數(shù)學(xué)分析中的反例問(wèn)題

1、摘 要數(shù)學(xué)分析是一門非常重要的基礎(chǔ)課程,反例對(duì)理解數(shù)學(xué)分析有關(guān)定義和定理的內(nèi)涵和外延有著不可替代的作用,反例的地位在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中占有很重要的地位,對(duì)培養(yǎng)我們的逆向思維至關(guān)重要,恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用反例對(duì)我們數(shù)學(xué)能力的提高起著事半功倍的效果,我們希望定理中的條件是最簡(jiǎn)的,在我們一步步削弱條件的時(shí)候,反例的作用就越來(lái)越明顯,一個(gè)特列不能說(shuō)明一個(gè)命題是對(duì)的,但一個(gè)反例完全可以證明一個(gè)命題是錯(cuò)的.反例的作用和構(gòu)造也越來(lái)越受到重視.本文介紹了數(shù)列,函數(shù),導(dǎo)數(shù),積分,無(wú)窮積分,級(jí)數(shù)等中的一些典型問(wèn)題的反例,對(duì)一些逆命題的成立與否通過(guò)反例做了簡(jiǎn)單的論證,通過(guò)反例把一些看似相關(guān)性很大的定義和定理的區(qū)別又做了進(jìn)一步的比較

2、和分析,對(duì)一些反例的構(gòu)造過(guò)程和思路做了詳細(xì)介紹,回答了為什么這樣構(gòu)造的問(wèn)題,可以讓讀者在錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系里得到清晰的邏輯和思路.關(guān)鍵詞：命題;反例;構(gòu)造;數(shù)學(xué)分析;體現(xiàn) ABSTRACTMathematical analysis is a very important basic course, counterexample has an irreplaceable role in understanding mathematical analysis about definition and theorem of connotation and denotation , counter exa

3、mple role has a extremely important position in learning mathematics occupies,it is very important to educate our reverse thinking, appropriate mathematical ability for us to use counterexample improve play a extremely important position, we hope that the conditions of the theorem is one of the most

4、 simple, when we weaken conditions step by step, the counter example of the role is more and more obvious, a special example does not justify a question is right, but a counter example can prove that a theorem is wrong. counterexample and structure is becoming more and more important. According to t

5、he general mathematical analysis teaching material order, this paper introduces the sequence, function, derivative,and series of a reverse case of some typical problems, such as, for some of the establishment of the converse proposition, seemingly through counterexamples correlation definition theor

6、em of great difference and do a further comparison and analysis of the construction process of some counter example ,it also made a detailed introduction, why and how structure counterexample get a answer in this paper, reader can get a clear logic in this paper.Key words: proposition; counter examp

7、le;structure;mathematical analysis; reflect目 錄1.引言12.反例在加深理解定義及相關(guān)概念中的體現(xiàn)12.1周期函數(shù)12.2復(fù)合函數(shù)12.3極值22.4一致連續(xù)22.5導(dǎo)數(shù)33.反例在掌握定理的內(nèi)涵與外延中的體現(xiàn)33.1柯西收斂準(zhǔn)則33.2 stolz公式43.3 比式判別法53.4 比較原則53.5 阿貝爾判別法63.6 萊布尼茨判別法74.反例在辨析重要結(jié)論的逆命題中的體現(xiàn)75.反例在論證辯證關(guān)系中的體現(xiàn)105.1 和的關(guān)系105.2 原函數(shù)與可積函數(shù)之間的關(guān)系105.3 收斂與=0的關(guān)系115.4 可積和絕對(duì)可積以及平方可積之間的關(guān)系126.結(jié)論

8、13參 考 文 獻(xiàn)14致 謝151.引言數(shù)學(xué)分析在數(shù)學(xué)專業(yè)中占有重要的基礎(chǔ)地位,反例在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用也越來(lái)越受到重視,其實(shí)反例的作用不僅僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)分析中,像實(shí)變函數(shù)中的康托爾三分集就是一個(gè)經(jīng)典的例子,也可充當(dāng)很多命題的反例,第一個(gè)無(wú)處可微的連續(xù)函數(shù)的例子是由Weierstrass用振動(dòng)曲線 構(gòu)造提出的: 13,這使得人們對(duì)連續(xù)和可微之間的關(guān)系研究又提高到了另一個(gè)高度,是理性的結(jié)果,打破了長(zhǎng)期以來(lái)的模糊的錯(cuò)誤的觀點(diǎn),從此以后,人們又仿效他做了適當(dāng)?shù)男薷?構(gòu)造出越來(lái)越多的反例,反例的作用越來(lái)越得到人們的肯定和重視,由此可見(jiàn),能構(gòu)造出反例來(lái)推翻一個(gè)命題和證明一個(gè)命題的正確性同等重要,構(gòu)造反例關(guān)鍵

9、在于巧妙,反例不是憑空想象的,而是根據(jù)要求和已有的知識(shí)經(jīng)過(guò)很嚴(yán)密的思考得出來(lái)的,在運(yùn)用和構(gòu)造反例的過(guò)程中可以讓我們對(duì)知識(shí)點(diǎn)理解的更加透徹,使我們的思路更加清晰,對(duì)提高我們的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)能力有著很大的幫助作用. 2. 反例在加深理解定義及相關(guān)概念中的體現(xiàn)2.1周期函數(shù)并不是非常數(shù)的周期函數(shù)都有最小正周期,下面我們尋求一個(gè)沒(méi)有最小正周期的非常數(shù)的周期函數(shù),可以證明非常數(shù)的連續(xù)周期函數(shù)必有最小正周期5,所以我們構(gòu)造的函數(shù)一定是不連續(xù)的,如狄利克雷函數(shù),它的周期是全體有理數(shù),因而沒(méi)有最小正周期.2.2復(fù)合函數(shù),已知,若的過(guò)程中始終保持有,則復(fù)合函數(shù)的極限12.注意這里的容易忽略,但確實(shí)又是必不可少的

10、,例如：及,這時(shí)時(shí),時(shí),但復(fù)合后的極限不存在,因?yàn)?由此可知是不能去掉的,但是如果外層函數(shù)連續(xù),則,就不必假定在極限過(guò)程中了.2.3極值若連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)有極大值,則在此點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)一定滿足在此點(diǎn)的左側(cè)遞增右側(cè)遞減.這個(gè)命題初看很正常,感性認(rèn)識(shí)是對(duì)的.但是事實(shí)并非如此,例如,在=0取得極大值2,而在=0的任意小的領(lǐng)域內(nèi)都時(shí)正時(shí)負(fù),故在=0的左右兩側(cè)任意領(lǐng)域內(nèi)都是震蕩的.2.4一致連續(xù)定義11 設(shè)f為定義在區(qū)間I上的函數(shù).若對(duì)任給的,存在,使得對(duì)任何,I,只要,就有,則稱函數(shù)f在區(qū)間I上一致連續(xù).由一致連續(xù)的定義可以證明,在有限開(kāi)區(qū)間上一致連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)之積仍然是一致連續(xù)函數(shù).現(xiàn)在我們來(lái)看在有限開(kāi)

11、區(qū)間上一致連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)之商和在無(wú)窮區(qū)間上一致連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)之積是否還是一致連續(xù)函數(shù).通過(guò)反例我們可以知道這時(shí)就不一定成立了,如：1與x在（0,1）上一致連續(xù),但其商在（0,1）上不一致連續(xù).x與x在(0, )上一致連續(xù),但在(0, )上不一致連續(xù).2.5導(dǎo)數(shù)定義21 設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義,若極限存在,則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo).由定義可知函數(shù)的可導(dǎo)是針對(duì)一點(diǎn)而言的,所以存在只在一點(diǎn)可導(dǎo),在這一點(diǎn)的任何領(lǐng)域內(nèi)都不可導(dǎo)的函數(shù),因?yàn)檫B續(xù)也是針對(duì)點(diǎn)而言的,我們知道存在只在單點(diǎn)連續(xù)的函數(shù),在這一點(diǎn)的任何領(lǐng)域內(nèi)都不連續(xù),如黎曼函數(shù),那么是否存在這樣的函數(shù),只在一點(diǎn)可導(dǎo),在其他任一點(diǎn)都不連續(xù),這樣的函數(shù)是存在

12、的,如=僅在點(diǎn)=0處可導(dǎo),在其他任意一點(diǎn)都不可導(dǎo),且不連續(xù),其中是狄利克雷函數(shù).2. 可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)滿足,但不能斷定在的某領(lǐng)域內(nèi)單調(diào)遞增,如,則,在=0點(diǎn),但在原點(diǎn)的任意領(lǐng)域內(nèi)都取正值和負(fù)值.3.導(dǎo)函數(shù)不一定連續(xù).例如,則,在點(diǎn)間斷,并且是第二類間斷點(diǎn),其實(shí)這并不是偶然,因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)是沒(méi)有第一類間斷點(diǎn)的,并且還可以證明導(dǎo)函數(shù)如果有第二類間斷點(diǎn)一定是振蕩型的第二類間斷點(diǎn).3. 反例在掌握定理的內(nèi)涵與外延中的體現(xiàn)3.1柯西收斂準(zhǔn)則定理3.1.1 1（柯西收斂準(zhǔn)則）數(shù)列收斂的充要條件是：對(duì)任給的,存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n,mN時(shí)有.下面列出兩個(gè)命題（1） 數(shù)列收斂的充要條件是5：對(duì)任給的,當(dāng)時(shí),對(duì)一切,

13、都有（2） 數(shù)列收斂的充要條件是：對(duì)任給的,對(duì),當(dāng)時(shí),有對(duì)于以上兩個(gè)命題,再結(jié)合柯西收斂準(zhǔn)則,我們很難一下子看清楚哪個(gè)是對(duì)的,看似他們的表述很接近,貌似都對(duì),實(shí)則不然,對(duì)于命題2,雖然是任意的,但是是在選取前就給定的,可能每一個(gè)都會(huì)對(duì)應(yīng)著一個(gè)不同的,這樣就會(huì)使得的選取和的取值有關(guān),從而找不到一個(gè)公共的使的對(duì)任何一個(gè)都成立,這就是命題2和命題1最本質(zhì)的區(qū)別,經(jīng)過(guò)初步分析我們還不能斷定命題2是錯(cuò)誤的,如果能舉一個(gè)反例推翻就可以了,而這種反例是存在的,比如令,則,對(duì)任意給定的,當(dāng)充分大時(shí)成立,所以是滿足命題2的要求的,但是我們知道是發(fā)散的,所以命題2是不對(duì)的.通過(guò)這個(gè)反例可以看出反例在加深理解定理中

14、的作用是不言而喻的.3.2 stolz公式定理3.1.25 型Stolz公式若嚴(yán)格遞增且= ,則（是有限數(shù),或）型Stolz公式若嚴(yán)格遞減且,則（是有限數(shù),或）注意上面的可以是有限數(shù),也可以是或,但是,一般推不出,例如令=,=n,這時(shí)雖然,但是=,即.要特別注意的是Stolz公式的逆命題是不成立的,現(xiàn)以型Stolz公式為例,即使嚴(yán)格遞增且= ,但是推不出,如我們用Stolz公式很容易知道如果,則,但是由此等式反過(guò)來(lái)我們是推不出的,例如：令=,顯然,但是.針對(duì)上例我們還可以得到推不出是因?yàn)榈臉O限不存在,如果存在的話,一定成立,所以加上單調(diào)這個(gè)條件就可以確定成立,因?yàn)槿绻麊握{(diào)就可以保證的極限是存在

15、的,要么是有限數(shù),要么是或,而這三種情況恰好在Stolz公式的使用范圍內(nèi),這也是我們構(gòu)造的反例一定不能是單調(diào)數(shù)列的原因.3.3 比式判別法設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且,但不一定收斂,例如：上例對(duì)理解比式判別法有重要作用,我們知道,如果為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且存在某正整數(shù)及常數(shù)q（0<q<1）, 若對(duì)一切n>,成立不等式,則級(jí)數(shù)收斂.這說(shuō)明了0<q<1的重要性以及對(duì)理解<1和兩者這間的區(qū)別都有很大幫助.3.4 比較原則收斂,且(),這時(shí)不一定收斂,由于如果,是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),若(),這時(shí)和一定是同斂態(tài)的,所以和不能同時(shí)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),令=,=+,這時(shí)即使,但=+還是發(fā)散的,這就說(shuō)明比較法

16、一定不要忘記使用的范圍是正項(xiàng)級(jí)數(shù)之間的比較.3.5 阿貝爾判別法若為單調(diào)有界數(shù)列,且級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)收斂.如果把單調(diào)這個(gè)條件去掉,命題是否還成立呢,例如,收斂,=1,那么一定收斂嗎,要構(gòu)造反例說(shuō)明這個(gè)命題的錯(cuò)誤的性,要清楚的知道所構(gòu)造的反例中不能單調(diào),且不能為正項(xiàng)級(jí)數(shù),因?yàn)槿绻钦?xiàng)級(jí)數(shù),則當(dāng)n足夠大時(shí),也是正項(xiàng)級(jí)數(shù),又因=1,由比較法可得和同斂態(tài),綜上分析可令=,=+,顯然收斂且=1,但是是發(fā)散的,說(shuō)明單調(diào)這個(gè)條件是必不可少的.3.6 萊布尼茨判別法萊布尼茨判別法要滿足的三個(gè)條件下面通過(guò)反例來(lái)說(shuō)明這三個(gè)條件缺一不可,缺條件1時(shí),滿足條件2和3,但是發(fā)散缺條件2時(shí),=,滿足條件1和3,但是=發(fā)

17、散,即發(fā)散.缺條件3時(shí),滿足條件1和2,但是是發(fā)散的.所以在運(yùn)用萊布尼茨判別法時(shí),一定要驗(yàn)證這三個(gè)條件,特別是第二個(gè)容易遺漏.4. 反例在辨析重要結(jié)論的逆命題中的體現(xiàn)1. .有界變差數(shù)列都是收斂數(shù)列6.逆命題不真.（為常數(shù)）,則稱數(shù)列為有界變差數(shù)列1.可以證明有界變差數(shù)列都是收斂數(shù)列,但是收斂數(shù)列卻不一定是有界變差數(shù)列,例如：,顯然=0,但是2.若,則.逆命題不對(duì).例如：=,但是,故不存在.這就是在級(jí)數(shù)收斂判別法中能用比式判別的一定可以用根式判別法來(lái)判定,而在有些題目中能用根式判別法卻不能用比式判別法的原因,這也說(shuō)明根式判別法比比式判別法應(yīng)用的范圍更大一些.3. 眾所周知,若的導(dǎo)函數(shù)在I上有界

18、,則一定一致連續(xù)8.我們的問(wèn)題是逆命題是否成立呢？答案是否定的,因?yàn)樵冢?,1）上一致連續(xù),但在（0,1）上是無(wú)界的.這里還有個(gè)重要的結(jié)論,若在上連續(xù)且處處可導(dǎo),且（有限或無(wú)限）,則當(dāng)且僅當(dāng)A為有限時(shí),在一致連續(xù).證 因?yàn)锳有限,=|M,由Lipschitz條件可得一致連續(xù). 反證法：假如A=,令=1,=b>0, =b+,對(duì),b充分大時(shí),有=|=1,故非一致連續(xù).4. 若在內(nèi)可導(dǎo),并且,則.9這由推廣的洛必達(dá)法則很容易得到,但是此命題的逆命題不真.如 ,=0,但是不存在.5. 若可積,則在一定有界5.反之不真.例如狄利克雷函數(shù),在內(nèi)有界,但是是不可積的.6. 若可積,則|和都可積11,但

19、逆命題不真.例如,|,在內(nèi)都可積,但是在內(nèi)是不可積的.7. 我們知道如果收斂,>0且單調(diào)遞減,則,3即遞減的正項(xiàng)級(jí)數(shù)如果收斂,其通項(xiàng)一定是比高階的無(wú)窮小量.我們考察此命題的逆命題正確與否,即如果,>0且單調(diào)遞減,是否一定有收斂.下面給出反例的構(gòu)造過(guò)程,是比高階的無(wú)窮小量,如果只是單純的構(gòu)造比高階的無(wú)窮小量=（i>1）,則一定收斂,所以不妥,我們要找一個(gè)比任何（i>0）增長(zhǎng)速度要慢的函數(shù),這樣才有可能構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)姆蠢?自然會(huì)想到lnn,即令=,則滿足,>0且單調(diào)遞減,但是=卻是發(fā)散的.（=,令t=）注意,還可以用反例說(shuō)明此命題中單調(diào)遞減是必不可少的,即存在>0

20、且收斂,但是,即不是高階的無(wú)窮小量.例如：,=所以收斂,但是顯然.5. 反例在論證辯證關(guān)系中的體現(xiàn)5.1和的關(guān)系由推廣的洛必達(dá)法則我們還可以知道,設(shè)在內(nèi)可導(dǎo),若 ,都存在,則=0.現(xiàn)在我們來(lái)進(jìn)一步探討在在內(nèi)可導(dǎo)的前提下 和之間的關(guān)系.下面的兩個(gè)反例告訴我們他們是無(wú)關(guān)條件,即在內(nèi)有界可導(dǎo),且有存在,但不一定存在,例如,則,顯然但是不存在.反之如果在內(nèi)有界可導(dǎo),且存在,但不一定存在,例如：,它在上有界且可微,且,所以=0,但是不存在.5.2原函數(shù)與可積函數(shù)之間的關(guān)系1可積但不一定存在原函數(shù).例如黎曼函數(shù),但是是沒(méi)有原函數(shù)的,因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)沒(méi)有第一類間斷點(diǎn)且具有介值性,而黎曼函數(shù)在無(wú)理點(diǎn)連續(xù),在有理點(diǎn)間

21、斷,并且是第一類間斷點(diǎn),況且沒(méi)有介值性,因?yàn)槿〔坏綗o(wú)理數(shù),所以是沒(méi)有原函數(shù)的.從這個(gè)例子中也可以看出有無(wú)數(shù)個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)也可能可積,進(jìn)一步我們會(huì)知道黎曼可積的一個(gè)充要條件是幾乎處處連續(xù),因?yàn)橛欣睃c(diǎn)可列,顯然黎曼函數(shù)符合要求.2.有原函數(shù)但不一定可積.例如,在區(qū)間上有原函數(shù),但是在上不可積,（因?yàn)樵谏蠠o(wú)界）.5.3 收斂與=0的關(guān)系1.無(wú)窮積分收斂,未必就有=0. 例如收斂,但是上例中我們看到在的過(guò)程中的取值有正有負(fù),現(xiàn)在我們來(lái)加強(qiáng)約束條件.2. 收斂,且是連續(xù)函數(shù),未必就有=0. 例如此時(shí),=1,所以收斂,是連續(xù)函數(shù),但是0.我們可以看到上面構(gòu)造的函數(shù)既不是單調(diào)函數(shù)也不是一致連續(xù)函數(shù)且都不存在

22、,這并不是偶然,因?yàn)槿绻麧M足單調(diào),一致連續(xù),極限存在中的任何一條,那么一定有=0.再加強(qiáng)約束將上述條件改為>0,依然不能肯定=0.這時(shí)我們只要考慮函數(shù)=max,其中按上式中同樣的方式定義.5.4可積和絕對(duì)可積以及平方可積之間的關(guān)系1. 絕對(duì)可積必可積9,反之不然. 例如=在上可積,但|=|在上不可積.2.可積未必平方可積. 例如收斂,但不收斂.這個(gè)結(jié)論的直觀體現(xiàn)也很明顯,因?yàn)闂l件可積很可能是因?yàn)檎?fù)項(xiàng)相消造成的,而一旦平方后就不存在正負(fù)項(xiàng)相消的現(xiàn)象,并且函數(shù)值增長(zhǎng)的速度還會(huì)加快,最終導(dǎo)致不在收斂.3對(duì)瑕積分,平方可積必可積14;對(duì)無(wú)窮積分,平方可積未必可積. 例如=,顯然在上可積,但在上

23、不可積.要知道瑕積分和無(wú)窮積分的最大區(qū)別是,對(duì)瑕積分而言,當(dāng)自變量趨于瑕點(diǎn)時(shí),函數(shù)值一定是趨于無(wú)窮的,而平方會(huì)加快趨于無(wú)窮的速度,既然快速的都收斂了,慢速度的一定會(huì)收斂,這是對(duì)瑕積分平方可積必可積的一種直觀解釋.對(duì)于無(wú)窮積分而言,當(dāng)=0時(shí),平方會(huì)加快趨于零的速度,導(dǎo)致本來(lái)不收斂但是平方后就會(huì)收斂的現(xiàn)象,這是對(duì)無(wú)窮積分平方可積未必可積的一種直觀解釋.4對(duì)瑕積分,平方可積必絕對(duì)可積10,反之不然;對(duì)無(wú)窮積分,絕對(duì)可積與平方可積沒(méi)有必然聯(lián)系.例如：=,顯然和|在上可積,但=在上不可積.平方可積未必絕對(duì)可積的例子在3中已給出.現(xiàn)舉例說(shuō)明對(duì)于無(wú)窮積分來(lái)說(shuō),絕對(duì)可積未必平方可積,很多書中為此列的例子是=,

24、|在上可積,但在上不可積,我們會(huì)發(fā)現(xiàn),在上不可積是因?yàn)殍Ψe分引起的,而不是無(wú)窮積分的原因,因?yàn)?+,發(fā)散,收斂,下面我們尋找一個(gè)只是無(wú)窮積分的例子,如：則=1,但是=,所以發(fā)散.在這里要注意和級(jí)數(shù)的區(qū)別,我們知道對(duì)于級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō),絕對(duì)收斂平方必定收斂,因?yàn)榫图?jí)數(shù)而言,如果收斂,通項(xiàng)一定趨于零,平方后最后趨于零的速度一定更快,所以必頂收斂,但是無(wú)窮積分不一樣,對(duì)積分而言,只要最后面積趨于零的速度夠快就可以,和函數(shù)值沒(méi)有必然的聯(lián)系,所以就會(huì)導(dǎo)致平方后面積趨于零的速度變慢,最終發(fā)散.從這也可以看出級(jí)數(shù)和無(wú)窮積分雖然存在很大聯(lián)系,但是區(qū)別也是很大的.6.結(jié)論通過(guò)本文一些經(jīng)典反例在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用,我們清楚的看到了反例構(gòu)造的巧妙性和邏輯性,通過(guò)列舉的這些反例,使我們對(duì)數(shù)學(xué)分析中容易混淆的概念更加清晰,反例在說(shuō)明逆命題的成立與否的作用是不言而喻的,本文列舉的逆命題不真的反例使我們?cè)诹硪粋€(gè)方面對(duì)定理或命題有了更全面的認(rèn)識(shí).