數(shù)模論文——關(guān)于美國(guó)大學(xué)招生的數(shù)學(xué)模型

1、比賽題目申請(qǐng)美國(guó)大學(xué)的流程通常是，學(xué)生首先準(zhǔn)備必要的考試和一些證明，然后將考試成績(jī)和這些證明寄給自己想去的大學(xué)，一般學(xué)生可根據(jù)自己的情況選擇申請(qǐng)多所學(xué)校。每所大學(xué)計(jì)劃招生人數(shù)有限，所以只會(huì)錄取申請(qǐng)的一部分學(xué)生，以及考慮是否給予已錄取學(xué)生獎(jiǎng)學(xué)金，但是收到多個(gè)學(xué)校錄取通知書(shū)的學(xué)生只能選擇一個(gè)學(xué)校。要求為美國(guó)大學(xué)建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，通過(guò)此模型來(lái)保證盡量滿足招生計(jì)劃并使學(xué)生質(zhì)量最大。 關(guān)于美國(guó)大學(xué)招生的數(shù)學(xué)模型摘要本文根據(jù)學(xué)生申請(qǐng)美國(guó)大學(xué)的流程和大學(xué)最終錄取的過(guò)程，聯(lián)系實(shí)際情況與數(shù)據(jù)，找出影響學(xué)校預(yù)招生數(shù)量的關(guān)鍵因素獎(jiǎng)學(xué)金總額，通過(guò)對(duì)影響招生質(zhì)量與數(shù)量的分析，選取優(yōu)化模型。通過(guò)模型建立求解后，對(duì)結(jié)果與開(kāi)

2、始時(shí)作出的初步分析進(jìn)行檢驗(yàn)，進(jìn)一步保證結(jié)果的準(zhǔn)確性。對(duì)影響結(jié)果準(zhǔn)確性的學(xué)生選擇學(xué)校的概率，提出了模糊算法的概念，對(duì)模型提出改進(jìn)。最后通過(guò)求出發(fā)放通知書(shū)的數(shù)量與預(yù)錄取學(xué)生數(shù)量的比值，使模型更具推廣型與普遍意義。關(guān)鍵詞：優(yōu)化模型 模糊算法 比例系數(shù)一 問(wèn)題重述 申請(qǐng)美國(guó)大學(xué)的流程通常是，學(xué)生首先準(zhǔn)備必要的考試和一些證明，然后將考試成績(jī)和這些證明寄給自己想去的大學(xué)，一般學(xué)生可根據(jù)自己的情況選擇申請(qǐng)多所學(xué)校。每所大學(xué)計(jì)劃招生人數(shù)有限，所以只會(huì)錄取申請(qǐng)的一部分學(xué)生，以及考慮是否給予已錄取學(xué)生獎(jiǎng)學(xué)金，但是收到多個(gè)學(xué)校錄取通知書(shū)的學(xué)生只能選擇一個(gè)學(xué)校。要求為美國(guó)大學(xué)建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，通過(guò)此模型來(lái)保證盡量滿足

3、招生計(jì)劃并使學(xué)生質(zhì)量最大。二 對(duì)象分析及模型假設(shè)背景 : 為了使模型更接近于現(xiàn)實(shí) , 在進(jìn)行建模之前 , 對(duì)美國(guó)大學(xué)實(shí)際招生情況進(jìn)行了大量的調(diào)查，信息搜集 , 分析工作 , 從而得出了模型的主要模擬對(duì)象美國(guó)大學(xué)招收留學(xué)生情況的主要特點(diǎn)：1 美國(guó)大學(xué)錄取留學(xué)生的數(shù)量主要以其確定的獎(jiǎng)學(xué)金總額確定，其他條件如申請(qǐng)人數(shù)、專業(yè)變動(dòng)、經(jīng)濟(jì)環(huán)境等均有一定量影響；2 接到錄取通知書(shū)的學(xué)生有一定比例因?yàn)榫芎?，不能去學(xué)校報(bào)到。根據(jù)題設(shè)條件和調(diào)查所得對(duì)象的主要特點(diǎn)，做出如下假設(shè)：1 學(xué)校錄取學(xué)生時(shí)根據(jù)學(xué)生遞交的材料，計(jì)算學(xué)生的綜合成績(jī)，根據(jù)綜合成績(jī)排名，依次發(fā)放通知書(shū)。2 學(xué)校每年的獎(jiǎng)學(xué)金總金額和發(fā)放比例固定，按照

4、比例和學(xué)生綜合成績(jī)排名，依次發(fā)放獎(jiǎng)學(xué)金。3 學(xué)校錄取留學(xué)生數(shù)量由獎(jiǎng)學(xué)金總金額確定，不會(huì)因?yàn)槠渌蚋淖?。?符號(hào)說(shuō)明 A表示學(xué)校錄取留學(xué)生的數(shù)量； B表示學(xué)校最終決定發(fā)放的錄取通知書(shū)數(shù)量； C表示學(xué)校獎(jiǎng)學(xué)金總額； D表示向?qū)W校提交申請(qǐng)的總?cè)藬?shù)； E表示學(xué)生的質(zhì)量； m表示學(xué)校向被錄取的留學(xué)生發(fā)放的獎(jiǎng)學(xué)金金額； a表示學(xué)生對(duì)學(xué)校的錄取通知書(shū)的接受率； b表示學(xué)生被拒簽的概率； c表示學(xué)校發(fā)放獎(jiǎng)學(xué)金的比例； P表示發(fā)放錄取通知書(shū)的數(shù)量與欲錄取人數(shù)的比值；四 建立模型 本題目的問(wèn)題實(shí)際上是利用建立優(yōu)化模型的數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題：考慮影響美國(guó)大學(xué)最終錄取結(jié)果的因素（是否滿足招生計(jì)劃，招收學(xué)生的質(zhì)量），當(dāng)

5、學(xué)校發(fā)出多封錄取通知書(shū)后，可最大限度的滿足招生計(jì)劃，但不能保證學(xué)生質(zhì)量。若學(xué)校僅按照招生計(jì)劃嚴(yán)格發(fā)放錄取通知書(shū)，則可最大限度保證學(xué)生質(zhì)量，但由于存在無(wú)效錄取通知書(shū)的各種因素：1學(xué)生收到多封通知書(shū)，選擇其他學(xué)校 2學(xué)生選擇本學(xué)校，但被申請(qǐng)簽證被拒簽。所以，在學(xué)生質(zhì)量和招生計(jì)劃的約束下，通過(guò)建立優(yōu)化模型的數(shù)學(xué)方法，尋求美國(guó)大學(xué)最終錄取結(jié)果的最優(yōu)化方案。 建立模型如下: Max f(X)； X; S.t. 由題意已知：當(dāng)獎(jiǎng)學(xué)金經(jīng)費(fèi)確定為C的學(xué)校向每個(gè)被錄取學(xué)生發(fā)放獎(jiǎng)學(xué)金的數(shù)額為m發(fā)放比例為c時(shí)，則理論上該學(xué)校最大也是最理想的錄取人數(shù)為；設(shè)學(xué)生接收到學(xué)校發(fā)來(lái)的錄取通知書(shū)后，由學(xué)校的因素決定其愿意去該所

6、學(xué)校的概率為a而且；接到錄取通知書(shū)以后在申請(qǐng)簽證的過(guò)程中，拒簽率為d；B表示學(xué)校實(shí)際學(xué)生發(fā)出的錄取通知書(shū)數(shù)量；D表示已向該所學(xué)校遞交申請(qǐng)書(shū)的學(xué)生的總?cè)藬?shù)；所有的學(xué)校所有的學(xué)校都必須先交申請(qǐng)書(shū)，再?zèng)Q定是否發(fā)放錄取通知書(shū)，則由以上可以確定B的范圍：。由已知，知道B為學(xué)校最終發(fā)放錄取通知書(shū)的數(shù)量，而在整個(gè)學(xué)生錄取過(guò)程中，導(dǎo)致某些收到錄取通知書(shū)后又沒(méi)向?qū)W校報(bào)到的因素有以下兩個(gè)：1、 學(xué)生收到多封錄取通知書(shū)故沒(méi)去報(bào)到（學(xué)校的水平影響結(jié)果）。2、 由于簽證因素導(dǎo)致收到了錄取通知書(shū)卻沒(méi)能報(bào)到?？紤]到這兩個(gè)因素影響所以實(shí)際的錄取人數(shù)應(yīng)該表示為Ba(1b)。而最佳的錄取通知書(shū)發(fā)放方案就是要求：Ba(1b)，且在

7、數(shù)值上盡量的靠近?？紤]B和a間的關(guān)系：當(dāng)a增大時(shí)，發(fā)出錄取通知書(shū)會(huì)錄取的比例提高，那么B取值應(yīng)該趨向于；當(dāng)a減少時(shí)，隨著錄取通知書(shū)會(huì)錄取的比例的減少，B的取值應(yīng)該趨向于D，以保證滿足學(xué)校的生源。根據(jù)此可得 B=（D）a+D （1） (2)因此由（2）式可得到 代入（1）式得到： B=(-D)+D=>BD= cmB(1-b)(B-D)=C(-D)=>cmB(B-D-bB+bD)=C(-D)cmB(B-D-bB+bD)=C(-D)=>=-CD即：-=0解得： （*）五 模型實(shí)現(xiàn)通過(guò)搜集數(shù)據(jù)及Matlab軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析 得出以下數(shù)據(jù)（均為綜合美國(guó)大部分高校數(shù)據(jù)所得平均值）：A表

8、示學(xué)校錄取留學(xué)生的數(shù)量=1302； B表示學(xué)校最終決定發(fā)放的錄取通知書(shū)數(shù)量； C表示學(xué)校獎(jiǎng)學(xué)金總額=2,100,263； D表示向?qū)W校提交申請(qǐng)的總?cè)藬?shù)=2039； E表示學(xué)生的質(zhì)量； m表示學(xué)校向被錄取的留學(xué)生發(fā)放的獎(jiǎng)學(xué)金金額； a表示學(xué)生對(duì)學(xué)校的錄取通知書(shū)的接受率=0.73； b表示學(xué)生被拒簽的概率=0.021； c表示學(xué)校發(fā)放獎(jiǎng)學(xué)金的比例=0.8127；由matlab計(jì)算（*）式得出B=1647.24591 近似得出B=1647六 結(jié)果分析與檢驗(yàn)判斷B的合理性：將B所得結(jié)果代入 得出結(jié)果滿足不等式，故B合理?？紤]到各大學(xué)招生情況不同，及學(xué)校實(shí)力不同，取學(xué)校發(fā)放的錄取通知書(shū)和預(yù)計(jì)錄取人數(shù)的比

9、例P=1.26。根據(jù)學(xué)校綜合實(shí)力的不同，各學(xué)校可在此數(shù)據(jù)進(jìn)行適度浮動(dòng)。七 模型評(píng)價(jià)及改進(jìn) 本模型是在學(xué)校獎(jiǎng)學(xué)金經(jīng)費(fèi)C確定且直接決定其錄留學(xué)生數(shù)量，又以學(xué)校的知名度決定其愿意去該所學(xué)校的概率為a 和接到錄取通知書(shū)以后申請(qǐng)簽證的過(guò)程中的拒絕率為決策變量的情況下做出的分析，故而建立的最優(yōu)化模型。而學(xué)生對(duì)學(xué)校的選擇概率是根據(jù)個(gè)人喜好而定，是模糊的概念，所以模型存在一定缺陷，若能加入模糊算法，則模型準(zhǔn)確性將有所提高。不過(guò)就問(wèn)題中的條件以及要求而言，本模型實(shí)用性以及適用性廣泛，提出比例系數(shù)的概念，使其使用于大部分學(xué)校。模型大部分?jǐn)?shù)據(jù)通過(guò)實(shí)際調(diào)查得來(lái)的，計(jì)算過(guò)程中完全依賴現(xiàn)實(shí)中的數(shù)據(jù)，而且對(duì)于類似的優(yōu)化問(wèn)題

10、也可以同樣以數(shù)據(jù)代入而及其方便的獲得相應(yīng)的決策，具有普遍性。八 參考文獻(xiàn)1現(xiàn)代數(shù)學(xué)建模方法 王庚 王敏生 科學(xué)出版社2數(shù)學(xué)建模 浙江大學(xué)出版社 楊啟帆 方道元3數(shù)學(xué)模型（第三版） 高等教育出版社 姜啟源4最優(yōu)化方法及其應(yīng)用 高等教育出版社 郭科 陳聆 魏友華5獎(jiǎng)學(xué)金申請(qǐng) EIC啟德教育附錄附錄一：分析數(shù)據(jù)的運(yùn)算function r=myobj1996b(x)r= sum(x);約束條件m文件：function C,Ceq= mycon1996b(x)global m ef %全局變量n= length(x);tmpX = x(1);if n>=2, for i=2:n, tmpX=tmp

11、X*(x(i)+m);%x1*(x2+m)*(x3+m)*.*(xn+m) endendC=mn -tmpX*ef ;%只有一個(gè)約束，決策變量約束用fmincon的參數(shù)lb,ub來(lái)處理Ceq=;主程序：solv1996b_2init1996bNmin = fix(log(ef)/log(m/Vmax)+1Nmax = fix( log(ef)/ log(m/VminM) )+1opti_s = 1e6;for n=Nmin:Nmax,%窮舉所有模型 lb=; ub=; lb(1)= VminM; ub(1)= Vmax; if n>=2, for j=2:n, lb(j) = VminM

12、- m; ub(j) = Vmax-m; end end lb ub x,fval,exitflag=fmincon('myobj1996b',VminM*ones(1,n),. lb,ub,'mycon1996b') if fval < opti_s, opti_n = n; opti_s = fval; opti_x = x; endendopti_nopti_sopti_xm附錄二美國(guó)各大名校招生人數(shù)（2010年秋季入學(xué)）：密歇根大學(xué)：約6000人加州大學(xué)洛杉磯分校：約4400人加州大學(xué)伯克利分校：約4200人北卡大學(xué)教堂山分校：約3900人弗吉尼亞大學(xué)：約3300人康奈爾大學(xué)：3150人；南加州大學(xué)：約2800人賓夕法利亞大學(xué)：約2400人西北大學(xué)：2025人圣母大學(xué)：約2000人哈佛大學(xué)：約1700人杜克大學(xué)：1700人斯坦福大學(xué)：1675人范德比爾特大學(xué)：約1570人華盛頓圣路易斯大學(xué)：約1500人喬治城大學(xué)：約1560人塔夫斯大學(xué)：約1300人布