彈性力學(xué)模擬練習(xí)題

1、、判斷題1、連續(xù)性假定是指整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙。2、如果某一問(wèn)題中，OzizxTzy=0,只存在平面應(yīng)力分量%外，刈，且它們不沿z方向變化，僅為x,y的函數(shù)，此問(wèn)題是平面應(yīng)力問(wèn)題。3、如果某一問(wèn)題中，時(shí)=餐二14,只存在平面應(yīng)變分量x-y且它們不沿z方向變化，僅為x,y的函數(shù)，此問(wèn)題是平面應(yīng)變問(wèn)題。4、當(dāng)物體的形變分量完全確定時(shí)，位移分量卻不能完全確定。5、當(dāng)物體的位移分量完全確定時(shí)，形變分量即完全確定。6、在有限單元法中，結(jié)點(diǎn)力是指結(jié)點(diǎn)對(duì)單元的作用力。7、在平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元的公共邊界上應(yīng)變和應(yīng)力均有突變。10、體力作用于物體內(nèi)部的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)上，所以它屬

2、于內(nèi)力。解答：外力。它是質(zhì)量力。(X)11、在彈性力學(xué)和材料力學(xué)里關(guān)于應(yīng)力的正負(fù)規(guī)定是一樣的。(X)解答：兩者正應(yīng)力的規(guī)定相同，剪應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定不同。12、當(dāng)問(wèn)題可當(dāng)作平面應(yīng)力問(wèn)題來(lái)處理時(shí)，總有解答：平面應(yīng)力問(wèn)題，總有C'z='xz=yz=0013、當(dāng)物體可當(dāng)作平面應(yīng)變問(wèn)題來(lái)處理時(shí)，總有zxzyz0=0解答：平面應(yīng)變問(wèn)題，總有，zxzyz014、已知位移分量函數(shù)u=ki（x2+y2）v=k2xy,ki，k2為常數(shù)，由它們所求得形變分量不一定能滿足相容方程。(X)解答：由連續(xù)可導(dǎo)的位移分量按幾何方程求得的形變分量也一定能滿足相容方程。因?yàn)閹缀畏匠毯拖嗳莘匠淌堑葍r(jià)的。15、形變狀

3、態(tài),=&272）%=靖=如，2°）是不可能存在的。(X)解答：所給形變分量能滿足相容方程，所以該形變分量是可能存在的。16、在y為常數(shù)的直線上，如u=0,則沿該線必有=0。,22、,217、應(yīng)變狀態(tài)6=k（xy）,%=ky,，xy=2kxy,（k。0）是不可能存在的。（乂）改：所給應(yīng)變分量滿足相容方程，所以該應(yīng)變狀態(tài)是可能存在的。18、圖示工字形截面梁，在平衡力偶系的作用下，只在右端局部區(qū)域產(chǎn)生應(yīng)力。（X）改：對(duì)于一些薄壁桿件和薄殼等物體在應(yīng)用圣維南原理時(shí)，必須滿足下述必要條件，即力系作用區(qū)域的尺寸與該區(qū)域物體的最小尺寸相當(dāng)。在本例中，力系作用區(qū)域的尺寸（是工字形截面高和寬）

4、遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于該區(qū)域物體的最小尺寸（腹板和翼緣的厚度）。19、物體變形連續(xù)的充分和必要條件是幾何方程（或應(yīng)變相容方程）。（X）改：（一）：物體（當(dāng)是單連體時(shí)）；改：（二）：對(duì)于多連體，還有位移單值條件。20、對(duì)于應(yīng)力邊界問(wèn)題，滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界的應(yīng)力，必為正確的應(yīng)力分布。（X）改：應(yīng)力還要滿足相容方程，對(duì)于多連體，還要看它是否滿足位移單值條件。21、在體力是常數(shù)的情況下，應(yīng)力解答將與彈性常數(shù)無(wú)關(guān)。（X）改：如果彈性體是多連體或有位移邊界，需要通過(guò)虎克定理由應(yīng)力求出應(yīng)變，再對(duì)幾何方程積分求出位移，將其代入位移邊界和位移單值條件，并由此確定待定常數(shù)時(shí)，將與彈性常數(shù)有關(guān)。22守i；2：j，且仃x=

5、2"Xx.仃y=2"Yy22、在體力不是常量情況下，引入了應(yīng)力函數(shù)0yox產(chǎn):，xy=一一么，一八、不一甌3平衡微分方程可以自動(dòng)滿足。（X）改：在常體力情況下，句，G,且仃x=-TXx,仃y23、在常體力下，引入了應(yīng)力函數(shù)0y平衡微分方程可以自動(dòng)滿足。24、某一應(yīng)力函數(shù)所能解決的問(wèn)題與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。改：三次及三次以上的應(yīng)力函數(shù)所能解答的問(wèn)題與坐標(biāo)系的選取有關(guān)。25、三次或三次以下的多項(xiàng)式總能滿足相容方程。（，）答：相容方程中的每一項(xiàng)都是四階導(dǎo)數(shù)。26、對(duì)于純彎曲的細(xì)長(zhǎng)的梁，由材料力學(xué)得到的撓曲線是它的精確解。(，)解：對(duì)于純彎曲的細(xì)長(zhǎng)的梁，材力和彈力得到的撓曲線方程是一

6、樣的。27、對(duì)承受端荷載的懸臂梁來(lái)說(shuō)，彈性力學(xué)和材料力學(xué)得到的應(yīng)力解答是相同的(V)解答：端部切向面力必須按拋物線規(guī)律分布于端部，否則得到的是圣維南近似解。、填空題1、彈性力學(xué)研究彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、形變和位移。2、在彈性力學(xué)中規(guī)定，線應(yīng)變以伸長(zhǎng)時(shí)為正、縮短時(shí)為負(fù)、與正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相適應(yīng)。3、在彈性力學(xué)中規(guī)定，切應(yīng)變以直角變小時(shí)為正.變大時(shí)為負(fù).與切應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相適應(yīng)。4、物體受外力以后，其內(nèi)部將發(fā)生內(nèi)力，它的集度稱為應(yīng)力。與物體的形變和材料強(qiáng)度直接有關(guān)的，是應(yīng)力在其作用截面的法線方向和切線方向的分量,也就是正應(yīng)力和切應(yīng)力。應(yīng)力及其分量的量綱是L

7、-1MT-2q5、彈性力學(xué)的某本假定為連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性。6、平面問(wèn)題分為平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題。7、已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量仃x=00MPa,0y=50MPa,Txy=1O50MPa,則主應(yīng)力6=150MPa、吁0MPa,。產(chǎn)35話。8、已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，仃x=200MPa,<=0MPa,%=-400MPa,WJ主應(yīng)力巴=512MPa,g2-312MPa,5=-37°57'。9、已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，Ox=-2000MPa,仃y=1000MPa,%y=-400MPa,WJ主應(yīng)力6=1052MPa,3=-2052MPa,%=-8232'。10

8、、在彈性力學(xué)里分析問(wèn)題，?？紤]靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件.分別11、表示應(yīng)力分量與體力分量之間關(guān)系的方程為平衡微分方程。12、邊界條件表示邊界卜位移與約束，或應(yīng)力與面力才間的關(guān)系式。分為位移初界條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。13、按應(yīng)力求解平面問(wèn)題時(shí)常采用逆解法和半逆解法14、有限單元法首先將連續(xù)體變換成為離散化結(jié)構(gòu)、然后再用結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法進(jìn)行求解。其具體步驟分為單元分析和整體分析兩部分。15、每個(gè)單元的位移一般總是包含著兩部分：一部分是由本單元的形變引起的,另一部分是由于其他單元發(fā)生了形變而連帶引起的。16、每個(gè)單元的應(yīng)變一般總是包含著兩部分：一部分是與該單元中各點(diǎn)的位置坐標(biāo)有關(guān)的

9、，是各點(diǎn)不相同的，即所謂變量應(yīng)變；另一部分是與位置坐標(biāo)無(wú)關(guān)的，是各點(diǎn)相同的，即所謂常量應(yīng)變。17、為了能從有限單元法得出正確的解答，位移模式必須能反映單元的剛體位移和常量應(yīng)變,還應(yīng)當(dāng)盡可能反映相鄰單元的位移連續(xù)性。18、為了使得單元內(nèi)部的位移保持連續(xù)，必須把位移模式取為坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，為了使得相鄰單元的位移保持連續(xù)，就不僅要使它們?cè)诠步Y(jié)點(diǎn)處具有相同的位移時(shí)，也能在整個(gè)公共邊界上具有相同的位移。19、在有限單元法中，單元的形函數(shù)Ni在i結(jié)點(diǎn)N=1；在其他結(jié)點(diǎn)Ni=Q及三Ni=1。20、為了提高有限單元法分析的精度，一般可以采用兩種方法：一是將單元的尺寸減小,以便較好地反映位移和應(yīng)力變化情況

10、；二是采用包含更高次項(xiàng)的位移模式,使位移和應(yīng)力的精度提高。簡(jiǎn)答題1 .試寫出彈性力學(xué)平面問(wèn)題的基本方程，它們揭示的是那些物理量之間的相互關(guān)系？在應(yīng)用這些方程時(shí)，應(yīng)注意些什么問(wèn)題？答：平面問(wèn)題中的平衡微分方程：揭示的是應(yīng)力分量與體力分量間的相互關(guān)系。應(yīng)注意兩個(gè)微分方程中包含著三個(gè)未知函數(shù)ox、6v、txy=tyx,因此，決定應(yīng)力分量的問(wèn)題是超靜定的，還必須考慮形變和位移，才能解決問(wèn)題。8G+£=0,為弘一上+?+F=必a應(yīng)注意當(dāng)物體的位平面問(wèn)題的幾何方程：揭示的是形變分量與位移分量間的相互關(guān)系。移分量完全確定時(shí)，形變量即完全確定。反之，當(dāng)形變分量完全確定時(shí)，位移分量卻不能完全確定。葭=

11、、仆=.尸燈=+-dK/士川平面問(wèn)題中的物理方程：揭示的是形變分量與應(yīng)力分量間的相互關(guān)系。應(yīng)注意平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題物理方程的轉(zhuǎn)換關(guān)系。g=L-4仃凡）三二卷底一月G"十111J/-g工為>V/-Qg工>T中一工叱2 .按照邊界條件的不同，彈性力學(xué)問(wèn)題分為那幾類邊界問(wèn)題？試作簡(jiǎn)要說(shuō)明。答：按照邊界條件的不同，彈性力學(xué)問(wèn)題分為位移邊界問(wèn)題、應(yīng)力邊界問(wèn)題和混合邊界問(wèn)題。位移邊界問(wèn)題是指物體在全部邊界上的位移分量是已知的，也就是位移的邊界值是邊界上坐標(biāo)的已知函數(shù)。應(yīng)力邊界問(wèn)題中，物體在全部邊界上所受的面力是已知的，即面力分量在邊界上所有各點(diǎn)都是坐標(biāo)的已知函數(shù)?；旌线吔鐔?wèn)題

12、中，物體的一部分邊界具有已知位移，因而具有位移邊界條件；另一部分邊界則具有應(yīng)力邊界條件。3.彈性體任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由幾個(gè)應(yīng)力分量決定？試將它們寫出。如何確定它們的正負(fù)號(hào)？答：彈性體任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由6個(gè)應(yīng)力分量決定，它們是：6、取Gz、和、飛z、加。正面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。負(fù)面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸正方向?yàn)樨?fù)。4.在推導(dǎo)彈性力學(xué)基本方程時(shí)，采用了那些基本假定？什么是“理想彈性體”？試舉例說(shuō)明。答：答：在推導(dǎo)彈性力學(xué)基本方程時(shí)，采用了以下基本假定：(1)假定物體是連續(xù)的。(2)假定物體是完全彈性的。(3)假定物體是均勻的。(4)假定物體是各向同性

13、的。(5)假定位移和變形是微小的。符合(1)(4)條假定的物體稱為“理想彈性體”。一般混凝土構(gòu)件、一般土質(zhì)地基可近似視為“理想彈性體”。5 .什么叫平面應(yīng)力問(wèn)題？什么叫平面應(yīng)變問(wèn)題？各舉一個(gè)工程中的實(shí)例。答：平面應(yīng)力問(wèn)題是指很薄的等厚度薄板只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力，同時(shí)體力也平行于板面并且不沿厚度變化。如工程中的深梁以及平板壩的平板支墩就屬于此類。平面應(yīng)變問(wèn)題是指很長(zhǎng)的柱型體，它的橫截面在柱面上受有平行于橫截面而且不沿長(zhǎng)度變化的面力，同時(shí)體力也平行于橫截面而且也不沿長(zhǎng)度變化，即內(nèi)在因素和外來(lái)作用都不沿長(zhǎng)度而變化。6 .在彈性力學(xué)里分析問(wèn)題，要從幾方面考慮？各方面反映的是那

14、些變量間的關(guān)系？答：在彈性力學(xué)利分析問(wèn)題，要從3方面來(lái)考慮：靜力學(xué)方面、幾何學(xué)方面、物理學(xué)方面。平面問(wèn)題的靜力學(xué)方面主要考慮的是應(yīng)力分量和體力分量之間的關(guān)系也就是平面問(wèn)題的平衡微分方程。平面問(wèn)題的幾何學(xué)方面主要考慮的是形變分量與位移分量之間的關(guān)系，也就是平面問(wèn)題中的幾何方程。平面問(wèn)題的物理學(xué)方面主要反映的是形變分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系，也就是平面問(wèn)題中的物理方程。7 .按照邊界條件的不同，彈性力學(xué)平面問(wèn)題分為那幾類？試作簡(jiǎn)要說(shuō)明答：按照邊界條件的不同，彈性力學(xué)平面問(wèn)題可分為兩類：（1）平面應(yīng)力問(wèn)題：很薄的等厚度板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力。這一類問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為平面應(yīng)力問(wèn)題

15、。例如深梁在橫向力作用下的受力分析問(wèn)題。在該種問(wèn)題中只存在CTx、仃V、Exv=Evxm個(gè)應(yīng)力分量。XyXyyX（2）平面應(yīng)變問(wèn)題：很長(zhǎng)的柱形體，在柱面上受有平行于橫截面并且不沿長(zhǎng)度變化的面力，而且體力也平行于橫截面且不沿長(zhǎng)度變化。這一類問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問(wèn)題。例如擋土墻和重力壩的受力分析。該種問(wèn)題Zxz=Ezx=0；7yz=、y=0而一般仃z并不等于零。8 .什么是圣維南原理？其在彈性力學(xué)的問(wèn)題求解中有什么實(shí)際意義？圣維南原理可表述為：如果把物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對(duì)于同一點(diǎn)的主矩也相同），那麼近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但遠(yuǎn)處所受的影響可

16、以不計(jì).彈性力學(xué)的問(wèn)題求解中可利用圣維南原理將面力分布不明確的情況轉(zhuǎn)化為靜力等效但分布表達(dá)明確的情況而將問(wèn)題解決。還可解決邊界條件不完全滿足的問(wèn)題的求解。9 .什么是平面應(yīng)力問(wèn)題？其受力特點(diǎn)如何，試舉例予以說(shuō)明。答：平面應(yīng)力問(wèn)題是指很薄的等厚度板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力，這一類問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為平面應(yīng)力問(wèn)題。例如深梁在橫向力作用下的受力分析問(wèn)題。在該種問(wèn)題中只存在crx、仃y、Exy=%X三個(gè)應(yīng)力分量。10 .什么是“差分法”？試寫出基本差分公式。答；所謂差分法，是把基本方程和邊界條件（一般為微分方程）近似地改用差分方程（代數(shù)方程）來(lái)表示，把求解微分方程的問(wèn)題改換成為求解代

17、數(shù)方程的問(wèn)題?；静罘止饺缦拢喝齠1-f3x02h：2ffif32f022x20h211、彈性力學(xué)中引用了哪五個(gè)基本假定？五個(gè)基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時(shí)有什么用途？答：彈性力學(xué)中主要引用的五個(gè)基本假定及各假定用途為：（答出標(biāo)注的內(nèi)容即可給滿分）1）連續(xù)性假定：引用這一假定后，物體中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移等物理量就可看成是連續(xù)的，因此，建立彈性力學(xué)的基本方程時(shí)就可以用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來(lái)表示他們的變化規(guī)律2）完全彈性假定：這一假定包含應(yīng)力與應(yīng)變成正比的含義，亦即二者呈線性關(guān)系，復(fù)合胡克定律，從而使物理方程成為線性的方程。3）均勻性假定：在該假定下，所研究的物體內(nèi)部各點(diǎn)的物理性質(zhì)顯然都是相同的。因

18、此，反應(yīng)這些物理性質(zhì)的彈性常數(shù)（如彈性模量E和泊松比仙等）就不隨位置坐標(biāo)而變化。4）各向同性假定：各向同性是指物體的物理性質(zhì)在各個(gè)方向上都是相同的也就是說(shuō)，物體的彈性常數(shù)也不隨方向變化。5）小變形假定：研究物體受力后的平衡問(wèn)題時(shí)，不用考慮物體尺寸的改變，而仍然按照原來(lái)的尺寸和形狀進(jìn)行計(jì)算。同時(shí)，在研究物體的變形和位移時(shí)，可以將它們的二次幕或乘積略去不計(jì)，使得彈性力學(xué)的微分方程都簡(jiǎn)化為線性微分方程四、分析計(jì)算題1、試寫出無(wú)體力情況下平面問(wèn)題的應(yīng)力分量存在的必要條件，并考慮下列平面問(wèn)題的應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在。（1）%=Ax+By,<=Cx+Dy,%=Ex+Fy;22（2）仃x=A（

19、x+y）,Oy=B（x+y）,%=Cxy;其中，A,B,C,D,E,F為常數(shù)解：應(yīng)力分量存在的必要條件是必須滿足下列條件：(1)在區(qū)域內(nèi)的平衡微分方美xdTyxJ程彳"囚；(2)在區(qū)域內(nèi)的相容方程iUkxWyR;(3)在邊界匚yfxyc：x；yu.:y：:xr.flQx+mTvxl=fx(s),上的應(yīng)力邊界條件xyxs_;(4)對(duì)于多連體的位移單值條件。J'm"-'y1'xys=fyS(1)此組應(yīng)力分量滿足相容方程。為了滿足平衡微分方程，必須A=-F,D=-E。此外還應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件。(2)為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足A+B=U;為了滿足平衡微

20、分方程，其系數(shù)必須滿足A=B=-C/20上兩式是矛盾的，因此，此組應(yīng)力分量不可能存在。2、已知應(yīng)力分量ox=-Qxy2+C1x3,cry=-2C2xy2,Txy=-C2y3-C3x2y,體力不計(jì),Q為常數(shù)。試?yán)闷胶馕⒎址匠糖笙禂?shù)G,G,C2。解：將所給應(yīng)力分量代入平衡微分方程廣仃x4Tyxx+=UIix寺I；y二xy=UJ:y:xr_2,22_2_-Qy+3Cix-3C2y-C3x=U-_3C2xy_2C3xy=U(3C1-C3x2-(Q+3c282=UJ3C22C3Xy=U由x,y的任意性，得3cl-C3=UQ+3C2=U、3C2+2C3=U由此解得，C1=?,C2=-6q,C3;Q3、已

21、知應(yīng)力分量仃x=-q，3320y=-q,%y=U,判斷該應(yīng)力分量是否滿足平衡微分方程和相容方程。解：將已知應(yīng)力分量ay=-q,%可，代入平衡微分方程'x-yxxX=0.xFy-y-xyY=0.:y：:x可知，已知應(yīng)力分量.=-q,仃丫=-q,Txy=0一般不滿足平衡微分方程，只有體力忽略不計(jì)時(shí)才滿足。按應(yīng)力求解平面應(yīng)力同題的相容方程:xy(一二x)=2(1工y將已知應(yīng)力分量3=-q,Oy=-q,1=0代入上式，可知滿足相容方程。接應(yīng)力求解平面應(yīng)變問(wèn)題的相容方程:.2(一二,)95-匚3=C：22-ixy1-x:y將已知應(yīng)力分量3=-q,=-q,4=0代入上式，可知滿足相容方程。4、試寫

22、出平面問(wèn)題的應(yīng)變分量存在的必要條件，并考慮下列平面問(wèn)題的應(yīng)變分量是否可能存在。(D守Axy,%=By-xy=C-Dy2A+2By=C(1分)；這組應(yīng)力分量若存在，則須滿足：B=0,2A=C。0二C;這組應(yīng)力分量右存在，則須？?jī)勺悖篊=0,則=0,8y=0,，xy=0(1分);(2)%=Ay2,%=Bx2y,。=Cxy;(3)%=0,%=0,'xy=Cxy；其中，A,B,C,D為常數(shù)。解：應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變協(xié)調(diào)條件，即f2；xf2；y1xy=-2-2-y二x二xy將以上應(yīng)變分量代入上面的形變協(xié)調(diào)方程，可知：(1)相容。(2)(3)5、證明應(yīng)力函數(shù)邛4y2能滿足相容方程，并考

23、察在如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問(wèn)題(體力不計(jì)，b/0)ol/2h/2Oh/2l/2y解：將應(yīng)力函數(shù)中=by2代入相容方程2:-=0.2.2.4xcycy可知，所給應(yīng)力函數(shù)=by2能滿足相容方程。由于不計(jì)體力，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為二2；二2；仃=2b0=0f=0X2y2xy_y:x；xy對(duì)于圖示的矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，根據(jù)邊界條件，上下左右四個(gè)邊上的面力分別為：h上邊，y=,1=。，m=1,fx=-(%y)hR,fy=(仃y)h=。；2y，y，h下邊，y=二，l=0,m=,fx=(Txy)h=0,fy=(ay)h=0；2y%y=2l左邊，x=-,1=-1,m=0,fx=-(

24、Ox)1=-2b,fy=Wxy)1=0；xx=一x=_422右邊，x=,1N,m=0,fx=(ax)1=2b,fy=(Txy)1=0。9x=x=:422可見，上下兩邊沒有面力，而左右兩邊分別受有向左和向右的均布面力2b。因此，應(yīng)力函數(shù)=by2能解決矩形板在x方向受均布拉力(b>0)和均布?jí)毫?b<0)的問(wèn)題。6、證明應(yīng)力函數(shù)5=axy能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問(wèn)題（體力不計(jì),l/2a#0)0h/2Oh/2l/2y解：將應(yīng)力函數(shù)中=axy代入相容方程可知，所給應(yīng)力函數(shù)=axy能滿足相容方程。由于不計(jì)體力，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為F2；，:仃x=T_2_=0，

25、°y=72=0,7xy=-TTT=-a二y:x二x：y對(duì)于圖示的矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，根據(jù)邊界條件，上下左右四個(gè)邊上的面力分別為：h上邊，y=二，l=0，m=1,fx=(%y)h=a,fy=-9y)h=0；2=2y，h下邊，y，1=°，m=1,fx=(7xy)h=-a，fy=(仃y)h=0；233左邊,l,，-丁，、-丁，、x=-,1=-1,m=0,fx=-(-x)1=0,fy=-(xy)2x，i=a;x=_2右邊,1x=,1=1,m=0,fx=(；-x)1=0,fy=(xy)9x二42iaox二2可見，在左右兩邊分別受有向下和向上的均布面力a,而在上下兩邊

26、分別受有向右和向左的均布面力a。因此，應(yīng)力函數(shù)*=axy能解決矩形板受均布剪力的問(wèn)題7、如圖所示的矩形截面的長(zhǎng)堅(jiān)柱，密度為P,在一邊側(cè)面上受均布剪力，試求應(yīng)力分量。解：根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)和受力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓，即設(shè)仃x=0。由此可知.：2nx=2=0:y將上式對(duì)y積分兩次，可得如下應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式x,y=f1(x)yf2(x)將上式代入應(yīng)力函數(shù)所應(yīng)滿足的相容方程則可得4-4-d_f1(x)df2(x)y44-0dxdx這是y的線性方程，但相容方程要求它有無(wú)數(shù)多的解(全柱內(nèi)的y值都應(yīng)該滿足它)，可見它的系數(shù)和自由項(xiàng)都應(yīng)該等于零，即4-d"4-df2(x)=0dx4這兩個(gè)方程要求

27、f1(x尸Ax3Bx2CxI,f2(x)=Dx3Ex2JxK代入應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式，并略去對(duì)應(yīng)力分量無(wú)影響的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)后，使得=y(Ax3Bx2Cx)Dx3Ex2對(duì)應(yīng)應(yīng)力分量為、二=y(6Ax2B)6Dx2EDgy:x-2C2c.=-3Ax2-2Bx-Cxy-:x.y以上常數(shù)可以根據(jù)邊界條件確定0左邊,x=0,l=-1,m=0,沿y方向無(wú)面力，所以有_(xy)x=0=C-0右邊,x力，l=1,m=0,沿y方向的面力為q,所以有2(xy)x±=3Ab2Bb=q上邊,y=0,l=0,m=-1,沒有水平面力，這就要求鼠在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即b*Xy)ydX=0將Exy的

28、表達(dá)式代入，并考慮到0=0,則有j(_3Ax2_2Bx)dx=Ax3Bx2b=-Ab3Bb2=0b而0Qxy)y衛(wèi)0dx=0自然滿足。又由于在這部分邊界上沒有垂直面力，這就要求by在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即bbg(Oy)y且dx=0,(Oy)ygxdx0將仃y的表達(dá)式代入，則有j(6Dx+2E)dx=3Dx2+2Exb=3Db2+2Eb=0j(6Dx+2E)xdx=2Dx3+Ex：0=2Db3+Eb2=0由此可得A=""B=9C=0D=0,E=0b2b應(yīng)力分量為3=0,3=2q51-3：-Pgy,21b<bJbVbJ雖然上述結(jié)果并不嚴(yán)格滿足上端面處(y

29、=0)的邊界條件，但按照圣維南原理，在稍遠(yuǎn)離y=0處這一結(jié)果應(yīng)是適用的。8、證明：如果體力分量雖然不是常量，但卻是有勢(shì)的力，即體力分量可以表示為fx=-fy=,其中V是勢(shì)函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù)表示x二y二2：二2：,：2；：為，ox=",*=一，=，試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程。x2y2xy:y二xtxy證明：在體力為有勢(shì)力的情況下，按應(yīng)力求解應(yīng)力邊界問(wèn)題時(shí)，應(yīng)力分量仃X,Oy,%y應(yīng)當(dāng)滿足平衡微分方程%30=0改為改八-(1分)二xyN八-0J3:義二y還應(yīng)滿足相容方程22-2c+c220y：以十、*(1+NWx+*I£xdyj（對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題）二x上（對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題

30、）并在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件（1分）。對(duì)于多連體，有時(shí)還必須考慮位移單值條件。首先考察平衡微分方程。將其改寫為于。Id.一；：y-V>:y這是一個(gè)齊次微分方程組。為了求得通解，：xyOy=0fx將其中第一個(gè)方程改寫為根據(jù)微分方程理論，一定存在某一函數(shù)A(x,y）,使得同樣，將第二個(gè)方程改寫為-、，治-x-V,二yFAT-yx-excV-v)=cy-T)(1分)JJ二y二x可見也一定存在某一函數(shù)B（x,y）,使得、，汨:-V=y二x汨-yx=一二y由此得竺：x因而又一定存在某一函數(shù)叭x,y）,使得B二：:x代入以上各式，得應(yīng)力分量F2:二x二一2V二y:2:二x-yyx為了使上述應(yīng)力分量能同量滿足相容方程，應(yīng)力函數(shù)叫x,y)必須滿足一定的方程，將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)力問(wèn)題的相容方程，得£+£佇之+vLi+n詼fy人ex,二2二2.x2+，2VMI+HyyJ；x2簡(jiǎn)寫為將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)