反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1、 反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用【摘要】 本文就反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用及應(yīng)用反例教學(xué)時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題提出了幾點(diǎn)看法?！娟P(guān)鍵詞】 反例；反例教學(xué)；應(yīng)用 1引言著名的數(shù)學(xué)家蓋兒鮑姆（Gel Baum）曾說(shuō)數(shù)學(xué)由兩大類(lèi)證明和反例組成。而數(shù)學(xué)的發(fā)展也是朝著這兩個(gè)主要目標(biāo)提出證明或構(gòu)造反例。當(dāng)某些問(wèn)題經(jīng)人們絞盡腦汁去推演卻仍懸而未決時(shí)（即使這種不徹底的推理并無(wú)差錯(cuò)）。則應(yīng)允許人們對(duì)此命題的真?zhèn)萎a(chǎn)生懷疑，這就需要去尋找符合題設(shè)條件而與命題相悖的反例。反例因其具有簡(jiǎn)明、直觀、說(shuō)服力強(qiáng)等特點(diǎn),決定了他在數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)的發(fā)展中起著不可替代的作用。在教學(xué)過(guò)程中適當(dāng)運(yùn)用反例對(duì)提高學(xué)生的創(chuàng)造能力有良好的誘導(dǎo)作用，從而也會(huì)給數(shù)學(xué)

2、教學(xué)帶來(lái)美妙的感受和良好的效果。教師在日常教學(xué)中，可經(jīng)常選擇一些發(fā)散性強(qiáng)的典型數(shù)學(xué)知識(shí)或問(wèn)題，通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，引導(dǎo)學(xué)生敢于和善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題或提出問(wèn)題，從而提高學(xué)生思維的發(fā)散性.那么在教學(xué)的過(guò)程中反例的運(yùn)用、構(gòu)建是猜想、試驗(yàn)、推理等多重并舉的一項(xiàng)綜合性、創(chuàng)造性活動(dòng)，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神、誘發(fā)學(xué)生創(chuàng)造力的一種很好的載體。反例教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性已越來(lái)越被人們重視和認(rèn)可. 通過(guò)反例教學(xué)，加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)中概念的理解，同時(shí)也解決了教學(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)問(wèn)題，使學(xué)生在認(rèn)識(shí)上產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍，從而提高了教學(xué)的有效性。2 反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用2.1利用反例加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解數(shù)學(xué)概

3、念本身是抽象的，引入概念之后，還必須有一個(gè)去粗取精、去偽存真的過(guò)程，必須在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上對(duì)概念作辨證的分析，用不同的方式進(jìn)一步揭示概念的本質(zhì)屬性。通過(guò)構(gòu)造反例，往往能夠從反面消除一些容易出現(xiàn)的模糊認(rèn)識(shí)，把握概念的要素和本質(zhì)，從而達(dá)到學(xué)好的效果。 例2.1 人教版必修1函數(shù)的基本性質(zhì)一節(jié)中，對(duì)函數(shù)的奇偶性這樣定義：一般地，如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)。一般地，如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)。學(xué)生利用定義判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)往往忽略“定義域內(nèi)任意一個(gè)”，直接去利用與之間的關(guān)系去判斷，從而得出錯(cuò)誤的結(jié)論。如果教師只是從正面去解釋“定義域內(nèi)任意一個(gè)

4、”學(xué)生就會(huì)感覺(jué)很抽象。若教師利用反例會(huì)使學(xué)生感覺(jué)更直、更觀容易理解。例如判斷的奇偶性。若忽略“定義域內(nèi)任意一個(gè)” 這個(gè)大前提就會(huì)得到從而得出此函數(shù)是偶函數(shù)的結(jié)論，而實(shí)際是不在定義域內(nèi)，所以此函數(shù)是非奇非偶函數(shù)。又例如：在等差數(shù)列的定義中，舉出例子：（1）2，4，6，7，8    （2）-6，-4，-3，-1，1讓學(xué)生理解“第二項(xiàng)起” ，“同一”常數(shù)的含義。2.2反例是理解定理、法則的有利工具例2.2 初中在教三角形全等的判定定理時(shí)，三角形三邊和三個(gè)角六個(gè)元素中，一般需要三個(gè)元素對(duì)應(yīng)相等（但其中至少有一邊）比如兩角和夾邊（ASA），兩邊和夾角（SAS），三邊對(duì)應(yīng)相等

5、（SSS）兩角和一對(duì)邊（AAS）。特別強(qiáng)調(diào) “對(duì)應(yīng)”、“夾邊”、“夾角”。為了對(duì)定理的深刻理解可以采用反例教學(xué)，去掉“夾角”，如有兩邊及其其中一邊所對(duì)的角對(duì)應(yīng)相等(SSA)的兩個(gè)三角形是否全等。構(gòu)造反例可以先固定,在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考若說(shuō)明可以通過(guò)以下作圖方法來(lái)畫(huà)出：以或者為圓心，為半徑畫(huà)弧，只要滿足一定的條件，此時(shí)所畫(huà)的弧就很可能與所在的直線有兩個(gè)交點(diǎn)，這是再構(gòu)造出不全等的三角形就減少了難度。另外可以進(jìn)一步討論去掉“對(duì)應(yīng)”，六個(gè)元素中已知三個(gè)元素相等能否判斷兩個(gè)三角形全等，六個(gè)元素中已知四個(gè)元素相等能否判斷兩個(gè)三角形全等，六個(gè)元素中已知五個(gè)元素相等能否判斷兩個(gè)三角形全等。六個(gè)元素中已

6、知三個(gè)元素相等兩個(gè)三角形全等三角的反例比較容易列舉，例如邊長(zhǎng)不等的兩個(gè)等邊三角形，三個(gè)角分別相等但兩個(gè)三角形不全等。六個(gè)元素中已知四個(gè)元素相等兩個(gè)三角形全等三角的反例也比較容易列舉，例如邊長(zhǎng)為1和邊長(zhǎng)為2的兩個(gè)等腰直角三角形，三個(gè)角分別相等，斜邊與另一三角形的直角邊相等但兩個(gè)三角形不全等。判斷五個(gè)元素對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等是否正確.對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，很多初中學(xué)生感到模棱兩可.反例也較難列舉，比如三角形三邊分別是和的兩個(gè)三角形，這里,則他們相似，故有三個(gè)角相等，加之兩邊，該三角形共有五個(gè)元素分別相等，但是兩個(gè)三角形卻不等.如 反例的給出讓學(xué)生對(duì)三角形的全等條件有了進(jìn)一步的了解和掌握，使學(xué)生注意到兩個(gè)

7、全等三角形中“邊”相等不是任意給出的.那么在這道題中，反例的及時(shí)出現(xiàn)給學(xué)生眼前一亮的感覺(jué)。讓學(xué)生體會(huì)到反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用是不可忽視的，加深對(duì)三角形全等判定定理的理解。2.3利用反例可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提高教學(xué)效果一個(gè)問(wèn)題的解答，通常我們會(huì)用各種方式驗(yàn)證結(jié)果，反例將會(huì)引導(dǎo)我們追尋問(wèn)題的所在，從反例中修補(bǔ)相關(guān)知識(shí)，從而獲得正確結(jié)論和解答.那么恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)學(xué)生使用反例可以更好的提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。例2.3 試問(wèn)：在三角形中，邊長(zhǎng)越長(zhǎng)，面積越大嗎？ 分析：在三角形中若知道其三邊，便可以計(jì)算其面積，這個(gè)事實(shí)早在兩千多年前已為古希臘學(xué)者海倫所發(fā)現(xiàn)，他給出公式：（海倫公式）其中為三角形三邊長(zhǎng)，另外我國(guó)數(shù)

8、學(xué)家秦九韶在數(shù)學(xué)九章中提出的公式-“三斜求積”式實(shí)質(zhì)上是相同的. （三斜求積式）從兩個(gè)公式中，均無(wú)法明顯得出邊長(zhǎng)越大三角形面積越大的結(jié)論.乍一看，很多學(xué)生對(duì)此毫無(wú)疑問(wèn)，可是考慮下面的例子. 已知三角形ABC的三邊，又邊上高為，在延長(zhǎng)線上取使 ，另取使 若，只需，（為過(guò)點(diǎn)的垂線），顯然有，但.具體的例子如：取且，;又考慮中（=1），令,則,;顯然，而 注1 對(duì)于兩個(gè)銳角三角形來(lái)說(shuō)，若它們的邊長(zhǎng)滿足定理?xiàng)l件，則命題結(jié)論一定成立.這也可以用反證法去考慮，如下圖兩銳角和中，若，而。這樣，由之則有，由設(shè),故，所以，從而有=（矛盾）那么這個(gè)題目說(shuō)明了能夠恰當(dāng)?shù)囊梅蠢跀?shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中還是有很大作用的。關(guān)

9、鍵是我們能找到說(shuō)服力強(qiáng)的反例通過(guò)這個(gè)反例的講解讓學(xué)生再次覺(jué)得反例在揭示錯(cuò)誤時(shí)有特殊的威力，從而能更好的激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量的效果。讓學(xué)生體會(huì)到反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用是不可忽視的，從而增強(qiáng)了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)熱情。2.4 反例可以培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性數(shù)學(xué)思維就是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的心智活動(dòng)，所以問(wèn)題是思維的“啟發(fā)劑”，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，舉反例也是提出問(wèn)題的常用方法.運(yùn)用反例可以增強(qiáng)思維的縝密性，彌補(bǔ)解決問(wèn)題出現(xiàn)的漏洞，培養(yǎng)思維的批判性，從而去發(fā)展學(xué)生的逆向思維和發(fā)散思維，全面提高思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).尋找一個(gè)反例往往比證明更需要想像力和創(chuàng)造力。例2.4 若關(guān)于的方程有

10、兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.不少學(xué)生是這樣做的：由 可以得到： （1） （2）從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程，即，在內(nèi)有兩相異的根，求的取值范圍。 乍看這種解法是正確的，但仔細(xì)分析便可發(fā)現(xiàn)該解法是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)樵冢?）中，而在（2）中可正可負(fù)，即（1）與（2）并非等價(jià)，問(wèn)題就出在 兩邊平方后擴(kuò)大了的取值范圍，因此，在解題時(shí)必須重視思維的嚴(yán)密性。通過(guò)這個(gè)例題可以看出有些題目對(duì)學(xué)生思維嚴(yán)密性的考查，也有了一定的要求.因此，注重對(duì)技巧的實(shí)質(zhì)把握，弄清通性、通法是十分重要的。學(xué)生的模仿能力強(qiáng)，課堂講授的知識(shí)容易接受，但題目一旦改樣或時(shí)間稍久我們就無(wú)所適從.因而在數(shù)學(xué)教學(xué)中，除了高效地傳授知識(shí)及基本技能

11、外，還要通過(guò)一些題目的反例的學(xué)習(xí)加強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性。以上的例子說(shuō)明：反例思想是數(shù)學(xué)分析中的重要思想，在我們進(jìn)行問(wèn)題的研究和論證中都具有不可替代的獨(dú)特作用.同時(shí)在數(shù)學(xué)教學(xué)中利用反例能更好的培養(yǎng)學(xué)生們的思維嚴(yán)密性。3 數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用反例應(yīng)注意的問(wèn)題 在教學(xué)中重視和恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用反例，不僅可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，養(yǎng)成重視條件，嚴(yán)格推理的習(xí)慣，還可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和學(xué)習(xí)能力.教學(xué)中運(yùn)用反例必須注意：(1) 適當(dāng)時(shí)候講授反例.要在學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有了一定的認(rèn)識(shí)和理解的基礎(chǔ)上，才能講授.決不能在學(xué)生剛剛接觸或者還沒(méi)有完全掌握時(shí)就提出反例給學(xué)生，這樣不但起不到好的教學(xué)效果，有時(shí)還會(huì)把學(xué)生搞糊涂，弄巧成拙.

12、教師可根據(jù)學(xué)生知識(shí)掌握情況和接受原則，在習(xí)題課或復(fù)習(xí)課時(shí)提出反例。(2) 教學(xué)中主要講授概念、定理和方法，對(duì)于基本的命題和結(jié)論應(yīng)予以嚴(yán)格的證明和推導(dǎo).舉反例重在說(shuō)明結(jié)論，學(xué)生對(duì)反例的掌握要求不能太高，反例應(yīng)是圍繞主要類(lèi)容的有效輔助有效手段。(3) 反例必須從教學(xué)實(shí)踐中來(lái)，真實(shí)、生動(dòng).如果是教師自己編寫(xiě)的也必須符合客觀實(shí)際。(4) 反例必須精煉.選擇反例的數(shù)量不能多，運(yùn)用反例的目的是為了使學(xué)生掌握抽象的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)，不能不加選擇地大量地羅列反例，只需要選擇那些高質(zhì)量的少數(shù)典型反例.因?yàn)榉蠢虒W(xué)法是使教師和學(xué)生借助分析少數(shù)有代表性的反例，從而獲得整體性、全面性的知識(shí)的方法，我們不可能在短時(shí)間里收

13、集和列舉所有的實(shí)際反例，可以抓住與某部分知識(shí)有關(guān)的幾個(gè)典型例子加以剖析，從而把握概念的本質(zhì)特征。(5) 反例必須典型。反例要能代表概念性質(zhì)對(duì)象的特點(diǎn)，倘若隨手拈來(lái)幾個(gè)反例，則其意義和教育價(jià)值就有局限性，典型的反例可以是綜合知識(shí)量大的部分，也可以是概念、知識(shí)點(diǎn)的某個(gè)性質(zhì)。(6) 反例必須有針對(duì)性.應(yīng)該針對(duì)所講的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)實(shí)際和學(xué)生的接受能力來(lái)選擇和編排反例。(7) 反例必須具有系統(tǒng)性.在教學(xué)中選用的反例應(yīng)該相互聯(lián)系，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，分層次地有序地編排，反例整體排列結(jié)構(gòu)的合理化能發(fā)揮反例教學(xué)法的最大教育功效。4結(jié)論反例是數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中必不可少的部分，他開(kāi)拓?cái)?shù)學(xué)的新領(lǐng)域, 是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中一個(gè)調(diào)節(jié)

14、器，他不僅可以發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤和漏洞，而且還可以從中得到修補(bǔ)，獲得問(wèn)題的正確結(jié)論或解答.數(shù)學(xué)反例是調(diào)整思維方法和認(rèn)知策略，促進(jìn)正遷移，預(yù)防和糾正錯(cuò)誤的有力工具。在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)反例的運(yùn)用，可以使學(xué)生加深理解、鞏固知識(shí)，而且還能使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中思維得到發(fā)散，從而激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情達(dá)到良好的教學(xué)效果。【參考文獻(xiàn)】1 陳曉春。談反例在高等數(shù)學(xué)中的作用J。高等理科教育，2003，6：99-101 B.22 B.R.蓋爾鮑姆，J.M.H.奧姆斯特得分析中的反例上海科學(xué)技術(shù)出版社，1983年版,87-88.3 羅增儒著 數(shù)學(xué)解題學(xué)引論 陜西師范大學(xué)出版社 1997，65-67.4 席振偉著 數(shù)學(xué)的思維方式 江蘇教育出