2.平面區(qū)域的基本試題類型

1、中國高考數(shù)學(xué)母題一千題(第0001號)愿與您共建真實(shí)的中國高考數(shù)學(xué)母題(楊培明平面區(qū)域的基本試題類型作平面區(qū)域的基本方法 作出線性約束條件所表示的平面區(qū)域是線性規(guī)劃的基礎(chǔ),也是高考的一個(gè)命題點(diǎn);著意于平面區(qū)域的高考試題可分為三類:平面區(qū)域的形狀、面積和平面區(qū)域的直觀分析.解決的關(guān)鍵都是作出約束條件所表示的平面區(qū)域.母題結(jié)構(gòu):作出線性約束條件所表示的平面區(qū)域.解題程序:作平面區(qū)域的基本程序是:把約束條件中的不等號變?yōu)榈忍?得到區(qū)域邊界的直線方程;求出兩兩直線的交點(diǎn),在直角坐標(biāo)系內(nèi)標(biāo)出這些點(diǎn),并連線;利用平面區(qū)域定理確定約束條件所表示的區(qū)域. 1.平面區(qū)域的形狀 子題類型

2、:(2007年北京高考理科試題)若不等式組所表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形,則a的取值范圍是( )(A)a (B)0a1 (C)1a (D)0a1,或a解析:由不等式x-y0,2x+y2,且y0對應(yīng)的可行域?yàn)镺AB,其中A(,),B(1,0),過點(diǎn)O、A、B分別作斜率都等于-1的直線l1、l2、l3,要使得原不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形,則直線l:x+y=a應(yīng)位于直線l1與l3之間(包括l3),或位于直線l2的右上方(包括l2)0-1m=1.故選(B).點(diǎn)評:求三角形面積可利用公式:在ABC中,如果=(x1,y1),=(x2,y2),則三角形ABC的面積S=|x1y2-x2y1|. 3.平面

3、區(qū)域的直觀分析 子題類型:(2010年福建高考試題)設(shè)不等式組,所表示的平面區(qū)域是1,平面區(qū)域1與2關(guān)于直線3x-4y-9=0對稱,對于1中的任意A與2中的任意點(diǎn)B,|AB|的最小值等于( )(A) (B)4 (C) (D)2解析:約束條件表示的可行域1是ABC區(qū)域,其中A(1,1),B(1,2),C(3,3),在區(qū)域ABC中,點(diǎn)A(1,1)到直線3x-4y-9=0的距離最小,最小值=2,根據(jù)對稱性|AB|的最小值等于=4.點(diǎn)評:利用平面區(qū)域可以構(gòu)造多種形式的高考試題,但萬變不離其宗,作出約束條件所表示的平面區(qū)域是解題的根本. 4.子題系列:1.(2008年湖北高考試題)在平面直角坐標(biāo)系xOy

4、中,滿足不等式組的點(diǎn)(x,y)的集合用陰影表示為下列圖中的( )2.(2007年北京高考文科試題)若不等式組所表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形,則a的取值范圍是( )(A)a5 (B)a7 (C)5a7 (D)a5,或a73.(2006年浙江高考試題)在平面直角坐標(biāo)系中,不等式組,表示的平面區(qū)域的面積為( )(A)4 (B)4 (C)2 (D)24.(2009年安徽高考試題)不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于( ) (A) (B) (C) (D)5.(2014年安徽高考試題)不等式組表示的平面區(qū)域的面積為 .6.(2009年安徽高考試題)不等式組所表示的平面區(qū)域被直線y=kx+分為面積相等的兩部分,

5、則k的值是( ) (A) (B) (C) (D)7.(2008年安徽高考試題)若A為不等式組表示的平面區(qū)域,則當(dāng)a從-2連續(xù)變化到1時(shí),動(dòng)直線x+y=a掃過A中的那部分區(qū)域的面積為( ) (A) (B)1 (C) (D)28.(2009年福建高考試題)在平面直角坐標(biāo)系中,若不等式組(a為常數(shù))所表示的平面區(qū)域的面積等于2,則a的值為( ) (A)-5 (B)1 (C)2 (D)39.(2007年浙江高考試題)設(shè)m為實(shí)數(shù),若(x,y)|(x,y)|x2+y225,則m的取值范圍是 .10.(1981、2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)在坐標(biāo)平面上有兩個(gè)區(qū)域M和N.M是由y0,yx,和y2-x這三個(gè)

6、不等式確定的,N是隨t變化的區(qū)域,它由不等式txt+1所確定的,t的取值范圍是0t1.設(shè)M和N的公共面積是函數(shù)f(t).則f(t)為: .11.(2007年山東高考試題)設(shè)D是不等式組表示的平面區(qū)域,則D中的點(diǎn)P(x,y)到直線x+y=10距離的最大值是 .12.(2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽遼寧初賽試題)平面上滿足約束條件的點(diǎn)(x,y)形成的區(qū)域?yàn)镈,區(qū)域D關(guān)于直線y=2x對稱的區(qū)域?yàn)镋,則區(qū)域D和區(qū)域E中距離最近的兩點(diǎn)的距離為 .13.(2008年寧夏、海南高考試題)點(diǎn)P(x,y)在直線4x+3y=0上,且滿足-14x-y7,則點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的取值范圍是( ) (A)0,5 (B)0,1

7、0 (C)5,10 (D)5,1514.(2011年湖北高考試題)直線2x+y-10=0與不等式組表示的平面區(qū)域的公共點(diǎn)有( )(A)0個(gè) (B)1個(gè) (C)2個(gè) (D)無數(shù)個(gè)15.(2013年大綱高考試題)記不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈,若直線y=a(x+1)與D公共點(diǎn),則a的取值范圍是 .16.(2012年福建高考試題)若直線y=2x上存在點(diǎn)(x,y)滿足約束條件,則實(shí)數(shù)m的最大值為( )(A)-1 (B)1 (C) (D)217.(2012年北京高考試題)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈.在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn).則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是( )(A) (B) (C) (D)18.(

8、2014年湖北高考試題)由不等式確定的平面區(qū)域記為1,不等式,確定的平面區(qū)域記為2,在1中隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)恰好在2內(nèi)的概率為( )(A) (B) (C) (D) 4.子題詳解:1.解:由點(diǎn)P(0,2)滿足不等式組,排除(A)(D);又由點(diǎn)Q(-0.5,0) 不滿足不等式組,排除(B).故選(C).2.解:由A(0,5),B(2,7)5a7.故選(C).3.解:由不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)锳BC.其中A(0,2),B(2,0),C(2,4)面積=4.故選(B).4.解:由不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)锳BC,其中A(0,),B(0,4),C(1,1)面積=(4-)1=,故選(C).5.解:由區(qū)域?yàn)?/p>

9、ABC,其中,A(0,2),B(2,0),C(8,-2)SABC=4.6.解:由區(qū)域?yàn)锳BC,A(0,),B(0,4),C(1,1),又y=kx+過點(diǎn)Ay=kx+過BC的中點(diǎn)M(,)k=.故選(A).7.解:由區(qū)域?yàn)镺AB,其中A(-2,0),B(0,2),動(dòng)直線掃過的區(qū)域的面積=.故選(C).8.解:由不等式組所對應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)锳BC,其中A(1,1+a),B(0,1),C(1,0)SABC=(1+a)=2a=3.故選(D).9.解:由直線x-2y+5=0與mx+y=0交于P(-,),直線3-x=0與mx+y=0交于Q(3,-3m),由題意,點(diǎn)P,Q不在圓O:x2+y2=25外(-)+()2

10、5,32+(-3m)225m0,10.解:由區(qū)域M是圖中AOB,區(qū)域N是直線x=t與x=t+1(0t1)之間的帶形域.M和N的公共部分為圖中的陰影部分五邊形ACDEF(包括邊界),由五邊形ACDEF的面積f(t)=AOB的面積減去RtODC、RtBEF的面積=1-t2-2-(t+1)2=-t2+t+.11.解:由區(qū)域D的頂點(diǎn)(1,1)直線x+y=10距離的最大值=4.12.解:由區(qū)域D是ABC,其中A(2,-2),B(2,-8),C(5,-5),在區(qū)域D中,點(diǎn)A(2,-2)到直線2x-y=0的距離最小,最小值=,根據(jù)對稱性區(qū)域D和區(qū)域E中距離最近的兩點(diǎn)的距離=.13.解:根據(jù)題意可知點(diǎn)P在線段4x+3y=0(-6x)上,線段過原點(diǎn),故點(diǎn)P到原點(diǎn)最短距離為零,最遠(yuǎn)距離為點(diǎn)P(-6,8)到原點(diǎn)距離且距離為10.故選(B).14.解:由直線2x+y-10=0與平面區(qū)域的公共點(diǎn)只有(5,0)這一個(gè)點(diǎn).故選(B).15.解:由直線y=a(x+1)恒過定點(diǎn)P(-1,0),且斜率為a;區(qū)域D為ABC,其中,A(1,1),B(0,4),C(0,)kPA=,kPB=4a的取值范圍是,4.16.解:由直線y=2x與x+y-3=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),要使直線y=2x上存在點(diǎn)(x,y)滿足約束條件,如圖所示,則3-