數(shù)學(xué)閱讀材料僅僅是閱讀嗎

1、數(shù)學(xué)閱讀材料僅僅是閱讀嗎？從“斐波那契數(shù)列”的教學(xué)談起江蘇省靖江市第一中學(xué) 展國(guó)培 214500內(nèi)容摘要：本文結(jié)合兩堂同課異構(gòu)的課堂教學(xué)提出教師要樹立科學(xué)的數(shù)學(xué)觀，根據(jù)閱讀材料的特點(diǎn)采取恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式，并提出建設(shè)新型的教研文化。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)觀；閱讀材料；教研文化1背景我校高中部數(shù)學(xué)教師的隊(duì)伍呈年輕化趨勢(shì)，40位數(shù)學(xué)教師中有一半教師的年齡在30周歲以下，為了促進(jìn)青年教師的盡快成長(zhǎng)，近兩年來(lái)，我們開展了“同課異構(gòu)”的教研活動(dòng)。由一位經(jīng)驗(yàn)比較豐富的教師（教齡在十年以上）和一位年輕的教師（教齡在五年以內(nèi)）面對(duì)相同的教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合所教學(xué)生的實(shí)際情況，根據(jù)自己對(duì)課標(biāo)和教材的理解，建構(gòu)出不同的教學(xué)設(shè)計(jì)，呈現(xiàn)

2、出不同風(fēng)格的課堂?！巴n異構(gòu)”教研活動(dòng)是一種多層面、全方位的合作、分享、交流、提升的教研模式，可以更好地比較不同的教師對(duì)相同教學(xué)內(nèi)容的不同處理，比較不同的教學(xué)策略所產(chǎn)生的不同的教學(xué)效果。如同化學(xué)中的同分異構(gòu)體具有不同的化學(xué)性質(zhì)一樣。最近，高一備課組就蘇教版必修5中的閱讀材料“斐波那契數(shù)列”上了兩堂“同課異構(gòu)”課，在教研組內(nèi)引起了激烈的討論。筆者感觸頗深。下面結(jié)合這兩課的課堂教學(xué)和組內(nèi)教師的意見談?wù)劚救艘恍┠w淺的認(rèn)識(shí)。2課堂教學(xué)的簡(jiǎn)單再現(xiàn) 教師甲（剛從高三一線下來(lái)的老教師）：同學(xué)們，我們來(lái)看一個(gè)有趣的問題：假設(shè)一對(duì)剛出生的小兔一個(gè)月后能長(zhǎng)成大兔，再過一個(gè)月便能生下一對(duì)小兔，此后每個(gè)月生一對(duì)小兔。

3、如果不發(fā)生死亡，那么一對(duì)剛出生的小兔一年可繁殖成多少對(duì)？ 學(xué)生思考，小組討論。5分鐘后，教師：哪位同學(xué)告訴我答案？學(xué)生1：233對(duì)。教師：你是怎么得到的？學(xué)生1：一一列舉的。教師：很好，當(dāng)元素個(gè)數(shù)有限個(gè)時(shí)，列舉法是很好的方法！在列舉過程中你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？學(xué)生1 ：從第3個(gè)月起，每一個(gè)月兔子的對(duì)數(shù)都是它前面兩個(gè)月的和。教師：很好。你是一個(gè)善于觀察和思考的人。（板書）。這就是數(shù)學(xué)史上有名的“兔子問題”，它是由意大利數(shù)學(xué)家斐波那契提出來(lái)的，又稱“斐波那契數(shù)列”，簡(jiǎn)記為“F數(shù)列”。那么，請(qǐng)同學(xué)們思考：兩年后、三年后兔子的對(duì)數(shù)呢？學(xué)生回答，求數(shù)列的通項(xiàng)。教師板書課題：F數(shù)列的通項(xiàng)。教師：F數(shù)列反映的是相

4、鄰三項(xiàng)的關(guān)系。我們前面見過類似的關(guān)系嗎？（學(xué)生搖頭）。我們見過相鄰幾項(xiàng)的關(guān)系？學(xué)生齊聲答：兩項(xiàng)。教師：請(qǐng)舉例說明。學(xué)生2：等差數(shù)列和等比數(shù)列。學(xué)生3：教師：很好！這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)怎么求的？學(xué)生3：令，所以，所以，。因此數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，從而可以求出數(shù)列的通項(xiàng)。教師：我們能從中得到什么啟示呢？不妨設(shè)，只要求出就可以得到一個(gè)等比數(shù)列，有。同學(xué)們?cè)囋嚳矗@樣行不行？教師巡視、個(gè)別指導(dǎo)。十幾分鐘后，學(xué)生展示自己的成果。學(xué)生4：，從而，所以解得，代入得（）消去得。將代入驗(yàn)證符合。教師：很好，我們將這里的稱為該數(shù)列的特征值。一般地，若數(shù)列滿足，則特征值滿足。因此，我們只要求出兩個(gè)特征值，然后將它們代入方程

5、組（），解出通項(xiàng)就行。學(xué)生練習(xí)：（2008廣東高考題）設(shè)是實(shí)數(shù)，是方程的兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。教師乙：（三年教齡的女教師）多媒體展示圖片。教師：請(qǐng)同學(xué)們來(lái)看屏幕上的圖片，它是什么？部分學(xué)生答兩只小兔子，也有學(xué)生說兩只小狗。教師：它們是可愛的小兔子。（學(xué)生笑，氣氛活躍）再請(qǐng)同學(xué)們看這張圖片，還是兩只兔子吧。只不過是兩只長(zhǎng)大的兔子。假如其中有一只是雌性的，一只是雄性的。話音剛落，一位特調(diào)皮的學(xué)生大聲問：“哪一只是雄的？哪一只是雌的？”教師笑答：“雄兔腳撲朔，雌兔眼迷離，雙兔傍地走，安能辨別是雄雌？”（全班大笑）教師：請(qǐng)同學(xué)們思考如下問題：假設(shè)一對(duì)剛出生的小兔一個(gè)月后能長(zhǎng)成大兔，再過

6、一個(gè)月便能生下一對(duì)小兔，此后每個(gè)月生一對(duì)小兔。如果不發(fā)生死亡，那么一對(duì)剛出生的小兔一年可繁殖成多少對(duì)？學(xué)生計(jì)算后給出答案233對(duì)。教師：同學(xué)們剛才在計(jì)算時(shí)有沒有發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？學(xué)生答：從第3個(gè)月起，每一個(gè)月兔子的對(duì)數(shù)都是它前面兩個(gè)月的和。教師：很好。你很了不起。（板書）。這就是數(shù)學(xué)史上有名的“兔子問題”，它是由意大利數(shù)學(xué)家斐波那契提出來(lái)的，又稱“斐波那契數(shù)列”，簡(jiǎn)記為“F數(shù)列”。 多媒體展示斐波那契的頭像圖片和生平事跡的簡(jiǎn)介資料。教師板書課題：奇妙的“F數(shù)列”。教師：“斐波那契數(shù)列”是一個(gè)非常美麗、和諧的數(shù)列。（1）(屏幕給出圖片)它的形狀可以用排成螺旋狀的一系列正方形來(lái)說明。起始的正方形(圖中

7、用灰色表示)的邊長(zhǎng)為1，在它左邊的那個(gè)正方形的邊長(zhǎng)也是1 ，在這兩個(gè)正方形的上方再放一個(gè)正方形，其邊長(zhǎng)為2，以后順次加上邊長(zhǎng)為3、5、8、13、21等等的正方形。這些數(shù)字每一個(gè)都等于前面兩個(gè)數(shù)之和，它們正好構(gòu)成了斐波那契數(shù)列。（學(xué)生驚嘆！）（2）很有趣的是：這樣一個(gè)完全是自然數(shù)的數(shù)列，通項(xiàng)公式居然是用無(wú)理數(shù)來(lái)表達(dá)的。（屏幕給出通項(xiàng)公式）（3）這個(gè)數(shù)列有許多奇特的的性質(zhì)，例如，從第3個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)與它后面那個(gè)數(shù)的比值，都很接近于0.618，正好與大名鼎鼎的“黃金分割”相吻合。人們還發(fā)現(xiàn)，連一些生物的生長(zhǎng)規(guī)律，也可由這個(gè)數(shù)列來(lái)刻畫呢。（多媒體屏幕給出樹木的生長(zhǎng)模式圖片、蜂房圖片、向日葵圖片，每張圖

8、片旁都加以文字解釋）。（4）斐波拉契數(shù)列之聞名，可能還跟美國(guó)懸疑作家丹·布朗有關(guān)，他在他的小說達(dá)芬奇密碼之中巧妙地運(yùn)用了該數(shù)列。好萊塢還將它搬上銀幕。（播放一段電影視頻）教師：遺憾的是斐波那契本人對(duì)這個(gè)數(shù)列并沒有再做進(jìn)一步的探討。直到十九世紀(jì)初才有人詳加研究，1960年左右，許多數(shù)學(xué)家對(duì)斐波拉契數(shù)列和有關(guān)的現(xiàn)象非常感到興趣，不但成立了斐氏學(xué)會(huì)，還創(chuàng)辦了相關(guān)刊物，其后各種相關(guān)文章也像斐氏的兔子一樣迅速地增加。（學(xué)生笑）試一試：你能把一個(gè)的方格切成四塊，拼成一個(gè)的長(zhǎng)方形嗎？教師故作驚訝地問：6465，怎么可能呢？屏幕上給出拼接前后的兩張圖片，然后解釋，其實(shí)就是利用了斐波那契數(shù)列的這個(gè)性質(zhì)

9、：5、8、13正是數(shù)列中相鄰的三項(xiàng)，事實(shí)上前后兩塊的面積確實(shí)差1，只不過后面那個(gè)圖中有一條細(xì)長(zhǎng)的狹縫，一般人不容易注意到。教師：有關(guān)“F數(shù)列”的更多內(nèi)容請(qǐng)同學(xué)們到網(wǎng)上查閱。百度或谷歌一下，或登錄課本上的網(wǎng)址。3組內(nèi)教師的意見課后，教研組的全體老師對(duì)這兩課的教學(xué)建構(gòu)展開了熱烈的討論，主要有以下兩種觀點(diǎn)。甲方：教師甲經(jīng)驗(yàn)豐富，具有較深厚的教學(xué)功底。能注重啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性，較好地體現(xiàn)了教師的主導(dǎo)地位和學(xué)生的主體地位；能根據(jù)實(shí)驗(yàn)班學(xué)生“基礎(chǔ)好、接受能力強(qiáng)”等特點(diǎn)展開教學(xué)活動(dòng)，注重對(duì)學(xué)生的思維能力的訓(xùn)練；注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的提煉，較好地實(shí)現(xiàn)了由“一個(gè)到一類”的過渡。不足之處是課

10、堂氣氛稍許沉悶。乙方：教師乙通過自然界中的一些現(xiàn)象，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在教學(xué)過程中，用準(zhǔn)確精煉的表述，抑揚(yáng)頓挫的語(yǔ)調(diào)，幽默得體的語(yǔ)言，讓學(xué)生在快樂中學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在不知不覺中步入數(shù)學(xué)的殿堂，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的奇異美。特別是剛開始對(duì)那位調(diào)皮學(xué)生的回答，反映了教師的智慧和應(yīng)變能力。不足之處是課堂雖然活躍，但學(xué)生缺少一定的思維訓(xùn)練，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)比較膚淺。值得注意的是：絕大部分老教師贊同教師甲的教學(xué)建構(gòu)，認(rèn)為實(shí)在，有效。他們認(rèn)為教師乙的教學(xué)建構(gòu)是花架子，只能作為優(yōu)課比賽的應(yīng)景之作。4我的認(rèn)識(shí)4.1教師的數(shù)學(xué)觀問題從教師的角度講，教什么比怎樣教更重要；從學(xué)生的角度講，怎樣學(xué)比學(xué)什么更重要。教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容

11、的理解與把握又取決于教師所持有的數(shù)學(xué)觀。所謂數(shù)學(xué)觀，就是指教師對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)價(jià)值的理解。它對(duì)教師采取的課堂教學(xué)方式有著特別重要的影響。我們知道，從數(shù)學(xué)的價(jià)值看，它既有實(shí)用價(jià)值，又有形式訓(xùn)練的價(jià)值，還有著文化價(jià)值。不同的價(jià)值追求必然導(dǎo)致不同的教學(xué)目標(biāo)。持有“工具主義數(shù)學(xué)觀”的教師只看到數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，會(huì)把數(shù)學(xué)看成是一些結(jié)論、方法、技巧的匯集，教學(xué)時(shí)就會(huì)突出教師的示范作用，學(xué)生的職責(zé)就是記憶與模仿；持有“動(dòng)態(tài)的、易謬主義的數(shù)學(xué)觀”的教師會(huì)把數(shù)學(xué)看成是一種創(chuàng)造性的活動(dòng)，那么，他在教學(xué)過程中就會(huì)大力提倡學(xué)生的參與，把對(duì)學(xué)生的思維訓(xùn)練放在首位，而且對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤也會(huì)采取較為容忍的

12、態(tài)度，并通過師生的共同努力來(lái)消除錯(cuò)誤（如教師甲）；持有“靜態(tài)的、絕對(duì)主義的數(shù)學(xué)觀”的教師會(huì)把數(shù)學(xué)知識(shí)看成是一種可以由教師傳遞給學(xué)生的東西，課堂教學(xué)以教師的講授為主，學(xué)生解答的正確與否完全取決于教師的裁決。在如今的應(yīng)試教育模式下，這種觀點(diǎn)還相當(dāng)流行。筆者認(rèn)為，以上的數(shù)學(xué)觀都有其合理性，也都有其局限性，應(yīng)根據(jù)具體情形將它們科學(xué)地鑲嵌在教學(xué)環(huán)節(jié)中，使之成為集探索、糾錯(cuò)、推理等相互結(jié)合相互促進(jìn)的有機(jī)體。除了上述三種數(shù)學(xué)教學(xué)觀以外，還應(yīng)當(dāng)提倡“科學(xué)的、人文主義數(shù)學(xué)觀”。課堂教學(xué)中，我們還應(yīng)在體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的教育價(jià)值上下功夫，教師要能從文化的高度教會(huì)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)，欣賞課本上一些定理和公式的證明，欣賞有些概念

13、的形成過程，并能透過這些內(nèi)容感悟數(shù)學(xué)與人類社會(huì)發(fā)展的關(guān)系。4.2 數(shù)學(xué)閱讀材料的處理數(shù)學(xué)“閱讀材料”僅僅閱讀而已嗎？蘇教版的教材中安排了許多“閱讀材料”，這是新教材的一大特點(diǎn)，是以往教材中所沒有的。如何利用好這些材料呢？筆者認(rèn)為，教師不應(yīng)當(dāng)視而不見，而應(yīng)當(dāng)對(duì)這些材料進(jìn)行認(rèn)真解讀，認(rèn)真研磨教材編寫者的意圖。如果這些材料是對(duì)相關(guān)主干知識(shí)的的補(bǔ)充，那么我們?cè)谡n堂教學(xué)時(shí)可以鏈接到這些材料上去加以拓展和延伸；如果這些材料是介紹一些數(shù)學(xué)史知識(shí)和數(shù)學(xué)家的事跡，我們就應(yīng)當(dāng)在教育性上下功夫，滲透數(shù)學(xué)文化，發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的教育價(jià)值；如果這些材料具有探究性，那么我們可以作為訓(xùn)練學(xué)生思維能力的素材，上一堂研究性學(xué)習(xí)課。

14、筆者認(rèn)為，“斐波那契數(shù)列”的教學(xué)更應(yīng)看到它的教育性。教材編寫者安排這一材料的意圖旨在讓學(xué)生體驗(yàn)“數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)同在，只要有數(shù)學(xué)，就有數(shù)學(xué)文化”的理念，讓學(xué)生能感受到數(shù)學(xué)文化的魅力和數(shù)學(xué)的博大精深，能自覺地接受數(shù)學(xué)文化的熏陶，產(chǎn)生文化的共鳴，體會(huì)到數(shù)學(xué)文化的品位和數(shù)學(xué)的人文精神！一階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)不是必修5教材的主干知識(shí)，課標(biāo)安排在選修系列4中的“數(shù)列與差分”模塊。教材對(duì)斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)并沒作要求。因此，筆者認(rèn)為，教師乙對(duì)這個(gè)閱讀材料的處理是恰當(dāng)?shù)摹⒖茖W(xué)的。4.3 關(guān)于教研文化的建設(shè)我們每一位教師既是新課程的實(shí)施者，也是新課程的研究者。在新課程的實(shí)施過程中，我們每一位教師都是新教師。因此，我們要加強(qiáng)個(gè)人研究，研究教材和課標(biāo)；研究專家們對(duì)新課程的理解；同時(shí)，我們還必須重視與同仁的合作學(xué)習(xí)。因?yàn)楹献鲗W(xué)習(xí)與個(gè)人研究同等重要。只有在教研活動(dòng)過程中才能真正感受到這樣的研究能使自己看清方向，在和同事的不斷交流、不斷反思中發(fā)現(xiàn)自己