋼筋有x根，按方案截得的鋼筋有y 根，按方案截得的鋼筋有z根，則長為290，210，150毫米各有100根，即2x+z=x+2y=2y+2z=100。于是x=40，y=30，z=20。一共至少用去長為7300毫米的鋼筋90根。8. （30，20， 50）。解：x+y+z=100， 400x+600y+400z44000， 800x+200y+400z48000。 由得 2x+3y+2z220。 由得 4x+y+2z240。 由-×2，得y20。由-×2，得

56、2x-y40。由得 z=100-x-y。成本為6x+5y+4z=6x+5y+4（100-x-y）=400+2x+y=400+2y+（2x-y）400+40+40=480。四、計數(shù)的方法與原理計數(shù)方法與原理是組合數(shù)學(xué)的主要課題之一，本講介紹一些計數(shù)的基本方法及計數(shù)的基本原理。（一）枚舉法一位旅客要從武漢乘火車去北京，他要了解所有可供乘坐的車次共有多少，一個最易行的辦法是找一張全國列車運行時刻表，將所有從武漢到北京的車次逐一挑出來，共有多少次車也就數(shù)出來了，這種計數(shù)方法就是枚舉法。所謂枚舉法，就是把所要求計數(shù)的所有對象一一列舉出來，最后計算總數(shù)的方法。運用枚舉法進行列舉時，必須注意無一重復(fù)，也無一

57、遺漏。例1：四個學(xué)生每人做了一張賀年片，放在桌子上，然后每人去拿一張，但不能拿自己做的一張。問：一共有多少種不同的方法？解：設(shè)四個學(xué)生分別是A，B，C，D，他們做的賀年片分別是a，b，c，d。先考慮A拿B做的賀年片b的情況（如下表），一共有3種方法。同樣，A拿C或D做的賀年片也有3種方法。一共有333=9（種）不同的方法。例2：甲、乙二人打乒乓球，誰先連勝兩局誰贏，若沒有人連勝頭兩局，則誰先勝三局誰贏，打到?jīng)Q出輸贏為止。問：一共有多少種可能的情況？解：如下圖，我們先考慮甲勝第一局的情況：圖中打的為勝者，一共有7種可能的情況。同理，乙勝第一局也有 7種可能的情況。一共有 77=14（種）可能的情

58、況。（二）加法原理如果完成一件事情有n類方法，而每一類方法中分別有m1，m2，mn種方法，而不論采用這些方法中的任何一種，都能單獨地完成這件事情，那么要完成這件事情共有N=m1+m2+mn種方法。這是我們所熟知的加法原理，也是利用分類法計數(shù)的依據(jù)。例3：一個自然數(shù)，如果它順著數(shù)和倒著數(shù)都是一樣的，則稱這個數(shù)為“回文數(shù)”。例如1331，7，202都是回文數(shù)，而220則不是回文數(shù)。問：1到6位的回文數(shù)一共有多少個？按從小到大排，第2000個回文數(shù)是多少？解：一位回文數(shù)有：1，2，9，共9個；二位回文數(shù)有：11，22，99，共9個；三位回文數(shù)有：101，111，999，共90個；四位回文數(shù)有：1001，1111，9999，共90個；五位回文數(shù)有：10001，10101，99999，共900個；六位回文數(shù)有：100001，101101，999999，共900個。到六位數(shù)為止，回文數(shù)共有999090900900=1998（個）。第1999個回文數(shù)是1000001，第2000個回文數(shù)是1001001。例4：設(shè)有長度為1，2，9的線段各一條，現(xiàn)在要從這9條線段中選取若干條組成一個正方形，共有多少種不同的取法？這里規(guī)定當(dāng)用2條或多條線段接成一條邊時，除端點外，不