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文檔簡介
1、199概念篇整數(shù)1.0是自然數(shù),最小的自然數(shù)是 0; 1既不是質(zhì)數(shù),也不是合數(shù);2 .偶數(shù):2n;奇數(shù)2n+1或2n-1,其中n屬于整數(shù);3 .奇數(shù)與偶數(shù):相鄰兩整數(shù)必有一奇一偶,在一個加(減)算式中,判斷其結(jié)果的奇偶性,只取決于奇數(shù)的個數(shù)(奇數(shù)個奇數(shù)為奇,其余均為偶)4 .奇數(shù)的正整數(shù)次募是奇數(shù),偶數(shù)的正整數(shù)次募是偶數(shù);5 .最小的質(zhì)數(shù)是2, (20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有:2、3、5、7、11、13、17、19);6 .最小的合數(shù)是 4,(20 以內(nèi)的合數(shù)有:4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20);7 .公倍數(shù)和公約數(shù):對于兩個整數(shù),兩數(shù)之積等于最小公倍數(shù)乘以最大公約數(shù)8 .因式定
2、理:如果多項式f(a)=0,那么多項式f(x)必定含有因式x-a。反過來,多項式f(x)含有因式x-a,則立即推f(a)=0;可以進一步理解,當因式為 0時,原表達式也為0o,淚I 因”捫:D福勒岫林蒯方+產(chǎn)乃能秘2期除號數(shù)6干必中然?2。+4配6、8勢融融3唾除困酸三喑數(shù)位數(shù)字之和必能被3整除;"益新5整松樹蛙坪杳/!或5能萩9"斑I槐:顰灌射字之和必能被9整除199習(xí)題篇答案1. 已知3a2+2a+5是一個偶數(shù),那么整數(shù) a一定是()A.奇數(shù) B.偶數(shù)C.任意數(shù)D.0 E.質(zhì)數(shù)【解析】因為2a是偶數(shù),所以3a2+5也是偶數(shù),所以3a2是奇數(shù),a一定是奇數(shù)?!究键c】奇數(shù)和
3、偶數(shù)的概念和計算2. 2, 5, 7, 11都是質(zhì)數(shù),如果把其中的三個數(shù)相乘,再減去第四個數(shù),這樣得到的數(shù)中,是質(zhì)數(shù)的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4E.0【解析】列舉法進行依次計算即可。所得結(jié)果均為質(zhì)數(shù)【考點】質(zhì)數(shù)的概念3. 已知兩個自然數(shù)的和是50 , 它們的最大公約數(shù)是 5, 這兩個自然數(shù)的乘積一定是( )A.9 的倍數(shù) B.7 的倍數(shù) C.45 的倍數(shù)D.75 的倍數(shù)E.18 的倍數(shù)【解析】設(shè)兩個自然數(shù)分別為a,b且a<b,又因為二者的最大公約數(shù)是5,故可以令a=5ai b=5bi ,由題干可得 5ai+5bi=50.故ai+bi=10,結(jié)合a,b的最大公約數(shù)為 5,可知, a
4、1 和 b1 二者是互質(zhì)的,所以取值有兩組,1 和 9, 3 和 7 。經(jīng)計算,可得,ab 的乘積一定是 75 的倍數(shù)?!究键c】已知最大公約數(shù),以及兩數(shù)之和,反求兩個數(shù)字。199 概念篇 分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)、比例1. 實數(shù)是與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)的;2. 實數(shù)加、減、乘、除四則運算符合加法和乘法運算的交換律、結(jié)合律和分配律;3. 形如 x=x+x ,即稱 x 為實數(shù) x 的整數(shù)部分, x 為實數(shù) x 的小數(shù)部分。如: 2.5的整數(shù)部分為2 ,小數(shù)部分為0.5;4. 整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù);有理數(shù)和無理數(shù)的本質(zhì)區(qū)別:任何一個有理數(shù)都可以寫成分數(shù)的形式;有理數(shù)又被稱為有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù);5. 算
5、術(shù)平均值:就是n個數(shù)相加的和除以n所得的值;6. 幾何平均值:n個數(shù)相乘開n次方所得的值;7. 當算術(shù)平均值與幾何平均值相等的時候,且這n個數(shù)為正數(shù)時,則這n個正數(shù)相等;8. 平均值定理:乘積為定值,和有最小值;和為定值,成績有最大值;當這幾個數(shù)相等時,取到最值;9. 比例的性質(zhì)ace ace,等比 TE 理:(b d f 0)a b c db d a-b c-db dbdfb d f合比定理:a - b d分比定理:a £ b d合分比定理:a c a mc, am 1 一b d b mdb11 .正比關(guān)系:12 .反比關(guān)系:199習(xí)題篇:1. x,y的算術(shù)平均數(shù)是4,幾何平均數(shù)也
6、是4,則 的值是() x y【解析】根據(jù)平均值的性質(zhì),只有當兩個數(shù)相等的情況下,幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的值才是相等的,所以x y 4,得到答案為1,選D?!究键c】平均值的性質(zhì)2. a,b,c,d都是有理數(shù),且d不為零,x是無理數(shù),則s 絲上為有理數(shù)。 cx d(1) a 0c 0【解析】條件(1)和(2)單獨均不充分,聯(lián)合,得到兩個有理數(shù)相除還是有理數(shù)答案選C,即單獨均不充分,聯(lián)合充分?!究键c】有理數(shù)3.若a b-c a b c a b c k ,則 k 的值為() cbaA.1B.1或-2C.-1或2D.-2E.以上選項都不對【解析】利用等比定理,第一步,判斷分母之和是否為0,可進行分類討論
7、(1)當a b c 0時,a b -c,代入原式,可知k 2 ;(2)當a b c 0時,由等比定理:整理,可得到-1.答案選B【考點】等比定理的運用199概念篇 數(shù)軸與絕對值1 .絕對值:絕對值通常用零點分段去絕對值,其幾何意義是,一個實數(shù)在數(shù)軸上所對 應(yīng)的點到原點的距離;2 .絕對值的三角不等式當且僅當ab 0時,a b a b ;當且僅當ab 0時Ja-b a b ;當且僅當ab 0時,a-b a b;當且僅當ab 0時,|a-b| a-b。左邊等號成立的條件:ab 0且a b右邊等號成立的條件:ab 0左邊等號成立的條件:ab 0且a b右邊等號成立的條件:ab 0199習(xí)題篇1.已知
8、m和n為實數(shù),且J2m 1 3n 20,實數(shù)m n2的相反數(shù)的倒數(shù)值是().A.59/12B.59/14C.9/2【解析】因為等式為0,由非負性得到:D.16E.182 n -3n 2 032m 1 01m 2所以,實數(shù)m n2的值為力可以得到其相反數(shù)的倒數(shù)值為18.答案選E【考點】絕對值的性質(zhì)2.已知 a, b, c為有理數(shù),且 <13-2底 aV7 + bJ6 + c,貝U 2 012a+2 013b+2 014c=().A.0B.-2C.2D.-1E.1a 1【解析】13 2.42, 7- 6 27- 6 a, 7 b 6 c b 1c 0故 2 012a+2 013b+2 014
9、c=2012-2013=-1.選 D【考點】化簡求值,掌握變形的技巧3 .等式2m 7 m 2 m 5成立,則實數(shù)m的取值范圍是()A. 2 m 5B. m2或m 5 C.-2 m 5D. m 2或m 5 E. m5或 m2【解析】2m 7 m 2 m 5 m 2 m 5 ,當且僅當m 2與m 5同號時等號成立,即m 2 m 50,所以m 2或m 5,選D【考點】絕對值三角不等式習(xí)題1 .設(shè)a,bG R,則下列命題中正確的是()A.若a,b均是無理數(shù),則a+b也是無理數(shù)B.若a,b均是無理數(shù),則ab也是無理數(shù)C.若a是有理數(shù),b是無理數(shù),則a+b是無理數(shù)D.若a是有理數(shù),b是無理數(shù),則ab是無
10、理數(shù)E.若a是無理數(shù),b是無理數(shù),則ab是無理數(shù)【解析】A,B項若a=V2 ,b=-J2,則a+b=0,ab=-2,均為有理數(shù),不正確;D項若a=0,b=V2 , 則ab=0,為有理數(shù),不正確;E項若a= & ,b= 72,則a/b=1,為有理數(shù),不正確.選C【考點】實數(shù)的概念和性質(zhì)2 .已知a,b,c是三個連續(xù)的奇數(shù),并且10abe 20, b、c都是質(zhì)數(shù),那么a b ()A.20B.28C.30D.32E.38【解析】根據(jù)題意,可知 a、b、c分別為15,17,19。所以可得a b 32,答案選D?!究键c】20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)3 .有一個四位數(shù),它被131除余13,被132除余130,則
11、此數(shù)字的各位數(shù)字之和為()A.23B.24C.25D.26E.27【解析】設(shè)所求的4位數(shù)為x,則有x 131k1 13,對第二個式子進行變形,得到 x 132k2 130x (131 1)k2 131 1 131(k2 1) k2 1 ,可得 k2-1 13,故 k2 14,則可的 k21klk1 15x 131 15 13 1978,各位數(shù)字之和為 25.選C?!究键c】帶余除法問題4 .在20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)當中,兩個質(zhì)數(shù)的和還是質(zhì)數(shù)的共有()種A.3B.4C.5D.6E.7【解析】20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)為2,3,5,7,11,13,17,19其中大于2的質(zhì)數(shù)全為奇數(shù),偶數(shù)十奇數(shù)二奇數(shù),故這兩個質(zhì)數(shù)一定有
12、一個是2,與2相加還是質(zhì)數(shù)的有3,5,11,17,故共有四種。選B【考點】20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)5 .甲數(shù)是36,甲乙兩數(shù)的最大公約數(shù)是 4,最小公倍數(shù)是288,乙數(shù)的各個數(shù)位和為()A.9B.8C.7D.6E.5【解析】甲數(shù) Z數(shù)二甲、乙兩數(shù)的最大公約數(shù) X數(shù)的最小公倍數(shù),可得到36X乙數(shù)=4X288,解得乙數(shù)二32。各個數(shù)位之和為5.選E【考點】最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)與兩數(shù)的關(guān)系6 .已知實數(shù)x,y滿足q'2x 3y 1 x 2y 2 0,則2x 4 y的平方根是()5A.12 B. 12 C. 2 2D. 2 3 E.2 3【解析】根據(jù)非負性得到2x 3y 1 0y 5,得到2x 4y=
13、12,得平方根是2石x 2y 2 0x 85答案選D【考點】非負性A.42B.43C.44D.45E.46a 8.8 8.98 8.998 8.9998 8.99998【解析】(9-0.2)(9-0.02)(9-0.002)(9-0.0002)(9-0.00002)45-0.22222所以,a 44【考點】小數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分8 .存在實數(shù) m,使|m+2|+|6-3m|&a成立.()(1) a=4. (2) a>4.【解析】條件(1):把 a=4 代入,有 |m+2|+|6-3m|&4 即 |m+2|+|3m-610 4rm 2廿-2 m2 廿 m2或或m 2 3m
14、 6 4 m 2 3m 6 4 m 2 3m 6 4解之得m=2,故條件(1)、(2)都充分.【考點】絕對值不等式9 .m增大2倍.()(1) m/2的分母增大2,要保持分數(shù)值不變.(2) m/2的分母變?yōu)樵瓉淼?倍,要保持分數(shù)值不變.【解析】條件(1)、(2)其實分母都變成了 4,即分母變?yōu)樵瓉淼?倍了,所以要保 持值不變,則分子也應(yīng)變?yōu)?m,即增大1倍,均不充分.【考點】分數(shù)的性質(zhì)【解析】條件(1)和(2)單獨都不充分,聯(lián)合起來,有 a 5,b7或a -5,b 7,則a b| 12,所以條件(1)和條件(2)聯(lián)合起來充分?!究键c】絕對值的三角不等式及其性質(zhì)。199概念篇 整式與分式1 .乘
15、法公式:2 .單項式是有限個數(shù)字與字母的乘積;多項式是有限個單項式組成的;二者統(tǒng)一稱為整式;3 .若單項式所含字母相同,并且相同字母的次數(shù)也相同,則稱為同類項;4 .兩個多項式相等,則其對應(yīng)次數(shù)項的系數(shù)相等,兩個多項式任意取值時,多項式的 值都相等;5 .因式分解方法:(1)提公因式法(2)公式法(利用上述公式)(3)求根法:若某一元二次方程的根是xi,則x xi就是這個一元二次方程的一個因式。(4)十字相乘法6 .余式定理若F(x)除以f(x)得到商式g(x),余式是R(x),則F(x)=f(x) g(x)+R(x),其中R(x)的次 數(shù)小于f(x)的次數(shù),則(1)若有 x a使 f(a)
16、0,則 F(a) R(a)(2) F(x)除以x a的余式為F(a), F(x)除以ax b的余式為F(-b) a(3)對于F(x),若x a時,F(xiàn)(a)=0,則x a是F(x)的一個因式;若 x a是F(x)的 一個因式,則f(a) 0 ,也將此結(jié)論稱為是因式定理。7 .分式中分母不為0,則分式有意義;8 .最簡分式(既約分式):分子和分母沒有正次數(shù)的公因式的分式叫作最簡分式(或既約分式)習(xí)題:1.老師在黑板上寫一道數(shù)學(xué)題:已知兩多項式 A, B,若B為2x23x3,求A+B , 其中A的多項式被擦掉了,而甲誤將 A+B看成A B,結(jié)果求得答案為4x2-x+5,則此題 正確的答案為().A.
17、8x2 7x1B.10x25x+7C.4x2+x 5D.10x2+x 7E.8x2+x 7A B=4x2 x+5,A=4x 2 x+5+2x 2 3x 3=6x2 4x+2,A+B=6x 2 4x+2+2x2 3x 3=8x27x 1.選 A【考點】多項式的計算2. 若 ABC 的三邊長為a、b、c滿足 a2 b2ab ac bc ,則 ABC 為( )A. 等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形E. 以上結(jié)論均不正解析】a2 b2 c2 abacbcb2c2 -ab-ac-bc 0, 則22(2 abc2 -ab -ac - bc) 0 得到 a b 2abc , ABC
18、為等邊三角形,【考點】完全平方公式的運用及常用的結(jié)論a b22bc 0 abc3. 若多項式 f (x) x3 a2x2 x 3a 能被 x1 整除,則實數(shù)a =()A.0B.1C.0 或 1D.2 或-1E.2 或 1【考點】余式定理4. 將 x36x 7 因式分解為(1 即可,計算得A. x 12x x7B.x1x7a 2或 1 ,選 E2C. x 1 x x-7D. x 12x-x 7E.x12x -x-7【解析】3 x(6x 71) (x21) (x2x3 -1 6x 6x 1) 6(x 1)x 7)【考點】因式分解和乘法公式199概念篇函數(shù)(一)一元二次函數(shù)的定義一元二次函數(shù)是指只有
19、一個未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項式函數(shù)一元二次函數(shù)可以表示為:一般式: y ax2 bx c a 0 ;22頂點式: y a x "c a 0 ;2a 4a兩點式: y a x x1 x x2a 0(二)一元二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)一元二次函數(shù)的圖像是一條拋物線,圖像的頂點坐標為宙,七,對稱軸是直b2a當a 0,函數(shù)圖像開口向上,y有最小值ymin&32但無最大值;當a 0 ,函數(shù)4a圖像開口向下,y有最大值ymax 4aC J但無最小值.4a當a 0,函數(shù)在區(qū)間-,-4 上是減函數(shù),在-4,上是增函數(shù);2a2a當a 0,函數(shù)在區(qū)間-,-全 上是增函數(shù),在 -畀,上是減
20、函數(shù).(三)一元二次函數(shù)的圖像與 x軸的交點當b2 4ac 0時,函數(shù)圖像與x軸有兩個交點;當b2 4ac 0時,函數(shù)圖像與x軸有一個交點;當b2 4ac 0時,函數(shù)圖像與x軸沒有交點.習(xí)題:1.設(shè)實數(shù)x ,y滿足x 2y 3,則x2y2 2y的最小值為【解析】由x 3-2y代入得x2 y2 2y 5y2 10y 9,可以看成關(guān)于y的二次函數(shù),利用一元二次函數(shù)的圖像和性質(zhì),得到最小值為4.【總結(jié)】本題首先將已知等式代入所求的表達式中,化為只含有一個未知數(shù)的函數(shù),從而借助于拋物線來求解最值。2.已知拋物線y x2 bx c的對稱軸為x 1,且過點(-1,1),那么b , c .【解析】根據(jù)一元二
21、次函數(shù)的圖像和性質(zhì)及點的坐標,得到【總結(jié)】根據(jù)拋物線的特征來列方程,從而得到系數(shù)。3.設(shè)1, a, b成等差數(shù)列且ab是兩個不相等的實數(shù), 則函數(shù)f x x2 2ax b的最小值與0的關(guān)系?!窘馕觥扛鶕?jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得2a2a 1,根據(jù)一元二次函數(shù)的圖像可知,4b 4a ,2_f x min b a 2a41 a2同時a, b是兩個不相等的實數(shù)可知1 ,綜上所述f x min 0【總結(jié)】本題考查了等差中項的性質(zhì)應(yīng)用,以及二次函數(shù)最值的基本問題。199概念篇方程1 .含有未知數(shù)的等式叫做方程,使得方程(組)成立的未知數(shù)叫做方程(組)的解。2 . 一元一次方程:方程中,只含一個未知數(shù)且未知數(shù)的次
22、數(shù)為1;二元一次方程:方程中,只含有兩個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)都為1.3 . 一元一次方程的解:ax b4 .二元一次方程組及其解:(1)若曳 巴方程組有唯一解; a2 b2(2)若史b1 上,方程組有無窮多解; a2 b2 c2(3)若受b1%,方程組無解。 a2 b2 C25. 一元二次方程:ax2 bx c 0(a 0)求根x1, x2的方式(1)配方法(2)求根公式:方程的根 x b *b4ac(b2 4ac 0),其中(b2 4ac)稱為一元二次 2a方程的根的判別式 ;(3)韋達定理:描述一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系:兩根分別為x1,x2,則有 xi x2b,xix2 ca a .習(xí)題
23、篇1、若方程x2px 370恰好有兩個正整數(shù)的解xi,x2則x11x21的值是.P解:根據(jù)韋達定理,可知x1x2 37 , x1 x2 p o又0x2為正整數(shù)解,且兩根的積37為質(zhì)數(shù),所以得x1 1, x2 37, p 38 ,帶入 x1 1 x2 1 ,得-2.P總結(jié):靈活地應(yīng)用韋達定理。2、已知關(guān)于x的一元二次方程k2x2 2k 1 x 1 0有兩個相異實根,則求k的取值范圍解:k2 0由題意知,k2, 解得k 1且2k 1 -4k04k 0.總結(jié):考查點為判別式與F 二次方程的實根個數(shù)的 關(guān)系。1、X1,X2是方程x2 k 2x k2 3k 5 0的兩實根,則x; x;的最大值解:因為方
24、程有兩個實數(shù)根則22k 24 k2 3k 5 0解得-4k o3根據(jù)拋物線的圖像可知,當k 4時,x12 x;取到最大值18 .總結(jié):靈活應(yīng)用韋達定理和判 別式與F二次方程的 實根個數(shù)的關(guān)系。199概念篇不等式1 .不等式的解集對于含有未知數(shù)的不等式,能使其成立的未知數(shù)的值的集合,叫做這個不等式的解集。2 一元二次不等式(1)方法一:可通過一元二次函數(shù)圖象進行求解 。根據(jù)二次項系數(shù)的正負,開口方向, 頂點坐標,對稱軸等,采用數(shù)形結(jié)合的思想,進行初步判定解集情況;再利用求根公式求 出方程的兩個實數(shù)根,寫出解集。(2)方法二:可利用用配方法解一元二次不等式。3 .含絕對值的不等式解含絕對值不等式一
25、般有兩種思路:(1)利用絕對值的性質(zhì)去掉絕對值符號(2)利用平方進行等價變換4 .高次不等式先不等式變形,使不等式兩邊,一邊為0,然后再解相對應(yīng)的高次等式的根,最后利用穿根法求解:(1)最高次項的系數(shù)一定為正,才可以從數(shù)軸右上角開始;(2)穿線法則是奇穿偶不穿,即含 x的因式,偶數(shù)次募和奇數(shù)次募5.分式不等式先轉(zhuǎn)化成整式不等式再進行求解,注意分母必須有意義。習(xí)題篇1、設(shè)0 x 1,則不等式3x:1的解是 x2 1解:0 x 1,則 x2 1 0.即 2x2 1 0 x -.22又0 x 1,解集為0 x 2總結(jié):對于分式不等式通常先轉(zhuǎn)化成整式不等式再進行求解,同時注意分母必須啟意義。2、關(guān)于x
26、的方程x2 a 1 x 1 0有兩個相異實根,且兩根均在區(qū)間0,2上,則實數(shù) 的取值范圍.解:區(qū)間根問題,根據(jù)題意,知a 1 2 4 0ca 1 cc022 解得:3 a 1.f 002f 20總結(jié):區(qū)間根問題使用“兩點式” 解題方法,即看頂點(橫坐 標相當于對稱軸,縱坐標相 當于),再看端點(根所 分布區(qū)間的端點)。對十號二次方程的不等式問題,要有數(shù)形結(jié)合的思想, 即先回出函數(shù)圖象的草圖冉 進行求解。11 一3、已知不等式ax2 2x 2 0的解集是3,萬,則a 解:總結(jié):根據(jù)題意知X11,X2 L32注意一元二次不等式、-兀由韋達定理可知一次方程之間的關(guān)系。即a 12199概念篇數(shù)列(一)
27、數(shù)列:數(shù)列的定義:依一定次序排列的一組數(shù)。數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項。數(shù)列的一般表達式為a1,a2,a3,L ,an,L或簡記為ano項數(shù)有限的數(shù)列稱為有窮數(shù)列,項數(shù)無限的數(shù)列稱為無窮數(shù)列。數(shù)列通項:其中an叫做數(shù)列an的通項,自然數(shù)n叫做an的序號。如果通項an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個關(guān)于n的解析式fn表達,則稱an為數(shù)列an的通項公式。數(shù)列的前n項和(記作Sn)對于數(shù)列a顯然有Sn a1a2ano(二)等差數(shù)列:an是等差數(shù)列等價于an 1 an d(d為常數(shù))等差數(shù)列的通項公式:an =a1+ n-1 d , an =am+ n- m d。等差中項:若a,b,c成等差數(shù)列,則b
28、是a,c的等差中項,等差數(shù)列的前n項和Snn a1 ann n 1 d Sn na1 2'2(三)等比數(shù)列an是等比數(shù)列等價于型q(q為常數(shù))。 an等比數(shù)列的通項公式:n 1n man =aiq , an =amq 0等比中項:若a,b,c成等比數(shù)列,則b是a, c的等比中項,且b2 ac等比數(shù)列的前n項和snnai 1 q2 則它的通項an , n習(xí)題解:當 n 1時,a1 § 3.當n 2時,uk3,n 1從而an8n 3, n 2總結(jié):要注意分情況討論。2、數(shù)列an的前n項和Sn 3an 3則它的通項an n112 n,n解:當 n 1時,© §
29、3a1 3w1 62當n 2時,an Sn Sn 1-an 3 - an 1 3整理得 an 3an 1 ,即-an- 322an 1因此an是首項為a1 6,公比q 3的等比數(shù)列,即a02 3n。總結(jié):要注意分情況討論,本題先得到an與an-1的關(guān)系式,再求出通 項an。1、數(shù)列an的前n項和Sn 4n2 n3、設(shè)a,b,c三數(shù)成等差數(shù)列,若x,y分別是a,b和b,c的等比中項,求x2 y2解:2b a c由題意得x2 ab所以x2 y2 ba c 2b2 y2 bc總結(jié):考查了等差、等比數(shù)列的中項。習(xí)題1、一元二次函數(shù)y x1 x的最大值為 解:方法一:用二次函數(shù)求最值22111y xxx
30、-,ymax一244方法二:用平均值定理求最值總結(jié):本題考點二次函數(shù)的最值、平均值不等式2、已知a,b,c三數(shù)成等差數(shù)列,又成等比數(shù)列,設(shè) ,是方程ax2 bx c 0的兩個根,且解:由于a,b,c二數(shù)成等差數(shù)列,又成等比數(shù)列,故a b c 0 ,原方程可化為x2 x 1 0 ,33/2根據(jù)韋達定理得-y-J2-4X111 5總結(jié):考查了數(shù)列與方程根3,則33、設(shè)方程3x2 mx 5 0的兩個實數(shù)根xi和x2滿足1 1則m的值為 x1 x2解:根據(jù)韋達定理,有總結(jié):借助韋達定理求出兩根的導(dǎo)數(shù)和。4、設(shè)y x a x 20 x a 20,其中0 a 20,則對于滿足a x 20的x值,y的最小值
31、是解:由于 a x 20, y x a 20 x a 20 x 40 x ,當x 20時,y取得最小值是y 20總結(jié):根據(jù)取值范圍進行絕對值的化簡,然后根據(jù)x的 取值范圍討論 y的變換 范圍。充分條件判斷題1、設(shè)a, b是兩個不相等的實數(shù),則函數(shù) f x x2 2ax b的最小值小于零(1) 1, a, b成等差數(shù)列。(2) 1, a, b成等比數(shù)列。解:題十欲證最小值4b 4a 0 b a2 0o 4條件(1)根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得2a 1b b 2a 1,b a2 2a 1 a2a2 2a 1 00當 a 1 時,有 a2 2a 1 0。又因a, b是兩個不相等的實數(shù)是兩個不相等的實數(shù),所以
32、a 1,故a2 2a 1 0,即b a2充分??偨Y(jié):拋物線的最小值條件(2),根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得 a2 b, 貝U b a2 = a2 a2=0,故不充分。2、lOgaX 1/八1(1) X 2,4 , a 1.(2)x 4,6 , 1 a 2.2解:題十欲證 logax 1 logax 1 或logax1。條件(1),1 a 1且x 1,則對數(shù)單調(diào)減小,有l(wèi)ogax loga-1故2aa充分。條件(2) , 1 a 2且x a,則對數(shù)單調(diào)減人,有l(wèi)ogax logaa 1故也充分。總結(jié):考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。平面幾何1 .三角形相關(guān)結(jié)論(1)三角形外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角之和;(2)兩
33、邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊;(3)三角形的“四心”內(nèi)心:內(nèi)切圓圓心,角平分線的交點。內(nèi)心到三邊的距離相等;外心:外接圓圓心,三邊的垂直平分線的交點;重心:三條中線的交點,重心將中線分成2: 1兩段;垂心:三條高的交點;(4)直角三角形的勾股定理勾股定理,常用的勾股數(shù)要記住(3, 4, 5) , (6, 8, 10) , ( 5, 12, 13);a, b, c (c為斜邊),內(nèi)切圓直角三角形與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系:設(shè)直角三角形三邊分別為 半徑為r,則 r (a b c) /2(5)相似三角形面積的比等于相似比的平方(6)三角形面積公式通用的公式:其中,p 1(a b c) ,是三角形的周
34、長的一半。(半周長) 2等腰三角形的面積:等邊三角形的面積:2 .四邊形(1)梯形:設(shè)上底為a,下底為b,高為h,則中位線l= (a+b) /2,面積 S= (a+b) h/2(2)平行四邊形:設(shè)兩邊為 a, b,以b為底邊的高為h,則面積S=bh(3)菱形:設(shè)四邊邊長均為 a,以a為底邊的高為h,則面積S=ah=liH2,其中l(wèi)i, I2分別為對角線的長3.圓和扇形(1)扇形:設(shè) 0為扇形角的弧度數(shù),a為扇形角的角度,r為扇形半徑,則弧長:l 2 r360扇形面積:S r2 llr3602(2)垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦(3)等弧對等角,同一段弧所的圓心角是圓周角的2倍,直徑所對的圓
35、周角為直角.習(xí)題:1、三角形的兩邊長分別為 2和9,周長為偶數(shù),則第三邊的長為 .解:設(shè)第三邊長為x,則7VXV11,由于周長為偶數(shù),所以第三邊長為奇數(shù),故 x等于9.總結(jié):考查了三角形邊的關(guān)系:三 角形任意兩邊之和大于第三 邊,兩邊只差小于第三邊。2、梯形ABCD的上底與下底分別為 5, 7, E為AC與BD的交點,MN過點E且平行于AD ,則MN=解:根據(jù)梯形的性質(zhì),可知AED相似于CEB ,純5EC 7總結(jié):相似三角形的性質(zhì)。3、P是以a為邊長的正方形,Pi是以P的四邊中點為頂點的正方形,P2是以Pi的四邊中點為頂點的正方形,Pi是以Pi-1的四邊中點為頂點的正方形,則P6的面積是 .解
36、:總結(jié):后一個正方形Pi的面積是前一個正方形 Pi-i面積的%.。正方形 歸納遞推關(guān)系。P面積是a2.正方形Pi面積是a/2.正方形P2面積是 啜2.遞推知:正方形P6面積是a4即資。/264立體幾何一、長方體設(shè)長方體三條相鄰的棱長分別為a,b, c ,(1)體積 V abc;(2)全面積 S 2(ab bc ca)(3)體對角線 d Ja2 b2 c2(4)當a b cBt,為正方體二、圓柱體設(shè)圓柱體的高為h,底半徑為r,軸截面為矩形,其中一邊長為底面圓的直徑,另一邊 為圓柱的高(母線長);側(cè)面展開圖為矩形,其中一邊長為底面圓的周長,另一邊為圓柱 的高(母線長);(1)體積 Vr2h(2)側(cè)
37、面積S側(cè)2 rh(3)全面積 S 2 rh 2 r2三、球設(shè)球半徑為R,(1)體積 V 4 R33(2)面積 S 4 R2四、長方體、正方體、圓柱與球的關(guān)系設(shè)圓柱底面半徑為r,球半徑為R,圓柱的高為h ;內(nèi)切球外接球長方體無體對角線l 2R正方體棱長a 2R體對角線l 2R(2R V3a)圓柱只有軸截面是正方形的圓柱才有,此時有2r h 2R習(xí)題:1、一個長方體,有共同頂點的三條對角線長分別為a,b,c,它的體對角線長是()/、22212,2212,22(A) 4a2 b2 c2(B)2%a b c(C)-M'a b c(D)2,22a b c(E)2,22a b c考占考查了對角線與
38、體對角線的關(guān)系。解析:設(shè)長方體長、寬、高分別為 x, y, z,體對角線為l22222,2222則侶 x y a , y z b ,z x c,222所以體對角線長是l .;x2 y2 z21a b c2答案選擇D.2、現(xiàn)在一個半徑為 R的球體,擬用刨床將其加工成正方體, 則能加工成的最大正方體 的體積是()(中3(B)893R3©#(畤3,3解析:正方體內(nèi)接于球體時體積最大,設(shè)正方體長為a,則2Rma a罕,所以正方體體積J3答案選擇B.總結(jié):本題考查了正方體的內(nèi)切球。3、一圓柱體的高與正方體的高相等,且它們的側(cè)面積也相等,則圓柱體的體積與正方體體積比值是()o(A)-(B)-(C
39、)-(D)-(E)34解析:設(shè)正方體棱長為a,圓柱體底面半徑為r.因為S正方體側(cè)面S圓柱體側(cè)面,所以 4a2 2 r a r 2a.2因此V正方體a ,V圓柱體r aaa總結(jié):本題考查了圓柱體的體積與正方體體積。圓柱體的體積與正方體體積比值是 4答案選擇Ao解析幾何(上)一、平面直角坐標系1、定義平面直角坐標系中的點與有序?qū)崝?shù)對(x, y) 一對應(yīng)2、有向線段的定比分點設(shè)點A(xi,火),B(x2, y2),點P(x, y)是直線 AB上不同于點B的一點,若uuv徽,則稱PB為點P分有向線段uiv日AB所成的比。分點P的坐標為xix2yiy2x 1,y 10特別地,當1時,點P為線段AB的中點
40、,則xiX2yiy2x, y °22、平面直線1、直線方程(1)點斜式:過點F0(xo,yo),斜率為k的直線方程為(2)斜截式:斜率為k,在y軸上的截距為b的直線方程為(3)兩點式:過兩個不同的點 P(x1,y1), P2(x2,y2)的直線方程為口 一展 x2 且 y1 y2) y2 y1 x2 x1(4)截距式:在x軸上的截距為a,在y軸上的截距為b的直線方程為(5) 一般式:Ax By C 0 (A,B不全為零)2、兩條直線的位置關(guān)系設(shè)兩條直線11 : y k1x b ,l2:yk2xb2 或 l1:AxB1yC1 0, l2 :A2xB2yC20兩條直線的位置關(guān)系有四種:(
41、D重合b ,C2解析:由k, 1,b成等差數(shù)列知kb 2,即b 2 k,直線化為y kxk2 即 y2kx1,過定點 1, 2答案選擇A.總結(jié):本題考查了定點如何求。2、已知直線li: a 2 x 1 a y 3 0和直線l2:a 1 x 2a 3 y 2 0互相垂直,貝a等A BiCi(2)平行(3)相交(4)垂直習(xí)題:1、若k, 1, b三個數(shù)成等差數(shù)列,則直線 y kx b必經(jīng)過點()k1k2, b1k1k2k1k21b2A2B2AA2B1B2C2于()。A. -1B. 1C. 0解析:兩直線垂直,則可得a 1 0答案選擇C.總結(jié):本題考查了兩直線的位置關(guān)系。3、已知平行四邊形 ABCD
42、勺三個頂點A (-1 , -2) , B (3, 4) , C (0, 3),則頂點D的坐標為()A. (4,3)B. ( 4,3)C.( 4,3) D. ( 4,4)E.(3, 4)總結(jié):利用平行四邊形的性質(zhì)求點坐標。解得Xd4,yD 3解析:設(shè)平行四邊形 ABCD勺對角線AG BD的交點為E (x,y),可知E為AC的中點,所以E也是BD的中點,所以答案選擇C.20180201解析幾何(中)平面直線3、直線夾角(1)傾斜角直線斜率k的計算公式:設(shè)為直線1的傾斜角,0,),則k tan,-設(shè)P(xi,yj P2d, y2)是直線1上的兩個不同的點,則k 1,、x2; X2 X1直線Ax By
43、 C 0的斜率為Ak 一, B 0。B(2)到角:直線li按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到直線12時所轉(zhuǎn)的角,記作 (0,)設(shè)直線ll2的斜率分別為k1,k2,且k1k21,則tan 反上o1 k1k2(3)夾角:直線1i到l2的角和直線l2到1i的角中較小的角,記作(0,),有tan21 k1k24、兩條平行直線的距離設(shè)直線1i,12的方程分別為為Ax By Ci 0, Ax By C2 0 ,則兩條直線的距離為5、兩種對稱(1)兩點關(guān)于直線對稱:垂直、平分點(a,b)關(guān)于x軸的對稱點為(a, b)點(a,b)關(guān)于y軸的對稱點為(a,b)點(a,b)關(guān)于原點的對稱點為(a, b)點(a,b)關(guān)于y x的對
44、稱點為(b,a)點(a,b)關(guān)于yx的對稱點為(b, a)(2)直線和直線關(guān)于直線對稱:交于一點,到角相等直線ykxb關(guān)于x軸的對稱直線為 y kxb直線ykxb關(guān)于y軸的對稱直線為y kxb直線ykxb關(guān)于直線y x的對稱直線為xkyb直線ykxb關(guān)于直線y x的對稱直線為xky b習(xí)題0C.6x 5y 1 0總結(jié):本題巧妙地利用了線段垂直平分線的性質(zhì)。1、設(shè)點A 7, 4 , B 5,6 ,則線段AB的垂直平分線的方程為A. 5x 4y10B. 6x 5y10D.7x 5y20E.2x 5y70解析:設(shè)點P(x,y)為AB的垂直平分線上任意一點,則pa |pb|可得解得6x 5y 1 0答
45、案選擇C.2、條件充分判斷直線L的方程為4x 3y 9 0.(1) L經(jīng)過兩條直線2x 3y 1 0和x 3y 4 0的交點;(2) L與直線3x 4y 7 0垂直。解析:條件(1)和(2)顯然單獨不充分,聯(lián)合起來,有:5x -兩條直線2x 3y 1 0和x 3y 4 0的交點為3 ,直線L的7y 9斜率是k 4,所以直線L的方程為4x 3y 9 0.3總結(jié):考查了兩直線的位置關(guān)系,點斜式確定直線的方程。3、點P 2,7關(guān)于直線x y 3 0的對稱點是()。A.(5, 4)B.(4, 5)C(-4, -5)D.(-5, -4)E.(7, 2)解析:U 14設(shè)點P' a,b,由對稱軸將P
46、P垂直平分得 a 2a 4a 2b 7八 b 53 022答案選擇B.總結(jié):點關(guān)于直線對稱,解題要 點:兩點連線垂直平分對 稱軸。20180202解析幾何(下)三、圓在一個平面內(nèi),線段OA繞它固定的一個端點旋轉(zhuǎn)一周,另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓(第一定義);平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合(第二定義)。1、圓的方程(1)標準方程:圓心為(a, b),半徑為r的圓的方程為(2) 一般方程:x2 y2 Dx Ey F 0 (D2 E2 4F 0)般方程可通過配方化為標準方程:2 D2 E2 4F42、點與圓的關(guān)系設(shè)點P(xp, yp)到圓(xxo)2 (yy。)2r2的圓心的距離為d
47、,(1)點在圓內(nèi)(xpxo)2(ypyo)2(2)點在圓上(xpx。)2(ypy。)2(3)點在圓外(xpxo)2(ypyo)23、直線與圓的關(guān)系直線 l : y kx b ,_2O :(x xo)(yy。)2d為圓心(xo,yo)到直線l的距離。直線與圓的交點坐標即是方程組kx(x xo)2 (yyo)22的解; r(1)相交(2)相切(3)相離4、圓的切線方程(1)已知圓方程:x2 y2 Dx Ey若已知切點(x0,yj在圓上,則切線只有一條,其方程是:x°xyoyD(x° x) E(yo y)F o。當(x0,yo)在圓外時,x°x y°yD(xo
48、 x)E(y。29F 。表示過兩個切點的切點弦方程。過圓外一點的切線方程可設(shè)為yyok(x x0),再利用相切條件求k,這時必有兩條切線,注意不要漏掉平行于 y軸的切線。斜率為k的切線方程可設(shè)為y kx b ,再利用相切條件求b,必有兩條切線。(2)已知圓方程:x2 y2 r2 o過圓上的Po(xo,yo)點的切線方程為x°x2yoyr 。斜率為k的圓的切線方程為y kx rkT5、圓與圓的關(guān)系設(shè)兩圓方程分別為 Q:(x xi)2 (y yi)222/、2ri , O2(x X2)(y y2)22,圓心距為d圓與圓的交點坐標即是方程組(x ai)2(x a2)2(y bi)2(y b
49、2)22i的解。(i)內(nèi)含dir2(2)內(nèi)切dr1r2(3)相交rir2drir2(4)外切drir2(5)外離drir2習(xí)題篇i.曲線x2 2x y2 0上點到直線3x 4y i2 0的最短距離是()。A. -i6B.ni6D.-8E/4A-iB.5c-1Dte2解析:圓的方程為x-i 2 y2 i,圓心i,0到直線3x 4y i2 0的距離所以最短距離為d r -5答案選擇B.總結(jié):先確定直線與圓的關(guān) 系,這里最短距離等于 為圓心到已知直線的距 離減圓的半徑。2.已知直線ax by 3 0a 0,b 0過圓x2 4x y2 2y i 0的圓心,則a b的最大值為解析:圓的方程為x 2 2y
50、-1 2 22 ,圓心-2,1至lj直線 ax by 3 0 a 0,b 0 得 2a b 3利用均值不等式得3 2ab 242ab,則ab -,當且僅當a -,b -842時,達到最大值。答案選擇D.總結(jié):以解析幾何為背景,利 用二次函數(shù)或者基本不 等式求最值。3.設(shè)P是圓x2 y2 2上的一點,該圓在點P的切線平行于直線x y 2 0 ,則點P的坐標 為()。A. -1,1B. 1, -1C. 0, , 2D.、,2,0E. 1,1解析:設(shè)Pa,b ,根據(jù)題意可知OP 直線x y 2 0,可得方程2, 2-a b 2b,可以解出a b 1一11a答案選擇E.方法二:利用排除法;因為切點在第一象限或第三象限,所以答案選擇E.總結(jié):畫草圖可以判斷出圓x2 y2 2與平行于直線x y 2 0的切線相 切,切點在第一象限或 第三象限。習(xí)題1 .已知兩點Pa,b c,Qb,c a ,則直線PQ的傾斜角為().A. 45B. 90C. 120D. 135E. 60解析:設(shè)直線PQ的傾斜角為 ,tan c a b c 21,b ab a且0 ,180,所以 135答案選擇D總結(jié):直線的傾斜角取值范圍0 ,180,要記清。2 .直線li:y J3x 1到
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