23.利用平方和為定值.構(gòu)圓巧解函數(shù)試題

1、中國(guó)高考數(shù)學(xué)母題一千題(第0001號(hào))愿與您共建真實(shí)的中國(guó)高考數(shù)學(xué)母題(楊培明利用平方和為定值.構(gòu)圓巧解函數(shù)試題構(gòu)圓.尋找函數(shù)試題的幾何解法 數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中的重要思想和解題方法,也是高考重點(diǎn)考查的對(duì)象,構(gòu)造法是數(shù)形結(jié)合的典范,其基本特點(diǎn)之一是通過構(gòu)造,把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題;圓是基本的構(gòu)造對(duì)象,利用變量的平方和為定值是構(gòu)圓的方法之一.母題結(jié)構(gòu):己知兩變量a、b的平方和a2+b2=r2(r>0)為定值,求解關(guān)于變量a、b的函數(shù)F(a,b)的問題.解題程序:首先尋找或構(gòu)造兩變量a、b,使得a2+b2=r2(r>0)為定值,然后,把a(bǔ)2+b2=r2,視為在直

2、角坐標(biāo)系aOb中的圓,最后,通過尋找或構(gòu)造函數(shù)F(a,b)的幾何意義,直觀解決函數(shù)F(a,b)的問題. 1.函數(shù)f(x)=a+b的值域 子題類型:(2008年重慶高考試題.2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南初賽試題)已知函數(shù)y=+的最大值為M,最小值為m,則的值為 .解析:令X=,Y=,則X0,Y0,且X2+Y2=4,y=X+Y點(diǎn)P(X,Y)在如圖所示的圓弧上時(shí),直線X+Y=y在Y軸上截距y的最大值ymax=M=2,ymin=m=2=.點(diǎn)評(píng):求函數(shù)f(x)=a+b的值域:令兩變量X=,Y=(X0,Y0);由X2+Y2=m+n作圓(第一象限);由直線l:aX+bY=f(x)與四分之一圓弧相交,直觀分

3、析求解直線l在Y軸上截距. 2.三角換元后,由cos2+sin2=1構(gòu)圓 子題類型:(2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西初賽試題)函數(shù)f(x)=的值域是 .解析:設(shè)x=cos,且0,.則f(x)=,作P(cos,sin),A(-2,0),則f(x)=kAP0,.點(diǎn)評(píng):由cos2+sin2=1構(gòu)圓解題的關(guān)鍵是進(jìn)行三角換元,使函數(shù)f(x)轉(zhuǎn)化為關(guān)于sin與cos的函數(shù)F(sin,cos),通過令點(diǎn)P(sin,cos),構(gòu)造單位圓,并由此尋找或構(gòu)造函數(shù)F(sin,cos)的幾何意義求解. 3.求a2+b2的最小值的方法 子題類型:(2014年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽貴州初賽試題)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b

4、(xR,且x0),若實(shí)數(shù)a、b使得f(x)=0有實(shí)根,求a2+b2的最小值.解析:令a2+b2=r2(r>0),x+=t,則|t|=|x+|2,且x2+=t2-2;由f(x)=0x2+ax+b=0(x+)a+b+(x2+)=0ta+b+(t2-2)=0;在直角坐標(biāo)系aOb中,由直線l:ta+b+(t2-2)=0與圓O:a2+b2=r2相交r=|-|-|=ra2+b2=r2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1a=,b=時(shí),等號(hào)成立(a2+b2)min=.點(diǎn)評(píng):求a2+b2的最小值,首先令a2+b2=r2(r>0),并把a(bǔ)2+b2=r2,視為在直角坐標(biāo)系aOb中的圓O,然后,把已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量a與b

5、的直線l,由直線l與圓O相交r圓心O到直線l的距離d,求d的最小值d0,得a2+b2的最小值=d02. 4.子題系列:1.(2005年第十六屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽(高二)試題)函數(shù)y=+的最大值是 ,最小值是 .2.(2011年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川初賽試題)函數(shù)f(x)=+的最大值是 .3.(2000年全國(guó)高考試題)若函數(shù)f(x)=-ax(a>0)在0,+)上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .4.(2002年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海初賽試題)已知函數(shù)f(x)=(1-x+),x2,4,則該函數(shù)的值域是_.5.(2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江初賽試題)設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+(2b+1)

6、x-a-2(a,bR,a0)在3,4上至少有一個(gè)零點(diǎn).求a2+b2的最小值.6.(2011年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北初賽試題)已知a,bR,關(guān)于x的方程x4+ax3+2x2+bx+1=0有一個(gè)實(shí)根,求a2+b2的最小值.7.(2014年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽內(nèi)蒙古初賽試題)已知a=xb+yc(x,yR),|a|=|b|=2,|c|=1,(a-c)(b-c)=0,則|a-b|的取值范圍是 . 5.子題詳解:1.解:取點(diǎn)P(,),點(diǎn)P在四分之一圓弧C:x2+y2=3(x0,y0)上,u=x+y,直線x+y=u在x軸上的截矩u滿足:u.2.解:取點(diǎn)P(,),點(diǎn)P在四分之一圓弧C:x2+y2=3(x0,y0)上

7、,u=x+y,直線x+y=u在x軸上的截矩u滿足:u2.3.解:令x=tan,(-,),則f(x)=-atan=a,取單位圓上的點(diǎn)P(cos,sin),令A(yù)(0,),則-kPA=f(x),由f(x)遞減kPA遞增1a1.4.解:由f(x)=(1-x+)=(-1+)=-1+,令1-=tan,則y=f(x)=(-tan+)=,取單位圓上的點(diǎn)P(cos,sin),A(0,1),-kPA=,kOA遞增,遞減,當(dāng)tan=時(shí),sin=,cos=f(x)max=;當(dāng)tan=時(shí),sin=,cos=f(x)min=.5.解:由f(x)=0ax2+(2b+1)x-a-2=0(x2-1)a+2xb+(x-2)=0,

8、令a2+b2=r2(r>0),則在直角坐標(biāo)系aOb中,直線l:(x2-1)a+2xb+(x-2)=0與圓O:a2+b2=r2相交r(x3,4)=a2+b2=r2,當(dāng)且僅當(dāng)x=3a=-,b=-時(shí),等號(hào)成立(a2+b2)min=.6.解:由x4+ax3+2x2+bx+1=0x3a+xb+(x4+2x2+1)=0,令a2+b2=r2(r>0),則在直角坐標(biāo)系aOb中,直線l:x3a+xb+(x4+2x2+1)=0與圓O:a2+b2=r2相交ra2+b2=r2=+48,當(dāng)且僅當(dāng)=x2=1a2=b2=4時(shí),等號(hào)成立a2+b2的最小值=8.7.解:設(shè)c=(m,n),a-c=(a,0),b-c=(0,b)m2+n2=1,a=(a+m,n),b=(